選擇性必修第一冊湘教版-第3章-單元測試卷-143701

第3章圓錐曲線與方程一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知雙曲線C:3x2-y2=3,則C的焦點到其漸近線的距離為()A.2 B.3 C.2 D.32.已知兩定點M(0,-1),N(0,1),直線l:y=x+3,則在l上滿足|PM|+|PN|=22的點P的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.0或1或23.已知點F(0,1),直線l:y=-1,P為平面上的動點,過點P作直線l的垂線,垂足為Q,且QP·QF=FP·FQ,則動點P的軌跡C的方程為()A.x2=4y B.y2=3x C.x2=2y D.y2=4x4.嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12月12日下午4點43分左右,嫦娥四號順利進(jìn)入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道(可近似看作焦點在y軸的橢圓),如圖1中軌道③所示,其近月點到月球表面的距離為100km,遠(yuǎn)月點到月球表面的距離為400km,已知月球的直徑約為3476km,對該橢圓有四個結(jié)論:(1)焦距長約為300km;(2)長軸長約為3988km;(3)兩焦點坐標(biāo)約為(0,±150);(4)離心率約為75994.則上述結(jié)論正確的是 (圖1A.(1)(2)(4) B.(1)(3)C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4)5.過拋物線y2=8x的焦點,作傾斜角為45°的直線,則被拋物線截得的弦長為()A.8 B.16 C.32 D.646.如圖2,雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,以F2為圓心,|F1F2|為半徑的圓與兩條漸近線交于A,B,C,D四點,∠ACB=圖2A.2 B.52 C.5 7.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn):與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日圓方程為x2+y2=a2+b2,橢圓C的離心率為22,M為蒙日圓上一個動點,過點M作橢圓C的兩條切線,與蒙日圓分別交于P,Q兩點,則A.3b2 B.2b2 C.433b2 D.68.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),直線l過坐標(biāo)原點并交橢圓于P,Q兩點(P在第一象限),點A是x軸正半軸上一點,其橫坐標(biāo)是點P橫坐標(biāo)的2倍,直線QA交橢圓于點B,若直線BP恰好是以PQ為直徑的圓的切線A.12 B.22 C.33 二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知曲線C:y2=m(x2-4),其中m為非零常數(shù),則下列結(jié)論中正確的是()A.當(dāng)m=-1時,曲線C是一個圓B.當(dāng)m>0時,曲線C是一個雙曲線C.當(dāng)m=-3時,曲線C是焦點為(0,±22)的橢圓D.若曲線C是離心率為22的橢圓,則m=-10.已知雙曲線C的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點,若|AF1|=|BF2|=2|AF2|,則()A.∠AF1B=∠F1AB B.雙曲線的離心率e=33C.直線AB的斜率為±42 D.原點O在以F2為圓心,AF2為半徑的圓上11.數(shù)學(xué)中的很多符號具有簡潔、對稱的美感,是形成一些常見的漂亮圖案的基石,也是許多藝術(shù)家設(shè)計作品的主要幾何元素.如我們熟悉的∞符號,我們把形狀類似∞的曲線稱為“∞曲線”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),在平面直角坐標(biāo)系xOy中,到定點A(-a,0),B(a,0)距離之積等于a2(a>0)的點的軌跡C是“∞曲線”.若點P(x0,y0)是軌跡C上一點,則下列說法中正確的有()A.曲線C關(guān)于原點O成中心對稱B.x0的取值范圍是[-a,a]C.曲線C上有且僅有一點P滿足|PA|=|PB|D.曲線C上所有的點P都在圓x2+y2=2a2上或其內(nèi)部三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±13.已知直線l:4x-3y+8=0,若P是拋物線y2=4x上的動點,則點P到直線l和它到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為.

14.阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家,也是著名的數(shù)學(xué)家,他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面積為23π,兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成等邊三角形,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.若過點P(1,0)的直線l與C交于不同的兩點A,B,則△OAB面積的最大值為.(本題第一空2四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)在①m>0,且C的左支上任意一點到右焦點的距離的最小值為3+3;②C的焦距為6;③C上一點到兩個焦點的距離之差的絕對值為4這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面的問題中并解答.問題:已知雙曲線C:x2m-y22m=1,注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

16.(15分)已知拋物線C:y2=3x的焦點為F,斜率為32的直線l與C的交點為A,B,與x軸的交點為(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.

17.(15分)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)(1)若點A的坐標(biāo)為(2,2),求F的坐標(biāo);(2)若|AF|+|BF|=4|OF|(O為坐標(biāo)原點),求該雙曲線的離心率.

18.(17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動點M到直線x=4的距離等于點M到點D(1,0)的距離的2倍,記動點M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)已知斜率為12的直線l與曲線C交于A,B兩個不同的點,若直線l不過點P(1,32),設(shè)直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,求kPA+kPB

19.(17分)已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,右焦點F是拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點,(1)求橢圓C1的方程;(2)已知斜率為k的直線l交橢圓C1于A,B兩點,M(0,2),直線AM與BM的斜率乘積為-12,若在橢圓上存在點N,使|AN|=|BN|,求△ABN的面積的最小值

第3章圓錐曲線與方程1.B由題知雙曲線C:3x2-y2=3,即x2-y23=1,故焦點坐標(biāo)為(±2,0),漸近線方程為y=±3x,即y±3x=由雙曲線的對稱性,不妨取焦點(2,0)到漸近線y+3x=0的距離,故焦點到其漸近線的距離為233+1=3.故選2.B∵|PM|+|PN|=22,|MN|=2,∴P在以M,N為焦點,22為長軸長的橢圓上.由于2a=22,a=2,c=1,因此b=a2-∴橢圓方程為y22+x2=由y=x+3,y2故選B.3.A設(shè)點P(x,y),則Q(x,-1).因為F(0,1),且QP·QF=FP·FQ,所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,所以動點P的軌跡C的方程為x2=4y.4.C依題意,可設(shè)橢圓方程為y2a2+x2b2=則100+34762故2c=300,(1)正確;2a=3976,(2)錯誤;焦點坐標(biāo)為(0,±150),(3)正確;離心率ca=1501988=75994所以結(jié)論正確的為(1)(3)(4).5.B拋物線中2p=8,p=4,則焦點坐標(biāo)為(2,0),過焦點且傾斜角為45°的直線方程為y=x-2,由y=x-2,y2=8x,得x2-12x+4=0,則x1+x2=12(從而弦長為x1+x2+p=12+4=16.6.C如圖D1,連接AB.圖D1因為∠ACB=90°,則AB為☉F2的直徑,故A,F2,B三點共線且AB⊥F1F2.又|BF2|=|F1F2|=2c,|OF2|=c,所以kOB=ba=|B故離心率e=1+(ba)7.A因為e=ca=c2a2=a2-b2a2=22,所以a=2b,由已知條件可得MP⊥MQ,則PQ為圓x2+y2=3b2的一條直徑,則|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=12b2,所以S△MPQ=12|MP|·|MQ|≤|MP|2+|MQ|24=3b2,當(dāng)且僅當(dāng)|故選A.8.D依題意,設(shè)P(x1,y1),Q(-x1,-y1),B(x2,y2),A(2x1,0),直線PQ,QB(QA),BP的斜率分別為k1,k2,k3,則k2=0?(?y1)2x1-(-x1)=y13x1=13k1,(PQ⊥BP)∵x12a2+y12b2=1,x22∴(y1+y2)(x1+x2)∴-b2a2=-13,即b2a2=13,∴∴橢圓的離心率e=63,故選9.ABC當(dāng)m=-1時,y2=-(x2-4),可化為x2+y2=4,曲線C是一個圓,所以A正確.當(dāng)m>0時,y2=m(x2-4),可化為x24-y24m=1,曲線C是一個雙曲線當(dāng)m=-3時,y2=-3(x2-4),可化為y212+x24=1,曲線C是焦點為(0,±22)的橢圓,y2=m(x2-4)可化為x24+y2-4m=1,若曲線C是離心率為22的橢圓,則4+4m2=2解得m=-2或m=-12,所以D不正確.故選ABC10.ABC如圖D2,設(shè)|AF1|=|BF2|=2|AF2|=2m(m>0),則|AB|=|AF2|+|BF2|=3m,圖D2由雙曲線的定義知,|AF1|-|AF2|=2m-m=2a,即m=2a,|BF1|-|BF2|=2a,即|BF1|-2m=2a,∴|BF1|=3m=|AB|,則∠AF1B=∠F1AB,故選項A正確;由余弦定理知,在△ABF1中,cos∠AF1B=|AF1|2在△AF1F2中,cos∠F1AB=|AF1|2+|AF2|2化簡整理得,12c2=11m2=44a2,∴離心率e=ca=4412=333,故選項在△AF2F1中,cos∠AF2F1=4c2+m2-4m22·2c·m=4c2-3∴tan∠AF2F1=sin∠AF2F∴根據(jù)雙曲線的對稱性可知,直線AB的斜率為±42,故選項C正確;若原點O在以F2為圓心,AF2為半徑的圓上,則c=m=2a,與ca=333矛盾,故選項D故選ABC.11.ACD依題意,曲線C的方程為(x+a)2+y2對于A,若點P(x0,y0)滿足①,則對于點P關(guān)于原點的對稱點M(-x0,-y0)有(-x0+a)2+y02即M(-x0,-y0)也在曲線C上,故A正確;對于B,由a2=(x0-a)2+y02·(x0+a)2+y02∴-2a≤x0≤2a,故B錯誤;對于C,若|PA|=|PB|,則點P在AB的垂直平分線上,∴x0=0,將P(0,y0)代入①得(a2+y02)2=a2,即僅當(dāng)P是原點時,|PA|=|PB|,故C正確;對于D,由(x0-a)2+y02·(x0+a∴(x02+y02+a2)2=a4+4a2x02,∴由x02∴x02+y02≤2a2,故選ACD.12.3雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±bax,則ba13.75拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1設(shè)點P到直線l的距離為d1,到準(zhǔn)線的距離為d2,點F到直線l的距離為d,易知|PF|=d2.由拋物線的定義可得點P到直線l和它到y(tǒng)軸的距離之和為d1+d2-1=d1+|PF|-1≥d-1,因為d=|4-0+8|5=12所以所求最小值為125-1=714.x24+y23=132依題意有ab=23,a=2c由題意知直線l的斜率不能為0,設(shè)直線l的方程為x=my+1,由x=my+1,x24+y23=1,得(3m2設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=-6m3m2+4,y1所以|y1-y2|=(y1+所以S△OAB=12×|OP|×|y1-y2|=6令t=m2+1(t≥1),則m2=t2-1,S△OAB=6t因為y=3t+1t在[1,+∞)上單調(diào)遞增所以當(dāng)t=1,即m=0時,△OAB面積取得最大值,為3215.選①.因為m>0,所以a2=m,b2=2m,c2=3m,所以a=m,c=3m因為C的左支上任意一點到右焦點的距離的最小值為a+c,所以a+c=m+3m=3+3解得m=3,故C的方程為x23-y2選②.若m>0,則a2=m,b2=2m,c2=3m,所以a=m,c=3m,所以C的焦距2c=23m解得m=3,故C的方程為x23-y若m<0,則a2=-2m,b2=-m,c2=-3m,所以c=-3m,所以C的焦距2c=2-3m=6,解得m則C的方程為y26-x2選③.若m>0,則a2=m,所以a=m,因為C上一點到兩個焦點的距離之差的絕對值為4,所以2a=2m=4,解得m=4,則C的方程為x24-y若m<0,則a2=-2m,所以a=-2m因為C上一點到兩個焦點的距離之差的絕對值為4,所以2a=2-2m=4,解得m=-則C的方程為y24-x216.設(shè)直線l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2)(1)由題設(shè)得F(34,0),故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由題設(shè)可得x1+x2=由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2從而-12(t-1)9=52,解得所以l的方程為y=32x-7(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3x可得所以y1+y2=2.從而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=417.(1)將A(2,2)代入拋物線方程x2=2py(p>0),即(2)2=2p×2,解得p=12,即拋物線的方程為x2=y所以拋物線的焦點坐標(biāo)為F(0,14)(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線的定義可得|AF|+|BF|=y1+y2+p,又4|OF|=4×p2=2p,所以y1+y2=p聯(lián)立方程得x可得a2y2-2pb2y+a2b2=0,可得y1+y2=2p所以2pb2a2=p,b2a2=1即雙曲線的離心率為6218.(1)不妨設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),由題意可知,|x-4|=2(x化簡可得x24+y故曲線C的方程為x24+y2(2)不妨設(shè)直線l的方程為y=12x+m,A(x1,y1),