2024-2025學年山東省青島市高三上學期期初考數(shù)學試題及答案

2024年高三年級期初調研檢測數(shù)學試題2024.09本試卷共4頁，19題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需要本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．{(}B=2,3,4,5}A=xy=4?x{AB=1.已知集合，，則（）2,3,4,5}A.B.C.D.D.(+)=+，則的虛部為（1z4）2.已知復數(shù)z滿足z?1iiA.1B.C.π4π43.已知命題p：∈R，sin?α=+α?p為（，則）π4π4π4π4∈R，sin?α≠+α?α∈R，sin?α?R，sin?α≠+αA.C.B.π4πππ?R，sin?α=+α?α=+αD.444?a,a,a4.{?的首項為1，公差不為0成等比數(shù)列，則{??的前6項和為（）?236?1A.B.3C.D.5.在平面直角坐標系中，角αβx軸的非負半軸為始邊，它們的終邊關于x軸對稱．若1，則α?β)=（）cosα=?3197979A.B.?C.1D.6.兩個粒子AB的位移分別為SA2)，=S=(4,BB相對粒子A的位移為S，則S在SA上的投影向量為（）525(5,25),B.C.2)D.A.552(+)≤xa,x0()=fx，若()是()的最小值，則的取值范圍為（）f0fx7.設a1x++a,x>0x?]?]??]0]1,01,21AB.C.D.x22y228.已知雙曲線C:?=a>b>0)FFFF為直徑的圓和C的漸近線1212ab在第一象限交于A點，直線交C的另一條漸近線于點，F(xiàn)BBA，則C的離心率為（=）11A.2B.C.2D.33二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.一組數(shù)據(jù)：xxx是公差為－2xx）1210110A.兩組數(shù)據(jù)的極差相同C.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同B.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同D.兩組數(shù)據(jù)的標準差相同10.平面α?α=ABCDABCD的頂點A，平面α//平面CB1DABCDm過正方體，平面平面，平11111面α平面ABBA=n，則（）11π平面α⊥平面,n所成的角為BD//m1B//n1B1A.B.C.D.1131+am∑??mi?b為數(shù)列{?和{?ia=n設數(shù)列{?和{?的項數(shù)均為的所有數(shù)n11?a+??i1n列{?}構成的集合為C．已知數(shù)列{}和{}為C中的兩個元素，項數(shù)均為，下列正確的有（）AnBnm?A.數(shù)列1,3,5,7和數(shù)列6,8的距離為4()，則m=4pp∈N*AAA=BBB12m12mB.若m()∑i≤mm=4pp∈N*C.若D.若，則i1A=2B=3{}和{}的距離小于2017，則的最大值為3456ABmnn，，數(shù)列11三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分．y=axcosx在點(0)a=______．處的切線斜率為?1，則12.若曲線13.若1=14.正方體πx=π2()=ωω>)的兩個相鄰極值點，則ω=fxsinx______．0，是函數(shù)3ABCDABCD31A（包括邊界）上一動點，E是棱CD的棱長為，P是側面上一點，11111若∠=，且△的面積是面積的倍，則三棱錐－ABE體積的最大值是______．9四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.2312平局．已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響．（1）求在一次猜謎活動中，有一方獲勝的概率；（2）若有一方獲勝則猜謎活動結束，否則猜謎繼續(xù)，猜謎最多進行3次，求猜謎次數(shù)X的分布列和期望．a的內角的對邊分別為2(cB+bC)=，．16.ABC,B,Ca,b,cA（1A；1（2邊上的高等于c，求sinC．317.PABCDABCD是正方形，PD=DC，PD⊥底面ABCD，E?是線段PC的中點，F(xiàn)在線段PB上，EFPB．⊥（1）證明：PB平面⊥DEF；（2）G在線段上，EG與PA所成的角為，求平面DEF與平面DEG夾角的余弦值．?y2=mP在CP（n2P()≥18.已知雙曲線C:4x2作斜率為11nn1y()n,y．n的直線與C的左支交于點n1，點n1關于軸的對稱點為，記點的坐標為PPnnP,P（1）求點的坐標；32a=2x?y，證明：數(shù)列{}為等比數(shù)列；a（2nnnn（3）O為坐標原點，G,H分別為線段PP，PPn1n3△P，OGH的中點，記的面積分別為n1n2nn21S21,S，求的值．2()定義域為fxx∈D?t∈D<()()為()xtfx<fttfx19.已知函數(shù)ID?I，在D上的“Ω點．fx=2+ax1+x?2x．（1）設函數(shù)()()()（）當a=0時，求()在fx(?+∞)上的最大點；“Ω”（）若()在[]fx0,1上不存在，求a的取值范圍；{}()，且()，()()()fx．證明：在D上的“Ω點個D=,mm∈N*f1=0fx?fx?1≤1（2數(shù)不小于()．fm2024年高三年級期初調研檢測數(shù)學試題2024.09本試卷共4頁，19題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需要本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．{(}B=2,3,4,5}A=xy=4?x{AB=1.已知集合，，則（）2,3,4,5}D.A.B.C.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)中真數(shù)大于0解出集合A，再利用交集含義即可得到答案.{()}{}A=xy=4?x=xx<4，則A∩B=.【詳解】故選：B.(+)=+，則的虛部為（1z4）2.已知復數(shù)z滿足z?1iiA.1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法的計算公式得z=2?i，再根據(jù)共軛復數(shù)和復數(shù)虛部的概念即可.(+)(?)4+1+4110?z====2?i，【詳解】(+)(?)115則z2i，則其虛部為1.=+故選：A.π4π43.已知命題p：∈R，sin?α=+α?p為（，則）π4π4π4π4∈R，sin?α≠+α?α∈R，sin?α?R，sin?α≠+αA.C.B.π4πππ?R，sin?α=+α?α=+αD.444【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定，否定結論，全稱變特稱即可.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定，否定結論，全稱變特稱則?p為“?α∈R，π4π4sin?α≠+α”.故選：B.4.{?的首項為1，公差不為0?a,a,a成等比數(shù)列，則{??的前6項和為（）?236?1A.B.3C.D.【答案】D【解析】d=，后根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算即可.2【分析】根據(jù)等比中項得到方程，解出a,a,a成等比數(shù)列,則3226=?(1+2d)=(a+d)?(a+5d)，112【詳解】2361=?1代入得到(?1+2d)=(?1+d)?(1+d)，d≠0d=2，解得.26×5則{}6項和aS=6×(?+6×2=24.n2故選：D.5.在平面直角坐標系中，角αβx軸的非負半軸為始邊，它們的終邊關于x軸對稱．若1，則α?β)=（）cosα=?31779A.B.?C.1D.99【答案】B【解析】【分析】運用角的終邊對稱性，得到正弦余弦值之間的關系，再用兩角差的余弦值計算即可.【詳解】角α與角β均以x軸的非負半軸為始邊，它們的終邊關于x軸對稱.18989cosα=β=?，sinα=?sinβsin2α=1?2α=，sinα?sinβ=?sin2α=?則故，且，318β+α?β=?=?79cosα?β)=cosα?sinsin.99故選：B6.兩個粒子ABSA2)，=S=(4,BB相對粒子A的位移為S，則S在SA上的投影向量為（）525(5,25),B.C.2)D.A.55【答案】C【解析】SSSBA可求解.【詳解】由向量SA2)，=S=(4,BBASSS，可得粒子相對粒子的位移為，BA?=×+×=SA=5可得SS13215且，AS?SS5?2)=2).A?A所以S在SA上的投影向量為故選：C.SS5×5AA2(+)≤xa,x0()=fx，若()是()的最小值，則的取值范圍為（）f0fx7.設a1x++a,x>0x?]?]??]0]1,01,21A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的最值，結合二次函數(shù)和基本不等式二次不等式求解.2(+)≤xa,x0fx=【詳解】由于()x=0f0()=2()是()的最小值，a.f0fx1，則當，x++a,x>0x1(?∞,0]為減區(qū)間，即有a≤0恒成立..則a2≤x++a,x>0則x11x=1≤2+a，解得。?1≤a≤2由x+≥2x×=2，當且僅當取最值則.a2xx?]1,0則a的取值范圍為故選：A..x22y228.已知雙曲線C:?=ab0)FFFF為直徑的圓和C的漸近線>>1212ab在第一象限交于A點，直線交C的另一條漸近線于點，F(xiàn)BBA，則C的離心率為（=）11A.2B.C.2D.33【答案】C【解析】π=FOB==【分析】根據(jù)題意，利用雙曲線的對稱性，得到，結合雙曲線的幾何性213baπ=tan=3質，求得，進而求得雙曲線的離心率，得到答案.3=BFA的中點，則⊥1A【詳解】如圖所示，因為1BBA，可得點為線段，1可得=，2=是雙曲線的漸近線，由雙曲線的對稱性可知因為直線,OB，π=FOB==所以，213baπcb2a=tan=3==1()=1+3=2，+可得直線的斜率為，則e3a所以雙曲線C的離心率為2.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.一組數(shù)據(jù)：xxx是公差為－2xx）1210110A.兩組數(shù)據(jù)的極差相同C.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同【答案】BCB.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同D.兩組數(shù)據(jù)的標準差相同【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念結合等差數(shù)列的性質判斷，由中位數(shù)的概念可判斷B，由方差及等差數(shù)列的通項公式計算即可判斷D，根據(jù)極差及等差數(shù)列的通項公式可判斷A．1112x=(x+x++x)=×x+x)=(x+x)【詳解】對于C，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，612105651010111去掉x1，x10后的平均數(shù)為x′=(x+x++x)=×4(x+x)=(x+x)=xC正確；239565688212(x+x)對于B，原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，6512去掉x1，x10后的中位數(shù)仍為(x+x)，即中位數(shù)沒變，則B正確；56x?x=9d=18對于A，原數(shù)據(jù)的極差為，110去掉x1，x10后的極差為x?x=?7d=14，即極差變小，則A錯誤；29對于Dd，則原數(shù)據(jù)的方差為2221111s2=x?(x+x)+x?(x+x)++x?(x+x)1562561056102221975311=[(?d)2+(?d)2+(?d)2+(?d)2+(?d)2+(d)2+102222223579(d)2+(d)2+(d)2+(d)2]=33，22222221121212′2=?++?+++x?9+6去掉x1，x10后的方差為sx(5x)x3(5x)(5x)2668175311357=[(?d)2+(?d)2+(?d)2+(?d)2+(d)2+(d)2+(d)2+(d)2]=21，822222222即方差變小．標準差也變小，則D錯誤.故選：10.平面α?αABCD=m，平ABCDABCD的頂點A，平面α//平面CB1D，平面平面1過正方體1111面α平面ABBA=n，則（11）π平面α⊥,nD.所成的角為BD//m1B//n1B平面1A.B.C.113【答案】ABC【解析】【分析】設平面α平面ABCD=′證得m//m和′′//1D1C，可判定正確；過作平面γ，A1111設平面γ平面α=a，證得，可判定B正確；設平面平面DCCD=n′，證得n′⊥平面C所成的角，結合CB1D為等邊三角形，可1AB//aα111,n1B，可判定C正確；把所成的角轉化為BD與111判定D不正確.【詳解】對于A中，設平面α平面ABCD=′1111ABCD?ABCDABCD//ABCD平面，1111在正方體中，可得平面1111因為平面α平面ABCDm，所以m//m，CB1DABCD=′1=′ααm，又因為平面//平面，且平面平面1111CBD∩ABCD=BDm//BD′m//1D，所以，所以A正確；1平面對于B中，在正方體平面，所以1111111111ABCD?ABCDAB//DC中，可得，111111因為平面//平面，且平面，所以平面α，αCB1DC?平面CB1DC//11γ平面α=C，設平面γaC//a，過作平面，可得平面αAB//aAB?α1AB//，所以1可得，且，所以B正確；1對于C中，設平面α平面DCCD=n′，11αCB1DCBD∩D=DC′n//DC，所以，1因為平面//平面且平面平面111111ABCD?ABCDAD⊥1D在正方體中，可得平面，，11111C?1DAD⊥C，所以因為平面1又因為1C，且⊥AD1=D，AD,1?1B平面1，，C⊥1Bn′⊥1B平面，1所以平面，所以1ABCD?ABCDABBA//1D平面1在正方體中，可得平面111111因為平面α平面DCCD=n′，平面α平面ABBA=n，所以n//n′，1111所以n平面⊥1B，所以C正確；1m//1Dn//C,nC所成的角，對于D中，因為且，所以所成的角，即為BD與111πCBD為等邊三角形，可得CDB=∠因為，11113π,n所以異面直線所成的角為，所以D不正確.3故選：ABC.1+am∑i??mi?ba為數(shù)列{?和{?+=n設數(shù)列{?和{?的項數(shù)均為的所有數(shù)??n11?ai1n列{?}構成的集合為C．已知數(shù)列{}和{}為C中的兩個元素，項數(shù)均為，下列正確的有（）AnBnm?A.數(shù)列1,3,5,7和數(shù)列2,4,6,8的距離為4()，則m=4pp∈N*AAA=BBB12m12mB.若C.若D.若m()∑i≤mm=4pp∈N*，則i1A=2B=3{}和{}的距離小于2017，則的最大值為3456ABmnn，，數(shù)列11【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列距離的定義求兩數(shù)列的距離判斷A，結合數(shù)列{}，{}的遞推關系證明兩數(shù)列具有AnBnm∑A4k1+4k+2+4k+3+4k+4A，判斷，由條件求i周期性，判斷B，利用基本不等式求，由此求i147334563457∑ii∑i?Bi∑A?B=，結合周期性可求，，由此判斷D.i?ii1i1i1【詳解】對于A，根據(jù)數(shù)列距離的定義可得：6,81?2+3?4+5?6+7?8=41+n數(shù)列1,3,5,7和數(shù)列的距離為A正確；A=t0，且t≠1A=對于B，其中t≠，n11A+?1n1+t1?t1t?1t+12=3=?4=A5=t，所以，，，tA=A則，51因此數(shù)列{}中的項周期性重復，且間隔4項重復一次，An4k14k+24k+34k+4=1，1≤k≤p?1，p∈N?所以，1+nB=s1s≠0s≠±1，由B，且+=設，其中，n11B?n1+s1?s1s?1s+12=3=?4=B5=s，所以，，，sB=B則，51因此數(shù)列{}中的項周期性重復，且間隔4項重復一次，Bn4k14k+24k+34k+4=1，1≤k≤p?1，p∈N?所以，()，則m=4pp∈N*AAA=BBBB正確；12m12m所以若1+t1?t1t?1t+1A4k1+4k+2+4k+3+4k+4=t++?+≠0，且t≠1，因為，其中tt1t+1t?1tt?1t+1t≠,≠所以，1t+1t?1t?1t+1A4k1+4k+2+4k+3+4k+4=t+++>2+2=4所以，tm()∑m=4pp∈N*i>4p=mC錯誤；所以若，i1121所以數(shù)列{}中，=2，=3，4k1=?，，kN，AA4k?3A4k?2A=4k∈?n3112故{}中，=3，=?2，=?，，k∈N，BB4k?3B4k?2B4k1B=4k?n3k1k∑ii∑i?cb?c≥，ii1i1{}和{}的距離越大，mAB所以項數(shù)越大，數(shù)列nn47334567∑ii∑iiA?B=b?c=×864=2016，由，可得3i1i13457∑iib?c=2016+1=2017，i1m∑≤b?c<2017，ii所以m3456時，i1m的最大值為3456；故所以數(shù)列{}和{}的距離小于2017，則的最大值為3456DABnm.n故選：ABD.【點睛】新定義主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分．y=axcosx在點(0)a=______．處的切線斜率為?1，則12.若曲線【答案】1【解析】【分析】先求導，再代入0，運用導數(shù)幾何意義可解.?′=a(cosx?xsinx)，將0代入導數(shù)，運用導數(shù)幾何意義，得y【詳解】求導得到a(cos0?sin0)=a=1.故答案為：1.?π13.若1=x=π2()=ωω>)的兩個相鄰極值點，則ω=fxsinx0______．，是函數(shù)33【答案】【解析】2【分析】根據(jù)題意得到借助最小正周期公式，再用兩個相鄰極值點相差半個周期可解.π12πx=1x=2πf(x)=sinωxω>0)T=(π?)【詳解】，是函數(shù)的兩個相鄰極值點,則，3312ππ32×=(π?)，解得ω=.即2ω332故答案為：ABCDABCD31A（包括邊界）上一動點，E是棱CD的棱長為，P是側面上一點，114.正方體1111若【答案】【解析】∠=，且△的面積是面積的倍，則三棱錐－9PABE體積的最大值是______．928EPDAP3PD=1A上建立平面直角坐1標系，確定點P的軌跡方程，結合體積公式求三棱錐－ABE體積的最大值.【詳解】由已知AB平面⊥1AAP?，1A平面，11所以,⊥因為⊥平面1ADP?，平面1A，11所以，⊥=90，又==所以∠，所以DPE，又△的面積是面積的9倍，13=所以，x,y,z以點D為原點，,DC,1為軸建立空間直角坐標系，則()，()，D0,0,0A3,0,0設點P的坐標為(x,0,z)，則0≤x≤3，0≤z≤3，AP=3PD由已知，(?)所以x32+z23x2z2，=+39x2+z2+x?=0，其中0≤x≤30≤z≤3，所以，483?,0,091A內的一段圓弧，1所以點P的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓在側面88//DD1⊥平面ABCD，過點P作，因為1PQ⊥PQ⊥所以所以平面ABCD，即平面，P?的高，為三棱錐1332所以三棱錐P的體積V?=SPQ=PQ=z，P?3239x2+z+x?=00≤z≤3，，2因為所以4839z=?x2?x+，0≤x≤3，48324所以當x0時，取最大值，最大值為=z，33292所以當x0時，三棱錐－ABE體積取最大值，最大值為=×=.24892故答案為：.8【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于通過證明DPE相似，結合相似三角形的性質證明13=.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.2312平局．已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響．（1）求在一次猜謎活動中，有一方獲勝的概率；（2）若有一方獲勝則猜謎活動結束，否則猜謎繼續(xù)，猜謎最多進行3次，求猜謎次數(shù)X的分布列和期望．12【答案】（）74（2）分布列見解析，【解析】）有一方獲勝，意味著結果為一對一錯，分情況用相互獨立事件的乘法公式計算相加即可；（2）確定X取每一個值對應時間的概率，即可求解.【小問1詳解】設甲猜對為事件，乙猜對為事件B，事件+B表示星隊第一輪活動中只有1人猜對，且事件B與AB互斥，1613()()()()()()PAB=PA×PB=PAB=PA×PB=則∴，，112()()()PAB+AB=PAB+PAB=，即有一方獲勝的概率為.2【小問2詳解】由題意X的可能取值為1，3X=1表示第一次猜謎有人獲勝，所以p(X)1==,21114X=2表示第一次猜謎沒人獲勝同時第二次猜謎有人獲勝，所以p(X2)==×=22112414(=)=??=pX31由分布列的性質，可得，所以分布列為X1231211p441117()=×+×+×=EX123所以2444a的內角的對邊分別為2(cB+bC)=，．16.ABC,B,Ca,b,cA（1A；1（2邊上的高等于c，求sinC．3π【答案】（）43（2）【解析】）利用正弦定理，邊化角，結合兩角和的正弦公式化簡即可；ABC中線段的長度，然后利用等面積法求解即可.c（2）先用表示【小問1詳解】asinAA(+)=(+)=2cBbC2sinCBsinBcosC由得，AsinAAsinAA2(+)=2sinBC=sinA≠0，所以A2sinA=所以，即，又，2π<<A=.又0Aπ，得4【小問2詳解】由題得示意圖1作⊥，則CD=c，3π122A=AD=CD=c=c=c，因為，所以，得，4333511=c，利用等面積法可知：ABCD=ACBCsinC所以BC322125即c×c=c×c×sinC，33331010解得：sinC=.17.PABCDABCD是正方形，PD=DC，PD⊥底面ABCD，E?是線段PC的中點，F(xiàn)在線段PB上，EFPB．⊥（1）證明：PB平面⊥DEF；（2）G在線段上，EG與PA所成的角為，求平面DEF與平面DEG夾角的余弦值．【答案】（）證明見解析6（2）3【解析】BC⊥BC⊥，證得，再由）根據(jù)題意，證得PD⊥BC和⊥BC，得到平面PD=DC，得到⊥PC，證得⊥平面PBC，得到⊥，進而證得PB⊥平面DEF；（2）以點D為原點，建立空間直角坐標系，設正方形ABCD的邊長為2，設=λPB，根據(jù)EG與1λ=，得到GPA所成的角為，求得，求得平面DEG和平面DEF的法向量分別為2n=和=，結合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：因為PD底面⊥ABCD，且BC?底面ABCD，所以PD⊥BC，，又因為ABCD為正方形，可得BC，⊥=CPD,?⊥平面平面，所以BC因為，且?BC⊥又因為平面，所以，⊥PC的中點，所以，因為PDDC，且E為=PC∩=PC,BC?PBC，所以⊥平面PBC，又因為C，且平面，所以，EF=E，DE,EF因為PB平面?PBC⊥?⊥又因為EFPB，且⊥平面DEF，所以PB平面DEF.【小問2詳解】xyz解：以點D為原點，以,DC,所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設正方形ABCD的邊長為2，可得DP2，=D0),(2,0),B(2,0),C0),P2),E可得，則PA=(2,2)，=2)，PE=?因為G在線段PB上，設PG=λPB(2λ,2λ,?2λ)，其中0<λ<1，=則EGPGPE(2λ,2λ?2λ+，=?=PA?EG8λ?22因為EG與PA所成的角為，可得cos45===，PAEG2212×2λ?λ+282141λ2=，所以λ=，所以G==解得，可得，2n?=y+z=0DEGn=(,,z)設平面的法向量為，則，n?=x+y+z=0=?令y=1，可得x=z=?1，所以n，因為PB平面⊥DEF，所以平面DEF的一個法向量為2)，=?DEG所成的二面角為θ<θ<90，設平面DEF與平面，其中0n?PB466可得cosθ===，即平面DEFDEG與平面所成的二面角為.2×233nPB3?y2=mP在CP（n2P()≥18.已知雙曲線C:4x2作斜率為11nn1y()n,y．n的直線與C的左支交于點n1，點n1關于軸的對稱點為，記點的坐標為PPnnP,P（1）求點的坐標；32a=2x?y，證明：數(shù)列{}為等比數(shù)列；a（2nnnn（3）O為坐標原點，G,H分別為線段PP，PPn1n3△P，OGH的中點，記的面積分別為n1n2nn21S21,S，求的值．2713P,?3P2【答案】（），3319=（2）證明見解析（）S225【解析】1()可得l的方程后聯(lián)立雙曲線可得Q的方PmPl21PQ12211程后聯(lián)立雙曲線可得QP，即可得；32y?yn1=x?n1與雙曲線方程，結合韋達定理可得3n=5n1?2yn1n?1(?n,yn)（2y=y?n?x代入可得，再利用等比數(shù)列定義與判定定理計算即可得證；nn1n1?=n134n2?yn2=3xnyS,S12（3【小問1詳解】由題知m=4?1=3，所以雙曲線C:4x2nyn與即可得.n2?y=3，2又過點()，斜率為1的直線方程為Py=x，1由雙曲線與直線的對稱性可知1(??P，所以，2P2y+1=x?1，即y=x?2，又過，且斜率為1的直線方程為y=x?27737133x=1或x=?，當x=?y=??2=?時，，由=3，解得4x2?y233713Q?,?713,?3P所以，所以；33233【小問2詳解】≥∈?P(x,y)(nnN)設，n1n1n1≥∈?y?yn1=x?n1，P(x,y)(nnN)1則過，且斜率為的直線方程為n1n1n1y?y=x?n1n1y3x22x+()x?()yn12?yxn1??3=0，聯(lián)立，消得到2?y2=3n1n14x2?n+n1=?(?)，得到3n=5n1?2yn1，n1yn1由題有3(?n,yn)在直線y?yn1=x?n1上，即有yn?yn1=?n?n1，由題知點Qn?1y=y?n?n1，因為a=2x?y所以，nn1nnnn2n?y2n1?yn1n2n?yn1+n+xn13n?yn1+n15n1?2yn1?yn1+n1=====3，則n12n1?yn12n1?yn12n1?yn1a=2?1=11由（）知，所以數(shù)列{?}為1為首項，的公比的等比數(shù)列；3?【小問3詳解】=2n?yn=n13y=2x?n1，得到，nn由（）知an2?yn=3，即2?yn2=(2x?y)(2x+y)=34n24n由即，nnnn33?n2nyn+===132，?n?2nyn(2n+)+(yy?)n2n32?n+n1x=nn=則，44(2n+)?(yy?)n2n32?n?n1yn=n=，2232?n+n1332?n?n13?n+33n?n?nP,Pn1,故，，n4242?n+n1?+n?n13?n1+n+2?n1?n+23P,P,，，n+2n+34242(?n13)n+2?n+n13?n+n135313故G=+=，2444(?n13)2?n?n13?n?n1353n?13y=+=，G2222(??)(??n1)(??)(??)53n+n153n53n1+3n53n1?3n，即G,，則H,424211n?+3n?n?n13?n+n1331n??n31S=xy?n+2yn1=?則=1n1n+2224242?n+n3??n1??+)(+n1?n?n)nn128112n192n1?+??+?312n?9+1+2n1?+=28116==1，28(??)(??)(??)(53?n1)?n53n+n153n1?3n53n1+3n11S2=xy?xy=?GHHG224242125)(??n1+3??n1)?=×?n+n1?n1?3nnn28251611=2n1??+?12n13??2n1??++12n1399251625==，16991故S212599==25.?=n134n后，結合2?yn=3，從而可得n22nyn【點睛】關鍵點點睛：本題最后一問關鍵點在于得到y(tǒng)與，再利用面積公式計算即可得.n()定義域為fxx∈D?t∈D<()()為()xtfx<fttfx19.已知函數(shù)ID?I，在D上的“Ω點”．fx=2+ax1+x?2x．（1）設函數(shù)()()()（）當a=0時，求()在fx(?+∞)上的最大點；“Ω”（）若()在[]fx0,1上不存在，求a的取值范圍；{}()，且()，()()()fx．證明：在D上的“Ω點個D=,mm∈N*f1=0fx?fx?1≤1（2數(shù)不小于()．fm2a≤?2【答案】（）0）2（2）證明見解析【解析】x1,0?∈(?]?t∈(?0]x<tf(x)<ft)1（，研究單調性后取()最大值點即可得；∈[]fx223fx≤f0（()()在xa0a10<a≤≤≥<a<1討、、及3論函數(shù)單調性即可得；（2“Ω點個數(shù)為01及大于等于2()fx?fx?1≤1()“Ω”的函數(shù)值之差小于等于1，即可得點個數(shù)與()的關系.fm【小問1詳解】（）當a=0時，()fx=2ln1+x?2x()，221x?(+)2x1+x21+x則fx′()=?2==?，1+xx∈0)時，?′(?)>，當?∈(0,+時，?′?)<0，(則當即()在(?)上單調遞增，在fx1,0(0,+∞上單調遞減，x1,0?∈(?]?t∈(?0]x<tf(x)<ft)時，都有，即對，，當即()在(?)上的最大點為0；fxfx≤f0（）由題意可得()()在x∈[]時恒成立，2+axx+1′()=(+)+?fxa1x2，2+axx+1()=(+)+?x∈[]，，gxa1x2令則(+)?(+)aax12axax+2a?2′()=gx+=，1+x(+)x12(+)2x1′()<()在[0,1]上單調遞減，當a0時，≤gx0恒成立，故gx2+00+1′()=()≤()=fxgxg0aln1+?2=0則，故()[0,1]上單調遞減，此時()≤()，符合要求；fxfxf02?2a2>ax+2