專(zhuān)題08隱圓問(wèn)題(原卷版+解析)

專(zhuān)題8隱圓問(wèn)題題型一：翻折【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是_______．【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是______．【例3】如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿EF所在直線折疊得到△GEF，連接GC，則GC長(zhǎng)度的最小值是_____．【例4】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BCP沿CP所在直線翻折，得到△，連接，則長(zhǎng)度的最小值是_____．【例5】如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是_____．題型二：直角問(wèn)題【例1】如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值（）A、B、2

C、

D、【例2】如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【例3】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，點(diǎn)P是AB邊上另一動(dòng)點(diǎn)，則PD﹢PG的最小值為_(kāi)_____．【例4】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，BC＝，點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作圓，連接BD交圓于E點(diǎn)，連CE，則CE的最小值為（）A、B、1C、D、【例5】如圖，矩形ABCD的兩邊AB＝5，AD＝12，以BC為斜邊作Rt△BEC，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，則EF的最大值為_(kāi)_____．【例6】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，至點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AP，過(guò)點(diǎn)B作BH垂直于直線AP于點(diǎn)H，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)H所走過(guò)的路徑長(zhǎng)是_____．題型三：切線問(wèn)題【例1】如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，3），⊙C的圓心坐標(biāo)為（﹣3，0），半徑為3，若D是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最大值為（）A．B．C．D．【例2】如圖，半徑為2的⊙A，圓心A在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)O作⊙A的一條切線OP，P為切點(diǎn)，則切線OP長(zhǎng)的最小值為_(kāi)___．【例3】如圖，已知A（﹣2，0），以B（0，1）為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作⊙B，N是⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AN交y軸于M點(diǎn)，則△AOM面積的最大值是（）A．2 B． C． D．4【例4】如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為_(kāi)______．課后作業(yè):1．如圖，AB是半⊙O的直徑，點(diǎn)C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE．在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，BE的最小值為（）A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．32．如圖，的圓心的坐標(biāo)為（1，1），半徑為1，直線的表達(dá)式為，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．3．已知∠AOB＝60°，半徑為3cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動(dòng)，與邊OA相切的切點(diǎn)記為點(diǎn)C．⊙P移動(dòng)到與邊OB相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若EF＝4cm，則OC的長(zhǎng)是_____．4．如圖，中，，，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，沿將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以為半徑的與的一邊相切時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)____．5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，連AP，取AP中點(diǎn)Q，連CQ，則線段CQ的最大值為_(kāi)____．6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若四邊形OABC的頂點(diǎn)分別為O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m﹣5，2）．當(dāng)m的取值范圍是_____時(shí)，在邊BC上總存在點(diǎn)P，使∠OPA＝90°．7、如圖，在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在邊DC，CB上移動(dòng)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)．若AD＝2，線段CP的最小值是_____．專(zhuān)題8隱圓問(wèn)題題型一：翻折【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是_______．【答案】5【解析】解析：如圖，連接MC；過(guò)點(diǎn)M作ME⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC=4，

∵點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，∠BCD=30°，

∴DM=MA=2，∠MDE=∠BCD=30°，

∴ME=DM=1，DE=，

∴CE=CD﹢DE=，由勾股定理得：CM2=ME2﹢CE2，

∴CM=7由翻折變換的性質(zhì)得：MA′=MA=2，

顯然，當(dāng)折線MA′C與線段MC重合時(shí)，線段A′C的長(zhǎng)度最短，此時(shí)A′C=7﹣2=5【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是______．【答案】1.2【解析】解析：如圖，延長(zhǎng)FP交AB于M，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最?。c(diǎn)P在以F為圓心CF為半徑的圓上，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小）∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，

∴△AFM∽△ABC，

∴，

∵CF=2，AC=6，BC=8，

∴AF=4，AB==10，

∴，∴FM=3.2，

∵PF=CF=2，∴PM=1.2

∴點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是1.2．【例3】如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿EF所在直線折疊得到△GEF，連接GC，則GC長(zhǎng)度的最小值是_____．【答案】【解析】解析：如圖所示：當(dāng)∠AFE=∠GFE，點(diǎn)G在CE上時(shí)，此時(shí)CG的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△AFE≌△GFE，

∴AE=GE，∵E是AB邊的中點(diǎn)，AB=2，

∴AE=BE=GE=1，

∵BC=AB=2，

∴CE=，

∴CG=CE﹣EG=【例4】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BCP沿CP所在直線翻折，得到△，連接，則長(zhǎng)度的最小值是_____．【答案】1【解析】解析：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC=，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：BC=CB′=3，∵CB′長(zhǎng)度固定不變，∴當(dāng)AB′﹢CB′有最小值時(shí)，AB′的長(zhǎng)度有最小值．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：A、B′、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．【例5】如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是_____．【答案】【解析】解析：如圖所示∵M(jìn)A′是定值，A′C長(zhǎng)度取最小值時(shí)，即A′在MC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥DC于點(diǎn)F，∵在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M為AD中點(diǎn)，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FM=DM×cos30°=，∴MC=，∴A′C=MC﹣MA′=．題型二：直角問(wèn)題【例1】如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值（）A、B、2

C、

D、【答案】B【解析】解析：∵∠ABC=90°，

∴∠ABP﹢∠PBC=90°，

∵∠PAB=∠PBC∴∠BAP﹢∠ABP=90°，

∴∠APB=90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，

∴OC==5，

∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．

∴PC最小值為2．

【例2】如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解析：連接AC，AG，

∵GO⊥AB，∴O為AB的中點(diǎn)，即AO=BO=AB，

∵G（0，1），即OG=1，

∴在Rt△AOG中，根據(jù)勾股定理得：，

∴AB=2AO=，

又CO=CG﹢GO=2﹢1=3，

∴在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：，

∵CF⊥AE，

∴△ACF始終是直角三角形，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的半圓，

當(dāng)E位于點(diǎn)B時(shí)，CO⊥AE，此時(shí)F與O重合，當(dāng)E位于點(diǎn)D時(shí)，CA⊥AE，此時(shí)F與A重合；

∴當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)弧AO，

在Rt△ACO中，tan∠ACO=，

∴∠ACO=30°，

∴弧AO度數(shù)為60°，

∵直徑AC=，

∴弧AO的長(zhǎng)為，

則當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．【例3】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，點(diǎn)P是AB邊上另一動(dòng)點(diǎn)，則PD﹢PG的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】解析：如圖：取點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，以BC中點(diǎn)O為圓心，OB為半徑畫(huà)半圓，連接OD′交AB于點(diǎn)P，交半圓O于點(diǎn)G，連接BG，連接CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E由以上作圖可知，BG⊥EC于GPD﹢PG=PD′﹢PG=D′G由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)PD﹢PG最小∵D′C′=4，OC′=6∴D′O=∴D′G=∴PD﹢PG的最小值為【例4】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，BC＝，點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作圓，連接BD交圓于E點(diǎn)，連CE，則CE的最小值為（）A、B、1C、D、【答案】D【解析】解析：連接AE∵以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E∴∠AED=90°∴點(diǎn)E在以AB為直徑的圓O上連接OE、OC則CE≥OC﹣OE∵∠BAC=90°，AB=AC∴AC=AC=BC=2由勾股定理得，∴線段CE長(zhǎng)度的最小值為【例5】如圖，矩形ABCD的兩邊AB＝5，AD＝12，以BC為斜邊作Rt△BEC，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，則EF的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】解析：由題意知∠BEC=90°，

∴點(diǎn)E在以BC為直徑的⊙O上，如圖所示由圖可知，連接FO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E′，

此時(shí)E′F最長(zhǎng)，

∵CO=BC=6、FC=CD=，

∴OF=，

則E′F=OE′﹢OF=【例6】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，至點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AP，過(guò)點(diǎn)B作BH垂直于直線AP于點(diǎn)H，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)H所走過(guò)的路徑長(zhǎng)是_____．【答案】【解析】解析：如圖，∵BH⊥AP，

∴∠AHB=90°，

∴點(diǎn)H在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，由題意

∵OA=OB=1，

∴點(diǎn)H所走過(guò)的路徑長(zhǎng)=題型三：切線問(wèn)題【例1】如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，3），⊙C的圓心坐標(biāo)為（﹣3，0），半徑為3，若D是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解析：由題意可得，當(dāng)AD與⊙C相切時(shí)，△ABE的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D在D1的位置，如圖所示，連接CD1則∠CD1A=90°∴△CD1A∽△OE1A∴∵OA=3，AC=6，CD1=3∴∴OE1=∴【例2】如圖，半徑為2的⊙A，圓心A在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)O作⊙A的一條切線OP，P為切點(diǎn)，則切線OP長(zhǎng)的最小值為_(kāi)___．【答案】【解析】解析：如圖，連接OA設(shè)A（，）∵OP是切線，PA是半徑∴PA⊥OP∴，即整理得∴OP2最小值為∴OP的最小值為【例3】如圖，已知A（﹣2，0），以B（0，1）為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作⊙B，N是⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AN交y軸于M點(diǎn)，則△AOM面積的最大值是（）A．2 B． C． D．4【答案】C【解析】解析：當(dāng)直線AN與⊙B相切時(shí)，△AOM的面積最大連接AB、BN在Rt△AOB和Rt△ANB中，OB=BN，AB=AB∴Rt△AOB≌Rt△ANB∴AN=AO=2設(shè)BM=x∴MN2=（BM﹣1）（BM﹢1）∴MN=∵∠AOM=∠ANM=90°，∠AMO=∠BMN∴△BNM∽△AOM∴即，解得∴【例4】如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為_(kāi)______．【答案】【解析】解析：連接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切線，

∴OQ⊥PQ；

根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，

∴當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短，

∵在Rt△AOB中，OA=OB=，

∴AB=OA=6，

∴OP=，

∴PQ=．課后作業(yè):1．如圖，AB是半⊙O的直徑，點(diǎn)C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE．在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，BE的最小值為（）A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3【答案】B【解析】解析：如圖，連接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在點(diǎn)D移動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴，O′E＝2，在Rt△BCO′中，，∵O′E+BE≥O′B，∴當(dāng)O′、E、B共線時(shí)，BE的值最小，最小值為O′B﹣O′E＝﹣2，故選：B．2．如圖，的圓心的坐標(biāo)為（1，1），半徑為1，直線的表達(dá)式為，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解析：過(guò)點(diǎn)作直線，交圓于點(diǎn)，此時(shí)的值最小，連接、，作于，于，∵，∴，，∴，，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，，設(shè)，，則，∵，，∴，，解得：，∵的半徑為1，∴，故選：A．3．已知∠AOB＝60°，半徑為3cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動(dòng)，與邊OA相切的切點(diǎn)記為點(diǎn)C．⊙P移動(dòng)到與邊OB相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若EF＝4cm，則OC的長(zhǎng)是_____．【答案】cm或cm【解析】解析：可分兩種情況，①如圖1，當(dāng)P在∠AOB內(nèi)部，連接PE，PC，過(guò)點(diǎn)P做PM⊥EF于點(diǎn)M，延長(zhǎng)CP交OB于點(diǎn)N，∵EF＝4cm，∴EM＝2cm，在Rt△EPM中，PM＝cm，∵∠AOB＝60°，∴∠PNM＝30°，∴PN＝2PM＝2cm，∴NC＝PN＋PC＝5cm，在Rt△OCN中，OC＝NC×tan30°＝5×＝cm．②如圖2，當(dāng)P在∠AOB外部，連接PF，PC，PC交EF于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，由①可知，PN＝2cm，∴NC＝PC?PN＝1cm，在Rt△OCN中，OC＝NC×tan30°＝1×＝cm．綜上所述，OC的長(zhǎng)為cm或cm．4．如圖，中，，，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，沿將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以為半徑的與的一邊相切時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】或_【解析】解析：設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得，，，則由勾股定理得，即，解得即，由勾股定理得∴由勾股定理得由以為半徑的與的一邊相切，可分為兩種情況，與相切或相切∵，∴不可能與相切當(dāng)與相切，如下圖：則，∴∴∴設(shè)，則，則解得，即當(dāng)與相切時(shí)，如下圖：則，∴∴設(shè)，則，則解得，即故答案為或5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，連