1.3.1等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式（2知識點(diǎn)6題型強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版）

1.3.1等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）通過生活中的實(shí)例,理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義;（2）能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題。（1）掌握等比數(shù)列的概念，會證明某數(shù)列是等比數(shù)列;（2）掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，會求某等比數(shù)列通項(xiàng)公式.（難點(diǎn))（3）利用等比數(shù)列解決實(shí)際生活問題。知識點(diǎn)01等比數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為q.代數(shù)形式：anan-1=q(q是常數(shù)，n≥2)或解析(1)公比是每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比，常數(shù)指的是與n無關(guān);(2)等比數(shù)列中an≠0,q≠0(否則數(shù)列會出現(xiàn)0,不可能符合等邊數(shù)列定義(3)anan-1an+1anan+1a【即學(xué)即練1】已知an,bA．a(chǎn)n+bn B．a(chǎn)n?知識點(diǎn)02等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則an解析(1)證明由等比數(shù)列的定義可得，an所以a2a1=q,a3a把以上n-1個(gè)等式累乘可得ana1=當(dāng)n=1時(shí)，a1=故an以上的方法稱之為累乘法.(2)通項(xiàng)公式an=a1q(3)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可整理為an=a1qn-1=a1q?qn,當(dāng)(4)偶數(shù)項(xiàng)的正負(fù)、奇數(shù)項(xiàng)的正負(fù)相同(a2na2n-1=【即學(xué)即練2】已知等比數(shù)列an的前三項(xiàng)和為13，a6-6a5A．81 B．243 C．27 D．729【題型一：由定義判定等比數(shù)列】例1．已知數(shù)列an是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（

A．a(chǎn)2n BC．a(chǎn)n+a變式11．設(shè)命題p：數(shù)列an是等比數(shù)列，命題q：數(shù)列a2k-1和a2kk∈N*均為等比數(shù)列，則A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式12．等差數(shù)列an的前項(xiàng)n和為Sn，且an∈NA．?dāng)?shù)列2an一定是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列C．?dāng)?shù)列Snn一定是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列【方法技巧與總結(jié)】證明某數(shù)列an是等比數(shù)列，可采取定義法，只需要證明anan-1【題型二：由遞推公式證明等比數(shù)列】例2．已知數(shù)列{an}滿足a1=1A．{an+3} B．{an-3}變式21．已知數(shù)列an滿足an+1=3an+2，則“a1=-1”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式22．在數(shù)列an中，a1=1．若命題p:an+1+an=A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【方法技巧與總結(jié)】要由遞推公式證明某數(shù)列是等比數(shù)列，常見的方法也是采取定義法.【題型三：求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】例3．若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且3a5，1A．3 B．6 C．9 D．18變式31．設(shè)x,x+10,x-5是等比數(shù)列an的前三項(xiàng)，則an=A．-4×-32n-1 B．-4×-3變式32．等比數(shù)列an中，a1=1，a5=-8a2A．(-2)n-1 B．-(-2)n-1 C．(-2)變式33．已知數(shù)列an滿足a1=2，a2=-1，數(shù)列3anA．3n-1+(-2)n-1C．2n-1+(-3)【方法技巧與總結(jié)】要求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，首先要確定數(shù)列是等比數(shù)列，由通項(xiàng)公式an=a1qn-1【題型四：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算】例4．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，6a1，12a2，-aA．14 B．28 C．42 D．56變式41．在等比數(shù)列an中，a1+a4=8，A．19 B．49 C．1 D變式42．已知an是正項(xiàng)等比數(shù)列，若4a1,1A．3 B．4 C．5 D．6變式43．?dāng)?shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=12SA．-7 B．-6 C．6 D．7【方法技巧與總結(jié)】求等比數(shù)列的基本量，往往采取列方程組的方法求出首項(xiàng)a1和公比q便可，后面學(xué)了等比數(shù)列的性質(zhì)還有更簡便的方法【題型五：實(shí)際問題中的等比數(shù)列】例5．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個(gè)數(shù)列an本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列an中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列bn，則稱數(shù)列an為一階等差數(shù)列，或者bn仍舊不是等差數(shù)列，但從bn數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列cn，則稱數(shù)列an為二階等差數(shù)列，依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列1，1，2，8，A．210 B．215 C．221變式51．折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年.在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上某同學(xué)將一張腰長為1的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（

）A．28 B．18 C．24變式52．分形的數(shù)學(xué)之美，是以簡單的基本圖形，凝聚擴(kuò)散，重復(fù)累加，以迭代的方式而形成的美麗的圖案.自然界中存在著許多令人震撼的天然分形圖案，如鸚鵡螺的殼、蕨類植物的葉子、孔雀的羽毛、菠蘿等.如圖所示，為正方形經(jīng)過多次自相似迭代形成的分形圖形，且相鄰的兩個(gè)正方形的對應(yīng)邊所成的角為15°.若從外往里最大的正方形邊長為9，則第3個(gè)正方形的邊長為（

）

A．4 B．8168 C．6 D【方法技巧與總結(jié)】在實(shí)際問題中，理解題意是關(guān)鍵，能在題中提煉出等比數(shù)列的有效信息，把自然語言化為等比數(shù)列的符號語言，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列基本量的問題求解.【題型六：等比數(shù)列通項(xiàng)公式綜合運(yùn)用】例6．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn．已知a1(1)求數(shù)列an(2)若bn是公比為4的等比數(shù)列，且b1+a1，b2+a2變式61．已知等比數(shù)列an滿足a1?a5=4aA．12 B．13 C．14 D．15變式62．正項(xiàng)數(shù)列an中，an+1=kan（k為實(shí)數(shù)），若aA．3,9 B．3,9 C．3,15 D．3,15變式63．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1，且2Sn=an+1-1A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4變式64．已知數(shù)列an滿足a1=2(1)證明：數(shù)列an(2)在ak與ak+1之間插入k個(gè)數(shù)，使得這k+2個(gè)數(shù)組成公差為3k變式65．在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”．如數(shù)列1，2第1次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，3，2，第2次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，4，3，5，2．設(shè)數(shù)列a，b，c經(jīng)過第n次“和擴(kuò)充”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為Pn，所有項(xiàng)的和記為S(1)求P1(2)若Pn≥2024，求(3)是否存在實(shí)數(shù)a,b,c，使得數(shù)列{Sn}一、單選題1．已知正項(xiàng)等比數(shù)列an，a2-a1=1，當(dāng)A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=22.在遞增的等比數(shù)列an中，a1，a5是方程x2-34x+64=0A．4 B．12 C．24 D．12或243.在高層建筑中，為了優(yōu)化建筑結(jié)構(gòu)，減少風(fēng)荷載影響，設(shè)計(jì)師可能會將建筑設(shè)計(jì)成底面樓層高度比較高，隨著樓層往上逐步按照等比數(shù)列遞減的“金字塔”形狀，已知某高層建筑共10層，第2層高度為43m，第n層高度記為anm，an是公比為32的等比數(shù)列，若第k層高度小于A．6 B．5 C．4 D．34.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，Sn+1A．32023-2 BC．32025-2 D5.已知等比數(shù)列an是遞減數(shù)列，且a3+a4A．12,1 B．13,1 C．6.設(shè)為Sn等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S1、S2、S4成等比數(shù)列，S2=2A．6 B．7 C．8 D．97.在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得新數(shù)列按照同樣的方法進(jìn)行構(gòu)造，可以不斷形成新的數(shù)列．現(xiàn)對數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；…依次構(gòu)造，記第n（n∈N*）次得到的數(shù)列的所有項(xiàng)之和為Tn，則TA．1095 B．3282 C．6294 D．98438.已知公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn，且a2=-16,a6=-1，記Tn的最大值為A．4 B．32 C．16 D．8二、多選題9．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為TA．a(chǎn)n+bn不可能為等比數(shù)列C．Snn是等差數(shù)列D．10.在數(shù)列an中，已知a1=3．當(dāng)n∈N*A．a(chǎn)2=3 B．a(chǎn)4-a3=2711.已知數(shù)列an，bn滿足an=bA．b3=4a1+2 BC．當(dāng)b1=0時(shí)，an是等差數(shù)列 D．當(dāng)b三、填空題12．公差大于零的等差數(shù)列an中，a5，7a3，a11成等比數(shù)列，若13.已知數(shù)列an滿足an+2=3an+1-2an，a114.已知某種細(xì)菌培養(yǎng)過程中，每小時(shí)1個(gè)正常細(xì)菌分裂成2個(gè)正常細(xì)菌和1個(gè)非正常細(xì)菌），1個(gè)非正常細(xì)菌分裂成2個(gè)非正常細(xì)菌.則1個(gè)正常細(xì)菌經(jīng)過8小時(shí)的培養(yǎng)，可分裂成的細(xì)菌的個(gè)數(shù)為（用數(shù)字作答）.四、解答題15．已知等比數(shù)列an的公比q>0，且a3+(1)求an(2)若數(shù)列bn滿足bn=λ?3n16.已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=3，且滿足a(1)求證：數(shù)列an(2)記bn=log2an-1，求數(shù)列117.已知公比大于1的等比數(shù)列an滿足a3=8，且a1、(1)求數(shù)列an(2)記bm為an在區(qū)間0,m（