3.3 冪函數(shù)（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練（必修一）

3.3冪函數(shù)（精講）考點一冪函數(shù)的辨析【例1-1】（2022·陜西省神木中學(xué)高一期末）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】形如的函數(shù)為冪函數(shù)，則為冪函數(shù).故選：C.【例1-2】（2022·福建）函數(shù)是冪函數(shù)，則實數(shù)的值為______________．【答案】或【解析】由題意，解得m=2或-1【一隅三反】1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）在函數(shù)①，②，③，④，，⑥中，是冪函數(shù)的是（

）A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【答案】C【解析】冪函數(shù)是形如（，為常數(shù)）的函數(shù)，①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是冪函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；⑤中的系數(shù)是2，所以不是冪函數(shù)；④是常函數(shù)，不是冪函數(shù).故選：C.2.（2021年廣東潮州）已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是冪函數(shù)，求m=，n=【答案】見解析【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(3,2).))所以m＝－3或1，n＝eq\f(3,2)考點二冪函數(shù)的三要素【例2-1】（2022·浙江）已知冪函數(shù)的圖像過點，則的解析式為=__________．【答案】【解析】由題意知，設(shè)冪函數(shù)的解析式為為常數(shù))，則，解得，所以.故答案為：【例2-2】（2022·山西呂梁·高一期末）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域為（

）A．R B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，因為的圖象過點，所以，解得，則，故的定義域為．故選：C【一隅三反】1．（2022·黑龍江綏化·高一期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知解得，所以f(x)的定義域為．故選：B．2．（2021·全國·高一專題練習(xí)）在下列函數(shù)中，定義域和值域不同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可知，,，定義域、值域相同；由可知，，定義域、值域相同；由可知，,，定義域、值域相同；由可知，，，定義域、值域不相同.故選：D3．（2022·全國·高一）已知冪函數(shù)的圖象過點，則此函數(shù)的解析式為______．【答案】【解析】由題意，設(shè)，代入點得，解得，則.故答案為：.考點三冪函數(shù)的性質(zhì)【例3-1】（2022·遼寧朝陽·高一開學(xué)考試）已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則的值為（

）A．3 B． C．1 D．【答案】C【解析】由函數(shù)為冪函數(shù)知，，解得或.∵在上是減函數(shù)，而當(dāng)時，，在是增函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時，，符合題意，∴，，∴.故選：C.【例3-2】（2021·吉林·東北師大附中高一期中）設(shè)，則使冪函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的的值的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，的定義域為，在上單調(diào)遞減，不滿足；當(dāng)時，的定義域為，不具奇偶性，不滿足；當(dāng)時，的定義域是R，是偶函數(shù)，不滿足；當(dāng)時，的定義域是R，是奇函數(shù)，并且在上單調(diào)遞增，滿足；當(dāng)時，的定義域是R，是奇函數(shù)，并且在上單調(diào)遞增，滿足，所以使冪函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的的值的個數(shù)是2.故選：B【例3-3】（2022·福建）已知函數(shù)的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，解得或，因為在遞減，在遞增，又因為在遞增，所以增區(qū)間為故選：A【例3-4】（2022·江西）已知冪函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為冪函數(shù)是增函數(shù)，且定義域為，由得，解得.所以實數(shù)a的取值范圍是故選：B【一隅三反】1．（2022·全國·高一）冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的值為（

）A． B．3 C．或3 D．【答案】A【解析】因為是冪函數(shù)，故，解得或，又因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以需要，則故選：A2．（2022·四川）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則或，所以函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B.3．（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】為冪函數(shù)，，解得：或；當(dāng)時，為偶函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時，為奇函數(shù)，不合題意；綜上所述：.故選：A.4．（2022·遼寧·高一期末）（多選）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（

）A．的圖象經(jīng)過點 B．的圖象關(guān)于原點對稱C．單調(diào)遞減區(qū)間是 D．在內(nèi)的值域為【答案】BD【解析】將點代入，可得，則，因為，故的圖象不經(jīng)過點(2，4)，A錯誤；根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得：的圖象關(guān)于原點對稱,單調(diào)遞減區(qū)間是和，在內(nèi)的值域為，故BD正確，C錯誤.故選：BD.5．（2022·廣西欽州·高一期末）（多選）若函數(shù)是冪函數(shù)且為奇函數(shù)，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BD【解析】因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得：或，當(dāng)時，函數(shù)，此時函數(shù)為奇函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時，函數(shù)，此時函數(shù)為奇函數(shù)，滿足題意，故選：BD.考點四冪函數(shù)的圖像【例4】（2021·全國·高一單元測試）圖中C1、C2、C3為三個冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】D【解析】由冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，可得：圖中C1對應(yīng)的，C2對應(yīng)的，C3對應(yīng)的，結(jié)合選項知，指數(shù)的值依次可以是．故選：D.【一隅三反】1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若冪函數(shù)與在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，則（

）A．； B．，；C．，； D．，．【答案】B【解析】由圖象知；在上遞增，所以，由的圖象增長的越來越慢，所以，在上遞減，所以，又當(dāng)時，的圖象在的下方，所以，故選：B2．（2022廣東）如圖是冪函數(shù)的部分圖像，已知取、、、這四個值，則于曲線相對應(yīng)的依次為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，可知曲線、對應(yīng)的值為正數(shù)，曲線、對應(yīng)的值為負(fù)數(shù)，當(dāng)時，冪函數(shù)在上的增長速度越來越快，可知曲線對應(yīng)的值為，當(dāng)時，冪函數(shù)在上的增長速度越來越慢，可知曲線對應(yīng)的值為，令，分別代入，，得到，，因為，可知曲線、對應(yīng)的值分別為、.故選：A.3．（2022·江蘇·高一）若冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖所示，則?的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】和在上單調(diào)遞增，所以，，當(dāng)時，圖象在上方，所以，當(dāng)時，圖象在下方，所以，所以，故選：A.考點五冪函數(shù)的綜合運用【例5】（2022·湖南·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；(3)求函數(shù)的值域．【答案】(1)或或(2)答案見解析(3)答案見解析【解析】(1)依題意，即，解得，因為，所以或或，所以或或(2)若定義域為，則為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；若定義域為，則為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若定義域為，則為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；(3)若，則為奇函數(shù)，當(dāng)時，所以時，所以函數(shù)的值域為；若，則為偶函數(shù)，當(dāng)時，所以時，所以函數(shù)的值域為；若，則為奇函數(shù)，當(dāng)時，所以時，所以函數(shù)的值域為；【一隅三反】1．（2022·貴州·六盤水市第五中學(xué)高一期末）已知冪函數(shù)在上為增函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)求函數(shù)的值域.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題得或.當(dāng)時，在上為增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時，在上為減函數(shù)，不符合題意.綜上所述.(2)由題得，令，拋物線的對稱軸為，所以.所以函數(shù)的值域為.2．（2022·上海市第三女子中學(xué)高一期末）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．(1)求的值；(2)求滿足不等式的實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】(1)因為冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，解得，又因為，所以或或，當(dāng)或時，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱（舍）；當(dāng)時，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，符合題意；綜上所述，.(2)由（1）得為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則由得，即，即，解得，所以滿足的實數(shù)的取值范圍為.3．（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)滿足：（1）在區(qū)間上為增函數(shù)（2）對任意的，都有，求同時滿足（1）（2）的冪函數(shù)的解析式，并求當(dāng)時，的值域．【答案】；值域是．【解析】因為函數(shù)在上遞增，所以，解得，因為，，所以，，或．又因為，所以是偶函數(shù)，所以為偶數(shù)．當(dāng)時，滿足題意；當(dāng)時，不滿足題意，所以,又因為在上遞增．所以，，故函數(shù)的值域是．4．（20