選擇性必修第一冊蘇教版-第2章-單元測試卷-143715

第2章圓與方程一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合P={(x,y)|x+y=2},Q={(x,y)|x2+y2=2},那么P∩Q的元素個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.無法確定2.若直線l1:ax+2y+6=0與直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,則a的值為()A.a=-2或a=1 B.a=2C.a=2或a=-1 D.a=-13.已知圓O1:x2+y2=16和圓O2:x2+y2-6mx-8my+24m2=0有且僅有4條公切線,則實數(shù)m的取值范圍是()A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,1)C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-2,3)4.已知圓的圓心為(2,-3),一條直徑的兩個端點恰好在兩坐標軸上,則這個圓的方程是()A.x2+y2-4x+6y+8=0 B.x2+y2-4x+6y=0C.x2+y2-4x-6y=0 D.x2+y2-4x+6y-8=05.已知圓C:x2+y2-2x+4y+2=0,從點P(-1,-3)發(fā)出的光線,經(jīng)直線y=x反射后,恰好經(jīng)過圓心C,則入射光線所在直線的斜率為()A.-4 B.-14 C.14 D6.已知動點P(x,y)滿足x2+y2-|x|-|y|=0,O為坐標原點,則PO的最大值是()A.2 B.1 C.22 D.27.已知圓C:x2+y2=1,點A(-2,0)和點B(2,a),從點A觀察點B,要使視線不被圓C擋住,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-233)∪(23C.(-∞,-433)∪(433,+∞) D.(-8.已知圓C:(x-33)2+(y-5)2=4和兩點A(-3m,0),B(3m,0)(m>0),若圓C上存在一點P,使得∠APB=60°,則實數(shù)m的取值范圍是()A.(0,145-13) B.(2,C.[2,145-13] D.[2,二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.以下關(guān)于圓C:(x-2)2+(y+3)2=16的命題不正確的有()A.點(0,1)在圓C內(nèi) B.直線3x+4y-14=0與圓C相切C.點(2,5)在圓C上 D.直線x+y+8=0與圓C相切10.已知圓C1:x2+y2=r2,圓C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,下列結(jié)論正確的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=a D.y1+y2=2b11.已知圓M:(x-1-cosθ)2+(y-2-sinθ)2=1,直線l:kx-y-k+2=0,下面四個命題,其中正確的是()A.對任意實數(shù)k與θ,直線l和圓M有公共點B.對任意實數(shù)k與θ,直線l和圓M都相離C.存在實數(shù)k與θ,使得直線l和圓M相離D.對任意實數(shù)k,必存在實數(shù)θ,使得直線l和圓M相切三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點,且圓C與圓(x-2)2+(y-3)2=8外切,則圓C的方程為.

13.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②的圓的方程:.

①經(jīng)過坐標原點;②被兩條坐標軸截得的弦長相等.14.在平面直角坐標系xOy中,A為直線l:2x-y=0上的點,B(5,0),以AB為直徑的☉C(圓心為C)與直線l交于另一點D,若△ABD為等腰三角形,則點A的橫坐標為;若☉C與☉B(tài):(x-5)2+y2=10相交于E,F兩點,則公共弦EF長度最小值為.(本題第一空2分,第二空3分)

四、解答題:本題5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)已知圓C:x2+y2-2x+4my+4m2-15=0,圓C1:x2+y2=25,直線l:3x-4y-15=0.(1)求圓C1:x2+y2=25被直線l截得的弦長;(2)當m為何值時,圓C與圓C1的公共弦平行于直線l.

16.(15分)已知圓O的方程為x2+y2=4,過點M(1,0)的直線l與圓O交于A,B兩點.(1)是否存在直線l,使得以AB為直徑的圓過坐標原點?若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由;(2)在x軸正半軸上是否存在定點N,使得x軸平分∠ANB?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

17.(15分)①圓心C在直線l:2x-7y+8=0上,且B(1,5)是圓上的點;②圓心C在直線x-2y=0上,但圓C不經(jīng)過點(4,2),并且直線4x-3y=0與圓C相交所得的弦長為4;③圓C過直線l:2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y-16=0的交點.在以上三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并解答.問題:平面直角坐標系xOy中,圓C過點A(6,0),且.

(1)求圓C的標準方程;(2)求過點A的圓C的切線方程.注:若選擇多個條件分別解答,則按第一個解答計分.

18.(17分)如圖1,為保護河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設(shè)立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m.經(jīng)測量,點A位于點O正北方向60m處,點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸),tan∠BCO=43(1)求新橋BC的長;(2)當OM多長時,圓形保護區(qū)的面積最大?圖1

19.(17分)如圖2所示,在平面直角坐標系xOy中,已知點P(2,4),圓O:x2+y2=4與x軸的正半軸的交點是Q,過點P的直線l與圓O交于不同的兩點A,B.(1)若直線l與y軸交于D,且DP·DQ=16,求直線l的方程;(2)設(shè)直線QA,QB的斜率分別是k1,k2,求k1+k2的值;(3)設(shè)AB的中點為M,點N(43,0),若MN=133OM,求△QAB圖2

第2章圓與方程1.B方法一解方程組x2+y2=2,x+y=2,方法二因為圓心(0,0)到直線x+y=2的距離等于半徑長,所以直線與圓相切,所以P∩Q的元素個數(shù)為1.2.D由l1與l2平行得a(a-1)-2=0,2(a3.A由題意得圓O2:(x-3m)2+(y-4m)2=m2,可得O2(3m,4m),半徑為|m|,則O1O2=9m2+16m∵有且僅有4條公切線,∴圓O1、圓O2外離,有5|m|>4+|m|,解得m<-1或m>1,∴實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞).故選A.4.B由題意可設(shè)圓的直徑兩端點坐標為A(a,0),B(0,b).由圓心坐標可得a=4,b=-6,可求得AB=213,所以半徑r=13,可得圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=13,即x2+y2-4x+6y=0.故選B.5.A由圓C:x2+y2-2x+4y+2=0,得(x-1)2+(y+2)2=3,則圓心為C(1,-2).因為反射光線經(jīng)過C(1,-2),故點C關(guān)于直線y=x的對稱點(-2,1)在入射光線所在的直線上,且光源為P(-1,-3),∴入射光線所在直線的斜率k=1?(?3)-2-(-1)=-46.A如圖D1,方程x2+y2-|x|-|y|=0可以轉(zhuǎn)化為(|x|-12)2+(|y|-12)2=圖D1所以動點P(x,y)的軌跡為原點和四段圓弧.當點P為原點O時,PO最小,且POmin=0.由于對稱性,僅考慮圓弧(x-12)2+(y-12)2=12(x≥0,y≥0),顯然,當點P為(1,1)時,POmax7.C點B在直線x=2上,過點A(-2,0)作圓的切線,設(shè)切線的斜率為k,由點斜式求得切線方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0,由圓心到切線的距離等于半徑得|2k|k2+1=1,∴k=±33,∴切線方程為y=±33(x+2),這兩條切線和直線x=2的交點坐標分別為(2,433),(2,-433),故要使視線不被圓C擋住,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-48.C取D(0,3m),則∠ADB=60°,故滿足條件的點P必在A,B,D三點所確定的圓周上,易知該圓圓心為M(0,m),半徑rM=2m.要使圓C上存在滿足題意的點P,則圓M和圓C必有交點,由題可知,rC=2,圓心C(33,5),即|rM-rC|≤MC≤|rM+rC|,∴|rM-rC|2≤MC2≤|rM+rC|2,∴(2m-2)2≤(-33)2+(m-5)2≤(2m+2)2,又m>0,解得2≤m≤145-19.ACD將點(0,1)代入方程(x-2)2+(y+3)2=16的左邊,得4+16=20>16,所以點(0,1)在圓C外,故A不正確;由圓C:(x-2)2+(y+3)2=16知圓心(2,-3),半徑為r=4,則圓心(2,-3)到直線3x+4y-14=0的距離d=|3×2+4×(-3)-14|32+42=將點(2,5)代入方程(x-2)2+(y+3)2=16的左邊,得0+64=64>16,所以點(2,5)在圓C外,故C不正確;圓心(2,-3)到直線x+y+8=0的距離d=|2-3+8|12+12=72,10.ABC圓C2的方程可化為C2:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,兩圓的方程相減可得直線AB的方程,為2ax+2by-a2-b2=0,即2ax+2by=a2+b2,分別把A,B兩點的坐標代入可得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,兩式相減可得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,所以選項A,B正確.由圓的性質(zhì)可得,線段AB與線段C1C2互相平分,所以x1+x2=a,y1+y2=b,所以選項C正確,選項D錯誤.故選ABC.11.AD對于選項A,B,由題意知圓M的圓心為點M(1+cosθ,2+sinθ),半徑r=1,直線l的方程可寫作y=k(x-1)+2,過定點A(1,2),因為點A在圓上,所以直線l和圓M相切或相交,即對任意實數(shù)k與θ,直線l和圓M有公共點,A正確,B錯誤.對于選項C,由以上分析知不存在實數(shù)k與θ,使得直線l和圓M相離,C錯誤.對于選項D,當直線l和圓M相切時,點A恰好為直線l和圓M的切點,故直線AM與直線l垂直.①當k=0時,l:y=2,所以直線AM與x軸垂直,則1+cosθ=1,即cosθ=0,解得θ=π2+kπ(k∈Z),存在θ,使得直線l和圓M相切②當k≠0時,若直線AM與直線l垂直,則cosθ≠0,直線AM的斜率為kAM=2+sinθ-21+cosθ-1=sin所以kAM·k=-1,即tanθ=-1k,此時對任意的k≠0,均存在實數(shù)θ,使得tanθ=-1綜上所述,對任意實數(shù)k,必存在實數(shù)θ,使得直線l和圓M相切,D正確.12.(x+1)2+y2=2由題意知圓心C(-1,0),其到已知圓圓心(2,3)的距離d=32,由兩圓外切可得圓C的半徑r為32-22=2,故圓C的標準方程為(x+1)2+y2=2.13.(x-1)2+(y-1)2=2(答案不唯一)由①可得圓心到坐標原點的距離為圓的半徑,由②可得圓心到兩坐標軸的距離相等,可得具有性質(zhì)①②的圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2.14.3或-125依題意AB為直徑,所以∠ADB=90°,又△ABD為等腰三角形,所以△ABD為等腰直角三角形,過點B(5,0)與直線l:2x-y=0垂直的直線方程為y=-12(x-5),由2x即D(1,2),又BD=(5-1)2+(0?2)2=25,則AD=設(shè)A(a,2a),所以(a-1)2+(2a-2)2=25,AB的中點C(a+52,a),AB=(a-5)2+4a2,所以圓C的方程為(x-a+52)2+(y-a)2=(a-5)2+4a24,又☉B(tài):(x-5)2+y2=10,所以公共弦EF的方程為(x-a+52)2+(y-a)2-[(x-5)2+y2]=(a-5)2+4a24-10,整理得(5-令5x-15=0,5?x-2y=0,解得x=3,y=1,即直線EF恒過定點M(3,1).☉B(tài)的圓心B(5,0),半徑r=10,所以BM=(5-3)2+(0?1)2=515.(1)因為圓C1:x2+y2=25的圓心為O(0,0),半徑r=5,所以圓心O到直線l:3x-4y-15=0的距離d=|3×0-4×0-15|32+由勾股定理可知,圓C1:x2+y2=25被直線l截得的弦長為2r2-d2=2(2)兩圓方程相減得,圓C與圓C1的公共弦所在直線的方程為2x-4my-4m2-10=0,因為該公共弦平行于直線3x-4y-15=0,所以23=-4m-4≠-4m2-10經(jīng)檢驗m=23符合題意,故當m=23時,圓C與圓C116.(1)因為以AB為直徑的圓過坐標原點,所以O(shè)A⊥OB,又OA=OB=2,所以點O到直線AB的距離為2,所以直線AB的斜率存在,設(shè)斜率為k,則直線AB的方程為y=k(x-1),點O到直線AB的距離|-k|k2+1=2,解得k2=-2,無解.所以不存在這樣的直線l(2)當直線AB的斜率不存在時,即AB⊥x軸時,x軸平分∠ANB.當直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由x2+y2=4,y=k(x-1)得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,所以x1+x2=2k2k2+1,x1x2=k2-4k2+1.若x軸平分∠ANB,則kAN=-kBN,即y1x1-t+y2x2-t=0,則k(x1-1)x1-t+k(x2-1)x2-t=綜上,當直線AB的斜率不存在時,N為x軸正半軸上任意一點;當直線AB的斜率存在時,N的坐標為(4,0).17.選條件①.(1)方法一設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由題意得(6-a)故所求圓的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.方法二設(shè)線段AB的垂直平分線為m,則圓心C在直線m上且在直線l上,即C是m與l的交點.直線AB的斜率是-1,則直線m的斜率是1,AB中點為(72,52),∴直線m:x-y-1=聯(lián)立x-y∴圓心C(3,2),且CA=13.故所求圓的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.(2)∵點A在圓C上,且kAC=-23,則過點A的切線斜率為32,∴過點A的圓C的切線方程是y=32(x-6),即3x-2y-18選條件②.(1)設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由題意得a=2b.設(shè)圓心C到直線4x-3y=0距離為d,易知r2=(a-6)2+b2,且由垂徑定理可知r2=d2+22,即(|4a-3b|5)2+4=(a-6)2+b2,將a=2b代入得b1=2,又圓C不經(jīng)過點(4,2),∴a=4,b=2,r2=8,∴所求圓的方程是(x-4)2+(y-2)2=8.(2)∵A在圓C上,且kAC=-1,則過點A的切線斜率為1,∴過點A的圓C的切線方程是y=1×(x-6),即x-y-6=0.選條件③.(1)設(shè)所求圓C的方程為x2+y2+2x-4y-16+λ(2x+y+4)=0,代入點A(6,0)得λ=-2,故所求圓的方程為x2+y2-2x-6y-24=0,即(x-1)2+(y-3)2=34.(2)∵A在圓C上,且kAC=-35,則過點A的切線斜率為5∴過點A的圓C的切線方程是y=53(x-6),即5x-3y-30=018.方法一(1)如圖D3所示,以O(shè)為坐標原點,OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系xOy.圖D3由條件知A(0,60),C(170,0),直線BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-43又AB⊥BC,所以直線AB的斜率kAB=34設(shè)點B的坐標為(a,b),則kBC=b-0a-170=-43,kAB=b-60a-0=34,所以BC=(170-80)2+(0?120因此新橋BC的長是150m.(2)設(shè)保護區(qū)的邊界圓M的半徑為rm,OM=dm(0≤d≤60).由條件知,直線BC的方程為y=-43(x-170),即4x+3y-680=0因為圓M與直線BC相切,所以點M(0,d)到直線BC的距離是r,即r=|3d-680|4因為點O和點A到圓M上任意一點的距離均不少于80m,所以r-d≥80,r-(60-d)≥80,即680?3故當d=10時,r=680?3d5最大,所以當OM=10m時,圓形保護區(qū)的面積最大.方法二(1)如圖D4所示,延長OA,CB交于點F.圖D4因為tan∠FCO=43,所以sin∠FCO=45,cos∠FCO=因為OA=60,OC=170,所以O(shè)F=OCtan∠FCO=6803,CF=OCcos∠FCO從而AF=OF-OA=5003因為OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=45又AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=4003,從而BC=CF-BF=150因此新橋BC的