二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

4.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),并會簡單應(yīng)用.2.理解和初步掌握賦值法及其應(yīng)用.3.通過學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).◆知識點(diǎn)一二項(xiàng)式系數(shù)表1.從第一項(xiàng)起至中間項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)逐漸,隨后又逐漸.

2.表中每行兩端都是1,而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”的兩個(gè)數(shù)之.

【診斷分析】判斷正誤.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)二項(xiàng)式系數(shù)表中第r行共有r+1項(xiàng). ()(2)第m行斜列中(從右上到左下)前k個(gè)數(shù)的和等于第m+1行斜列中第k個(gè)數(shù). ()◆知識點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.對稱性在(a+b)n的展開式中,與的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即Cn0=Cnn,Cn1=C2.增減性與最大值當(dāng)k<n+12時(shí),Cnk隨k的增大而;由對稱性知,二項(xiàng)式系數(shù)的后半部分,Cnk隨k的增大而.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),中間的一項(xiàng)取得最大值;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),中間的兩項(xiàng)3.各二項(xiàng)式系數(shù)的和①Cn0+Cn1+Cn2+②Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+C【診斷分析】判斷正誤.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為Cn1+Cn2+…+Cn(2)二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)一定相同. ()(3)在(1+2x)9的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)和第6項(xiàng). ()(4)在(1-x)9的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)和第6項(xiàng). ()◆探究點(diǎn)一楊輝三角例1如圖所示,在由二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成的楊輝三角中,第m(m>15)行中從左至右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3,則m= ()A.40 B.50 C.34 D.32變式我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中給出了著名的楊輝三角,如圖,由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中錯(cuò)誤的是 ()A.由“與首末兩端‘等距離’的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等”猜想:CnmB.由“在相鄰的兩行中,除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它‘肩上’兩個(gè)數(shù)的和”猜想:Cn+1r=C.由“第n行所有數(shù)之和為2n”猜想:Cn0+Cn1+Cn2+D.由“111=11,112=121,113=1331”猜想:115=15101051[素養(yǎng)小結(jié)]研究楊輝三角的性質(zhì),實(shí)質(zhì)上是研究二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)(即組合數(shù))的性質(zhì),求解這類題一般要觀察、猜想、歸納楊輝三角橫向、豎向、斜向的各個(gè)數(shù)之間的關(guān)系.◆探究點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和例2設(shè)(1-2x)2022=a0+a1x+a2x2+…+a2022x2022(x∈R).(1)求a0+a1+a2+…+a2022的值;(2)求a1+a3+a5+…+a2021的值;(3)求a2+a4+a6+…+a2022的值;(4)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2022|的值.變式(1)已知(1+2x)n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則各項(xiàng)系數(shù)之和為.

(2)(多選題)若x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a5(x-1)5,其中a0,a1,a2,…,a5為實(shí)數(shù),則 ()A.a0=1B.a2=a3C.a1+a2+…+a5=31D.a1-a2+a3-a4+a5=-1[素養(yǎng)小結(jié)]賦值法是解決二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)和問題的常用方法.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=f(1)+f(-1)2,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1◆探究點(diǎn)三二項(xiàng)式的最值問題例3在x-(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)?變式已知(2x-1)n的展開式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,求x-(1)所有二項(xiàng)式系數(shù)之和;(2)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng).[素養(yǎng)小結(jié)](1)根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是不同的.求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng),一般采用列不等式(組),解不等式(組)的方法求解.一般地,如果第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大,則與之相鄰的兩項(xiàng)(第r項(xiàng)、第r+2項(xiàng))的系數(shù)均不大于第r+1項(xiàng)的系數(shù),由此列不等式組可確定r的范圍,再依據(jù)r∈N*來確定r的值,即可求出系數(shù)最大的項(xiàng).4.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【課前預(yù)習(xí)】知識點(diǎn)一1.增大減小2.和診斷分析(1)√(2)√知識點(diǎn)二1.首末兩端“等距離”2.增大減小Cnn23.①2n②2n-1診斷分析(1)×(2)×(3)√(4)×【課中探究】例1C[解析]∵次數(shù)為m的二項(xiàng)式的展開式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cmr,∴所給楊輝三角形中第m行的第14個(gè)數(shù)和第15個(gè)數(shù)分別為Cm13與Cm14,∴Cm13Cm變式D[解析]對于A,由組合數(shù)的性質(zhì)可得Cnm=Cnn-m,故A中猜想正確;對于B,由組合數(shù)的性質(zhì)可得Cnr-1+Cnr=Cn+1r,故B中猜想正確;對于C,由二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)可得Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n,故C中猜想正確;對于D,115=(10+1)5=105+例2解:令x=1,得a0+a1+a2+…+a2022=(-1)2022=1①.令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2021+a2022=32022②.(1)a0+a1+a2+…+a2022=1.(2)由①-②得2(a1+a3+a5+…+a2021)=1-32022,∴a1+a3+a5+…+a2021=1-(3)由①+②得2(a0+a2+…+a2022)=32022+1,∴a0+a2+…+a2022=32022令x=0,得a0=1,∴a2+a4+a6+…+a2022=32022(4)∵(1-2x)2022的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C2022r(-2x)r=(-1)r·C2022r·(2x)r∴a2k+1<0,a2k>0(k∈N,k<1011),且a2022>0.∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2022|=a0-a1+a2-a3+…-a2021+a2022=32022.變式(1)243(2)ABC[解析](1)∵(1+2x)n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,∴2n=32,解得n=5.令x=1,代入可得各項(xiàng)系數(shù)之和為(1+2)5=243.(2)設(shè)t=x-1,則原式轉(zhuǎn)化為(1+t)5=a0+a1t+a2t2+…+a5t5,令t=0,得a0=1,故A正確;(1+t)5展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5rtr,r=0,1,2,3,4,5,則a2=C52=10,a3=C53=10,即a2=a3,故B正確;令t=1,得a0+a1+a2+…+a5=25=32,所以a1+a2+…+a5=31,故C正確;令t=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=0,則a1-a2+a3-a4+a例3解:x-2x28的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C8k(x)8-k-2x2k(1)易知展開式中共9項(xiàng),則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng),即為第5項(xiàng),該項(xiàng)為T5=(-1)4×24×C84x4-5(2)設(shè)第k+1(k∈N*)項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大,則C8k·2于是k=5或k=6.故系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng).變式解:(1)因?yàn)?2x-1)n的展開式中第3