浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2026屆高二數(shù)學(xué)秋季月考卷第一期考試范圍：大部分學(xué)校已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容：考試時(shí)間：120分鐘：滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答題前填寫(xiě)好自已的姓名?班級(jí)?考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上第I卷（選擇題）一?單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知向量，則（）A.B.C.D.2.已知直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1B.C.D.3.已知是實(shí)常數(shù)，若方程表示的曲線是圓，則的取值范圍為（）A.B.C.D.4.設(shè)為兩條直線，為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）A.若與所成的角相等，則B.若，則C.若，則D.若，是5.直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則等于（）A.0B.C.或0D.或06.過(guò)點(diǎn)作直線，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且均為正整數(shù)，則這樣的直線可以作出（）A.1條B.2條C.3條D.無(wú)數(shù)條7.已知長(zhǎng)方體中，，若棱上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（）A.B.C.D.8.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.13B.11C.9D.8二?多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.三條直線構(gòu)成三角形，則的值不能為（）A.1B.2C.D.10.正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A.直線與直線所成角為B.直線與平面所成角為C.二面角的大小為D.平面平面11.已知圓，直線為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則（）A.四邊形面積的最小值為4B.四邊形面積的最大值為8C.當(dāng)最大時(shí)，D.當(dāng)最大時(shí)，直線的方程為第II卷（非選擇題）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，則直線與之間的距離最大值為_(kāi)_________.13.已知三棱錐中，，且平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_________.14.若點(diǎn)滿足，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則對(duì)定點(diǎn)而言，的最小值為_(kāi)_________.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知直線與直線的交點(diǎn)為.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，求直線的方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)且與軸正半軸交于兩點(diǎn)，的面積為4，求直線的方程.16.某同學(xué)在勞動(dòng)實(shí)踐課上制作了一個(gè)如圖所示的容器，其上半部分是一個(gè)正四棱錐，下半部分是一個(gè)長(zhǎng)方體，已知正四棱錐的高是長(zhǎng)方體高的，且底面正方形的邊長(zhǎng)為.（1）求的長(zhǎng)及該長(zhǎng)方體的外接球的體積；（2）求正四棱錐的斜高和體積.17.已知：圓過(guò)點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，直線與圓交于兩點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）求的最小值.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；（2）設(shè)為直線上的點(diǎn)，滿足：過(guò)點(diǎn)的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等.試求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).19.如圖，已知直三棱柱中，且，分別為的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn).（1）求與平面所成角的正切值；（2）證明：；（3）求銳二面角的余弦值的最大值.2026屆高二數(shù)學(xué)秋季月考卷第一期參考答案與試題解析一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【分析】直接利用平面向量的數(shù)乘及坐標(biāo)減法運(yùn)算得答案.【解答】解：由，得：故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)乘及坐標(biāo)減法運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.2.【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解.【解答】解：直線，則，解得.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3.【分析】結(jié)合二元二次方程表示圓的條件即可建立關(guān)于的不等式，可求.【解答】解：由表示的曲線是圓可得，故.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元二次方程表示圓的條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.4.【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)，A?用直線的位置關(guān)系判斷.B?用長(zhǎng)方體中的線線，線面，面面關(guān)系驗(yàn)證.C?用長(zhǎng)方體中的線線，線面，面面關(guān)系驗(yàn)證.D?由，可得到或，再由得到結(jié)論.【解答】解：A?直線的方向相同時(shí)才平行，不正確；B?用長(zhǎng)方體驗(yàn)證.如圖，設(shè)為，平面為為，平面為，顯然有，但得不到，不正確；C?可設(shè)為，平面為為，平面為，滿足選項(xiàng)的條件卻得不到，不正確；D?，或又故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間內(nèi)兩直線，直線與平面，平面與平面間的位置關(guān)系，綜合性強(qiáng)，方法靈活，屬中檔題.5.【分析】求出圓的圓心與半徑，求出弦心距，再利用弦長(zhǎng)公式求得的值.【解答】解：圓的圓心為，半徑為2，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為，求得或0，故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.【分析】由題意可設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)代入直線方程，可得，檢驗(yàn)時(shí)的情況，當(dāng)時(shí)，根據(jù)求的值，即可得出答案.【解答】解：直線過(guò)點(diǎn)和，則設(shè)直線的方程為，直線過(guò)點(diǎn)，，即，又，當(dāng)時(shí)，無(wú)解，此時(shí)，直線和軸垂直，和軸無(wú)交點(diǎn)，直線不過(guò)，故時(shí)不滿足條件；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由①知，滿足條件的正整數(shù)不存在，綜上所述，滿足條件的直線由2條，故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程和直線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，考查待定系數(shù)法，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.7.【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出，利用求出的范圍.【解答】解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，，即，當(dāng)時(shí)，.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題.8.【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，再根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的性質(zhì)求解即可.【解答】解：圓的圓心為，半徑為4，圓的圓心為，半徑為1，如圖所示，則，所以，故求的最小值可轉(zhuǎn)化為求的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)坐標(biāo)為，則，解得，故，因?yàn)椋傻?，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，屬中檔題.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.【分析】若三條直線能構(gòu)成三角形，則直線與都不平行，且不經(jīng)過(guò)直線與的交點(diǎn).【解答】解：聯(lián)立，解得，解直線與的交點(diǎn)為.顯然不在直線上.故若三條直線能構(gòu)成三角形，則直線與都不平行，即.故選：AC.【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩直線平行的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.【分析】利用異面直線所成角的定義找到對(duì)應(yīng)的角，求解即可判斷選項(xiàng)A；利用線面角的定義找到其對(duì)應(yīng)的角，求解即可判斷選項(xiàng)B；找到二面角的平面角，然后求解即可判斷選項(xiàng)C；利用二面角的平面角的定義求出兩個(gè)平面的二面角，即可判斷選項(xiàng)D.【解答】解：對(duì)于A，連結(jié)，因?yàn)?，故直線與直線所成角即為直線與直線所成角，因?yàn)闉檎切?，所以該角為，故選項(xiàng)A正確對(duì)于B，因?yàn)槠矫妫灾本€與平面所成角為，在中，，所以直線與平面所成角為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在正方體中可得，，故二面角的平面角為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，設(shè)，連結(jié)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，又為的中點(diǎn)，所以，則為二面角的平面角，在等邊和等邊三角形中，，在中，，所以不是直角，平面與平面不垂直，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間角的求解，考查的知識(shí)點(diǎn)有：正方體的幾何性質(zhì)，異面直線所成角的定義，線面角的定義，二面角的平面角的定義，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題.11.【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可求解.【解答】解：由圓的幾何性質(zhì)可得，圓心，對(duì)于A，由，可得，四邊形的面積，，當(dāng)時(shí)，取最小值，，四邊形面積的最小值為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)闊o(wú)最大值，即無(wú)最大值，四邊形的面積，故四邊形面積無(wú)最大值，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，為銳角，，且，當(dāng)最小時(shí)，最大，此時(shí)最大，此時(shí)，故正確；對(duì)于D，由上可知，當(dāng)最大時(shí)，，且，四邊形為正方形，且有，直線，則的方程為，聯(lián)立，可得點(diǎn)，由正方形的幾何性質(zhì)可知，直線過(guò)線段的中點(diǎn)，直線的方程為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【分析】分別求出直線過(guò)的定點(diǎn)，當(dāng)與兩直線垂直時(shí)距離最大，且最大值為，由此即可求解.【解答】解：直線化簡(jiǎn)為：，令且，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，直線化簡(jiǎn)為：，令且，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)與直線垂直時(shí)，直線的距離最大，且最大值為，故答案為：5.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線間的距離最大值的求解，涉及到直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.13.【分析】先求出，然后由勾股定理確定為直角三角形，在利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，確定球心的位置，求解外接球的半徑，由球的表面積公式求解即可.【解答】解：在中，由余弦定理可得，，所以，則，所以為直角三角形，，又平面平面，平面平面，所以平面，設(shè)的外接圓的圓心為，半徑為，則，所以，因?yàn)槿忮F的外接球的球心在過(guò)點(diǎn)的平面的垂線上，如圖所示，因?yàn)槠矫?，所以幾何體的外接球的球心到平面的距離為，即，該幾何體的外接球的半徑為，在，則，所以外接球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的外接球問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置，三棱錐的外接球的球心在過(guò)各面外心且與此面垂直的直線上，由此結(jié)論可以找到外接球的球心，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題.14.【分析】利用對(duì)稱對(duì)稱性，求得軌跡方程，將，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得，的最小值.【解答】解：如圖所示：設(shè)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為，有題意可知，解得，由在直線，代入整理得，所以，若點(diǎn)滿足，點(diǎn)在圓內(nèi)或圓上，則所以最小值為圓的圓心到直線的距離減去半徑，所以，所以，的最小值，故答案為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法，考查對(duì)稱性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.【分析】（1）由直線聯(lián)立可得交點(diǎn)，由直線與的距離相等可知，或過(guò)的中點(diǎn).（2）方法一：由題可知，直線的斜率存在，且.則直線的方程為.分別求出直線的截距，即可得出.方法二：由題可知，直線的橫?縱截距存在，且，則，又過(guò)點(diǎn)的面積為4，可得，解出即可得出.【解答】解：（1）由的交點(diǎn)為，由直線與的距離相等可知，或過(guò)的中點(diǎn)，由得的方程為，即，由過(guò)的中點(diǎn)得的方程為，故或?yàn)樗?（2）方法一：由題可知，直線的斜率存在，且.則直線的方程為.令，得，令，得，，解得，故的方程為.方法二：由題可知，直線的橫?縱截距存在，且，則，又過(guò)點(diǎn)的面積為，解得，故方程為，即.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相互平行的直線斜率之間的關(guān)系?中點(diǎn)坐標(biāo)公式?直線的截距式?三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.16.【分析】（1）由題意首先求得體對(duì)角線的長(zhǎng)度，然后求得外接球的半徑即可確定其體積；（2）作出輔助線，確定棱錐的高，然后結(jié)合幾何體的特征即可求得棱錐的斜高和體積.【解答】解：（1）幾何體為長(zhǎng)方體且，，記長(zhǎng)方體外接球的半徑為，線段就是其外接球直徑，則，長(zhǎng)方體外接球的體積為.（2）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接為正四棱椎，為正四棱錐的高，又長(zhǎng)方體的高為，取的中點(diǎn)，連接，則為正四棱錐的斜高，在中，，，，，故正四棱錐的斜高為，體積為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何體的外接球問(wèn)題，錐體的體積公式，錐體的空間結(jié)構(gòu)特征等知識(shí)，屬于中等題.17.【分析】（1）易得圓心在直線上，根據(jù)列出方程可求得坐標(biāo)，進(jìn)而可得圓方程；（2）聯(lián)立圓與直線，解出坐標(biāo)，表示出，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【解答】解：（1）易得在直線上，不妨設(shè)，因?yàn)?，即，解得，故，半徑，則圓的方程為：；（2）聯(lián)立，解得，即，設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，取最小值13.【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，方程思想，屬于中檔題.18.【分析】（1）分類討論，設(shè)方程，利用直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，建立方程求出斜率，即可求出直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程分別為：，即，利用直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，可得，化簡(jiǎn)利用關(guān)于的方程有無(wú)窮多解，即可得出結(jié)論.【解答】解：（1）設(shè)直線的方程為：，即圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得，求得由于直線與圓相切.所以直線的方程為：或，即或（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程分別為：，即因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，兩圓半徑相等，所以圓心到直線與圓心直線的距離相等.故有，化簡(jiǎn)得，或關(guān)于的方程有無(wú)窮多解，有所以點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)滿足題目條件.【點(diǎn)評(píng)】本題是中檔題，考查直線與圓的位置關(guān)系，對(duì)稱的知識(shí)，注意方程無(wú)數(shù)解的條件，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想，?？碱}型.19.【分析】（1）由線面夾角的定義結(jié)合圖形線面關(guān)系即可得與平面所成角的正切值.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可證明.（3）根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算分別求解平面與平面的法向量，由二面角的夾角余弦公式結(jié)合函數(shù)關(guān)系即可得最值.【解答】解：（