2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測(cè)41蝗制含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE6弧度制[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．下列各對(duì)角中，終邊相同的是()A.eq\f(20π,3)，eq\f(29π,3) B．－eq\f(π,3)，eq\f(22π,3)C.eq\f(3π,2)，－eq\f(3π,2) D．－eq\f(7π,9)，－eq\f(25π,9)解析：選DA錯(cuò)誤，eq\f(20π,3)＝6π＋eq\f(2π,3)，eq\f(29π,3)＝10π－eq\f(π,3)，終邊不相同；B錯(cuò)誤，eq\f(22,3)π＝6π＋eq\f(4π,3)，其終邊與－eq\f(π,3)的終邊不同；C錯(cuò)誤，eq\f(3π,2)的終邊在y軸的負(fù)半軸上，而－eq\f(3π,2)的終邊在y軸的正半軸上，所以終邊不相同；D正確，因?yàn)椋璭q\f(25π,9)＝－2π－eq\f(7π,9)，所以－eq\f(7π,9)和－eq\f(25π,9)的終邊相同．2．已知弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為π，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為()A．2π B．πsin2C.eq\f(π,sin1) D.eq\f(π,2sin1)解析：選C由題知弧度數(shù)θ＝2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為π，設(shè)圓的半徑為r，由sin1＝eq\f(\f(π,2),r)，得r＝eq\f(π,2sin1).依據(jù)弧長(zhǎng)公式l＝θr＝2r＝eq\f(π,sin1).故選C.3．把角－570°化為2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式為()A．－3π－eq\f(1,6)π B．－4π＋150°C．－3kπ－30° D．－4π＋eq\f(5,6)π解析：選D因?yàn)椋?70°與eq\f(5,6)π的終邊相同，所以把角－570°化為2kπ＋α(0≤α<2π)的形式為－4π＋eq\f(5,6)π.4．(多選)若角α的終邊在直線y＝－x上，則角α的取值集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ－\f(π,4)，k∈Z))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(3,4)π，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(3,4)π，k∈Z))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))解析：選CD直線y＝－x過(guò)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)其次、四象限，故在[0，2π)內(nèi)終邊在直線y＝－x上的角有兩個(gè)：eq\f(3π,4)，eq\f(7π,4).因此終邊在直線y＝－x上的角的集合：S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(3π,4)＋k·2π，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(7π,4)＋k·2π，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(3π,4)＋（2k＋1）π，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(3π,4)＋kπ，k∈Z)))).或者表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)))).故選C、D.5.(2024·湖北荊州高一質(zhì)檢)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其中《方田》章給出了計(jì)算弧田面積所用的閱歷公式為：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如圖中陰影部分所示)是由圓弧和弦圍成，公式中的“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”指半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為eq\f(2π,3)，矢為2的弧田，依據(jù)上述方法計(jì)算出面積是()A．2＋4eq\r(3) B.eq\r(3)＋eq\f(1,2)C．2＋8eq\r(3) D．4＋8eq\r(3)解析：選A如圖所示，∵∠AOB＝eq\f(2π,3)，∴∠AOD＝eq\f(π,3)，∵CD＝2，OD＝eq\f(1,2)OA＝eq\f(1,2)OC，∴OA＝4，AD＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，∴弧田的面積為eq\f(1,2)×(4eq\r(3)×2＋4)＝4eq\r(3)＋2，故選A.6．－105°化為弧度為_(kāi)_______，eq\f(11π,3)化為角度為_(kāi)_______．解析：－105°＝－105×eq\f(π,180)＝－eq\f(7,12)π，eq\f(11,3)π＝eq\f(11,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝660°.答案：－eq\f(7,12)π660°7．已知扇形的圓心角為eq\f(π,4)，弧長(zhǎng)為π，則扇形的面積為_(kāi)_____．解析：由扇形的圓心角α＝eq\f(π,4)，弧長(zhǎng)l＝π，得扇形的半徑r＝eq\f(l,α)＝4，則扇形的面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×π×4＝2π.答案：2π8．圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，而所對(duì)弧長(zhǎng)不變，則該弧所對(duì)圓心角是原來(lái)圓弧所對(duì)圓心角的________倍．解析：設(shè)原來(lái)圓的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，弧所對(duì)的圓心角為α(0<α<2π)，則現(xiàn)在的圓的半徑為3r，弧長(zhǎng)為l，設(shè)弧所對(duì)的圓心角為β(0<β<2π)，于是l＝αr＝β·3r，∴β＝eq\f(1,3)α.答案：eq\f(1,3)9．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第幾象限角．(1)－1500°；(2)eq\f(23,6)π.解：(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－10π＋eq\f(5π,3)，∴－1500°與eq\f(5π,3)終邊相同，是第四象限角．(2)∵eq\f(23,6)π＝2π＋eq\f(11,6)π，∴eq\f(23,6)π與eq\f(11,6)π終邊相同，是第四象限角．10．已知在半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10.(1)求弦AB所對(duì)的圓心角α(0＜α＜π)的大小；(2)求圓心角α所在的扇形弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S.解：(1)因?yàn)閳AO的半徑為10，弦AB的長(zhǎng)為10，所以△AOB為等邊三角形，所以α＝∠AOB＝eq\f(π,3).(2)因?yàn)棣粒絜q\f(π,3)，所以l＝αr＝eq\f(10π,3)，S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3).又因?yàn)镾△AOB＝eq\f(1,2)×10×10×eq\f(\r(3),2)＝25eq\r(3)，所以S＝S扇形－S△AOB＝eq\f(50π,3)－25eq\r(3)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))).[B級(jí)綜合運(yùn)用]11.已知某機(jī)械采納齒輪傳動(dòng)，由主動(dòng)輪M帶著從動(dòng)輪N轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖所示)，設(shè)主動(dòng)輪M的直徑為150mm，從動(dòng)輪N的直徑為300mm，若主動(dòng)輪M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,2)，則從動(dòng)輪N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)()A.eq\f(π,8) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D．π解析：選B設(shè)從動(dòng)輪N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θrad，由題意，知主動(dòng)輪M與從動(dòng)輪N轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)相等，所以eq\f(150,2)×eq\f(π,2)＝eq\f(300,2)×θ，解得θ＝eq\f(π,4)，故選B.12．(2024·湖南張家界高一質(zhì)檢)中國(guó)傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般狀況下，折扇可看作是由從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成．如圖所示．設(shè)制作扇子的扇形面積為S1，圓面中剪下丟去部分的面積為S2，當(dāng)eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618時(shí)，扇面看上去形態(tài)較為美觀，那么此時(shí)制作扇子的扇形圓心角的度數(shù)約為()A．127.50° B．137.50°C．147.50° D．150.50°解析：選B設(shè)圓的半徑為R，圓面中剪下扇形的圓心角為α，剪下丟去部分的圓心角為β，依題意得eq\f(S1,S2)＝eq\f(\f(1,2)α·R2,\f(1,2)β·R2)＝eq\f(α,β)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴β＝eq\f(\r(5)＋1,2)α.又α＋β＝360°，∴α＋eq\f(\r(5)＋1,2)α＝360°，解得α＝eq\f(3－\r(5),2)×360°≈137.50°.故選B.13．(2024·安徽六安舒城中學(xué)高一統(tǒng)考)若角θ與2θ的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，且－π≤θ≤π，則θ所構(gòu)成的集合為_(kāi)_______．解析：角θ與2θ的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以得到θ＝2kπ－2θ，k∈Z，所以θ＝eq\f(2kπ,3)，k∈Z.因?yàn)椋小堞取堞?，所以k＝－1，0，1，所以θ＝－eq\f(2π,3)，0，eq\f(2π,3).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，0，\f(2π,3)))14．已知α＝1690°.(1)把α寫(xiě)成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；(2)求θ，使θ與α終邊相同，且θ∈(－4π，4π)．解：(1)1690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋eq\f(25,18)π.(2)∵θ與α終邊相同，∴θ＝2kπ＋eq\f(25,18)π(k∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq\f(25,18)π<4π(k∈Z)．解得－eq\f(97,36)<k<eq\f(47,36)(k∈Z)，∴k＝－2，－1，0，1.∴θ的值是－eq\f(47,18)π，－eq\f(11,18)π，eq\f(25,18)π，eq\f(61,18)π.[C級(jí)拓展探究]15．如圖，一長(zhǎng)為eq\r(3)，寬為1的長(zhǎng)方形木塊在桌面上作無(wú)滑動(dòng)翻滾，翻滾到第四次時(shí)被一小木塊攔住，使木塊底面與桌面所成角為eq\f(π,6)，試求點(diǎn)A走過(guò)的路程及走過(guò)的弧所在的扇形的總面積．(圓心角為正)解：在扇形ABA1中，圓心角恰為eq\f(π,2)，弧長(zhǎng)l1＝eq\f(π,2)·AB＝eq\f(π,2)·eq\r(3＋1)＝π，面積S1＝eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·AB2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·4＝π.在扇形A1CA2中，圓心角也為eq\f(π,2)，弧長(zhǎng)l2＝eq\f(π,2)·A1C＝eq\f(π,2)·1＝eq\f(π,2)，面積S2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·A1C2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,2)·12＝eq\f(π,4).在扇形A2DA3中，圓心角為π－eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，弧長(zhǎng)l3＝eq\f(π,3)·