高中數(shù)學定積分知識點

數(shù)學選修2-2知識點總結一、導數(shù)1．函數(shù)的平均變化率為注1：其中是自變量的改變量，可正，可負，可零。注2：函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運動的平均速度。2、導函數(shù)的概念:函數(shù)在處的瞬時變化率是，則稱函數(shù)在點處可導，并把這個極限叫做在處的導數(shù)，記作或，即=.3.函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數(shù)的導數(shù)的幾何意義是切線的斜率。4導數(shù)的背景（1）切線的斜率；（2）瞬時速度；5、常見的函數(shù)導數(shù)函數(shù)導函數(shù)06、常見的導數(shù)和定積分運算公式:若，均可導（可積），則有：和差的導數(shù)運算積的導數(shù)運算特別地：商的導數(shù)運算特別地：復合函數(shù)的導數(shù)微積分基本定理（其中）和差的積分運算特別地：積分的區(qū)間可加性用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的步驟:①求函數(shù)f(x)的導數(shù)②令>0,解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令<0,解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間；[注]：求單調區(qū)間之前一定要先看原函數(shù)的定義域。7.求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域。(2)求函數(shù)f(x)的導數(shù)(3)求方程=0的根(4)用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，則f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，則f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，則f(x)在這個根處無極值8.利用導數(shù)求函數(shù)的最值的步驟:求在上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求在上的極值；⑵將的各極值與比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。[注]：實際問題的開區(qū)間唯一極值點就是所求的最值點；9．求曲邊梯形的思想和步驟:分割近似代替求和取極限（“以直代曲”的思想）10.定積分的性質根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質：性質1性質5若，則①推廣：②推廣:11定積分的取值情況:定積分的值可能取正值，也可能取負值，還可能是0.(l）當對應的曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值取正值，且等于x軸上方的圖形面積；（2）當對應的曲邊梯形位于x軸下方時，定積分的值取負值，且等于x軸上方圖形面積的相反數(shù)；當位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0，且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的面積．12．物理中常用的微積分知識（1）位移的導數(shù)為速度，速度的導數(shù)為加速度。（2）力的積分為功。二、推理與證明知識點13.歸納推理的定義：從個別事實中推演出一般性的結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。歸納推理的思維過程大致如圖：實驗、觀察實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論15.歸納推理的特點:①歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。②由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實驗檢驗，因此，它不能作為數(shù)學證明的工具。③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。16.類比推理的定義：根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。17.類比推理的思維過程觀察、比較觀察、比較聯(lián)想、類推推測新的結論18.演繹推理的定義：演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊的推理。19．演繹推理的主要形式：三段論20.“三段論”可以表示為：①大前題：M是P②小前提：S是M③結論：S是P。其中①是大前提，它提供了一個一般性的原理；②是小前提，它指出了一個特殊對象；③是結論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊情況做出的判斷。21.直接證明是從命題的條件或結論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結論的真實性。直接證明包括綜合法和分析法。22.綜合法就是“由因導果”，從已知條件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結論。23.分析法就是從所要證明的結論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為“由果索因”。要注意敘述的形式：要證A，只要證B，B應是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結合使用，不要將它們割裂開。24反證法：是指從否定的結論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而一定原結論是正確的證明方法。25.反證法的一般步驟（1）假設命題結論不成立，即假設結論的反面成立；（2）從假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）從矛盾判定假設不正確，即所求證命題正確。26常見的“結論詞”與“反義詞”原結論詞反義詞原結論詞反義詞至少有一個一個也沒有對所有的x都成立存在x使不成立至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在x使成立至少有n個至多有n-1個p或q且至多有n個至少有n+1個p且q或27.反證法的思維方法:正難則反28.歸繆矛盾（1）與已知條件矛盾:（2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛盾．29．數(shù)學歸納法（只能證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題）的步驟(1)證明：當n取第一個值時命題成立；(2)假設當n=k(k∈N*，且k≥n0)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確[注]：常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明。三、數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念知識點30.復數(shù)的概念：形如a+bi的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫虛數(shù)單位，叫實部，叫虛部，數(shù)集叫做復數(shù)集。規(guī)定：a=c且b=d，強調：兩復數(shù)不能比較大小，只有相等或不相等。31．數(shù)集的關系：32.復數(shù)的幾何意義：復數(shù)與平面內的點或有序實數(shù)對一一對應。33.復平面：根據(jù)復數(shù)相等的定義，任何一個復數(shù)，都可以由一個有序實數(shù)對唯一確定。由于有序實數(shù)對與平面直角坐標系中的點一一對應，因此復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應。這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸。實軸上的點都表示實數(shù)，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。34.求復數(shù)的模(絕對值)與復數(shù)對應的向量的模叫做復數(shù)的模(也叫絕對值)記作。由模的定義