必修第一冊(cè)北師大版第七章單元測(cè)試卷

第七章概率單元檢測(cè)卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知100件產(chǎn)品中有5件次品,從這100件產(chǎn)品中任意取出3件,設(shè)A表示事件“3件產(chǎn)品都不是次品”,B表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”,C表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件次品”,則下列結(jié)論正確的是()A.B與C互斥 B.A與C互斥C.A,B,C任意兩個(gè)事件均互斥 D.A,B,C任意兩個(gè)事件均不互斥2.甲箱子里有3個(gè)白球,2個(gè)黑球,乙箱子里有2個(gè)白球,3個(gè)黑球,從這兩個(gè)箱子里分別摸出1個(gè)球,它們都是白球的概率是()A.56 B.625 C.67 3.十二生肖作為中國(guó)民俗文化的代表,是中國(guó)傳統(tǒng)文化的精髓,很多人把生肖作為春節(jié)的吉祥物,以此來(lái)表達(dá)對(duì)新年的祝福.某課外興趣小組制作了一個(gè)正十二面體模型(如圖1),并在十二個(gè)面分別雕刻了十二生肖的圖案,作為春節(jié)的吉祥物.2023年春節(jié)前,某興趣小組的甲、乙兩位成員將模型隨機(jī)拋出,希望能拋出龍的圖案朝上(即牛的圖案在最上面),兩人各拋一次,則恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上的概率為()A.112 B.1172 C.143144 圖1 圖24.洛書(shū),古稱(chēng)龜書(shū),是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水,其甲殼上有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽(yáng)數(shù),四角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖2,若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),則其和等于11的概率是()A.15 B.25 C.310 5.某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次命中目標(biāo)的概率為p,且每次射擊結(jié)果相互獨(dú)立,已知他連續(xù)射擊三次,至少有一次命中的概率為3764,則p為()A.14 B.34 C.338 6.甲、乙兩人玩猜數(shù)字,先由甲心中想一個(gè)數(shù)字,記為a,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就稱(chēng)甲、乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲,則他們“心有靈犀”的概率為()A.19 B.29 C.718 7.一個(gè)電路如圖3所示,A,B,C,D,E,F為6個(gè)開(kāi)關(guān),每個(gè)開(kāi)關(guān)閉合的概率均為12,且是相互獨(dú)立的,則燈亮的概率為()A.164 B.5564 C.18 圖38.產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)按過(guò)程,主要包括進(jìn)貨檢驗(yàn)(IQC),生產(chǎn)過(guò)程檢驗(yàn)(IPQC),出貨檢驗(yàn)(OQC).已知某產(chǎn)品IQC單獨(dú)通過(guò)率為34,IPQC單獨(dú)通過(guò)率為p(0<p<1),規(guī)定上一類(lèi)檢驗(yàn)不通過(guò)則不進(jìn)入下一類(lèi)檢驗(yàn),未通過(guò)可修復(fù)后再檢驗(yàn)一次(修復(fù)后無(wú)需從頭檢驗(yàn),通過(guò)率不變且每類(lèi)檢驗(yàn)最多兩次),且各類(lèi)檢驗(yàn)間相互獨(dú)立.若該產(chǎn)品能進(jìn)入OQC的概率為56,則p=(A.25 B.12 C.23 二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.不透明的口袋內(nèi)裝有2張紅色卡片,2張綠色卡片和1張藍(lán)色卡片,從中一次性任意取出2張卡片,則下列說(shuō)法正確的是()A.事件“至多有2張卡片為紅色”與事件“2張卡片都為綠色”不是互斥事件B.事件“2張卡片都為紅色”與事件“2張卡片都為綠色”發(fā)生的可能性不同C.取出的2張卡片顏色不同的概率為8D.取出1張藍(lán)色卡片的概率為210.某年級(jí)有12個(gè)班,現(xiàn)要從2班到12班中選1個(gè)班的學(xué)生參加一項(xiàng)活動(dòng),有人提議:擲兩個(gè)骰子,得到的點(diǎn)數(shù)之和是幾就選幾班,這種選法()A.公平,每個(gè)班被選到的概率都為112 B.2班和12C.不公平,6班被選到的概率最大 D.不公平,7班被選到的概率最大11.一道試題,A,B,C三人可解出的概率分別為12,13,14,三人獨(dú)立解答,則下列說(shuō)法正確的是(A.只有一人解出試題的概率為1124 B.至少有兩人解出試題的概率為C.三人都沒(méi)有解出試題的概率為14 D.該試題被解出的概率為三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.由紅、黃、藍(lán)、白四種發(fā)光元件(除顏色外沒(méi)有區(qū)別)連接成霓虹燈系統(tǒng)N,四種發(fā)光元件的工作相互獨(dú)立,當(dāng)四種發(fā)光元件均正常工作時(shí),霓虹燈系統(tǒng)N才能隨機(jī)地發(fā)出亮麗的色彩,當(dāng)某種元件出現(xiàn)故障時(shí),霓虹燈系統(tǒng)N在該處將出現(xiàn)短暫的黑幕現(xiàn)象,若某時(shí)刻出現(xiàn)兩處黑幕現(xiàn)象,則需從霓虹燈系統(tǒng)N中抽取兩種相應(yīng)的發(fā)光元件進(jìn)行更換,則一次性從中隨機(jī)抽取的兩個(gè)恰為故障發(fā)光元件的概率為.13.兩個(gè)袋中各裝有寫(xiě)著數(shù)字0,1,2,3,4,5的6張卡片,若從每個(gè)袋中任意取一張卡片,則取出的兩張卡片上數(shù)字之和是8的概率為,數(shù)字之和大于8的概率為.(本題第一空2分,第二空3分)14.有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)某種零件,甲獲得正品乙獲得不是正品的概率為14,乙獲得正品甲獲得不是正品的概率為16,且每臺(tái)機(jī)床獲得正品的概率均大于12,則甲、乙同時(shí)生產(chǎn)這種零件,四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(13分)如圖4,一個(gè)電路中有A,B,C三個(gè)電器元件,每個(gè)元件可能正常,也可能失效,把這個(gè)電路是否為通路看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象,觀察這個(gè)電路中各元件是否正常.圖4(1)寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間;(2)用集合表示下列事件:M=“恰好兩個(gè)元件正?！?N=“電路是通路”;T=“電路是斷路”.

16.(15分)已知方程組ax+by=2,x+3y=1,其中(1)求該方程組無(wú)解的概率;(2)求該方程組僅有一組解,且該解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限的概率.

17.(15分)為了了解某市工廠開(kāi)展群眾體育活動(dòng)的情況,擬采用分層隨機(jī)抽樣的方法從A,B,C三個(gè)區(qū)抽取7個(gè)工廠進(jìn)行調(diào)查,已知A,B,C區(qū)分別有18,27,18個(gè)工廠.(1)求從A,B,C區(qū)分別抽取的工廠個(gè)數(shù);(2)若從抽得的7個(gè)工廠中隨機(jī)抽取2個(gè)進(jìn)行調(diào)查結(jié)果的對(duì)比,求這2個(gè)工廠中至少有1個(gè)來(lái)自A區(qū)的概率.

18.(17分)當(dāng)顧客在超市排隊(duì)結(jié)賬時(shí),“傳統(tǒng)排隊(duì)法”中顧客會(huì)選他們認(rèn)為最短的隊(duì)伍結(jié)賬離開(kāi),某數(shù)學(xué)興趣小組卻認(rèn)為最好的辦法是如圖5(1)所示排成一條長(zhǎng)隊(duì),然后排頭的人依次進(jìn)入空閑的收銀臺(tái)結(jié)賬,從而讓所有的人都能快速離開(kāi),該興趣小組稱(chēng)這種方法為“長(zhǎng)隊(duì)法”.為了檢驗(yàn)他們的想法,該興趣小組在相同條件下做了兩種不同排隊(duì)方法的實(shí)驗(yàn).“傳統(tǒng)排隊(duì)法”的顧客平均等待時(shí)間為5分39秒,圖5(2)為“長(zhǎng)隊(duì)法”顧客等待時(shí)間的柱狀圖. (1) (2)圖5(1)根據(jù)柱狀圖估算使用“長(zhǎng)隊(duì)法”的100名顧客平均等待時(shí)間,并說(shuō)明選擇哪種排隊(duì)法更適合;(2)為進(jìn)一步分析“長(zhǎng)隊(duì)法”的可行性,對(duì)使用“長(zhǎng)隊(duì)法”的顧客進(jìn)行滿意度問(wèn)卷調(diào)查,發(fā)現(xiàn)等待時(shí)間為[8,10)的顧客中有5人滿意,等待時(shí)間為[10,12]的顧客中僅有1人滿意,在這6人中隨機(jī)選2人發(fā)放幸運(yùn)獎(jiǎng),求獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的都是等待時(shí)間在[8,10)的顧客的概率.

19.(17分)隨著小汽車(chē)的普及,駕駛證已經(jīng)成為現(xiàn)代人必考證件之一.若某人報(bào)名參加了駕駛證考試,要順利地拿到駕駛證,需要通過(guò)四個(gè)科目的考試,其中科目二為場(chǎng)地考試.在每一次報(bào)名中,每個(gè)學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(huì)(這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過(guò)考試,就算順利通過(guò),即進(jìn)入下一科目考試,若5次都沒(méi)有通過(guò),則需要重新報(bào)名),其中前2次參加科目二考試免費(fèi),若前2次都沒(méi)有通過(guò),則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi).某駕校通過(guò)幾年的資料統(tǒng)計(jì),得到如下結(jié)論:男性學(xué)員參加科目二考試,每次通過(guò)的概率均為34,女性學(xué)員參加科目二考試,每次通過(guò)的概率均為23.現(xiàn)有一對(duì)夫妻同時(shí)報(bào)名參加駕駛證考試,在本次報(bào)名中,若這對(duì)夫妻參加科目二考試的原則為:(1)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率;(2)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率.

第七章概率單元檢測(cè)卷參考答案1.B由題意得事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生,是互斥事件;事件A與事件C不可能同時(shí)發(fā)生,是互斥事件;當(dāng)事件B發(fā)生時(shí),事件C一定發(fā)生,所以事件B與事件C不是互斥事件.2.B因?yàn)榧紫渥永镉?個(gè)白球,2個(gè)黑球,所以從甲箱子里摸1個(gè)球是白球的概率為35;因?yàn)橐蚁渥永镉?個(gè)白球,3個(gè)黑球,所以從乙箱子里摸1個(gè)球是白球的概率為2所以從甲、乙兩個(gè)箱子里分別摸出1個(gè)球,它們都是白球的概率為35×25=3.B拋出一次恰好出現(xiàn)龍的圖案朝上的概率為112,出現(xiàn)其他圖案朝上的概率為1112,由于甲、乙拋擲模型的結(jié)果相互獨(dú)立,故所求概率為112×1112+1112×4.A從四個(gè)陰數(shù)(2,4,6,8)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)(1,3,5,7,9)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),樣本空間Ω={(2,1),(2,3),(2,5),(2,7),(2,9),(4,1),(4,3),(4,5),(4,7),(4,9),(6,1),(6,3),(6,5),(6,7),(6,9),(8,1),(8,3),(8,5),(8,7),(8,9)},共20個(gè)樣本點(diǎn),其和等于11包含的樣本點(diǎn)有(2,9),(4,7),(6,5),(8,3),共4個(gè),∴其和等于11的概率P=420=15.A因?yàn)樯鋼粢淮蚊心繕?biāo)的概率為p,所以射擊一次未命中目標(biāo)的概率為1-p,又每次射擊結(jié)果相互獨(dú)立,所以三次都未命中的概率為(1-p)3.因?yàn)椤斑B續(xù)射擊三次,至少有一次命中”的對(duì)立事件為“三次都未命中”,所以“連續(xù)射擊三次,至少有一次命中”的概率為1-(1-p)3=3764,解得p=16.D由于a,b∈{1,2,3,4,5,6},依題意得樣本點(diǎn)的總數(shù)為36.滿足要求的樣本點(diǎn)有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16種.故所求概率為1636=47.B設(shè)“A與B至少有一個(gè)不閉合”為事件T,“E與F至少有一個(gè)不閉合”為事件R,則P(T)=P(R)=1-12×12=34.記開(kāi)關(guān)C,D不閉合的概率分別為P(C),P(D),所以燈亮的概率為P=1-P(T)P(R)P(C)P(D)8.C設(shè)Ai表示第i次通過(guò)IQC,Bi表示第i次通過(guò)IPQC(i=1,2),由題意得P(A1B1+A1A2B1+A1B1B2+A1A2B1B2即34p+14×34p+34×(1-p)p+14×34×(1-p)p=56,解得p=23或9.AD設(shè)2張紅色卡片為R1,R2,2張綠色卡片為G1,G2,1張藍(lán)色卡片為B,從中一次性任意取出2張卡片,該試驗(yàn)的樣本空間為Ω={(R1,R2),(R1,G1),(R1,G2),(R1,B),(R2,G1),(R2,G2),(R2,B),(G1,G2),(G1,B),(G2,B)},共10個(gè)樣本點(diǎn).由互斥事件、對(duì)立事件的概念可知,事件“至多有2張卡片為紅色”與事件“2張卡片都為綠色”不是互斥事件,故A正確.事件“2張卡片都為紅色”與事件“2張卡片都為綠色”包含的樣本點(diǎn)都只有1個(gè),所以兩個(gè)事件發(fā)生的概率相同,故B不正確.事件“取出的2張卡片顏色不同”包含的樣本點(diǎn)有8個(gè),發(fā)生的概率為810=45,故C不正確.事件“取出1張藍(lán)色卡片”包含的樣本點(diǎn)有4個(gè),發(fā)生的概率為410=25,10.BD擲兩粒骰子,每粒骰子得到的點(diǎn)數(shù)有6種結(jié)果,故樣本點(diǎn)數(shù)為36.兩粒骰子的點(diǎn)數(shù)和的情況如圖D1所示.圖D1由圖D1可以看出擲兩粒骰子得到的點(diǎn)數(shù)和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12的情況分別有1種,2種,3種,4種,5種,6種,5種,4種,3種,2種,1種.記“擲兩粒骰子,得到點(diǎn)數(shù)和為i”的概率為Pi(i=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12),則P2=P12=136,P3=P11=236=118,P4=P10=3P5=P9=436=19,P6=P8=536,P7=6所以2班和12班被選到的概率相等,7班被選到的概率最大,故選BD.11.AC根據(jù)題意知三人解出試題是相互獨(dú)立的,事件“只有一人解出試題”包含“A解出試題而其余兩人沒(méi)有解出試題”“B解出試題而其余兩人沒(méi)有解出試題”“C解出試題而其余兩人沒(méi)有解出試題”,三個(gè)事件互斥,所以P(只有一人解出試題)=12×(1-13)×(1-14)+(1-12)×13×(1-14)+(1-12)×(1-13)×14=1124,所以A正確.同樣,可以得出P(只有兩人解出試題)=(1-12)×13×14+12×(1-13)×14+12×13×(1-14)=14,P(三人都解出試題)=12×13×14=124,P(三人都沒(méi)有解出試題)=(1-12)×(1-13)×(1-14)=1所以P(該試題被解出)=1-14=34,所以D12.16記紅、黃、藍(lán)、白四種發(fā)光元件分別為A,B,C,D則從中隨機(jī)抽取兩個(gè)的所有情況為AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6種,而更換的兩個(gè)故障發(fā)光元件為其中一種情況,故一次性從中隨機(jī)抽取的兩個(gè)恰為故障發(fā)光元件的概率為16.13.112112從每個(gè)袋中任意取一張卡片,樣本空間中共有36記“和等于8”為事件A,其包含(3,5),(4,4),(5,3),共3個(gè)樣本點(diǎn),所以P(A)=336=1記“和等于9”為事件B,其包含(4,5),(5,4),共2個(gè)樣本點(diǎn),所以P(B)=236=1記“和等于10”為事件C,其包含(5,5),共1個(gè)樣本點(diǎn),所以P(C)=136又“和等于9”與“和等于10”彼此互斥,故取出的兩張卡片上數(shù)字之和大于8的概率為P(B)+P(C)=118+136=14.1112設(shè)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)這種零件為正品的概率分別為p,q,則12<p≤1,12<q因?yàn)榧撰@得正品乙獲得不是正品的概率為14,所以p(1-q)=14因?yàn)橐耀@得正品甲獲得不是正品的概率為16,所以q(1-p)=16①②聯(lián)立得p=34,q=2所以甲、乙均獲得正品的概率為pq=34×23=12,則甲、乙同時(shí)生產(chǎn)這種零件,至少一臺(tái)獲得正品的概率是14+1615.分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài),則這個(gè)電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示,用1表示元件的“正?！睜顟B(tài),用0表示“失效”狀態(tài).(1)則樣本空間Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)};(2)“恰好兩個(gè)元件正常”等價(jià)于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有兩個(gè)為1,所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.“電路是通路”等價(jià)于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一個(gè)是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}.同理,“電路是斷路”等價(jià)于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=0,或x1=1且x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.16.(1)點(diǎn)(a,b)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有6×6=36(個(gè)),記事件A為“方程組無(wú)解”,則直線ax+by=2與直線x+3y=1平行(或重合),即b=3a,其中滿足該條件的點(diǎn)有(1,3),(2,6)共2個(gè),所以P(A)=236=1(2)記事件B為“該方程組僅有一組解,且該解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限”,由ax+by又該解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,所以-所以3a-b>0,-b得點(diǎn)(1,1),(1,2)均滿足b≠3a,所以事件B的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,所以P(B)=236=117.(1)工廠總數(shù)為18+27+18=63,樣本容量與總體中的個(gè)體數(shù)比為763=19,所以從A,B,C三個(gè)區(qū)抽取的工廠個(gè)數(shù)分別為(2)設(shè)A1,A2為在A區(qū)抽得的2個(gè)工廠,B1,B2,B3為在B區(qū)抽得的3個(gè)工廠,C1,C2為在C區(qū)抽得的2個(gè)工廠,在這7個(gè)工廠中隨機(jī)抽取2個(gè),全部可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共有21個(gè).隨機(jī)抽取的2個(gè)工廠至少有1個(gè)來(lái)自A區(qū)(記為事件X)的樣本點(diǎn)有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),共有11個(gè).所以這2個(gè)工廠中至少有1個(gè)來(lái)自A區(qū)的概率為P(X)=112118.(1)1×8+3×12+5×25+7×36+9×15+11×4100=6(分),因?yàn)槭褂谩伴L(zhǎng)隊(duì)法”的顧客