第4講解三角形

第4講解三角形【復(fù)習目錄】一、余弦定理解三角形二、正弦定理解三角形三、三角形面積公式及其應(yīng)用四、化角為邊判斷三角形形狀五、化邊為角判斷三角形形狀六、判斷三角形解的個數(shù)七、正、余弦定理的實際應(yīng)用八、解三角形綜合小題九、邊角互化十、利用基本不等式求范圍問題十一、利用三角函數(shù)值域求范圍問題十二、正、余弦定理在幾何圖形中的計算【知識歸納】1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．【題型歸納】題型一、余弦定理解三角形1．（2223高二上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期末）在中，角、、對的邊分別為、、．若，，，則角等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由余弦定理代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由余弦定理可得，，故.故選：A.2．（2223高一下·遼寧鐵嶺·期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由余弦定理求解即可.【詳解】由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，∴.故選：C3．（2223高一下·山東青島·期末）記的三個內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求出的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】因為，，，由余弦定理可得，可得，由三角形的面積公式可得.故選：B.題型二、正弦定理解三角形4．（2223高一下·安徽宣城·期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】利用正弦定理求出，進而得出答案．【詳解】因為，，，所以由正弦定理得，得，因為，，所以，所以或，則或．故選：D．5．（2223高一下·廣東揭陽·期中）在中，內(nèi)角所對的邊分別是.已知，則的大小為（

）A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解．【詳解】，，，則由正弦定理可得，，，，，的大小為或．故選：C．6．（2223高一下·江蘇淮安·期中）在中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，，，則的面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦和角公式求出，再用正弦定理得到，進而運用三角形面積公式計算面積.【詳解】由題意得，，在中，由正弦定理得，，所以，又因為所以的面積為.故選：B題型三、三角形面積公式及其應(yīng)用7．（2324高一下·江蘇常州·期中）在中，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】先利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】在中，若，，，由余弦定理得，即，解得（舍去），所以.故選：A.8．（2223高一下·河南南陽·期末）已知△ABC中，，且△ABC的面積為，則△ABC的邊AB上的中線長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意利用正弦定理可得，結(jié)合面積公式可得，再根據(jù)向量可知，結(jié)合數(shù)量積的運算律求模長.【詳解】由正弦定理可得：，設(shè)，由面積公式，即，解得，則，設(shè)邊AB上的中線為，則，可得，即.故選：B.9．（2223高一下·山東菏澤·期末）在中，內(nèi)角對邊分別為，且，當時，的面積是（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)求得角，從而利用三角形面積公式即可得解.【詳解】因為，由正弦定理得，又，則，所以，又顯然，即，所以，又，所以，所以的面積為.故選：B.題型四、化角為邊判斷三角形形狀10．（2324高一下·福建泉州·期中）已知的內(nèi)角的對邊分別是，若，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】由同角的三角函數(shù)關(guān)系求出，根據(jù)正弦定理求得，（R為外接圓半徑），再根據(jù)正弦定理邊化角，即可求得答案.【詳解】因為，所以，在中，由正弦定理（R為外接圓半徑），則.故選：D.11．（2223高一下·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則一定是（

）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用正弦定理的邊角關(guān)系，將已知條件化為，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)確定關(guān)系，即可得三角形形狀.【詳解】由題設(shè)，則，又，則，故，即.所以一定是等腰三角形.故選：A12．（2223高一下·安徽亳州·期末）在，其內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理邊角互化得，進而移項整理得，再結(jié)合得或，進而得答案．【詳解】因為，根據(jù)正弦定理邊角互化得，所以，所以，所以，即，所以或，所以或，即的形狀是等腰或直角三角形．故選：D題型五：化邊為角判斷三角形形狀13．（2223高一下·天津·期末）已知中，角所對的邊分別是，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】將化簡并結(jié)合余弦定理可得的值，再對結(jié)合正、余弦定理化簡可得邊長關(guān)系，進行判定三角形形狀.【詳解】由，得，整理得，則，因為，所以，又由及正弦定理得：，化簡得，所以為等邊三角形，故選：C.14．（2223高一下·四川涼山·期末）中，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用正余弦定理邊角化及兩角和的正弦公式，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理和三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)的特殊角即可求解.【詳解】由及正余弦定理，得，化簡得，將代入，得，即，由及正弦定理，得,因為,所以，所以，即，所以，故是等邊三角形.故選：B.15．（2223高一下·江蘇宿遷·期末）在中，角所對的邊分別為．若，則為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理角化邊，然后因式分解可得.【詳解】由余弦定理可得：，即，整理得：，得或，所以為等腰或直角三角形.故選：D題型六、判斷三角形解的個數(shù)16．（2223高一下·浙江臺州·期末）在中角所對的邊分別為，若，，，則（

）A．當時， B．當時，有兩個解C．當時，只有一個解 D．對一切，都有解【答案】C【分析】由正弦定理、正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，，，所以由正弦定理，即，當時，又，所以或，故A錯誤；當時，又，此時無解，故B、D錯誤；當時，則，又，此時只有一解，即只有一個解，故C正確；故選：C17．（2122高一下·福建莆田·期末）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角和可判斷A項，由三角形中大邊對大角可判斷B項，由正弦定理解三角形可判斷C項，由余弦定理解三角形可判斷D項.【詳解】對于A項，由，，可得，所以三角形只有一解；對于B項，由，，，可得，所以，此時三角形有唯一的解；對于C項，由正弦定理，可得，可得B有兩解，所以三角形有兩解；對于D項，由余弦定理得，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．故選：C．18．（2122高一下·河南開封·期末）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，，若滿足條件的三角形有1個，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由正弦定理得，再結(jié)合滿足條件的三角形有1個得或，即可求解.【詳解】由正弦定理得，則，又滿足條件的三角形有1個，則或，解得或.故選：B.題型七、正、余弦定理的實際應(yīng)用19．（2324高一下·江蘇無錫·期中）如圖，為了測量某鐵塔的高度，測量人員選取了與該塔底B在同一平面內(nèi)的兩個觀測點C與D，現(xiàn)測得，，米，在點C處測得塔頂A的仰角為，則該鐵塔的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，）

A．40米 B．14米C．48米 D．52米【答案】C【分析】在中利用正弦定理求，再在中求.【詳解】在中，由題意可得，則，，由正弦定理可得，在中，可得，所以該鐵塔的高度約為48米.故選：C.20．（2023·山西·模擬預(yù)測）中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（

）

A．74m B．60m C．52m D．91m【答案】A【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，從而得到的長度.【詳解】在中，，，，在中，，由，，在中，.故選：A21．（2223高一下·遼寧鞍山·期末）如圖，小明想測量自己家所在樓對面的電視塔的高度，他在自己家陽臺M處，M到樓地面底部點N的距離為，假設(shè)電視塔底部為E點，塔頂為F點，在自己家所在的樓與電視塔之間選一點P，且E，N，P三點共處同一水平線，在P處測得陽臺M處、電視塔頂處的仰角分別是和，在陽臺M處測得電視塔頂F處的仰角，假設(shè)，和點P在同一平面內(nèi)，則小明測得的電視塔的高為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，在中利用正弦定理可求，進而在中求得結(jié)果.【詳解】在中，，在中，，，則，由正弦定理，可得，在中，(m).故選：A.題型八、解三角形綜合小題22．（2324高一下·江蘇南通·期中）在中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合三角恒等變換公式得到，從而，再由正弦定理將邊化角，轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)，由的范圍計算可得.【詳解】因為，則由正弦定理得，又，所以，則，又，，則所以或，即或（舍去），則，所以，解得，則，所以，所以的取值范圍是．故選：D．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是利用正弦定理將邊化角，得到、，最后將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù).23．（2223高一下·貴州安順·期末）銳角中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，為的面積，且，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義以及三角形的面積公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值，根據(jù)為銳角三角形求出角的取值范圍，在利用正弦定理結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】因為，即，即，因為為銳角三角形，則，所以，，則，因為，由正弦定理可得，由已知可得，解得，則，因此，.故選：B.24．（2223高一下·福建龍巖·期末）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，，則周長的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出，可得，由正弦定理得的周長為，再求出，進而可得答案.【詳解】因為所以，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，由正弦定理得∴，，所以的周長為∵，∴的周長為，故選：B.題型九、邊角互化25．（2324高一下·上?！て谥校┑膬?nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．若，則=.【答案】/【分析】由正弦定理化角為邊，得，再由余弦定理化邊為角即可求解.【詳解】由結(jié)合正弦定理得，則，即，由余弦定理有，而，所以.故答案為：.26．（2223高一下·重慶渝中·期末）設(shè)中角所對的邊分別為，，，為邊上的中線；已知且，．則．【答案】/【分析】根據(jù)題意利用正、余弦定理分析可得，由結(jié)合數(shù)量積相關(guān)運算整理得關(guān)于的方程，運算求解即可.【詳解】因為，且，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，整理得，又因為D為中點，所以，設(shè)的夾角為θ，則，即，且，因為，則為銳角，可知，可得，解得或（舍去）所以，整理得，解得或，且，即，所以，所以.故答案為：.

【點睛】關(guān)鍵點睛：對于等分點問題，常利用向量的線性運算以及數(shù)量積建立關(guān)系，運算求解即可.27．（2122高一下·遼寧沈陽·期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，S表示的面積，若，，則.【答案】/【分析】根據(jù)由正弦定理化邊為角化簡可得，再利用三角形面積公式和余弦定理化簡可得，即可求出.【詳解】因為，由正弦定理可得，即，即，因為，所以，因為，所以，因為，即，因為，所以，所以.故答案為：.題型十、利用基本不等式求范圍問題28．（2324高一下·廣東·期末）已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，滿足．(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求的周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）邊化角，將變形為的形式，進而求得，可得；（2）法一，應(yīng)用正弦定理將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合為銳角三角形，求得，即可得解；法二，由為銳角三角形，采用余弦定理得到，求出，求得，即可得解.【詳解】（1）已知，由正弦定理得：，，得，又，即，即，又因為，所以，且，所以，即．（2）法一：由正弦定理得：，即，且，，即．而由為銳角三角形，，，得，所以，即．所以，且，所以的周長的取值范圍為．法二：由，不妨設(shè)，則，由為銳角三角形，只需，由余弦定理得：，即．又．（*）所以，得：，解得．由（*）式得：，所以，且，所以的周長的取值范圍為．29．（2223高一下·安徽六安·期末）從條件①；②中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.在中：內(nèi)角的對邊分別為，______.(1)求角的大小；(2)設(shè)為邊的中點，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，利用正弦定理邊化角，結(jié)合輔助角公式可整理得到，由角的范圍可求得；若選②，利用二倍角和輔助角公式可化簡求得，由角的范圍可求得；（2）由，平方后可用表示出，結(jié)合基本不等式可求得最大值.【詳解】（1）若選條件①：由正弦定理得：，，，，，即，，又，，，解得：；若選條件②：，，，，，，解得：.（2），，即，（當且僅當時取等號），的最大值為.30．（2223高一下·甘肅酒泉·期末）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的值域；(2)設(shè)三角形中，內(nèi)角、、所對邊分別為、、，已知，且銳角滿足，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為，由可求出的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域；（2）由已知條件可得出，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得出的最大值，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可得出的取值范圍.【詳解】（1）解：，當時，，則，故，當時，函數(shù)的值域為.（2）解：因為，可得，因為，則，所以，，解得，因為，由余弦定理可得，可得，當且僅當時，等號成立，又因為，故，故的取值范圍是.題型十一、利用三角函數(shù)值域求范圍問題31．（2223高二下·湖南郴州·期末）在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，若滿足．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理邊角互化來處理；（2）利用正弦定理，將用角來表示，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性處理.【詳解】（1）由余弦定理，，整理可得，又，而，解得.（2）由正弦定理，，于是，，故.由是銳角三角形可知：，解得，則，根據(jù)正弦函數(shù)在上遞增，在上遞減，故在上的值域為，故32．（2223高一下·四川成都·期末）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期和對稱中心；(2)已知銳角的三個角的對邊分別為，若，求周長的最大值．【答案】(1)的最小正周期為，對稱中心為.(2)【分析】（1）化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的最小正周期公式和對稱中心可求出結(jié)果；（2）由，為銳角得，根據(jù)的范圍求出的最大值后可得周長的最大值.【詳解】（1）.的最小正周期為，令，，得，，所以的對稱中心為.（2）由，得，因為為銳角三角形，，所以，所以，.因為，，所以，同理得，所以，因為，且，所以，所以，所以當，即時，取得最大值為，從而取得最大值為.即周長的最大值為.33．（2223高一下·黑龍江牡丹江·期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B；(2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理，作邊化角處理，然后化簡可求解.（2）利用正弦定理，可得周長，化簡后，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得周長的范圍.【詳解】（1）因為，整理得，，，，，可得，，，，最后可得，（2），，周長，，，，周長的范圍為題型十二、正、余弦定理在幾何圖形中的計算34．（2324高一下·廣東佛山·期中）四邊形中，，記，，的角平分線與相交于點，且，.(1)求的大??；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化簡得到，再由，兩式相除求得，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用，求得，結(jié)合余弦定理，即可求解.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以，因為，兩式相除得，所以，又因為，可得，所以.（2）因為，所以，又因為平分，可得，因為，且，，所以，即，解得，在中，由余弦定理得，所以.35．（2223高一下·云南玉溪·期末）如圖，在梯形中，，，．

(1)求CD；(2)平面內(nèi)點P在直線CD的上方，且滿足，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，在與中分別利用余弦定理得到關(guān)于的方程，解得即可；（2）首先求出，即可得到，再利用基本不等式計算可得.【詳解】（1）∵，，∴，在中，記，由余弦定理得，在中，，由得，即，解得或，∵與梯形矛盾，舍去，又，∴，即．（2）由（1）知，故，，故，在中，，∵，（當且僅當時，等號成立）．∴，故當時，取得最大值．

36．（2223高一下·黑龍江哈爾濱·期末）已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，在①，②，③三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．

(1)選__________，求角B的大??；(2)如圖，作，設(shè)，使得四邊形滿足，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）選①，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，即可求得答案；選②，利用正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理化簡，即可求得答案；選③，利用三角形面積公式以及數(shù)量積的定義，化簡求值，即得答案.（2）解三角形求出的表達式，結(jié)合三角恒等變換，即可求得的表達式，結(jié)合角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】（1）選①，則，即，由于，故，而，故；選②，則，故，則，而，故；選③，則，即，即，故，又，故；（2）設(shè)，，則，在中，，則，在中，，則，因為，故，，則，即的取值范圍為.【專題強化】一、單選題37．（2324高一下·江蘇南通·期中）一艘船以32nmile/h的速度向正北方向航行．從A處看燈塔S位于船北偏東的方向上，30分鐘后船航行到B處，從B處看燈塔S位于船北偏東的方向上，則燈塔S與B之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定中的已知邊與角，利用正弦定理，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，，，由正弦定理得，，解得.故選：B.38．（2223高一下·甘肅臨夏·期末）已知的外接圓半徑為4，，，則的面積S為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理、面積公式、二倍角的正弦公式求解.【詳解】由，，解得，由正弦定理可得，，所以，，.故選：D39．（2223高一下·吉林·期末）在中，，，，的角平分線交BC于D，則（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦定理求得的長，再利用，即可求得答案.【詳解】在中,由余弦定理得,

則，即，解得，（負值舍），而AD平分，即，又，故，則，故選：B40．（2223高一下·陜西寶雞·期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，，，則（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理面積公式和余弦定理求解即可.【詳解】因為的面積為，，所以，即.所以，所以.故選：D.41．（2223高一下·福建福州·期末）瑞云塔位于福清市融城東南龍首橋頭，如圖，某同學為測量瑞云塔的高度MN，在瑞云塔的正東方向找到一座建筑物AB，高約為17.3m，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，瑞云塔頂部M的仰角分別為和，在A處測得瑞云塔頂部M的仰角為，瑞云塔的高度約為（

）

A．39m B．34.6m C．33m D．32m【答案】B【分析】由題意，由直角三角形的性質(zhì)，可得AC的大小，在△AMC中，由正弦定理可得MC的大小，進而在Rt△MNC中，求出MN的大?。驹斀狻吭赗t△ABC中，，由題意可得，由圖知，，所以，在△AMC中，由正弦定理可得：即，解得在Rt△MNC中，如圖可得故選：B．42．（2223高一下·寧夏銀川·期末）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，則角A的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合正、余弦定理求出即可得解.【詳解】在中，由正弦定理進行角換邊得，再由余弦定理得，而，所以.故選：D.43．（2223高一下·廣西南寧·期末）△ABD、△BCE、△CAF是3個全等的三角形，用這3個三角形拼成如圖所示的2個等邊三角形△ABC、△DEF，若，.，則DF＝（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)正三角形面積公式可得，再根據(jù)正余弦定理分別計算即可.【詳解】由題意，等邊中，解得.等邊，故，則.又為銳角，故，由正弦定理，即，解得，由全等可得.由余弦定理有即，即，故.故.故選：C44．（2223高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知的內(nèi)角，，的邊分別對應(yīng)，，，若，為中點，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理將邊化角，再由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式求出，再由余弦定理求出，即可得到，最后由勾股定理計算即可．【詳解】中，，由正弦定理可得：，又在三角形中，，所以，可得，由，，則，即，則有，為中點，若，，則，，中，，，由余弦定理，整理得，解得，則，，如圖所示，

所以在中，，則.故選：B二、多選題45．（2223高一下·甘肅臨夏·期末）在中，，，，D為線段上的點，則下列說法正確的是（

）A．B．若D為的中點，則C．若為的平分線，則D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，可判定A正確；結(jié)合，結(jié)合模的計算公式，可判定B錯誤；在和中，利用正弦定理，可判定C正確；根據(jù)三角形的面積公式，求得的長，結(jié)合三角函數(shù)的定義，可判定D錯誤.【詳解】在中，因為，且D為線段上的點，對于A中，由，且，所以，所以A正確；對于B中，由D為的中點，可得，則，所以，所以B錯誤；對于C中，由為的平分線，可得且，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，兩式相除，可得，所以C正確；

對于D中，在中，由余弦定理得即，所以，又由三角形的面積公式，可得，解得，可得，所以，所以D錯誤.故選：AC.

46．（2223高一下·遼寧鞍山·期末）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，下列敘述正確的是（

）A．若，，，則滿足條件的三角形有且只有一個B．若，則為鈍角三角形C．若不是直角三角形，則D．若，則為等腰三角形【答案】ABC【分析】A選項，根據(jù)得到滿足條件的三角形只有一個；B選項，由正弦定理和余弦定理得到，B正確；C選項，利用化簡得到答案；D選項，變形得到，由余弦定理和倍角公式得到，從而得到或.【詳解】對于A，由，則，又，知滿足條件的三角形只有一個，故A正確；對于B，，即，A為鈍角，故B正確；對于C，因為不是直角三角形，所以均有意義，又，所以，所以，故C正確；對于D，，即，由正余弦定理可得，則，所以或，故D錯誤.故選：ABC.47．（2223高一下·遼寧沈陽·期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則該三角形周長的最大值為6C．若角A的平分線AD交BC于D，且AD＝2，則D．若的面積為2，a，b，c邊上的高分別為，且，則的最大值為【答案】BCD【分析】由商數(shù)關(guān)系、正弦定理、三角恒等變換化簡可得，可得的大小，即可判斷A；由正弦定理可得，則由三角恒等變換可化簡得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得周長的最值，即可判斷B；由三角形面積可得，結(jié)合基本不等式求最值可判斷C；根據(jù)面積公式及余弦定理結(jié)合基本不等式可得的范圍，從而可得的取值范圍，即可判斷D.【詳解】對于A，因為，由正弦定理可得，又因為，所以，化簡可得，又，可得，又，故，即選項A錯誤；對于B，若，又，由正弦定理得，所以，則因為，所以，所以則的最大值為，故B正確；對于C，

因為若是的角平分線，且，故，而，所以，得，所以，則當且僅當，即時，等號成立所以，故C正確；對于D，由題意可得，所以，則，又因為，所以由余弦定理得，當且僅當時等號成立所以，所以，故D正確.故選：BCD.48．（2223高一下·安徽宣城·期末）已知的內(nèi)角A，B，C所的對邊分別為a，b，c，其中，，，下列四個命題中正確的是（

）A．是鈍角三角形 B．面積為C．外接圓面積為 D．若D為AB中點，則【答案】ABD【分析】對于A，由已知可知最大，所以利用余弦定理求出進行判斷，對于B，由求出，然后利用面積公式求解，對于C，利用正弦定理求出三角形外接圓的半徑，從而可求出三角形的面積，對于D，在中利用余弦定理求解.【詳解】對于A，因為，，，所以，所以，因為，所以角為鈍角，所以是鈍角三角形，所以A正確，對于B，由選項A可知，角為鈍角，所以，所以面積為，所以B正確，對于C，由正弦定理得，所以外接圓半徑為，所以外接圓面積為，所以C錯誤，對于D，因為D為AB中點，所以，在中，由余弦定理得，，所以，所以D正確，故選：ABD49．（2223高一下·貴州黔東南·期末）已知的內(nèi)角所對的分別是，且，是外一點，若，，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則四點共圓C．是等邊三角形D．四邊形面積的最大值為【答案】CD【分析】利用三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求，再利用，可知是等邊三角形，從而判斷A、C；利用四點共圓，四邊形對角互補，從而判斷B；由余弦定理可得，利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換可求四邊形的面積，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值，判斷D.【詳解】因為，由正弦定理得，即，因為，所以，又，且，所以．所以是等邊三角形，故C正確，由于無法得到的值，故無法判斷A；對于B：

若，則，在中，由余弦定理得，則，即，所以，，，四點不共圓，故B錯誤；對于D：設(shè)，，由余弦定理得，所以四邊形面積即，因為，所以，所以當，即時，取得最大值，故D正確；故選：CD.三、填空題50．（2223高一下·黑龍江牡丹江·期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，，，則.【答案】【分析】根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理進行求解即可.【詳解】因為的面積為，所以，于是有，由余弦定理可知：，故答案為：51．（2223高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）在銳角中，角的對邊分別為，且滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．=【答案】【分析】首先根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角恒等變換求得，再將不等式參變分離為恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，即可求解.【詳解】由正弦定理邊角互化可知，，則，得，所以，因為，，，所以，則，所以不等式恒成立，即恒成立，則因為，，因為三角形為銳角三角形，所以，解得：，則，設(shè)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以函數(shù)的值域為，即，則，所以，得.故答案為：52．（2223高一下·河南安陽·期末）某同學為了測量學校天文臺的高度，選擇學校宿舍樓三樓一陽臺，到地面的距離為，在它們之間的地面上的點(、、三點共線)處測得陽臺，天文臺頂?shù)难鼋欠謩e是和，在用臺處測得天文臺頂?shù)难鼋菫?，假設(shè)、和點在同一平面內(nèi)，則學校天文臺的高度為.

【答案】【分析】由已知可得，求出、的大小，利用正弦定理求出，然后在可求出的長.【詳解】在中，，在中，，，，由正弦定理得，故，在中，，故學校天文臺的高度為.故答案為：.53．（2223高一下·黑龍江大慶·期末）已知內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的最大值是．【答案】【分析】首先利用正弦定理邊角互化，得，再結(jié)合余弦定理，將表示為三角函數(shù)，即可求函數(shù)的最值.【詳解】由題意可知，，即，由余弦定理可知，,所以，即，其中，所以的最大值為.故答案為：54．（2223高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）在銳角中，內(nèi)角，，的邊分別對應(yīng)，，，若，則的取值范圍是.【答案】【分析】先對邊角互換化簡，得到，再銳角中，找到，再化簡即可求解.【詳解】因為，由正弦定理得，，，化簡得，在中，則，則,所以銳角中，，，故答案為：.四、解答題55．（2223高一下·重慶沙坪壩·期末）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)若D為延長線上一點，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知，由正弦定理邊化角，再利用兩角和的正弦公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化簡，得，可求；（2）在中，由正弦定理有，在中，由正弦定理有，得，由角的范圍求的取值范圍.【詳解】（1）角A，B，C是的內(nèi)角，故．在銳角中，，由正弦定理得，，即，所以，即，故，又，所以.（2）在中，，由正弦定理有，則，在中，由正弦定理有，即，則，所以，，故.因為為銳角三角形，，所以，解得，，所以，所以，從而．故的取值范圍為．56．（2223高一