2024年高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編

1一、單選題A．p和q都是真命題B．p和q都是真命題C．p和q都是真命題D．p和q都是真命題A．必要而不充分條件B．充分而不必要條件C．充分且必要條件D．既不充分也不必要條件92024·天津）設(shè)a,b∈R，則“a3=b3”是“3a=3b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件2C．充要條件D．既不充分也不必要條件二、填空題3參考答案：【分析】化簡(jiǎn)集合A，由交集的概念即可得解.故選：A.【分析】對(duì)于兩個(gè)命題而言，可分別取x=一1、x=1，再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.x+1【解析】對(duì)于p而言，取x=一x+1=0<1，故p是假命題，p是真命題，對(duì)于q而言，取x=1，則有x3=13=1=x，故q是真命題，q是假命題，綜上，p和q都是真命題.故選：B.【分析】根據(jù)集合B的定義先算出具體含有的元素，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.【解析】依題意得，對(duì)于集合B中的元素x，滿足x+1=1,2,3,4,5,9，故選：A【分析】由集合B的定義求出B，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.故選：D【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.所以x.(x+1)+2x=0，解得x=0或一3，即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；4故選：C.【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.故選：A.析判斷..22，即a..若..故選：A.【分析】根據(jù)集合交集的概念直接求解即可.故選：B5【分析】說(shuō)明二者與同一個(gè)命題等價(jià)，再得到二者等價(jià)，即是充分必要條件.【解析】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，a3=b3和3a=3b都當(dāng)且僅當(dāng)a=b，所以二者互為充要條件.故選：C.【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義可求A.6一、單選題12024·全國(guó)1卷）已知函數(shù)為f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且當(dāng)x<3時(shí)f(x)=x，則下列結(jié)論中一定正確的是()A．f(10)>100B．f(20)>1000C．f(10)<1000D．f(20)22024·全國(guó)1卷）已知函數(shù)為上單調(diào)遞增，則a取值的A．p和q都是真命題B．p和q都是真命題C．p和q都是真命題D．p和q都是真命題42024·全國(guó)2卷）設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，則a2+b2的最小值為()52024·全國(guó)甲卷文）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件，則z=x-5y的最小值為272024·北京）記水的質(zhì)量為，并且d越大，水質(zhì)量越好．若S不變，且d1=2.1，d2=2.2，則n1與n2的關(guān)系為2782024·北京）已知(x1,y1)，(x2,y2)是函數(shù)y=2x圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列正確的是()A．log2B．log2292024·天津）若a=4.2一0.3二、填空題三、解答題(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a≤2時(shí)，證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<ex一1恒成立.(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的極值；(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.8參考答案：【分析】代入得到f(1)=1,f(2)=2，再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.【解析】因?yàn)楫?dāng)x<3時(shí)f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，又因?yàn)閒(x)>f(x一1)+f(x一2)，則f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，則依次下去可知f(20)>1000，則B正確；且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用f(1)=1,f(2)=2，再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)f(x)>f(x一1)+f(x一2)，代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【解析】因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，且x≥0時(shí)，f(x)=ex+ln(x+1)單調(diào)遞增，0故選：B.【分析】對(duì)于兩個(gè)命題而言，可分別取x=一1、x=1，再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.x+1【解析】對(duì)于p而言，取x=一x+1=0<1，故p是假命題，p是真命題，對(duì)于q而言，取x=1，則有x3=13=1=x，故q是真命題，q是假命題，綜上，p和q都是真命題.9故選：B.系，結(jié)合符號(hào)分析判斷，即可得b=a+1，代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析ln(x+b)的符號(hào)，進(jìn)而可得x+a的符號(hào)，即可得b=a+1，代入可得最值.【解析】解法一：由題意可知：f(x)的定義域?yàn)?一b,+∞)，此時(shí)f(x)<0，不合題意；此時(shí)f(x)<0，不合題意；此時(shí)f(x)<0，不合題意；2所以a2+b2的最小值為；解法二：由題意可知：f(x)的定義域?yàn)?一b,+∞)，222當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以a2+b2的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求x+a=0、ln(x+b)=0的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較大小分類(lèi)討論，結(jié)合符號(hào)性分析判斷.【分析】畫(huà)出可行域后，利用z的幾何意義計(jì)算即可得.【解析】實(shí)數(shù)x,y滿足{x一2y一2【解析】實(shí)數(shù)x,y滿足{x一2y一2≤0，作出可行域如圖：由z=x5y可得y=x，則該直線截距取最大值時(shí)，z有最小值，此時(shí)直線x一z過(guò)點(diǎn)A，聯(lián)立解得即故選：D.【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.故選：A.【分析】根據(jù)題意分析可得，討論S與1的大小關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.S-1S-1S-1SS-1S-1S-1S-1結(jié)合選項(xiàng)可知C正確，ABD錯(cuò)誤；故選：C.【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.【解析】由題意不妨設(shè)x1<x2，因?yàn)楹瘮?shù)y=2x是增函數(shù)，所以0<2x<2x，即0<y1<y2，xx根據(jù)函數(shù)y=log2x是增函數(shù)，所以log2>log222=，故A正確，B錯(cuò)誤；xx對(duì)于選項(xiàng)D：例如x1=-1,x2=-2，則y1=,y2=2，故D錯(cuò)誤，故選：A.【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.【解析】因?yàn)閥=4.2x在R上遞增，且-0.3<0<0.3，因?yàn)閥=log4.2x在(0,+∞)上遞增，且0<0.故選：B【分析】求出方程x2一2x一3=0的解后可求不等式的解集.11．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類(lèi)討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)x>1時(shí)，ex一1一2x+1+lnx>0即可.【解析】（1）f(x)定義域?yàn)楫?dāng)a≤0時(shí)，f,<0，故f在上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，x∈時(shí)，f,>0，f單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f,<0，f單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；a>0時(shí)，f在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.x12+，再令h，則h,=ex1顯然h,(x)在(1,+∞)上遞增，則h,(x)>h,(1)即g,(x)=h(x)在(1,+∞)上遞增，故g,(x)>g,(1)=e0-2+1=0，即g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，故g(x)>g(1)=e0-2+1+ln1=0，問(wèn)題得證12．(1)極小值為0，無(wú)極大值.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)可求函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就a≤-<a<0、a≥0分類(lèi)討論后可得參數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x，故f,(x)=2ln(1+x)+-1=2ln(1+x)-+1，故f,(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù)，而f,(0)=0，故當(dāng)-1<x<0時(shí)，f,(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，f,(x)>0，故f(x)在x=0處取極小值且極小值為f(0)=0，無(wú)極大值.當(dāng)a≤-時(shí)，s,(x)>0，故s所以f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù)，故f(x)≥f(0)=0.故s(x)在(|(0,-),上為減函數(shù)，故在(|(0,-),上s(x)<s即在<0即f為減函數(shù)，故在上f不合題意，舍.當(dāng)a≥0，此時(shí)s,(x)<0在(0,+∞)上恒成立，同理可得在(0,+∞)上f(x)<f(0)=0恒成立，不合題意，舍；【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時(shí)還需要對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符號(hào)特征，處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)注意利用范圍端點(diǎn)的性質(zhì)來(lái)確定如何分類(lèi).一、單選題A．-1-iB．-1+iC．1-i32024·全國(guó)）已知z=-1-i，則z=() 52024·全國(guó)）設(shè)z=·2i，則z.z=()A．1-iB．-iC．-1-iD．1A．必要而不充分條件B．充分而不必要條件C．充分且必要條件D．既不充分也不必要條件二、填空題102024·天津）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(·i5+i).(v5-2i)=.112024·天津）在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE=DE，則λ+μ=為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為AF中點(diǎn)，132024·上海）已知虛數(shù)z，其實(shí)部為1，且z+則實(shí)數(shù)m為.參考答案：【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可求解.故選：C.【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求x的值.所以24.=0即4+x24x=0，故x=2，故選：D.【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.故選：C.2a22由此即可得解.2又因?yàn)閺亩蔬x：B.22【分析】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義寫(xiě)出z，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算. 故選：D【分析】結(jié)合共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算直接求解.故選：A【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【解析】對(duì)A，當(dāng)a丄b時(shí)，則a.所以x.(x+1)+2x=0，解得x=0或—3，即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；所以丄，即充分性成立，故C正確； 對(duì)B，當(dāng)a//b時(shí)，則2(x+1)=x2，解得x=1± 對(duì)D，當(dāng)x=1+·3時(shí)，不滿足2(x+1)=x2，所以a//b不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.故選：C.【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)乘法即可得到答案.故選：C.析判斷.)綜上所述，+)=0”是“≠且≠”的必要不充分條件.故選：A. 【分析】借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可得.. 11．-λ+μ,設(shè)F，求結(jié)合數(shù)量積可得,μ=1，所以λ+μ=由題意可知：BC=BA=1,BA.BC=(k-1,)=k-),2-，解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得因?yàn)閯t所以λ+μ=因?yàn)辄c(diǎn)F在線段BE:y=-3x,x∈上，設(shè)F且G為AF中點(diǎn)，則G可得且所以當(dāng)時(shí)，取到最小值為-；故答案為.【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【解析】://，:2k=5×6，解得k=15.故答案為：15.【分析】設(shè)z=1+bi，直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)分類(lèi)即可得到答案.故答案為：2.一、單選題12024·全國(guó)）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9=1，a3+a7=()22024·全國(guó)）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=S10，a5=1，則a1=()二、填空題32024·全國(guó)）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，則42024·北京）已知M={k|ak=bk}，an，bn不為常數(shù)列且各項(xiàng)均不相同，下列正確的①an，bn均為等差數(shù)列，則M中最多一個(gè)元素；②an，bn均為等比數(shù)列，則M中最多三個(gè)元素；③an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，則M中最多三個(gè)元素；④an單調(diào)遞增，bn單調(diào)遞減，則M中最多一個(gè)元素.若對(duì)任意正整數(shù)n集合In是閉區(qū)間，則q的取值范圍是.三、解答題62024·全國(guó)）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1,a2,...,a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)ai和aj(i<j)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1,a2,...,a4m+2是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列.(1)寫(xiě)出所有的(i,j)，1≤i<j≤6，使數(shù)列a1,a2,...,a6是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)m≥3時(shí)，證明：數(shù)列a1,a2,...,a4m+2是(2,13)-可分?jǐn)?shù)列；(3)從1,2,...,4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j(i<j)，記數(shù)列a1,a2,...,a4m+2是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm，證明：P照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)Pn(n=2,3,...)，過(guò)Pn-1作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn-1，令Pn為Qn-1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，記Pn的坐標(biāo)為(xn,yn).(1)若k=，求x2,y2；(2)證明：數(shù)列{xn-yn}是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)Sn為△PnPn+1Pn+2的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，Sn=Sn+1.82024·全國(guó)）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn=3an+1-3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式.92024·全國(guó)）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且4Sn=3an+4.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=(-1)n-1nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n.換T：將數(shù)列A的第i1,j1,s1,t1項(xiàng)加1，得到數(shù)列T1(A)；將數(shù)列T1(A)的第i2,j2,s2,t2列加1，得到數(shù)列T2T1(A)…；重復(fù)上述操作，得到數(shù)列Ts...T2T1(A)，記為Ω(A).寫(xiě)出一個(gè)符合條件的Ω;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若數(shù)列A的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且a1+a3+a5+a7為偶數(shù)，證明：“存在序列Ω,使得Ω(A)(1)求數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn；k=1，其中k是大于1的正整數(shù).參考答案：【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成a1和d來(lái)處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.【解析】方法一：利用等差數(shù)列的基本量故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a1+a9=a3+a7，由S9=1，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，故選：D方法三：特殊值法故選：D【分析】由S5=S10結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得a8=0，即可計(jì)算出公差，即可得a1的值.8故選：B.【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出a1,d，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【解析】因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，則由題意得解得故答案為：95.【分析】利用兩類(lèi)數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項(xiàng)公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【解析】對(duì)于①,因?yàn)閧an},{bn}均為等差數(shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故M中至多一個(gè)元素，故①正確.對(duì)于②,取an=2n-1,bn=-(-2)n-1,則{an},{bn}均為等比數(shù)列，但當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有an=2n-1=bn=-(-2)n-1，此時(shí)M中有無(wú)窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤.n若M中至少四個(gè)元素，則關(guān)于n的方程Aqn=kn+b至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，若q>0,q≠1，則由y=Aqn和y=kn+b的散點(diǎn)圖可得關(guān)于n的方程Aqn=kn+b至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；若q<0,q≠±1，考慮關(guān)于n的方程Aqn=kn+b奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，當(dāng)Aqn=kn+b有偶數(shù)解，此方程即為Aqn=kn+b，方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)Aklnq>0，否則Aklnq<0，因y=Aqn,y=kn+b單調(diào)性相反，方程Aqn=kn+b至多一個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)Aqn=kn+b有奇數(shù)解，此方程即為-Aqn=kn+b，方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)-Aklnq>0即Aklnq<0否則Aklnq>0，因y=-Aqn,y=kn+b單調(diào)性相反，方程Aqn=kn+b至多一個(gè)奇數(shù)解，因?yàn)锳klnq>0，Aklnq<0不可能同時(shí)成立，故Aqn=kn+b不可能有4個(gè)不同的正數(shù)解，故③正確.對(duì)于④,因?yàn)閧an}為單調(diào)遞增，{bn}為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點(diǎn)圖的特征來(lái)分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時(shí)，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時(shí)要注意合理轉(zhuǎn)化.【分析】當(dāng)n≥2時(shí)，不妨設(shè)x≥y，則x-y∈[0,a2-a1]u[an-a2,an+1-a1]u[0,an+1-an]，結(jié)合In為閉區(qū)間可得q-2≥-對(duì)任意的n≥2恒成立，故可求q的取值范圍.]，故x-y∈[a1-a2,a2-a1]，此時(shí)I1為閉區(qū)間，當(dāng)n≥2時(shí)，不妨設(shè)x≥y，若x,y∈[a1,a2]，則n]，則x-y∈[an-a2,an+1-a1]，而an+1-a1>an+1-an>a2-a1，故an+1-an≥an-a2對(duì)任意n≥2恒成立，故q-2≥-對(duì)任意的n≥2恒成立，因q>1，故當(dāng)n→+∞時(shí)，-→0，故q-2≥0即q≥【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與等比數(shù)列性質(zhì)有關(guān)的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立為轉(zhuǎn)為關(guān)于與公比有關(guān)的不等式恒成立，必要時(shí)可利用參變分離來(lái)處理.(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）直接根據(jù)(i,j)-可分?jǐn)?shù)列的定義即可；（2）根據(jù)(i,j)-可分?jǐn)?shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；（3）證明使得原數(shù)列是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列的(i,j)至少有(m+1)2-m個(gè)，再使用概率的定義.【解析】（1）首先，我們?cè)O(shè)數(shù)列a1,a2,...,a4m+2的公差為d，則d≠0.由于一個(gè)數(shù)列同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或者乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)故我們可以對(duì)該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?m+2進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.換言之，我們可以不妨設(shè)ak=k(k=1,2,...,4m+2)，此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.回到原題，第1小問(wèn)相當(dāng)于從1,2,3,4,5,6中取出兩個(gè)數(shù)i和j(i<j)，使得剩下四個(gè)數(shù)是等差數(shù)列.那么剩下四個(gè)數(shù)只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.（2）由于從數(shù)列1,2,...,4m+2中取出2和13后，剩余的4m個(gè)數(shù)可以分為以下兩個(gè)部分，共m組，使得每組成等差數(shù)列：（如果m-3=0，則忽略②)故數(shù)列1,2,...,4m+2是(2,13)-可分?jǐn)?shù)列.下面證明，對(duì)1≤i<j≤4m+2，如果下面兩個(gè)命題同時(shí)成立，則數(shù)列1,2,...,4m+2一定是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列：命題2：j-i≠3.我們分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論.第一種情況：如果i∈A,j∈B，且j-i≠3.則由i<j可知4k1+1<4k2+2，即k2-k1>-，故k2≥k1.此時(shí)，由于從數(shù)列1,2,...,4m+2中取出i=4k1+1和j=4k2+2后，剩余的4m個(gè)數(shù)可以分為以下三個(gè)部分，共m組，使得每組成等差數(shù)列：-3,4k1-2,4k1-1,4k1}，共k1組；+9},...,{4k2-2,4k2-1,4k2,4k2+1}，共k2-k1組；③共m-k2組.（如果某一部分的組數(shù)為0，則忽略之）故此時(shí)數(shù)列1,2,...,4m+2是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列.第二種情況：如果i∈B,j∈A，且j-i≠3.則由i<j可知4k1+2<4k2+1，即k2-k1>，故k2>k1.由于j-i≠3，故(4k2+1)-(4k1+2)≠3，從而k2-k1≠1，這就意味著k2-k1≥2.此時(shí)，由于從數(shù)列1,2,...,4m+2中取出i=4k1+2和j=4k2+1后，剩余的4m個(gè)數(shù)可以分為以下四個(gè)部分，共m組，使得每組成等差數(shù)列：-3,4k1-2,4k1-1,4k1}，共k1組；共2組；③全體{4k1+p,3k1+k2+p,2k1+2k2+p,k1+3k2+p}，其中p=3,4,...,k2-k1，共k2-k1-2組；④共m-k2組.（如果某一部分的組數(shù)為0，則忽略之）這里對(duì)②和③進(jìn)行一下解釋?zhuān)簩ⅱ壑械拿恳唤M作為一個(gè)橫排，排成一個(gè)包含k2-k1-2個(gè)行，4個(gè)列的數(shù)表以后，4個(gè)列分別是下面這些數(shù)：2}，2}.可以看出每列都是連續(xù)的若干個(gè)整數(shù)，它們?cè)偃〔⒁院螅瑢⑷”閧4k1+1,4k1+2,...,4k2+2}中+2}中的十個(gè)元素以外的所有數(shù).而這十個(gè)數(shù)中，除開(kāi)已經(jīng)去掉的4k1+2和4k2+1以外，剩余的八個(gè)數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個(gè)數(shù).這就說(shuō)明我們給出的分組方式滿足要求，故此時(shí)數(shù)列1,2,...,4m+2是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列.至此，我們證明了：對(duì)1≤i<j≤4m+2，如果前述命題1和命題2同時(shí)成立，則數(shù)列1,2,...,4m+2一定是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列.然后我們來(lái)考慮這樣的(i,j)的個(gè)數(shù).首先，由于A∩B=⑦,A和B各有m+1個(gè)元素，故滿足命題1的(i,j)總共有(m+1)2個(gè)；但這導(dǎo)致k2-k1=，矛盾，所以i∈B,j∈A.,k222-k1=1.所以可能的(k1,k2)恰好就是(0,1),(1,2),...,(m-1,m)，對(duì)應(yīng)的(i,j)分別是所以這(m+1)2個(gè)滿足命題1的(i,j)中，不滿足命題2的恰好有m個(gè).這就得到同時(shí)滿足命題1和命題2的(i,j)的個(gè)數(shù)為(m+1)2-m.當(dāng)我們從1,2,...,4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j(i<j)時(shí)，總的選取方式的個(gè)數(shù)等于而根據(jù)之前的結(jié)論，使得數(shù)列a1,a2,...,a4m+2是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列的(i,j)至少有(m+1)2-m個(gè).所以數(shù)列a1,a2,...,a4m+2是(i,j)-可分?jǐn)?shù)列的概率Pm一定滿足這就證明了結(jié)論.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義數(shù)列的理解，只有理解了定義，方可使用定義驗(yàn)證或探究結(jié)論.(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構(gòu)造方式計(jì)算出P2的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；（3）思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明Sn的取值為與n無(wú)關(guān)的定值即可.思路二：使用等差數(shù)列工具，證明Sn的取值為與n無(wú)關(guān)的定值即可.由已知有m=52-42=9，故C的方程為x2-y2=9.當(dāng)時(shí)，過(guò)且斜率為的直線為y=，與x2-y2=9聯(lián)立得到解得x=-3或x=5，所以該直線與C的不同于P1的交點(diǎn)為Q1(-3,0)，該點(diǎn)顯然在C的左支上.（2）由于過(guò)Pn(xn,yn)且斜率為k的直線為y=k(x-xn)+yn，與x2-y2=9聯(lián)立，得到方程展開(kāi)即得(1-k2)x2-2k(yn-kxn)x-(yn-kxn)2-9=0，由于Pn(xn,yn)已經(jīng)是直線y=k(x-xn)+yn和x2-y2=9的公共點(diǎn)，故方程必有一根x=xn.從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根-xn=相應(yīng)的所以該直線與C的不同于Pn的交點(diǎn)為而注意到Qn的橫坐標(biāo)亦可通過(guò)韋達(dá)定理表示為，故Qn一定在C的左支上.所以1-k再由x-y=9，就知道x1-y1≠0，所以數(shù)列{xn-1-k的等比數(shù)列.S△UVW=ad-bc.（若U,V,W在同一條直線上，約定S△UVW=0）UV..UWsinUV,UW=2UV.UW1-1-cos2UV,UWW UV.UW-UV.W UV.UW-UV.UWUV.UW(,22a2+b2c2+d2·a2c22d2+b2c2+b2d2-a2c2-b2d2-2abcd=sa2d2+b2c2-2abcd=·(ad-bc)2=ad-bc.證畢，回到原題..再由x-y=9，就知道x1+y1≠0，所以數(shù)列{xn+yn}是公比為的等比數(shù)列.所以對(duì)任意的正整數(shù)m，都有xnyn+m-ynxn+mn+2-xn+1,yn+2-yn+1)，故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得Sn=-(xn+1-xn)(yn+2-yn+1)+(yn+1-yn)(xn+2-xn+1)=(xn+1-xn)(yn+2-yn+1)-(yn+1-yn)(xn+2-xn+1)12(xn+1yn+2-yn+1xn+2)+(xnyn+1-ynxn+1)-(xnyn+2-ynxn+2)129(1-k1+k)9(1-k1+k)9((1-k)2(1+k)2)2(|1+k-1-k,+2|(1+k-1-k,-2(||(1+k,-|(1-k,,.這就表明Sn的取值是與n無(wú)關(guān)的定值，所以Sn=Sn+1..再由x-y=9，就知道x1+y1≠0，所以數(shù)列{xn+yn}是公比為的等比數(shù)列.所以對(duì)任意的正整數(shù)m，都有xnyn+m-ynxn+m(xn+yn)(xn-yn)9(1-k1+k)1+k,-|(1-k,,=xnyn+2-ynxn+2.這就得到xn+2yn+9(1-k1+k)1+k,-|(1-k,,=xnyn+2-ynxn+2.兩式相減，即得(xn+2yn+3-yn+2xn+3)-(xn+1yn+3-yn+1xn+3)=(xnyn+1-ynxn+1)-(xnyn+2-ynxn+2).移項(xiàng)得到xn+2yn+3-ynxn+2-xn+1yn+3+ynxn+1=yn+2xn+3-xnyn+2-yn+1xn+3+xnyn+1.故(yn+3-yn)(xn+2-xn+1)=(yn+2-yn+1)(xn+3-xn).n+2-xn+1,yn+2-yn+1).所以PnPn+3和Pn+1Pn+2平行，這就得到S△PPP=S△PPP，即Sn=Sn+1.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將解析幾何和數(shù)列知識(shí)的結(jié)合，需要綜合運(yùn)用多方面知識(shí)方可得解.3(5)n3(2)2|(33(5)n3【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用等比數(shù)列的求和公式可求Sn.【解析】（1）因?yàn)?Sn=3an+1-3,故2Sn-1=3an-3，所以2an=3an+1-3an(n≥2)（2）由等比數(shù)列求和公式得),n-.9．(1)an=4.(-3)n-1(2)Tn=(2n-1).3n+1【分析】（1）利用退位法可求{an}的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減法可求Tn.當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn-1=3an-1+4，所以4Sn-4Sn-1=4an=3an-3an-1即an=-3an-1，∴數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，所以an=4.(-3)n-1.2.32n14n.3n3n11n:Tn=(2n1).3n+1.(2)不存在符合條件的Ω,理由見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）直接按照Ω(A)的定義寫(xiě)出Ω(A)即可；（2）利用反證法，假設(shè)存在符合條件的Ω,由此列出方程組，進(jìn)一步說(shuō)明方程組無(wú)解即可；（3）分充分性和必要性兩方面論證.（2）假設(shè)存在符合條件的Ω,可知Ω(A)的第1,2項(xiàng)之和為a1+a2+s，第3,4項(xiàng)之和為a34則{而該方程組無(wú)解，故假設(shè)不成立，故不存在符合條件的Ω;必要性：若存在序列Ω:w1,w2,...,ws，使得Ω(A)為常數(shù)列.s,3s,4s,5s,6s,7s,4s,5s,6s,7充分性：345678.78，所以4)也是偶數(shù).我們?cè)O(shè)Ts...T2T1(A)是通過(guò)合法的序列Ω的變換能得到的所有可能的數(shù)列Ω(A)中，使得as,1as,2+as,3as,4+as,5as,6+as,7as,8最小的一個(gè).567s,4s,6s,7下面證明不存在j=1,2,3,4使得s,2j一1s.對(duì)該數(shù)列連續(xù)作四次變換(2,3,5,8),(2,4,6,8)as+4,1as+4,2+as+4,3as+4,4+as+4,5as+4,6+as+4,7as+4,8相比原來(lái)的as,1as,2+as,3as,4+as,5as,6+as,7as,8減少4，這與as,1as,2+as,3as,4+as,5as,6+as,7as,8的最小性矛盾；情況2：若as,3一as,4+as,5as,6+情況2-1：如果as,3一as,4≥1，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換(2,4,5,7),(2,4,6,8)后，新的as+2,1as+2,2+as+2,3as+2,4+as+2,5as+2,6+as+2,7as+2,8相比原來(lái)的as,1as,2+as,3as,4+as,5as,6+as,7as,8至少減少2，這與as,1as,2+as,3as,4+as,5as,6+as,7as,8的最小性矛盾；情況2-2：如果as,4一as,3≥1，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換(2,3,5,8),(2,3,6,7)后，新的as+2,1as+2,2+as+2,3as+2,4+as+2,5as+2,6+as+2,7as+2,8相比原來(lái)的as,1as,2+as,3as,4+as,5as,6+as,7as,8至少減少2，這與as,1as,2+as,3as,4+as,5as,6+as,7as,8的最小性矛盾.這就說(shuō)明無(wú)論如何都會(huì)導(dǎo)致矛盾，所以對(duì)任意的j=1,2,3,4都有as,2j一1一as,2j≤1.s,2s,3s,4s,5s,6s,7s,8都是奇數(shù)，設(shè)為2N+1.s,8都是偶數(shù)，故集合{mas,m=N}中的四個(gè)元素i,j,s,t之和為偶數(shù)，對(duì)該數(shù)列進(jìn)行一次變換(i,j,s,t)，則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的as+1,1as+1,2+as+1,3as+1,4+as+1,5as+1,6+as+1,7as+1,8等于零，比原來(lái)的as,1as,2+as,3as,4+as,5as,6+as,7as,8更小，這與as,1as,2+as,3as,4+as,5as,6+as,7as,8的最小性矛盾.s,6s,7=Ω(A)是常數(shù)列，充分性得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，以及對(duì)其本質(zhì)的分析.11．(1)Sn=2n1(2)①證明見(jiàn)詳解【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q>0，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求q，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；（2）①根據(jù)題意分析可知ak=2k-1,bn=k+1，bn-1=k(2k-1)，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得再結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析求解.2可得1+q=q2-1，整理得q2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去所以=2n-1.（2i）由（1）可知an=2n-1，且k∈N*,k≥2，kbn-1k+1-ak-1).2k=k+2k(2k-1-1)=k(2k-1)，可得bn-1-ak.bn=k(2k-1)-(k+1)2k-1=(k-1)2k-1-k≥2(k-1)-k=k-2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)k=2時(shí)，等號(hào)成立，若n≥2，則ak+1-ak=2k-1，當(dāng)2k-1<ik-1時(shí)，bi-bi-1=2k，可知{bi}為等差數(shù)列，2-2×43-5×42n-且n=1，符合上式，綜上所述【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.分析可知當(dāng)2k-1<i≤2k-1時(shí)，bi-bi-1=2k，可知{bi}為等差數(shù)列；2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得一、單選題12024·全國(guó)）已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，則cos(α-β)=()時(shí)，曲線y=sinx與y=2sin的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()32024·全國(guó)）設(shè)函數(shù)f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cosx+2ax，當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，曲線y=f(x)與y=g(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，則a=()52024·全國(guó)）在△ABC中內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c，若B=，則 62024·全國(guó)）設(shè)函數(shù)則曲線y=f(x)在(0,1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為()6 92024·上海）下列函數(shù)f(x)的最小正周期是2π的是()2xD．sin2x-cos2x二、多選題102024·全國(guó)）對(duì)于函數(shù)=sin2x和g=sin下列說(shuō)法正確的有()A．f(x)與g(x)有相同的零點(diǎn)B．f(x)與g(x)有相同的最大值C．f(x)與g(x)有相同的最小正周期D．f(x)與g(x)的圖像有相同的對(duì)稱軸三、填空題112024·全國(guó)）已知α為第一象限角，β為第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=·+1，則sin(α+β)=.122024·全國(guó)）函數(shù)f(x)=sinx-·i3cosx在[0,π]上的最大值是.已知α∈,且α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則cosβ的最大值四、解答題142024·全國(guó)）記△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinC=·cosB，a2(1)求B； (2)若△ABC的面積為3+3，求c.152024·全國(guó)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+·cosA=2.(1)求A.(2)若a=2，·bsinC=csin2B，求△ABC的周長(zhǎng).162024·北京）在△ABC中，a=7(1)求上A；(2)從條件①、條件②和條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求△ABC的面積.注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.(1)求a；(2)求sinA；(3)求cos(B-2A).參考答案：【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的關(guān)系，結(jié)合tanαtanβ的值可求前者，故可求cos(α-β)的值.【解析】因?yàn)閏os(α+β)=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以sinαsinβ=2cosαcosβ,故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，從而sinαsinβ=-2m，故cos(α-β)=-3m，故選：A.【分析】畫(huà)出兩函數(shù)在[0,2π]上的圖象，根據(jù)圖象即可求解【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx的的最小正周期為T(mén)=2π,函數(shù)y=2sin的最小正周期為，所以在x∈[0,2π]上函數(shù)y=2sin有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).故選：C【分析】解法一：令F(x)=ax2+a-1,G(x)=cosx，分析可知曲線y=F(x)與y=G(x)恰有 一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得a=2，并代入檢驗(yàn)即可；解法二：令h(x)=f(x)-g(x),x∈(-1,1)，可知h(x)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知h(x)的零點(diǎn)只能為0，即可得a=2，并代入檢驗(yàn)即可.【解析】解法一：令f(x)=g(x)，即a(x+1)2-1=cosx+2ax，可得ax2+a-1=cosx，原題意等價(jià)于當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，注意到F(x),G(x)均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，若a=2，令F(x)=G(x)，可得2x2+1-cosx=0可得2x2+1-cosx≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，則方程2x2+1-cosx=0有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以a=2符合題意；原題意等價(jià)于h(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則h(x)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知h(x)的零點(diǎn)只能為0，又因?yàn)?x2≥0,1-cosx≥0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，可得h(x)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，即h(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以a=2符合題意；故選：D.【分析】先將弦化切求得tanα,再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.故選：B.【分析】利用正弦定理得sinAsinC=再利用余弦定理有a2+c2=再利用正弦定理得到sin2A+sin2C的值，最后代入計(jì)算即可.因?yàn)锽=,b2=則由正弦定理得sinAsinsin2B=2所以(sinA+sinC)2=sin2A+si因?yàn)锳,C為三角形內(nèi)角，則sinA+sinC>0，則sinA+sinC=故選：C.【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)(0,1)處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得其面積.即該切線方程為y一1=3x，即y=3x+1，令x=0，則y=1，令y=0，則x=-，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積一故選：A.【分析】根據(jù)三角函數(shù)最值分析周期性，結(jié)合三角函數(shù)最小正周期公式運(yùn)算求解.【解析】由題意可知：x1為f(x)的最小值點(diǎn)，x2為f(x)的最大值點(diǎn)，故選：B.【分析】先由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，結(jié)合周期公式求出w，得f(x)=一sin2x，再整體求出時(shí)，2x的范圍，結(jié)合正弦三角函數(shù)圖象特征即可求解.畫(huà)出f(x)=一sin2x圖象，如下圖，所以，當(dāng)x=min=sin=故選：A【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.對(duì)于選項(xiàng)C，sin2x+cos2x=1，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯(cuò)誤；故選：A.【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，最值，周期公式，對(duì)稱軸方程逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.【解析】A選項(xiàng)，令f(x)=sin2x=0，解得x=,k∈Z，即為f(x)零點(diǎn)，顯然f(x),g(x)零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，顯然f(x)max=g(x)max=1，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，f(x),g(x)的周期均為=π,C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)f(x)的對(duì)稱軸滿足2x=kπ+x=+,k∈Z，顯然f(x),g(x)圖像的對(duì)稱軸不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC 2211．-3【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得tan(α+β)=-2·,再縮小α+β的范圍，最后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【解析】法一：由題意得22解得法二：因?yàn)棣翞榈谝幌笙藿牵聻榈谌笙藿牵瑒tcosα>0,cosβ<0,則sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ) 故答案為：.【分析】結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.故答案為：2【分析】首先得出β=α+π+2kπ,k∈Z，結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性即可求解最值.因?yàn)椋詂osα的取值范圍是，cosβ的取值范圍是，當(dāng)且僅當(dāng)α=，即β=+2kπ,k∈Z時(shí)，cosβ取得最大值，且最大值為一.故答案為：. (2)22【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出cosC,sinC，最后結(jié)合已知sinC=cosB得cosB的值即可；（2）首先求出A,B,C，然后由正弦定理可將a,b均用含有c的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.可得cosC=所以由正弦定理有由三角形面積公式可知，△ABC的面積可表示為 所以c=22.【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對(duì)條件sinA+·cosA=2進(jìn)行化簡(jiǎn)處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬(wàn)能公式解決；（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出B，然后根據(jù)正弦定理算出b,c即可得出周長(zhǎng).【解析】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式） 方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系） 由sinA+3cosA=2，又sin2A+cos2A=1，消去sinA得到： 4cos2A4cosA+3=0(2cosA)2=0，解得cosA=，又A∈(0,π)，故A=方法三：利用極值點(diǎn)求解顯然x=時(shí)，f(x)max=2，注意到f(A)=sinA+cosA=2=2sin(A+)，f(x)max=f(A)，在開(kāi)區(qū)間(0,π)上取到最大值，于是x=A必定是極值點(diǎn)， 又A∈(0,π)，故A=方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）根據(jù)向量的數(shù)量積公式，.=cos,=2cos,，又A∈(0,π)，故A=方法五：利用萬(wàn)能公式求解 π又A∈(0,π)，故A=6（2）由題設(shè)條件和正弦定理又B,C∈(0,π)，則sinBsinC≠0，進(jìn)而cosB=，得到B=，于是C=πAB=由正弦定理可得，即故△ABC的周長(zhǎng)為2+6+32 (2)選擇①無(wú)解；選擇②和③△ABC面積均為.【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； 再代入式子得b=3，再利用兩角和的正弦公式即可求出sinC，最后利用三角形面積公式即可；選擇③,首先得到c=5，再利用正弦定理得到sinC=再利用兩角和的正弦公式即可求出sinB，最后利用三角形面積公式即可；【解析】（1）由題意得2sinBcosB=bcosB，因?yàn)锳為鈍角，2 2337sinAsinA，解得sinA= 3 2因?yàn)锳為鈍角，則A=.因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，則cosC=【分析】（1）a=2t,c=3t，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sinB，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cosA，則得到sinA；（3）法一：根據(jù)大邊對(duì)大角確定A為銳角，則得到cosA，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可. 再根據(jù)正弦定理得即解得sinA=法二：由余弦定理得cosA=由法一知sinB=21一、單選題 12024·全國(guó)）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為() 22024·全國(guó)）已知正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的體積為AB=6，A面ABC所成角的正切值為()32024·全國(guó)）設(shè)α、β是兩個(gè)平面，m、n是兩條直線，且α∩β=m.下列四個(gè)命題：①若m//n，則n//α或n//β②若m丄n，則n丄α,n丄β③若n//α,且n//β,則m//n④若n與α和β所成的角相等，則m丄n其中所有真命題的編號(hào)是() 42024·北京）已知以邊長(zhǎng)為4的正方形為底面的四棱錐，四條側(cè)棱分別為4，4，22， 2·2，則該四棱錐的高為()52024·天津）若m,n為兩條不同的直線，α為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是()A．若m//α,nα,則m//nB．若m//α,n//α,則m//n62024·天津）一個(gè)五面體ABC—DEF．已知AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1．并已二、多選題的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為B，則()A．l與ΘA相切D．滿足|PA|=|PB|的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)三、填空題82024·全國(guó)）已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑均為r1和r2，母線長(zhǎng)分別為2(r2—r1))，則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比.92024·北京）已知三個(gè)圓柱的體積為公比為10的等比數(shù)列．第一個(gè)圓柱的直徑為65mm，第二、三個(gè)圓柱的直徑為325mm，第三個(gè)圓柱的高為230mm，求前兩個(gè)圓柱的高度分別為.102024·上海）已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，BC=CD,存在點(diǎn)A四、解答題(1)若AD丄PB，證明：AD//平面PBC；(2)若AD丄DC，且二面角A-CP-D的正弦值為求AD.F滿足，將△AEF沿EF對(duì)折至!PEF，使得(2)求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值.132024·全國(guó)）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC//AD,EF//AD，AD=4,AB=BC=EF=2，(1)證明：BM//平面CDE；(2)求點(diǎn)M到ABF的距離.142024·全國(guó)）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC//AD,EF//AD，AD=4,AB=BC=EF=2，(1)證明：BM//平面CDE；E是AD上一點(diǎn)，PE丄AD.(1)若F是PE中點(diǎn)，證明：BF//平面PCD.(2)若AB丄平面PED，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.面ABCD，AD丄AB，其中AB=AA1=2,AD=DC=1．N是B1C1的中點(diǎn)，M是DD1的中點(diǎn).(1)求證D1N//平面CB1M；(2)求平面CB1M與平面BB1CC1的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)B到平面CB1M的距離.172024·上海）如圖為正四棱錐P-ABCD,O為底面ABCD的中心. (1)若AP=5,AD=32，求△POA繞PO旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；(2)若AP=AD,E為PB的中點(diǎn)，求直線BD與平面AEC所成角的大小.參考答案：【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑r的方程，求出解后可求圓錐的體積. 【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓錐的母線長(zhǎng)為·r2+3，故r=3，故圓錐的體積為π×9×故選：B.【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1補(bǔ)成正三棱錐P-ABC，A1A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得VP-ABC=18，進(jìn)而可求正三棱錐P-ABC的高，即可得結(jié)果.【解析】解法一：分別取BC,B1C1的中點(diǎn)D,D1，則AD=3,A1D1=，設(shè)正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的為h，如圖，分別過(guò)A1,D1作底面垂線，垂足為M,N，設(shè)AM=x，則AA1=·iAM2+A1M2=·x2+，DN=AD-AM-MN=2-x，結(jié)合等腰梯形BCC1B1可得BB2+DD所以A1A與平面ABC所成角的正切值為tanDA1AD=解法二：將正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1補(bǔ)成正三棱錐P-ABC，則A1A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角，取底面ABC的中心為O，則PO丄底面ABC，且AO=2所以PA與平面ABC所成角的正切值tan上PAO=.故選：B.【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①;舉反例即可判斷②④;根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.當(dāng)nβ,因?yàn)閙//n，mα,則n//α,當(dāng)n既不在α也不在β內(nèi)，因?yàn)閙//n，mα,mβ,則n//α且n//β,故①正確；對(duì)②,若m丄n，則n與α,β不一定垂直，故②錯(cuò)誤；對(duì)③,過(guò)直線n分別作兩平面與α,β分別相交于直線s和直線t，因?yàn)閚//α,過(guò)直線n的平面與平面α的交線為直線s，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知n//s，同理可得n//t，則s//t，因?yàn)閟丈平面β,t平面β,則s//平面β,因?yàn)閟平面α,α∩β=m，則s//m，又因?yàn)閚//s，則m//n，故③正確；對(duì)④,若α∩β=m,n與α和β所成的角相等，如果n//α,n//β,則m//n，故④錯(cuò)誤；綜上只有①③正確，故選：A.【分析】取點(diǎn)作輔助線，根據(jù)題意分析可知平面PEF丄平面ABCD，可知PO丄平面ABCD，利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.【解析】如圖，底面ABCD為正方形，當(dāng)相鄰的棱長(zhǎng)相等時(shí)，不妨設(shè)PA=PB=AB=4,PC=PD=2，分別取AB,CD的中點(diǎn)E,F，連接PE,PF,EF，則PE丄AB,EF丄AB，且PE∩EF=E，PE,EF平面PEF，可知AB丄平面PEF，且AB平面ABCD，所以平面PEF丄平面ABCD，過(guò)P作EF的垂線，垂足為O，即PO丄EF，由平面PEF∩平面ABCD=EF，PO平面PEF，所以PO丄平面ABCD，由題意可得：PE=2,PF=2,EF=4，則PE2+PF2=EF2，即PE丄PF，則PE.PF=PO.EF，可得所以四棱錐的高為·.因?yàn)锽D=42=PB+PD，此時(shí)不能形成三角形PBD，與題意不符，這樣情況不存在.故選：D.【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷CD的正誤.【解析】對(duì)于A，若m//α,nα,則m,n平行或異面，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，若m//α,n//α,則m,n平行或異面或相交，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，m//α,n丄α,過(guò)m作平面β,使得β∩α=s，因?yàn)閙β,故m//s，而sα,故n丄s，故m丄n，故C正確.對(duì)于D，若m//α,n丄α,則m與n相交或異面，故D錯(cuò)誤.故選：C.【分析】采用補(bǔ)形法，補(bǔ)成一個(gè)棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.【解析】用一個(gè)完全相同的五面體HIJ-LMN（頂點(diǎn)與五面體ABC-DEF一一對(duì)應(yīng)）與該五面體相嵌，使得D,N；E,M;F,L重合，因?yàn)锳D∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1．AD=1,BE=2,CF=3，則形成的新組合體為一個(gè)三棱柱，該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為故選：C.【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為x=-1，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來(lái)判斷；B選項(xiàng)，P,A,B三點(diǎn)共線時(shí)，先求出P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長(zhǎng)；C選項(xiàng)，根據(jù)PB=2先算出P的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證kPAkAB=-1是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，PB=PF，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化成 PA=PF的P點(diǎn)的存在性問(wèn)題，此時(shí)考察AF的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直接設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.【解析】A選項(xiàng)，拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=-1，ΘA的圓心(0,4)到直線x=-1的距離顯然是1，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線l和ΘA相切，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，P,A,B三點(diǎn)共線時(shí)，即PA丄l，則P的縱坐標(biāo)yP=4，由y=4xP，得到xP=4，故P(4,4)，-r2C選項(xiàng)，當(dāng)PB=2時(shí)，xP=1，此時(shí)y=4xP=4，故P(1,2)或P(1,-2)，AB不滿足kPAkAB=-1；不滿足kPAkAB=-1；于是PA丄AB不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，PB=PF，這里F(1,0)，于是PA=PB時(shí)P點(diǎn)的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成PA=PF時(shí)P點(diǎn)的存在性問(wèn)題，A(0,4),F(1,