2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí) 等差數(shù)列

2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí)

等差數(shù)列課前自主預(yù)習(xí)案課堂互動(dòng)探究案課前自主預(yù)習(xí)案必

備

知

識(shí)1.等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的______都等于___________，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)式為_(kāi)_______________________．(2)等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有A＝________．2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)通項(xiàng)公式：an＝____________．(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝________＝___________．差同一個(gè)常數(shù)an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù))

a1＋(n－1)d

ak＋al＝am＋an

a中

夯

實(shí)

基

礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(

)(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)．(

)(4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．(

)×√××

答案：B

答案：D

5或6

課堂互動(dòng)探究案1.理解等差數(shù)列的概念．2．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．3．能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題．4．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．問(wèn)題思考·夯實(shí)技能【問(wèn)題1】推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的方法是什么？請(qǐng)你試一試．

【問(wèn)題2】在等差數(shù)列{an}中，通項(xiàng)an是關(guān)于n的一次函數(shù)嗎？前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)嗎？提示：an不一定是關(guān)于n的一次函數(shù)，事實(shí)上，在等差數(shù)列{an}中，an＝kn＋b(k，b∈R)，當(dāng)k＝0，即數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，an不是關(guān)于n的一次函數(shù)；同理Sn不一定是關(guān)于n的二次函數(shù)，當(dāng)數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，Sn＝bn，不是二次函數(shù)．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一

等差數(shù)列基本量的運(yùn)算例1(1)[2024·九省聯(lián)考]記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，則S16＝(

)A．120

B．140C．160

D．180答案：C

(2)[2024·安徽安慶模擬]林業(yè)部門(mén)規(guī)定：樹(shù)齡500年以上的古樹(shù)為一級(jí)，樹(shù)齡300～500年之間的古樹(shù)為二級(jí)，樹(shù)齡100～299年的古樹(shù)為三級(jí)，樹(shù)齡低于100年不稱(chēng)為古樹(shù)．林業(yè)工作者為研究樹(shù)木年齡，多用年輪推測(cè)法，先用樹(shù)木測(cè)量生長(zhǎng)錐在樹(shù)干上打孔，抽取一段樹(shù)干計(jì)算年輪個(gè)數(shù)，由經(jīng)驗(yàn)知樹(shù)干截面近似圓形，年輪寬度依次構(gòu)成等差數(shù)列．現(xiàn)為了評(píng)估某棵大樹(shù)的級(jí)別，特測(cè)量數(shù)據(jù)如下：樹(shù)干周長(zhǎng)為3.14米，靠近樹(shù)芯的第5個(gè)年輪寬度為0.4cm，靠近樹(shù)皮的第5個(gè)年輪寬度為0.2cm，則估計(jì)該大樹(shù)屬于(

)A．一級(jí)

B．二級(jí)C．三級(jí)

D．不是古樹(shù)答案：C

題后師說(shuō)等差數(shù)列基本運(yùn)算的求解策略鞏固訓(xùn)練1(1)[2024·河南洛陽(yáng)模擬]已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，S3＝18，則S6＝(

)A．54 B．71C．80 D．81答案：D解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍1＝1，S3＝18，可得3a1＋3d＝3＋3d＝18，解得d＝5，所以S6＝6a1＋15d＝6＋15×5＝81.故選D.(2)[2024·河北唐山模擬]已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝2，a3＋a5＝4，則a5＋a7＝________．6

題后師說(shuō)

題型三

等差數(shù)列的性質(zhì)角度一等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)例3(1)[2024·黑龍江哈爾濱模擬]已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，若a2＋a3＋a14＋a15＝40，則S16＝(

)A．150 B．160C．170 D．與a1和公差有關(guān)答案：B

(2)[2024·河北石家莊模擬]已知數(shù)列{an}對(duì)任意正整數(shù)n都有an＋an＋2＝2an＋1，且a2，a6是方程x2－8x－5＝0的兩個(gè)實(shí)根，則a1＋a4＋a7＝________．12

鞏固訓(xùn)練3(1)[2024·江西宜春模擬]已知等差數(shù)列{an}滿足a2－a5＋a8＝4，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和S9＝(

)A．9 B．18C．36 D．72答案：C

(2)[2024·江蘇徐州模擬]若一個(gè)等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為15，后5項(xiàng)和為145，且該數(shù)列共有31項(xiàng)，則這個(gè)等差數(shù)列的公差為_(kāi)_______．1

答案：B

答案：C

鞏固訓(xùn)練4(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10＝20，S20＝10，則S30＝(

)A．0 B．－10C．－30 D．－40答案：C解析：由等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得：S10，S20－S10，S30－S20也成等差數(shù)列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴2×(10－20)＝20＋S30－10，解得S30＝－30.故選C.(2)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為15，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為25，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(

)A．10 B．20C．30 D．40答案：A解析：設(shè)該數(shù)列有2n項(xiàng)，則S偶－S奇＝nd，得2n＝25－15＝10，故該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10，故選A.角度三等差數(shù)列的最值問(wèn)題例5(多選)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若a1>0，S10＝S20，則成立的是(

)A．d>0 B．Sn的最大值是S15C．a(chǎn)16<0 D．當(dāng)Sn<0時(shí)，n最大值為32答案：BC

題后師說(shuō)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值的兩種常用方法鞏固訓(xùn)練5已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a9＋a12>0，a10·a11<0，且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn>0時(shí)，n的最大值為(

)A．10 B．11C．20 D．21答案：C

1．[2023·全國(guó)甲卷]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，則S5＝(

)A．25 B．22C．20 D．15答案：C

答案：D

2解析：方法一設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.因?yàn)?S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a1＋d＋a1＋2d)＝3(a1＋a1＋d)＋6，所以6a1＋6d＝6a1＋3d＋6，解得d＝2.方法二設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為