2024學(xué)年杭州地區(qū)高三第一學(xué)期數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)考模擬試題參考答案

第=page1515頁(yè)，共=sectionpages1515頁(yè)2024學(xué)年杭州地區(qū)高三第一學(xué)期數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)考模擬試題【答案】1.A

2.D

3.C

4.B

5.C

6.C

7.C

8.C

9.AC

10.AB

11.ABD

12.0

13.2

14.5

15.解：不妨設(shè)，

則在中，由余弦定理可知，，

在中，由余弦定理可知，，

所以，即

因?yàn)?，所以，所以?/p>

在中，由正弦定理可知，，

所以，所以，

所以，

已知在中，，所以，

所以四邊形ABCD的面積，

所以

16.Ⅰ解：設(shè)，則

令代入C的方程有：

，故，即

拋物線(xiàn)E的方稱(chēng)為：

Ⅱ證明：由Ⅰ知：，則

直線(xiàn)PO的方稱(chēng)為，代入拋物線(xiàn)E的方程有：

當(dāng)時(shí)，

直線(xiàn)MN的方程為：，即

此時(shí)直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)MN的方稱(chēng)為：，此時(shí)仍過(guò)點(diǎn)

即證直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)

17.解：證明：由題意可知，，所以，

所以，

解得，

則，所以，

又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，

所以，，且PA，平面PAB，

所以平面PAB；

證明：連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，連結(jié)QO，

因?yàn)椋遥?/p>

所以，又因?yàn)椋?/p>

所以，且平面BQD，平面BQD，

所以平面BQD；

由可知，平面PAB，平面BDP，

所以平面平面BDP，且平面平面，

過(guò)點(diǎn)A作，連結(jié)MN，

則平面PBD，為直線(xiàn)AM與平面PBD所成的角，

因?yàn)槭堑妊苯侨切危遥?/p>

所以，

中，，，所以，

，

所以

18.解：Ⅰ

當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為，有極小值…分

Ⅱ當(dāng)時(shí)，由Ⅰ得

，

，

，即當(dāng)時(shí)，最大為1…分

Ⅲ證明：由Ⅰ知，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即，

，

記，，

故函數(shù)在上遞增，在上遞減，

當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，

故，…分

不妨設(shè)，由題意，，

則，

欲證，只需證明：，只需證明：，

即證：，

即證，設(shè)，則只需證明：，

也就是證明：

記，，

在單調(diào)遞增，，

所以原不等式成立，故得證…分

19.解：取

不具有性質(zhì)①.數(shù)列同時(shí)滿(mǎn)足性質(zhì)①和性質(zhì)②.證明：對(duì)性質(zhì)①：

，取，具有性質(zhì)①；對(duì)性質(zhì)②：，

只需取滿(mǎn)足

具有性質(zhì)②；先證明利用性質(zhì)②：取，此時(shí)，由數(shù)列的單調(diào)遞增可知，而，故，此時(shí)必有，即，所以，成等差數(shù)列.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等差數(shù)列.假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)成等差數(shù)列，不妨設(shè)，因?yàn)閿?shù)列遞增，所以由①可得：存在整數(shù)m，滿(mǎn)足，

且

由②得：存在，滿(mǎn)足：，

由數(shù)列的單調(diào)遞增可知：，由可得：

，由和式可得：，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)遞增有：，注意到均為整數(shù)，故，代入式，從而綜上可得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：即數(shù)列為等差數(shù)列.

【解析】1.解：因?yàn)椋?/p>

，

所以

故選：

利用整數(shù)集的定義與具體函數(shù)定義域的求法化簡(jiǎn)集合A，B，再利用集合的交集運(yùn)算即可得解．

本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.解：因?yàn)?，所以?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，位于第四象限．

故選：

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和除法以及幾何意義求解即可．

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．3.解：，在直線(xiàn)l上，

則直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為

故選：

利用直線(xiàn)的方向向量的定義直接求解．

本題考查直線(xiàn)的方向向量的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4.解：由已知得，，

又，

所以，解得

故選：

由已知得，，根據(jù)即可求解．

本題考查了雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5.解：由圓的弦長(zhǎng)為，

可知AB中點(diǎn)P到的距離即為，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，

又圓上存在點(diǎn)P恰為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則圓與圓有公共點(diǎn)，

所以，即，解得

故選：

先根據(jù)已知條件求得點(diǎn)P的軌跡方程，再轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點(diǎn)即可求解結(jié)論．

本題主要考查圓和圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.解：根據(jù)題意，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，

即，可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

可得，即，

可知的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，

又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，

可得，可知的周期為4，

所以

故選：

根據(jù)的性質(zhì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算分析可知的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，結(jié)合奇函數(shù)分析可知的周期為4，根據(jù)周期性運(yùn)算求解．

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)的周期，屬于中檔題．7.解：因?yàn)椋?/p>

又，

所以，

則

故選：

由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式，二倍角公式及同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．

本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角公式及同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．8.【分析】本題考查正弦定理、球的性質(zhì)的合理運(yùn)用和三棱錐的體積的求法，屬于中檔題.

由正弦定理得，解得，再有平面ABC得，作，得，，由，由此能求出正三棱臺(tái)的體積.【解答】

解：設(shè)球O的半徑為R，由得，

由題可得三棱錐為正四面體，且，

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，在等邊三角形ABC中，

由正弦定理可得，即，解得

因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，

所以

作，垂足為H，在中，

由，得，

所以在中，

因?yàn)?，?/p>

所以H為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，所以

依題意，多面體為正三棱臺(tái)，

所以，

即，

所以正三棱臺(tái)的體積為

故選：9.解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，若刪除的數(shù)據(jù)既不是最大值，也不是最小值，則新數(shù)據(jù)的極差等于原數(shù)據(jù)的極差，A正確；

對(duì)于B，數(shù)據(jù)，，…，，假設(shè)…，其中位數(shù)為，一定不在，，…，，之中，隨機(jī)刪去其中一個(gè)數(shù)據(jù)，得到一組新數(shù)據(jù)，所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，，…，一個(gè)，故新數(shù)據(jù)的中位數(shù)不會(huì)等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若，則刪除的數(shù)據(jù)恰好為原來(lái)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由方差的計(jì)算公式，新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差，C正確；

對(duì)于D，假設(shè)原來(lái)數(shù)據(jù)為1、2、3、4、5，若，則刪除的數(shù)據(jù)恰好為原來(lái)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即刪除的數(shù)據(jù)為3，

新數(shù)據(jù)為1、2、4、5，原來(lái)數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)，新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為2，D錯(cuò)誤．

故選：

根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)和百分位數(shù)的計(jì)算公式分析4個(gè)命題，綜合可得答案．

本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計(jì)算，涉及數(shù)據(jù)的中位數(shù)、極差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．10.解：由可知A選項(xiàng)正確；

由，

令，

易知時(shí)，，時(shí)，，

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，

又時(shí)，，且，

所以當(dāng)時(shí)，方程有唯一根，

由單調(diào)性可知上，上，故B選項(xiàng)正確；

由或，

又與均單調(diào)遞增，且兩函數(shù)零點(diǎn)分別為0，，

所以要滿(mǎn)足恒成立，需，可知C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若函數(shù)為增函數(shù)，有，可得，

令，由上可知，可得，

又由，可知“”是“函數(shù)為增函數(shù)”的充分不必要條件，

可知D選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：

直接計(jì)算可判定A項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值可判定B項(xiàng)，利用函數(shù)的性質(zhì)與零點(diǎn)可判定C項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分、必要條件的定義可判定D項(xiàng)．

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．11.解：A中，因?yàn)椋傻煤瘮?shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為，

所以是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，即，所以A正確；

B中，若，所以函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為，

又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，再由A選項(xiàng)可得，所以B正確；

C中，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿(mǎn)足，

可得，所以周期，又周期越大，的根的個(gè)數(shù)越少，

當(dāng)時(shí)，，又，，得，

所以在區(qū)間上有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：，或，

故至多3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，故C錯(cuò)誤．

D中，函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，所以，

所以，解得：，且滿(mǎn)足，

即，即，故故D正確．

故選：

A中，由，可得函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，即判斷出A的真假；B中，由題意可得函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程，再由A選項(xiàng)的分析，可得函數(shù)的最小正周期，判斷出B的真假；C中，由題意可得的解析式，可得的根，判斷出C的真假；D中，由橢圓可得函數(shù)的周期的范圍，進(jìn)而求出范圍，判斷出D的真假．

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．12.【分析】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，求得常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于，求得實(shí)數(shù)a的值．【解答】

解：的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，

，

故答案為：013.【分析】

本題考查切線(xiàn)方程問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．

求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，代入切線(xiàn)方程即可求出a的值．

【解答】

解：由題意得，設(shè)切點(diǎn)是，

則，故，

代入切線(xiàn)方程得，解得

故答案為14.【分析】本題考查橢圓方程，考查直線(xiàn)的斜率，屬于中檔題，

設(shè)，，由題意得到以及點(diǎn)A，B在橢圓上，得到，即可求解，【解答】

解：設(shè)，，

由已知得，點(diǎn)A，B在橢圓上，則，

所以，

所以，

所以

故答案為15.不妨設(shè)，在中，利用余弦定理求出，在中，由余弦定理即可求出AB；

根據(jù)三角形內(nèi)角和，結(jié)合正弦定理，構(gòu)造面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，由三角函數(shù)的有界限即可求解四邊形ABCD面積的最大值．

本題主要考查正余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．16.Ⅰ設(shè)，由令代入C的方程有：，求出A的縱坐標(biāo)，代入三角形面積公式求得c，則拋物線(xiàn)方程可求；

Ⅱ由Ⅰ可得M坐標(biāo)，寫(xiě)出直線(xiàn)PO的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得N的坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出MN所在直線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)后說(shuō)明直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)MN的方稱(chēng)為：，此時(shí)仍過(guò)點(diǎn)

本題考查雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．17.首先求BD，再證明，最后根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，即可證明；

根據(jù)線(xiàn)面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)平行，根據(jù)比例關(guān)系，構(gòu)造線(xiàn)線(xiàn)平行，即可證明；

根據(jù)的結(jié)果，結(jié)合線(xiàn)面角的定義，即可求解線(xiàn)面角的正弦值．

本題主要考查了線(xiàn)面垂直和線(xiàn)面平行的判定定理，考查了直線(xiàn)與平面所成的角，屬于中檔題．18.Ⅰ求導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

Ⅱ當(dāng)時(shí)，由Ⅰ得，，即可求的最大值；

Ⅲ，構(gòu)造函數(shù)，得出當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，故，，再用分析法進(jìn)行證明