2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí)空間直線平面的平行

2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí)

空間直線、平面的平行課前自主預(yù)習(xí)案課堂互動探究案課前自主預(yù)習(xí)案必

備

知

識1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與________的一條直線平行，那么該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)a?α，b?α，且a∥b?a∥α“內(nèi)”“外”“平行”三個條件缺一不可性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面______，那么該直線與交線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)此平面內(nèi)相交2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條________與另一個平面平行，那么這兩個平面平行“相交”條件不可缺少a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α性質(zhì)定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么________平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b相交直線兩條交線【常用結(jié)論】(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.(4)若α∥β，a?α，則α∥β.夯

實(shí)

基

礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(

)(2)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(

)(3)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(

)(4)若α∥β，且直線a∥α，則直線a∥β.(

)××√×2．(教材改編)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為________．答案：平行解析：連接BD，則AC∩BD＝O，連接OE(圖略)，則OE∥BD1，OE?平面ACE，BD1?平面ACE，∴BD1∥平面ACE.3．(教材改編)如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD和AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________.

4．(易錯)若直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行，則a與α的關(guān)系為________．答案：a∥α或a?α解析：若直線a在平面外，則a∥α；若直線a在平面內(nèi)，符合條件，∴a∥α或a?α.5．(易錯)若平面α∥平面β，直線a∥平面α，則a與β的關(guān)系是________．答案：a?β或a∥β解析：因?yàn)橹本€a∥平面α，平面α∥平面β，所以a?β或a∥β.課堂互動探究案1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并會證明．2．掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．問題思考·夯實(shí)技能【問題1】一條直線與一個平面平行，那么它與平面內(nèi)的所有直線都平行嗎？提示：不都平行．該平面內(nèi)的直線有兩類：一類與該直線平行，一類與該直線異面．【問題2】一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行嗎？提示：平行．可以轉(zhuǎn)化為“一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行”，這就是面面平行的判定定理．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一

直線與平面平行的判定與性質(zhì)角度一直線與平面平行的判定例1在多面體ABCC1A1B1中，四邊形BB1C1C是正方形，

A1為AB1的中點(diǎn)，求證：直線AC∥平面A1BC1.證明：連接CB1，設(shè)CB1∩BC1＝D，因?yàn)樗倪呅蜝B1C1C是正方形，所以D為CB1的中點(diǎn)，連接A1D，因?yàn)锳1，D分別為AB1，CB1的中點(diǎn)，則A1D∥AC，因?yàn)锳1D?平面A1BC1，AC?平面A1BC1，所以直線AC∥平面A1BC1.題后師說證明線面平行的兩種常用方法(1)利用線面平行的判定定理．(2)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．

題后師說應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定．鞏固訓(xùn)練1如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn)．(1)求證：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解析：(1)證明：令A(yù)C∩BD＝O，連接OE，∵四邊形ACEF為矩形，M，O分別為EF，AC中點(diǎn)，∴EM∥OA，且EM＝OA，∴四邊形AOEM為平行四邊形，∴AM∥OE，∵AM?平面BDE，OE?平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)l∥m，證明：由(1)知AM∥平面BDE，又∵AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，∴l(xiāng)∥AM，∵AM∥平面BDE，AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，∴m∥AM，∴l(xiāng)∥m.題型二

平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．

題后師說證明面面平行的三種常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行．(3)利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時(shí)平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)．鞏固訓(xùn)練2如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，證明：B1D1∥l.

(2)由(1)知，平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝直線l，平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，∴直線l∥直線BD，∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，∴B1D1∥BD，∴l(xiāng)∥B1D1.題型三

平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例4如圖，四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E為PB的中點(diǎn)．(1)求證：CE∥平面PAD；(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請說明理由．

題后師說解決面面平行問題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“線線平行”“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”．(2)解答探索性問題的基本策略是先假設(shè)，再嚴(yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思想方法．

1．若l，m是平面α外的兩條不同直線，且m∥α，則“l(fā)∥m”是“l(fā)∥α”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：A解析：∵l，m是平面α外的兩條不同的直線，m∥α，∴若l∥m，則推出“l(fā)∥α”；若l∥α，則l∥m或l與m相交或l與m異面；∴若l，m是平面α外的兩條不同直線，且m∥α，則“l(fā)∥m”是“l(fā)∥α”的充分不必要條件．故選A.2．已知α，β是空間兩個不同的平面，命題p：“α∥β”，命題q：“平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行”，則p是q的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件