2024-2025學(xué)年上學(xué)期高三九月七校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)解析版

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高三九月七校聯(lián)考解析版數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自已的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．如圖，已知矩形U表示全集，A、B是U的兩個(gè)子集，則陰影部分可表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素x，則且，即且，所以，陰影部分可表示為.故選：D.2．中國(guó)南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為，，，則三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱(chēng)為海倫-秦九韶公式.現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿(mǎn)足，，則此三角形面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，三角形的周長(zhǎng)為12，則，，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為16，所以三角形面積的最大值.故選：B3．已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為5，且到軸的距離為4，則（

）A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或8【答案】C【詳解】由題意得，，其中，故，解得或8，故選：C4．圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線(xiàn)長(zhǎng)為4．已知P為該圓臺(tái)某條母線(xiàn)的中點(diǎn)，若一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)，繞著該圓臺(tái)的側(cè)面運(yùn)動(dòng)一圈后又回到點(diǎn)P，則該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最短路徑長(zhǎng)為（

）A． B．6 C． D．【答案】A【詳解】P為圓臺(tái)母線(xiàn)AB的中點(diǎn)，分別為上下底面的圓心，把圓臺(tái)擴(kuò)成圓錐，如圖所示，則，，，由，有，，，圓錐底面半徑，底面圓的周長(zhǎng)為，母線(xiàn)長(zhǎng)，所以側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角為，即，如圖所示，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)，繞著該圓臺(tái)的側(cè)面運(yùn)動(dòng)一圈后又回到點(diǎn)P，則運(yùn)動(dòng)的最短路徑為展開(kāi)圖弦，，，有.故選：A5．將數(shù)字隨機(jī)填入的正方形格子中，則每一橫行?每一豎列以及兩條斜對(duì)角線(xiàn)上的三個(gè)數(shù)字之和都相等的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】符合題意的填寫(xiě)方法有如下8種：而9個(gè)數(shù)填入9個(gè)格子有種方法所以所求概率為，故選：A．6．定義：已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為.設(shè)與是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)，均有成立，則稱(chēng)此數(shù)列為“”數(shù)列.若數(shù)列是“”數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)閿?shù)列是“”數(shù)列，則，所以，而，，，，，，，，.故選：B7．在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是7，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】由題意可知展開(kāi)式中含的項(xiàng)：∴,故選：D.8．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，若，且滿(mǎn)足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，是偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，由得，所以，所以或，所以或，所以的取值范圍是.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．歐拉公式（i為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】ABD【詳解】對(duì)于A中，由，其虛部為，所以A正確；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，故的共軛復(fù)數(shù)為，所以D正確．故選：ABD．10．對(duì)于隨機(jī)事件A，B，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】對(duì)A：因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；對(duì)B：由，故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，故C正確；對(duì)D：，所以：.所以.故D正確.故選：BCD11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上，過(guò)作垂直于的平面，記平面與正方體的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為，面積為，，下面關(guān)于函數(shù)和的描述正確的是（

）A．最大值為；B．在時(shí)取得極大值；C．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；D．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【答案】AD【詳解】當(dāng)時(shí)，截面為等邊三角形，如圖：因?yàn)椋?，所以：，?此時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，.當(dāng)時(shí)截面為六邊形，如圖：設(shè)，則所以六邊形的周長(zhǎng)為：為定值；做平面于，平面于.設(shè)平面與平面所成的角為，則易求.所以，所以，在上遞增，在上遞減，所以截面面積的最大值為，此時(shí)，即.所以在上遞增，在上遞減.時(shí)，最大，為.當(dāng)時(shí)，易得：，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，，.綜上可知：AD是正確的，BC錯(cuò)誤.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深刻的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則.

【答案】/【詳解】在正八邊形中，連接，則，

而，即，于是，在等腰梯形中，，所以.故答案為：13．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，且，則.【答案】1【詳解】當(dāng)?shù)茫值?，解?則，所以.故答案為：1.14．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)且，使得，則的最大值為.【答案】【詳解】根據(jù)題意作出函數(shù)y=fx的圖象令，解得或，令，解得或或，由題意可知：與y=fx有三個(gè)交點(diǎn)，則，此時(shí)，且，令，可得，則，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則的最大值為，所以的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（本小題13分）已知銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．(1)證明：；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，而，則或，即或（舍去），故．（2）因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得，所以的取值范圍是，由正弦定理可得：，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以的取值范圍是?6.（本小題15分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)，.【詳解】（1）由，則當(dāng)時(shí)兩式相減得，所以.將代入得，，所以對(duì)于，故an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）.，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故.17.（本小題15分）如圖，四邊形為菱形，平面．

(1)證明：平面平面；(2)若，二面角的大小為120°，求PC與BD所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解.(2).【詳解】（1）∵平面且平面∴，在菱形中，，且平面，∴平面又∵平面∴平面平面.（2）∵平面且平面,平面∴，，即二面角是，∴，取與交點(diǎn)為，設(shè)，則，∴，∴，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴.所以所成角的余弦值為.

18.（本小題17分）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，周長(zhǎng)為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求的方程；(2)直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，（i）求面積的最大值；（ii）設(shè)，試證明點(diǎn)在定直線(xiàn)上，并求出定直線(xiàn)方程．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析，．【詳解】（1）設(shè)焦距為，依題意，解得又，所以，所以的方程為．（2）（i）設(shè)，因?yàn)椋?，，解得，所以，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，的面積當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積的最大值為．（ii）設(shè)，由，有，即因?yàn)?，所以，故，于是有，所以點(diǎn)在定直線(xiàn)．19.（本小題17分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)存在正零點(diǎn)，（i）求的取值范圍；（ii）記為的極值點(diǎn)，證明：.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由已知可得的定義域?yàn)椋?，因此?dāng)時(shí)，，從而f'x<0所以的單減區(qū)間是，無(wú)單增區(qū)間；（2）（?。┯桑?）知，，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．①當(dāng)時(shí)，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時(shí)，，所以不