專題01勾股定理中的四類最短路徑模型(原卷版+解析)

專題01勾股定理中的四類最短路徑模型勾股定理中的最短路線問題通常是以“兩點(diǎn)之間，線段最短”為基本原理推出的。人們在生產(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題。對于數(shù)學(xué)中的最短路線問題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對于平面內(nèi)的最短路線問題可先畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對于幾何題內(nèi)問題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問題求解，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開后兩個(gè)端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需要用底面圓周長的一半進(jìn)行計(jì)算。注意：1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數(shù)。【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·廣東·八年級期中）如圖，一個(gè)底面圓周長為24cm，高為9cm的圓柱體，一只螞蟻從距離上邊緣4cm的點(diǎn)A沿側(cè)面爬行到相對的底面上的點(diǎn)B所經(jīng)過的最短路線長為（）A． B．15cm C．14cm D．13cm例2．（2023·重慶·八年級期末）如圖，圓柱形玻璃杯高，底面周長為，在外側(cè)距下底處有一只蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上端距開口處的外側(cè)點(diǎn)處有一只蒼蠅，蜘蛛捕到蒼蠅的最短路線長是______．例3．（2023春·山東濟(jì)寧·八年級?？计谥校┐汗?jié)期間，某廣場用彩燈帶裝飾了所有圓柱形柱子．為了美觀，每根柱子的彩燈帶需要從A點(diǎn)沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的B點(diǎn)，如圖所示，若每根柱子的底面周長均為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長度為______米．變式1．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）如圖，這是一個(gè)供滑板愛好者使用的形池，該形池可以看作是一個(gè)長方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長為的半圓，其邊緣（邊緣的寬度忽略不計(jì)），點(diǎn)在上，一滑板愛好者從點(diǎn)滑到點(diǎn)，則他滑行的最短距離為（

）

A． B． C． D．變式2．（2023春·四川德陽·八年級?？计谥校┤鐖D，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長度最短為___________cm．變式3．（2022·山東青島·八年級期末）如圖，一個(gè)圓桶，底面直徑為16cm，高為18cm，則一只小蟲從下底點(diǎn)A處爬到上底B處再回到A處，則小蟲所爬的最短路徑長是（

）（取3）A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm模型2.長方體中的最短路徑模型【模型解讀】長方體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟長方體有關(guān)的最短路徑問題時(shí)，要熟悉長方體的側(cè)面展開圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長方體展開圖的多種情況和分類討論。注意：1）長方體展開圖分類討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；2）兩個(gè)端點(diǎn)中有一個(gè)不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類相同?！咀钪翟怼績牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2022·貴州貴陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，已知，，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞三棱柱側(cè)面兩圈到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．例2．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）如圖，地面上有一個(gè)長方體盒子，一只螞蟻在這個(gè)長方體盒子的頂點(diǎn)A處，盒子的頂點(diǎn)處有一小塊糖粒，螞蟻要沿著這個(gè)盒子的表面A處爬到處吃這塊糖粒，已知盒子的長和寬為均為，高為，則螞蟻爬行的最短距離為（

）．

A．10 B．50 C．10 D．70例3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用7個(gè)棱長為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，沿著該幾何體的表面從點(diǎn)M到點(diǎn)N的所有路徑中，最短路徑的長是（

）A．5 B． C． D．例4．（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個(gè)長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角處沿著木柜表面爬到柜角處．若，，，則螞蟻爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．12變式1．（2022秋·廣東梅州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，長方體的長、寬、高分別為．如果一只小蟲從點(diǎn)開始爬行，經(jīng)過兩個(gè)側(cè)面爬行到另一條側(cè)棱的中點(diǎn)處，那么這只小蟲所爬行的最短路程為（）

A．5 B．4 C．6 D．7變式2．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）棱長分別為兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)P在上，且，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P，需要爬行的最短距離是______．變式3．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）小南同學(xué)報(bào)名參加了學(xué)校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個(gè)長方體的兩個(gè)側(cè)面，如圖所示，他根據(jù)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識準(zhǔn)確地判斷出：從點(diǎn)A攀爬到點(diǎn)B的最短路徑為________米．模型3.階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開—定點(diǎn)—連線—勾股定理【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短。例1．（2023春·四川成都·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是長方形地面，長，寬．中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它必須翻過中間那堵墻，則它要走的路程s取值范圍是________．例2．（2023春·重慶八年級課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)長為米,寬為米的長方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場地寬，木塊的主視圖是邊長為1米的正三角形，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是______米．變式1．（2023·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)二級臺階，每一級臺階的長、寬、高分別為、、．和是這個(gè)臺階兩個(gè)相對的端點(diǎn)，在點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)去受食，那么它爬行的最短路程是______．變式2．（2023秋·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別是4米、0.7米、0.3米，A、B是這個(gè)臺階上兩個(gè)相對的頂點(diǎn)，A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程是________米．模型4.將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問題：對稱+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決。注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問題需要先作對稱，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解?！咀钪翟怼績牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為___________．（杯壁厚度不計(jì)）

例2.（2022·陜西·八年級期中）有一個(gè)如圖所示的長方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內(nèi)壁處有一粒食物，且，一只小蟲想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內(nèi)的處吃掉食物．（1）你認(rèn)為小蟲應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請你畫出它爬行的最短路線，并用箭頭標(biāo)注．（2）求小蟲爬行的最短路線長（不計(jì)缸壁厚度）．例3．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上C，D之間建一個(gè)出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個(gè)最短距離為（

）A． B． C． D．變式1．（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿且與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為（

）．（杯壁厚度不計(jì)）A．20 B．25 C．30 D．40變式2.（2022·山東菏澤·八年級階段練習(xí)）如圖是一個(gè)供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個(gè)長方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣．小明要在AB上選取一點(diǎn)E，能夠使他從點(diǎn)D滑到點(diǎn)E再滑到點(diǎn)C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離約為（）m．（取3）A．30 B．28 C．25 D．22變式3．（2023春·廣東八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個(gè)村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時(shí)的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）。(2)經(jīng)預(yù)算，修建水廠需20萬元，鋪設(shè)水管的所有費(fèi)用平均每千米為3萬元，其他費(fèi)用需5萬元，求完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·浙江金華初三月考）如圖，圓柱底面半徑為cm，高為18cm，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長度最短為（）A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm2.（2022·重慶八年級期中）如圖，長方體的底面邊長是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開始經(jīng)過個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么用細(xì)線最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm3．（2022·山西八年級期末）如圖所示，是長方形地面，長，寬，中間整有一堵磚墻高，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（）A．20 B．24 C．25 D．264.（2022·重慶初二月考）圓柱形杯子的高為18cm，底面周長為24cm，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿2cm）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿4cm），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為（）A． B．28 C．20 D．5．（2023·廣東惠州·八年級階段練習(xí)）如圖，是一塊長、寬、高分別是、和的長方體木塊，一只螞蟻要從頂點(diǎn)出發(fā)，沿長方體的表面爬到和相對的頂點(diǎn)處吃食物，則它需要爬行的最短路線長是（）．

A． B．6 C． D．6．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，圓柱形容器高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為（）A． B． C． D．7．（2023秋·河南鄭州·八年級?？计谀┤鐖D，一大樓的外墻面與地面垂直，點(diǎn)P在墻面上，若米，點(diǎn)P到的距離是8米，有一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B，它的最短行程是（

）米．A． B． C． D．8．（2022秋·廣東茂名·八年級?？计谥校┕潭ㄔ诘孛嫔系囊粋€(gè)正方體木塊（如圖①），其棱長為，沿其相鄰三個(gè)面的對角線（圖中虛線）去掉一角，得到如圖②所示的幾何體木塊，一只螞蟻沿著該木塊的表面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路程為（

）A． B． C． D．9．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖是一個(gè)長方體盒子，其長、寬、高分別為4，2，9，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點(diǎn)A，B處，不計(jì)線頭，細(xì)線的最短長度為（

）A．12 B．15 C．18 D．2110．（2023春·成都市八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體盒子中，已知，長為的細(xì)直木棒恰好從小孔G處插入，木棒的一端I與底面接觸，當(dāng)木棒的端點(diǎn)I在長方形內(nèi)及邊界運(yùn)動(dòng)時(shí)，長度的最小值為（

）A． B． C． D．11．（2022·陜西八年級期末）如圖，長方體的棱AB長為4，棱BC長為3，棱BF長為2，P為HG的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體的表面爬行到點(diǎn)處吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．12．（2021·重慶八年級期末）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、，A和B是這個(gè)臺階上兩個(gè)相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為______dm．13．（2022·吉林長春·八年級期末）如圖，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑AB＝cm，高BC＝10cm，在BC的中點(diǎn)P處有一塊蜂蜜，聰明的螞蟻能夠找到距離食物的最短路徑，則螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P的最短路程為_____cm．14．（2023春·安徽合肥·八年級?？计谥校┤鐖D，正方體盒子的棱長為，O為的中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于點(diǎn)C處，它想沿正方體的表面爬行到點(diǎn)O處獲取食物，則螞蟻需爬行的最短路程為_______．

15．（2023春·安徽合肥·八年級合肥壽春中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一個(gè)圓柱形食品盒，它的高為，底面圓的周長為(1)點(diǎn)A位于盒外底面的邊緣，如果在A處有一只螞蟻，它想吃到盒外表面對側(cè)中點(diǎn)B處的食物，則螞蟻需要爬行的最短路程是______；(2)將左圖改為一個(gè)無蓋的圓柱形食品盒，點(diǎn)C距離下底面，此時(shí)螞蟻從C處出發(fā)，爬到盒內(nèi)表面對側(cè)中點(diǎn)B處(如右圖)，則螞蟻爬行的最短路程是___．16．（2023秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）小強(qiáng)家因裝修準(zhǔn)備用電梯搬運(yùn)一些木條上樓，如圖，已知電梯的長、寬、高分別是，，，那么電梯內(nèi)能放入這些木條的最大長度是______17．（2023·湖南永州·八年級校考階段練習(xí)）如圖是長、寬、高的長方體容器．(1)求底面矩形的對角線的長；(2)長方體容器內(nèi)可完全放入的棍子最長是多少？(3)一只螞蟻從D點(diǎn)爬到E點(diǎn)最短路徑是多少？18．（2022秋·廣東佛山·八年級統(tǒng)考期末）初中幾何的學(xué)習(xí)始于空間的“實(shí)物和具體模型”，聚焦平面的“幾何圖形的特征和運(yùn)用”，形成了空間幾何問題要轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解題策略．問題提出：如圖所示是放在桌面上的一個(gè)圓柱體，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，如何求最短路程呢？(1)問題分析：螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，可以有幾條路徑？在圖中畫出來；(2)問題探究：①若圓柱體的底面圓的周長為，高為，螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，求最短路程；②若圓柱體的底面圓的周長為，高為，螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，求最短路程；③若圓柱體的底面圓的半徑為，高為，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，求最短路程．19．（2022秋·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一個(gè)無蓋長方體的小杯子放置在桌面上，，；(1)一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿小杯子外表面爬到點(diǎn)，求螞蟻怎樣走最短，最短路程是多少？(2)為了怕杯子落入灰塵又方便使用，現(xiàn)在需要給杯子蓋上蓋子，并把一雙筷子放進(jìn)杯子里，請問，筷子的最大長度是多少？20．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點(diǎn)處纏繞而上．(1)若繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)處，則問題中葛藤的最短長度是________尺．(2)若繞周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)處，則問題中葛藤的最短長度是________尺．

專題01勾股定理中的四類最短路徑模型勾股定理中的最短路線問題通常是以“兩點(diǎn)之間，線段最短”為基本原理推出的。人們在生產(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題。對于數(shù)學(xué)中的最短路線問題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對于平面內(nèi)的最短路線問題可先畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對于幾何題內(nèi)問題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問題求解，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開后兩個(gè)端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需要用底面圓周長的一半進(jìn)行計(jì)算。注意：1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數(shù)?！咀钪翟怼績牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·廣東·八年級期中）如圖，一個(gè)底面圓周長為24cm，高為9cm的圓柱體，一只螞蟻從距離上邊緣4cm的點(diǎn)A沿側(cè)面爬行到相對的底面上的點(diǎn)B所經(jīng)過的最短路線長為（）A． B．15cm C．14cm D．13cm【答案】D【分析】將圓柱體展開，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：將圓柱體的側(cè)面展開，連接，如圖所示：由于圓柱體的底面周長為24cm，則，又因?yàn)閏m，所以（cm），即螞蟻沿表面從點(diǎn)A到點(diǎn)B所經(jīng)過的最短路線長為13cm．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用—最短路徑問題．解題的關(guān)鍵是將立體圖形展開為平面圖形，利用勾股定理進(jìn)行求解．例2．（2023·重慶·八年級期末）如圖，圓柱形玻璃杯高，底面周長為，在外側(cè)距下底處有一只蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上端距開口處的外側(cè)點(diǎn)處有一只蒼蠅，蜘蛛捕到蒼蠅的最短路線長是______．【答案】15【分析】展開后連接，求出的長就是捕獲蒼蠅的蜘蛛所走的最短路徑，過S作于E，求出、，根據(jù)勾股定理求出SF即可．【詳解】解：如圖展開后連接，求出的長就是捕獲蒼蠅的蜘蛛所走的最短路徑，過S作于E，則（），（），在中，由勾股定理得：（），故答案為15．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、平面展開-最短路線問題，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目比較典型，難度適中．例3．（2023春·山東濟(jì)寧·八年級?？计谥校┐汗?jié)期間，某廣場用彩燈帶裝飾了所有圓柱形柱子．為了美觀，每根柱子的彩燈帶需要從A點(diǎn)沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的B點(diǎn)，如圖所示，若每根柱子的底面周長均為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長度為______米．【答案】5【分析】要求彩帶的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時(shí)，借助于勾股定理．【詳解】解：將圓柱表面切開展開呈長方形，則彩燈帶長為2個(gè)長方形的對角線長，圓柱高3米，底面周長2米，，，每根柱子所用彩燈帶的最短長度為．故答案為5．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路線問題，勾股定理的應(yīng)用．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．變式1．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）如圖，這是一個(gè)供滑板愛好者使用的形池，該形池可以看作是一個(gè)長方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長為的半圓，其邊緣（邊緣的寬度忽略不計(jì)），點(diǎn)在上，一滑板愛好者從點(diǎn)滑到點(diǎn)，則他滑行的最短距離為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】滑行的距離最短，即是沿著的線段滑行，我們可將半圓展開為矩形來研究，展開后，、、三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，為斜邊，和為直角邊，寫出和的長，根據(jù)題意，由勾股定理即可得出的距離．【詳解】解：將半圓面展開可得：

米，米，在中，（米）．即滑行的最短距離為米．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，型池的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，此矩形的寬是半圓的弧長，矩形的長等于本題就是把型池的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．變式2．（2023春·四川德陽·八年級?？计谥校┤鐖D，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長度最短為___________cm．【答案】15【分析】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動(dòng)最短路線是：；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個(gè)小長方形，A沿著3個(gè)長方形的對角線運(yùn)動(dòng)到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為∴長方形的寬即是圓柱體的底面周長：；又∵圓柱高為，∴小長方形的一條邊長是；根據(jù)勾股定理求得；∴；故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開--路徑最短問題．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長方形，此長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開成長方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．變式3．（2022·山東青島·八年級期末）如圖，一個(gè)圓桶，底面直徑為16cm，高為18cm，則一只小蟲從下底點(diǎn)A處爬到上底B處再回到A處，則小蟲所爬的最短路徑長是（

）（取3）A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm【答案】A【分析】先將圓柱的側(cè)面展開為一矩形，而矩形的長就是底面周長的一半，高就是圓柱的高，再根據(jù)勾股定理就可以求出其值．【詳解】解：展開圓柱的側(cè)面如圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短就可以得知AB最短．由題意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得cm．∵一只小蟲從下底點(diǎn)A處爬到上底B處再回到A處，∴最短路徑長為60cm.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱側(cè)面展開圖的運(yùn)用，兩點(diǎn)之間線段最短的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用．在解答時(shí)將圓柱的側(cè)面展開是關(guān)鍵．模型2.長方體中的最短路徑模型【模型解讀】長方體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟長方體有關(guān)的最短路徑問題時(shí)，要熟悉長方體的側(cè)面展開圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長方體展開圖的多種情況和分類討論。注意：1）長方體展開圖分類討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；2）兩個(gè)端點(diǎn)中有一個(gè)不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類相同?！咀钪翟怼績牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2022·貴州貴陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，已知，，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞三棱柱側(cè)面兩圈到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】要求長方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正三棱柱展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】∵一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞三棱柱側(cè)面兩圈到達(dá)點(diǎn)，∴如圖所示，將正三棱柱展開2次，∴，∵正三棱柱的高∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了最短路徑問題．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握用勾股定理的應(yīng)用，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．例2．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）如圖，地面上有一個(gè)長方體盒子，一只螞蟻在這個(gè)長方體盒子的頂點(diǎn)A處，盒子的頂點(diǎn)處有一小塊糖粒，螞蟻要沿著這個(gè)盒子的表面A處爬到處吃這塊糖粒，已知盒子的長和寬為均為，高為，則螞蟻爬行的最短距離為（

）．

A．10 B．50 C．10 D．70【答案】B【分析】根據(jù)圖形可知長方體的四個(gè)側(cè)面都相等，所以分兩種情況進(jìn)行解答即可．【詳解】解：分兩種情況：（其它情況與之重復(fù)）①當(dāng)螞蟻從前面和右面爬過去時(shí)，如圖1，連接，

在中，，，根據(jù)勾股定理得：；②當(dāng)螞蟻從前面和上面爬過去時(shí)，如圖2，連接，

在中，，，根據(jù)勾股定理得：；螞蟻爬行的最短距離為50．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用－求最短距離，讀懂題意，熟悉立體圖形的側(cè)面展開圖是解本題的關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用7個(gè)棱長為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，沿著該幾何體的表面從點(diǎn)M到點(diǎn)N的所有路徑中，最短路徑的長是（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】先畫出側(cè)面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間踐段最短，利用勾股定理求出線段的長即可．【詳解】將第一層小正方體的頂面和正面，以及第二層小正方體的頂面和正面展開，如下圖，連接，則最短路徑，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)之間線段最短，以及勾股定理，正確畫出側(cè)面展開圖，確定兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個(gè)長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角處沿著木柜表面爬到柜角處．若，，，則螞蟻爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．12【答案】A【分析】求出螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，以及螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到的距離，再進(jìn)行比較即可．【詳解】解：螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，爬過的路徑的長是，螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，爬過的路徑的長是．，最短路徑的長是．故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了長方體展開圖的對角線長度求法，這種題型經(jīng)常在中考中出現(xiàn)，也是易錯(cuò)題型，希望能引起同學(xué)們的注意．變式1．（2022秋·廣東梅州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，長方體的長、寬、高分別為．如果一只小蟲從點(diǎn)開始爬行，經(jīng)過兩個(gè)側(cè)面爬行到另一條側(cè)棱的中點(diǎn)處，那么這只小蟲所爬行的最短路程為（）

A．5 B．4 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)題意把圖形展開，連接，得出的長就是從處爬到處的最短路程，分為三種情況展開，根據(jù)勾股定理求出的長，再比較即可.【詳解】如圖將正面與右面展開在同一平面，連接，由勾股定理得：，

如圖將下底面與后面展開在同一平面，連接，由勾股定理得：，如圖將下底面與右面展開在同一平面，連接，由勾股定理得：，∴從處爬到處的最短路程是，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了立方體側(cè)面展開圖最短路徑問題，解題關(guān)鍵是畫出圖形知道求出哪一條線段的長，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，注意要進(jìn)行分類討論．變式2．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）棱長分別為兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)P在上，且，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P，需要爬行的最短距離是______．【答案】cm．【分析】求出兩種展開圖的值，比較即可判斷；【詳解】解：如圖，有兩種展開方法：方法一∶，方法二∶．故需要爬行的最短距離是cm．故答案為：cm．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開-最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．變式3．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）小南同學(xué)報(bào)名參加了學(xué)校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個(gè)長方體的兩個(gè)側(cè)面，如圖所示，他根據(jù)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識準(zhǔn)確地判斷出：從點(diǎn)A攀爬到點(diǎn)B的最短路徑為________米．【答案】【分析】利用立體圖形路徑最小值為展開平面圖的兩點(diǎn)間距離，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：平面展開圖為：（米），故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形中兩點(diǎn)間最短路徑問題，通用辦法是展開為平面圖形，兩點(diǎn)間最短路徑為兩點(diǎn)線段長度，利用水平距離和豎直距離得到直角三角形，勾股定理求出兩點(diǎn)線段長度．熟悉立體圖形中兩點(diǎn)間最短路徑問題的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．模型3.階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開—定點(diǎn)—連線—勾股定理【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短。例1．（2023春·四川成都·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是長方形地面，長，寬．中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它必須翻過中間那堵墻，則它要走的路程s取值范圍是________．【答案】【分析】連接，利用勾股定理求出的長，再把中間的墻平面展開，使原來的長方形長度增加而寬度不變，求出新長方形的對角線長即可得到范圍．【詳解】解：如圖所示，將圖展開，圖形長度增加，原圖長度增加，則，連接，四邊形是長方形，，寬，，螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它要走的路程．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開最短路線問題及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的關(guān)鍵．例2．（2023春·重慶八年級課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)長為米,寬為米的長方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場地寬，木塊的主視圖是邊長為1米的正三角形，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是______米．【答案】【分析】如圖，將木塊展開，相當(dāng)于長方形草地的長多了正三角形的一個(gè)邊長，長方形的長為米，因?yàn)殚L方形的寬為3米，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是對角線，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，將木塊展開，相當(dāng)于長方形草地的長多了正三角形的一個(gè)邊長，長方形的長為米，長方形的寬為3米，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是對角線，米，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意將木塊展開，再利用兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．變式1．（2023·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)二級臺階，每一級臺階的長、寬、高分別為、、．和是這個(gè)臺階兩個(gè)相對的端點(diǎn)，在點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)去受食，那么它爬行的最短路程是______．【答案】【分析】將臺階展開，得到一直角邊長為，另一直角邊為的直角三角形，求其斜邊即可．【詳解】將臺階展開，得到一直角邊長為，另一直角邊為的直角三角形，所以最短距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開圖，勾股定理，熟練掌握展開圖，勾股定理是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023秋·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別是4米、0.7米、0.3米，A、B是這個(gè)臺階上兩個(gè)相對的頂點(diǎn)，A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程是________米．【答案】5【分析】先將臺階展開，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】將三級臺階展開，如圖所示．可知（米），（米），根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知為最短路徑，根據(jù)勾股定理得（米）．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最短路徑，勾股定理等，勾股定理是求線段長的常用方法．模型4.將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問題：對稱+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決。注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問題需要先作對稱，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解?！咀钪翟怼績牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為___________．（杯壁厚度不計(jì)）

【答案】10【分析】如圖（見解析），將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，作，交延長線于點(diǎn)，連接，

由題意得：，，∵底面周長為，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．例2.（2022·陜西·八年級期中）有一個(gè)如圖所示的長方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內(nèi)壁處有一粒食物，且，一只小蟲想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內(nèi)的處吃掉食物．（1）你認(rèn)為小蟲應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請你畫出它爬行的最短路線，并用箭頭標(biāo)注．（2）求小蟲爬行的最短路線長（不計(jì)缸壁厚度）．【答案】（1）見解析；（2）100cm【分析】(1)做出A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A’，連接A’G，與BC交于點(diǎn)Q，由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)A’G最短，即AQ+QG最短；(2)A’G為直角△A’EG的斜邊，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：(1)如下圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC所在直線的對稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)A’G最短，則為最短路線．(2)∵，∴，∴．在中，，，∴．由對稱性可知，∴．故小蟲爬行的最短路線長為100cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用勾股定理求最短路徑問題，本題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱性作出A的對稱點(diǎn)A’，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，從而可找到路徑求出解．例3．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上C，D之間建一個(gè)出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個(gè)最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再利用軸對稱求最短路徑的方法得出點(diǎn)位置，進(jìn)而結(jié)合勾股定理得出即可．【詳解】解：如圖所示：作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，再連接，交直線于點(diǎn)則此時(shí)最小，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，，，，，則，在中，，則的最小值為：．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最短問題．變式1．（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿且與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為（

）．（杯壁厚度不計(jì)）A．20 B．25 C．30 D．40【答案】B【分析】化曲為直，利用勾股定理解決．【詳解】把玻璃杯的側(cè)面展開，如圖，把點(diǎn)A向上平移6cm到點(diǎn)C，連接，過點(diǎn)B作于D，由已知得：，，，在中，由勾股定理得：，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意把圓柱展開，化曲為直是解決問題的關(guān)鍵．變式2.（2022·山東菏澤·八年級階段練習(xí)）如圖是一個(gè)供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個(gè)長方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣．小明要在AB上選取一點(diǎn)E，能夠使他從點(diǎn)D滑到點(diǎn)E再滑到點(diǎn)C的滑行距離最短，則他滑行的最短距離約為（）m．（取3）A．30 B．28 C．25 D．22【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出側(cè)面展開圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接DF，根據(jù)半圓的周長求得，根據(jù)對稱求得，在Rt△CDF中，勾股定理求得．【詳解】其側(cè)面展開圖如圖：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接DF，∵中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5cm的半圓，∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm，在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距離約為cm．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理最短路徑問題，作出側(cè)面展開圖是解題的關(guān)鍵．變式3．（2023春·廣東八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個(gè)村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時(shí)的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）。(2)經(jīng)預(yù)算，修建水廠需20萬元，鋪設(shè)水管的所有費(fèi)用平均每千米為3萬元，其他費(fèi)用需5萬元，求完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元．【答案】(1)見解析；(2)50萬元.【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，交于M點(diǎn)，即M為所求；（2）連接交于H點(diǎn)，過點(diǎn)B作，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，交于M點(diǎn)，即M為所求.（2）解：如圖，連接交于H點(diǎn)，過點(diǎn)B作，由題意可知：，，，∴，∴在中，，∴在中，，由對稱性質(zhì)可知：，水管長，完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為（萬元）【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，勾股定理，題目比較典型，是一道比較好的題目，考查了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和計(jì)算能力．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·浙江金華初三月考）如圖，圓柱底面半徑為cm，高為18cm，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長度最短為（）A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm【答案】B【分析】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【解析】解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動(dòng)最短路線是：AC→CD→DB；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個(gè)小長方形，A沿著3個(gè)長方形的對角線運(yùn)動(dòng)到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為cm，∴長方形的寬即是圓柱體的底面周長：2π×＝8cm；又∵圓柱高為18cm，∴小長方形的一條邊長是6cm；根據(jù)勾股定理求得AC＝CD＝DB＝10cm；∴AC+CD+DB＝30cm；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的計(jì)算、平面展開??路徑最短問題．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長方形，此長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開成長方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．2.（2022·重慶八年級期中）如圖，長方體的底面邊長是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開始經(jīng)過個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么用細(xì)線最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm【答案】B【分析】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，利用勾股定理求出所需結(jié)果．【詳解】解：如圖，將長方體展開，連接A、B′，則AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm），A′B′＝6cm，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，所以AB′＝10cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開?最短路徑問題，本題的關(guān)鍵是把長方體的側(cè)面展開“化立體為平面”，構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理解決．3．（2022·山西八年級期末）如圖所示，是長方形地面，長，寬，中間整有一堵磚墻高，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（）A．20 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】將題中圖案展開后，連接AC，利用勾股定理可得AC長，將中間的墻展開在平面上，則原矩形長度增加寬度不變，求出新矩形的對角線長即為所求．【詳解】解：展開如圖得新矩形，連接AC，則其長度至少增加2MN，寬度不變，由此可得：，根據(jù)勾股定理有：故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開圖形最短路線問題以及勾股定理得應(yīng)用；解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出正確的平面展開圖．4.（2022·重慶初二月考）圓柱形杯子的高為18cm，底面周長為24cm，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿2cm）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿4cm），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為（）A． B．28 C．20 D．【答案】C分析：將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長度即為所求.【解析】如圖所示，將杯子側(cè)面展開,作A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A′，連接A′B,則A′B即為最短距離，A′B=(cm)故選C.點(diǎn)睛：本題考查了勾股定理、最短路徑等知識.將圓柱側(cè)面展開，化曲面為平面并作出A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A′是解題的關(guān)鍵.5．（2023·廣東惠州·八年級階段練習(xí)）如圖，是一塊長、寬、高分別是、和的長方體木塊，一只螞蟻要從頂點(diǎn)出發(fā)，沿長方體的表面爬到和相對的頂點(diǎn)處吃食物，則它需要爬行的最短路線長是（）．

A． B．6 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)長方體的側(cè)面展開計(jì)算：沿前表面和上表面所構(gòu)成矩形的對角線爬行距離，沿前表面和右表面所構(gòu)成矩形的對角線爬行距離，沿左表面和上表面所構(gòu)成矩形的對角線爬行距離，沿左表面和后表面所構(gòu)成矩形的對角線爬行距離，再比較大小即可；【詳解】解：如圖1，當(dāng)螞蟻由點(diǎn)經(jīng)前表面和上表面所構(gòu)成矩形的對角線到達(dá)點(diǎn)時(shí)，

由勾股定理可得，如圖2，當(dāng)螞蟻由點(diǎn)經(jīng)前表面和右表面所構(gòu)成矩形的對角線到達(dá)點(diǎn)時(shí)，

由勾股定理可得，如圖3，當(dāng)螞蟻由點(diǎn)經(jīng)左表面和上表面所構(gòu)成矩形的對角線到達(dá)點(diǎn)時(shí)，

由勾股定理可得，如圖4，當(dāng)螞蟻由點(diǎn)經(jīng)左表面和后表面所構(gòu)成矩形的對角線到達(dá)點(diǎn)時(shí)，

由勾股定理可得，∵，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了長方體的側(cè)面展開，兩點(diǎn)間的最短距離，勾股定理；根據(jù)長方體的側(cè)面展開分類討論是解題關(guān)鍵．6．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，圓柱形容器高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將圓柱側(cè)面展開，如圖所示，作出A點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知即為最短距離，然后根據(jù)勾股定理求解．【詳解】解：將圓柱側(cè)面展開，如圖所示，作出A點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，∵形容器高為，點(diǎn)A處離杯上沿，點(diǎn)B處離杯底，∴，，∴，∵底面周長為，∴，根據(jù)勾股定理可得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開，最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)找出最短路徑是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·河南鄭州·八年級?？计谀┤鐖D，一大樓的外墻面與地面垂直，點(diǎn)P在墻面上，若米，點(diǎn)P到的距離是8米，有一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B，它的最短行程是（

）米．A． B． C． D．【答案】D【分析】可將教室的墻面與地面展開，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過P作于G，連接，（米），（米），（米），（米），（米）這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是米，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開-最短路徑問題，解題關(guān)鍵是立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長來進(jìn)行解決．8．（2022秋·廣東茂名·八年級校考期中）固定在地面上的一個(gè)正方體木塊（如圖①），其棱長為，沿其相鄰三個(gè)面的對角線（圖中虛線）去掉一角，得到如圖②所示的幾何體木塊，一只螞蟻沿著該木塊的表面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，將圖②展開，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，正方體上表面的對角線為，將圖②展開，連接交于點(diǎn)，線段的長度即為螞蟻爬行的最短路程，由題意可知：為等邊三角形，為等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，∵正方體的棱長為，∴，，在中，，在中，，∴；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是將立體圖像展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定最短路徑．9．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖是一個(gè)長方體盒子，其長、寬、高分別為4，2，9，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點(diǎn)A，B處，不計(jì)線頭，細(xì)線的最短長度為（

）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【分析】把長方體沿邊剪開，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】如圖所示，連接，則即為所求的最短長度，，在中，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，把長方體沿邊剪開得到矩形是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·成都市八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體盒子中，已知，長為的細(xì)直木棒恰好從小孔G處插入，木棒的一端I與底面接觸，當(dāng)木棒的端點(diǎn)I在長方形內(nèi)及邊界運(yùn)動(dòng)時(shí)，長度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)最大時(shí)，最小，當(dāng)I運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，最大，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：當(dāng)最大時(shí)，最小，當(dāng)I運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，最大，此時(shí)，而，∴，∴長度的最小值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出的最大值是解題的關(guān)鍵．11．（2022·陜西八年級期末）如圖，長方體的棱AB長為4，棱BC長為3，棱BF長為2，P為HG的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體的表面爬行到點(diǎn)處吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．【答案】5【分析】利用平面展開圖有3種情況，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長即可．【詳解】解：分三種情況：如圖1，,如圖2，，∴AP=5，如圖3，，，它爬行的最短路程為5，故答案為：5．,【點(diǎn)睛】此題考查平面展開圖最短路徑問題和勾股定理應(yīng)用，利用展開圖有3種情況分析得出是解題關(guān)鍵．12．（2021·重慶八年級期末）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、，A和B是這個(gè)臺階上兩個(gè)相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為______dm．【答案】17【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為8dm，寬為，則螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm，由勾股定理得：，解得．故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．13．（2022·吉林長春·八年級期末）如圖，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑AB＝cm，高BC＝10cm，在BC的中點(diǎn)P處有一塊蜂蜜，聰明的螞蟻能夠找到距離食物的最短路徑，則螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P的最短路程為_____cm．【答案】13【分析】化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，得到兩點(diǎn)的位置，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理求解即可．【詳解】將圓柱體的側(cè)面展開，如圖所示：AB＝底面周長＝××＝12（cm），BP＝BC＝5（cm），所以AP＝（cm），故螞蟻從A點(diǎn)爬到P點(diǎn)的最短距離為13cm，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查最短距離問題，化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，利用兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理是常用求解方法．14．（2023春·安徽合肥·八年級?？计谥校┤鐖D，正方體盒子的棱長為，O為的中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于點(diǎn)C處，它想沿正方體的表面爬行到點(diǎn)O處獲取食物，則螞蟻需爬行的最短路程為_______．

【答案】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，用勾股定理求解．【詳解】解：如圖，連接，則線段的長就是螞蟻需爬行的最短路程，

∵正方體的棱長為，O為的中點(diǎn)，∴，，，由勾股定理得，答：螞蟻需爬行的最短路程為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之間線段最短，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是關(guān)鍵．15．（2023春·安徽合肥·八年級合肥壽春中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一個(gè)圓柱形食品盒，它的高為，底面圓的周長為(1)點(diǎn)A位于盒外底面的邊緣，如果在A處有一只螞蟻，它想吃到盒外表面對側(cè)中點(diǎn)B處的食物，則螞蟻需要爬行的最短路程是______；(2)將左圖改為一個(gè)無蓋的圓柱形食品盒，點(diǎn)C距離下底面，此時(shí)螞蟻從C處出發(fā)，爬到盒內(nèi)表面對側(cè)中點(diǎn)B處(如右圖)，則螞蟻爬行的最短路程是___．【答案】【分析】（1）把圓柱側(cè)面展開，在中，利用勾股定理求解即可．（2）將圓柱側(cè)面展開，得到矩形，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，構(gòu)造，根據(jù)勾股定理求出即可解決問題．【詳解】(1)如圖，把圓柱側(cè)面展開，在中，∵，∴，故答案為：．(2)如圖所示，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，可得，，則最短路程為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理求線段最短距離，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）小強(qiáng)家因裝修準(zhǔn)備用電梯搬運(yùn)一些木條上樓，如圖，已知電梯的長、寬、高分別是，，，那么電梯內(nèi)能放入這些木條的最大長度是______【答案】【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可．【詳解】如圖所示：由勾股定理