第一章直角三角形的邊角關(guān)系(能力拓展卷)-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步分層練習(xí)(基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版)(原卷版+解析)

第一章直角三角形的邊角關(guān)系單元綜合檢測(cè)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________能力拓展卷一、單選題1．（2021·四川巴中市中考真題）如圖，矩形AOBC的頂點(diǎn)A、B在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(﹣10，8)，點(diǎn)D在AC上，將BCD沿BD翻折，點(diǎn)C恰好落在OA邊上點(diǎn)E處，則tan∠DBE等于（）A． B． C． D．2．（2021·河南臥龍九年級(jí)一模）如圖，E為矩形邊上的一點(diǎn)，將矩形沿折疊，使點(diǎn)D落在邊上點(diǎn)F處，若，則等于（）A． B． C． D．第1題圖第2題圖第3題圖3．（2021·重慶大渡口九年級(jí)二模）某公園有一座古塔，古塔前有一個(gè)斜坡坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一個(gè)平臺(tái)、小華想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量古塔的高度，她在平臺(tái)的點(diǎn)處水平放置一平面鏡，她沿著方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，剛好在鏡面中看到古塔頂端點(diǎn)的像，這時(shí)，測(cè)得小華眼睛與地面的距離米，米，米，米，已知，根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，古塔的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A． B． C． D．4．（2021·遼寧本溪九年級(jí)二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，，，垂足為，與相交于點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．5．（2021·河南南召九年級(jí)一模）如圖，已知點(diǎn)分別在反比例函數(shù)，的圖象上，且，則的值為（）．A．4 B．2 C． D．第4題圖第5題圖6．（2021·廣東深圳市中考真題）在正方形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，過(guò)點(diǎn)F作，分別交、于N、G兩點(diǎn)，連接、、，下列正確的是：①；②；③；④（）A．4 B．3 C．2 D．1第6題圖第7題圖7．（2021·四川達(dá)州市中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，等邊如圖放置，點(diǎn)的坐標(biāo)為，每一次將繞著點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到，第二次旋轉(zhuǎn)后得到，…，依次類推，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．8．（2021·宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)二模）如圖，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)落在矩形內(nèi)的點(diǎn)處，連接，且，的正弦值為，則的值為（）A． B． C． D．9．（2021·重慶八中九年級(jí)二模）在RtABC中，∠A＝90°，tan∠C＝，E為AC上一點(diǎn)，且CE＝5AE，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，把CDE沿ED翻折到FDE，且EG＝，則DF的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．2第8題圖第9題圖第10題圖10．（2021·珠海市九年級(jí)三模）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，分別為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，將沿對(duì)折，得到，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．下列結(jié)論①；②；③；④，正確的有（）A． B． C． D．二、填空題11．（2021·四川綿陽(yáng)中考真題）在直角中，，，的角平分線交于點(diǎn)，且，斜邊的值是______．12．（2021·重慶八中九年級(jí)月考）如圖，中，，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，且點(diǎn)點(diǎn)剛好落在上，則______．第12題圖第13題圖13．（2021·如皋市實(shí)驗(yàn)初中九年級(jí)期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則__________．14．（2021·福建省福州第一中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在紙片中，，，，點(diǎn)，分別在，上，連結(jié)，將沿翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，若平分，則的長(zhǎng)為______．第14題圖第15題圖

15．（2020·四川成都雙流區(qū)九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，點(diǎn)A1，A2，A3，…都在x軸上，點(diǎn)C1，C2，C3，…都在直線上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，則B4的坐標(biāo)是_____．16．（2021·福建省泉州九年級(jí)期中）如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA為x軸，OC為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，雙曲線y=與AB、BC分別交于點(diǎn)D、E，沿直線DE將△DBE翻折得△DFE，且點(diǎn)F恰好落在直線OA上，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若，則矩形的面積是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．第16題圖第17題圖17．（2021·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校九年級(jí)一模）如圖，在菱形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)E，點(diǎn)在上，CN與交于點(diǎn)，若，，．則__________．18．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)二模）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處，折痕為MN，點(diǎn)M、N分別在邊BC、AB上，若PN⊥AB，則點(diǎn)N到邊MP的距離為________．第18題圖第19題圖19．（2020·成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，sin∠O＝，長(zhǎng)度為2的線段DE在射線OB上滑動(dòng)，點(diǎn)C在射線OA上，且OC＝5，△CDE的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DE，垂足為G，則FG的最大值為_____．三、解答題20．（2021·四川瀘州市中考真題）如圖，A，B是海面上位于東西方向的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，有一艘海輪在C點(diǎn)處遇險(xiǎn)發(fā)出求救信號(hào)，此時(shí)測(cè)得C點(diǎn)位于觀測(cè)點(diǎn)A的北偏東45°方向上，同時(shí)位于觀測(cè)點(diǎn)B的北偏西60°方向上，且測(cè)得C點(diǎn)與觀測(cè)點(diǎn)A的距離為海里．（1）求觀測(cè)點(diǎn)B與C點(diǎn)之間的距離；（2）有一艘救援船位于觀測(cè)點(diǎn)B的正南方向且與觀測(cè)點(diǎn)B相距30海里的D點(diǎn)處，在接到海輪的求救信號(hào)后立即前往營(yíng)救，其航行速度為42海里/小時(shí)，求救援船到達(dá)C點(diǎn)需要的最少時(shí)間．21．（2021·四川成都市金牛區(qū)九年級(jí)期末）如圖所示，在矩形ABCD中，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)H處，GH交BC于點(diǎn)K，連接DG交EF于點(diǎn)O，DG＝2EF．（1）求證DE?DA＝DO?DG；（2）探索AB與BC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）連接BH，sin∠BFH＝，EF＝，求△BFH的周長(zhǎng)．22．（2021·陜西師大附中九年級(jí)月考）（1）問(wèn)題背景：如圖（1），已知，求證：；（2）嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點(diǎn)F．點(diǎn)D在邊上，，求的值；（3）拓展創(chuàng)新：如圖（3），D是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，則的長(zhǎng)為________．23．（2021·重慶巴川中學(xué)校九年級(jí)月考）已知，和都是等腰直角三角形，，，，分別過(guò)點(diǎn)B、D作、，兩平行線交于點(diǎn)F，連接．（1）如圖1、若點(diǎn)E在上，，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在上，若，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，求的值．（3）如圖3，若，，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最大時(shí)，直接寫出四邊形的面積．24．（2021·老河口市九年級(jí)月考）在和中，，連接，，直線交于交于．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，，．推斷∶①的值為__________；②的度數(shù)為__________．（2）探究證明：如圖2，若．判斷的值及的度數(shù)，并說(shuō)明理由．（3）拓展延伸：在（2）的條件下，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)第一次重合，若，，，求的長(zhǎng)．25．（2021·福建省福州屏東中學(xué)九年級(jí)月考）已知，在矩形ABCD中，＝m，F(xiàn)、G分別為AB、DC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接GF．（1）如圖，當(dāng)F為AB的中點(diǎn)，G與D重合時(shí)，將△AFD沿FD翻折至△EFD，連AE，BE．①求∠AEB的度數(shù)；②若C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求m的值．（2）當(dāng)F，G不與端點(diǎn)重合時(shí)，將四邊形AFGD沿FG翻折至四邊形FHPG，點(diǎn)H恰好落在BC上，HP交CD于點(diǎn)Q，連AH，交GF干占O，若m＝，tan∠CGP＝，GF＝，求CP的長(zhǎng)．26．（2021·遼寧鞍山中考真題）如圖，在中，，，過(guò)點(diǎn)A作射線AM交射線BC于點(diǎn)D，將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AN，過(guò)點(diǎn)C作交直線AN于點(diǎn)F，在AM上取點(diǎn)E，使．（1）當(dāng)AM與線段BC相交時(shí)，①如圖1，當(dāng)時(shí)，線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系為．②如圖2，當(dāng)時(shí)，寫出線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）當(dāng)，時(shí)，若是直角三角形，直接寫出AF的長(zhǎng)．27．（2021·江蘇九年級(jí)二模）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”，例如，四邊形中，若或，則四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．（概念理解）（1）如圖1，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．①若，則________；②若．且時(shí)．則_______；（拓展提升）（2）如圖，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，當(dāng)，且時(shí)，圖中之間的數(shù)量關(guān)系是，并證明這種關(guān)系；（類比應(yīng)用）（3）如圖3，在四邊形中，平分；①求證：四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；②如圖4，連接，當(dāng)，且時(shí)，求的值．第一章直角三角形的邊角關(guān)系單元綜合檢測(cè)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________能力拓展卷一、單選題1．（2021·四川巴中市中考真題）如圖，矩形AOBC的頂點(diǎn)A、B在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(﹣10，8)，點(diǎn)D在AC上，將BCD沿BD翻折，點(diǎn)C恰好落在OA邊上點(diǎn)E處，則tan∠DBE等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折疊的性質(zhì)得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的長(zhǎng)，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用求解即可.【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，由折疊的性質(zhì)可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，在直角三角形BEO中：，∴，設(shè)，則在直角三角形ADE中：，∴，解得，∴，∵∠DEB=90°，∴，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.2．（2021·河南臥龍九年級(jí)一模）如圖，E為矩形邊上的一點(diǎn)，將矩形沿折疊，使點(diǎn)D落在邊上點(diǎn)F處，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊求出∠EFC=60°，設(shè)EC為x，利用解直角三角形表示出EF，列方程即可．【詳解】解：由折疊可知，EF=DE，∠AFE=∠D=90°，∵，，∴，∴,設(shè)EC為x，，∵，∴，解得，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用翻折知識(shí)得到60°角，利用三角函數(shù)表示線段長(zhǎng)，列出方程．3．（2021·重慶大渡口九年級(jí)二模）某公園有一座古塔，古塔前有一個(gè)斜坡坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一個(gè)平臺(tái)、小華想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量古塔的高度，她在平臺(tái)的點(diǎn)處水平放置一平面鏡，她沿著方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，剛好在鏡面中看到古塔頂端點(diǎn)的像，這時(shí)，測(cè)得小華眼睛與地面的距離米，米，米，米，已知，根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，古塔的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正切定義求出CE，延長(zhǎng)GD交AB于點(diǎn)H，則BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），證明△AHG∽△MNG，求出AH的長(zhǎng)，則可求出答案．【詳解】解：在Rt△CDE中，tan∠DCE，∴0.9，∴CE＝2，延長(zhǎng)GD交AB于點(diǎn)H，則BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），∵∠AHG＝∠MNG＝90°，∠AGH＝∠MGN，∴△AHG∽△MNG，∴，即，∴AH＝19.5（米），∴AB＝AH+HB＝21.3（米）．答：古塔的高度AB為21.3米．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．（2021·遼寧本溪九年級(jí)二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，，，垂足為，與相交于點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理可求得AB=5；求tan∠CAE的值，只需求出CE的長(zhǎng)即可；根據(jù)AD=AC和AE⊥CD的條件，可得出AE平分∠BAC；為此，過(guò)點(diǎn)C作CG∥EA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，利用平行線條件下可求出CE的長(zhǎng)．【詳解】：過(guò)點(diǎn)C作CG∥EA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖所示．

Rt△ABC中，．∵AD=AC，AE⊥CD于點(diǎn)F，∴AF是等腰△ACD底邊CD上的高．∴AE平分∠DAC，即∠1=∠2．∵EA∥CG，∴∠3=∠2，∠1=∠G．∴∠3=∠G．∴AG=AC=3．∵EA∥CG，∴．∴．設(shè)CE=x，則有．解得，x=1.5．∴在Rt△AEC中，tan∠CAE=．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)已知條件構(gòu)造出相似三角形是解決本題的關(guān)鍵．5．（2021·河南南召九年級(jí)一模）如圖，已知點(diǎn)分別在反比例函數(shù)，的圖象上，且，則的值為（）．A．4 B．2 C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，得，；根據(jù)兩點(diǎn)之間距離的性質(zhì)，得，，，結(jié)合勾股定理和分式方程，通過(guò)計(jì)算得；根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為∵點(diǎn)分別在反比例函數(shù)，的圖象上∴，∴，∴，，∵∴∴∴解得：∵，∴∴，即∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)、直角坐標(biāo)系、勾股定理、三角函數(shù)、分式方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)、勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．6．（2021·廣東深圳市中考真題）在正方形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，過(guò)點(diǎn)F作，分別交、于N、G兩點(diǎn)，連接、、，下列正確的是：①；②；③；④（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】解：①中由即可得到，再由正切等于對(duì)邊比鄰邊即可求解；②中先證明得到EM=EC，DM=FC，再證明即可求解；③中先證明GECM，得到即可求解；④中由得到，再由即可求解．【詳解】解：①∵，∴∠DMF=90°=∠NCF，且對(duì)頂角∠MND=∠CNF，∴∠GFB=∠EDC，∵ABCD為正方形，E是BC的中點(diǎn)，∴BC=CD，∴，①正確；②由①知，又，已知，∴()，∴，∴，∵，，，∴()，∴，故②正確；③∵，，∴BE=ME，且∠B=∠GME=90°，GE為和的公共邊，∴（），∴，∵，∴，由三角形外角定理可知：，∴，∴，∴，∵，，∴，故③錯(cuò)誤；④由上述可知：，，∴，∵，∴，∴，故④正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．7．（2021·四川達(dá)州市中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，等邊如圖放置，點(diǎn)的坐標(biāo)為，每一次將繞著點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到，第二次旋轉(zhuǎn)后得到，…，依次類推，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意，點(diǎn)A每6次繞原點(diǎn)循環(huán)一周，利用每邊擴(kuò)大為原來(lái)的2倍即可解決問(wèn)題．【詳解】解：由題意，點(diǎn)A每6次繞原點(diǎn)循環(huán)一周，，點(diǎn)在第四象限，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．8．（2021·宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)二模）如圖，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)落在矩形內(nèi)的點(diǎn)處，連接，且，的正弦值為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AB于點(diǎn)P，根據(jù)折疊的性質(zhì)及BE=EF，可得∠AED=∠EBF，從而可得△ADE∽△PFB，由的正弦值為，設(shè)EF=25a，則PF=24a，由勾股定理求得PE=7a，從而可得BP，則由相似可得，再由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，從而可求得結(jié)果．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AB于點(diǎn)P由折疊的性質(zhì)可得：AE=EF，∠AED=∠FED∵BE=EF∴BE=AE=EF，∠EFB=∠EBF∵∠BEF+2∠AED=∠BEF+2∠EBF=180゜∴∠AED=∠EBF∵四邊形ABCD為矩形，PF⊥AB∴∠A=∠FPB=90゜∴△ADE∽△PFB∴∵在中，∴設(shè)EF=25a，則PF=24a由勾股定理求得∴BP=BE－PE=18a∴∴∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是由正弦值出發(fā)設(shè)EF與PF的長(zhǎng)，難點(diǎn)是證明△ADE∽△PFB．9．（2021·重慶八中九年級(jí)二模）在RtABC中，∠A＝90°，tan∠C＝，E為AC上一點(diǎn)，且CE＝5AE，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，把CDE沿ED翻折到FDE，且EG＝，則DF的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】連接CF，延長(zhǎng)ED交CF于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DE于H，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AC于P,設(shè)AE＝a，EC＝5a，AC＝6a，首先證明tan∠CET＝，再證明DT＝TC，推出∠GDH＝∠CDT＝45°，構(gòu)建方程求出a，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接CF，延長(zhǎng)ED交CF于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DE于H，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AC于P,∵EC＝5AE，∴可以假設(shè)AE＝a，EC＝5a，AC＝6a，∵∠DPC＝∠A＝90°，∴DP//AB，∵BD＝CD，∴AP＝PC＝3a，PE＝2a，∵tan∠ACB＝，∴PD＝a，∴tan∠CET＝，∵EC＝5a，∴CT＝a，ET＝2a，∵DE＝a，∴DT＝CT＝a，∴∠TDC＝∠TCD＝45°，由翻折的性質(zhì)可知DC＝DF，∠DEP＝∠DEG，∴tan∠DEG＝tan∠DEP＝，∵EG＝，∴GH＝，EH＝，∵∠GDH＝∠CDT＝45°，∴GH＝DH＝，∴DE＝a＝，∴a＝，∵DF＝CD＝a＝2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正切、勾股定理、翻折的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．10．（2021·珠海市九年級(jí)三模）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，分別為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，將沿對(duì)折，得到，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．下列結(jié)論①；②；③；④，正確的有（）A． B． C． D．【答案】A【分析】①△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF，利用角的關(guān)系求出QF=QB；

②首先證明△ABE≌△BCF，再利用角的關(guān)系求得∠BGE=90°，即可得到AE⊥BF；

④利用QF=QB，解出BP，QB，根據(jù)正弦的定義即可求解；

③可證△BGE與△BCF相似，進(jìn)一步得到相似比，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：①根據(jù)題意得，F(xiàn)P＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，故正確；②∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，故正確；④由①知，QF＝QB，令PF＝k（k＞0），則PB＝2k在Rt△BPQ中，設(shè)QB＝x，∴x2＝（x﹣k）2+4k2，∴x＝，∴sin∠BQP＝，故正確；③∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE＝BC，BF＝BC，∴BE：BF＝1：，∴△BGE的面積：△BCF的面積＝1：5，∴S四邊形ECFG＝4S△BGE，故正確．綜上所述，共有4個(gè)結(jié)論正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．二、填空題11．（2021·四川綿陽(yáng)中考真題）在直角中，，，的角平分線交于點(diǎn)，且，斜邊的值是______．【答案】【分析】CD平分∠ACB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，由此可證明四邊形CEDF為正方形，再利用，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理得到，求出的值即可．【詳解】解：如圖，CD平分∠ACB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，∴DE＝DF，，又，∴四邊形CEDF為正方形，，，在中，，∵，，，，，，即，又，，∵在中，，∴，∵在中，，∴，，，，即（舍負(fù)），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．（2021·重慶八中九年級(jí)月考）如圖，中，，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，且點(diǎn)點(diǎn)剛好落在上，則______．【答案】【分析】先求出，，作AF⊥BC于點(diǎn)F，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到，再求出，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，∵中，，，∴，∴；由勾股定理，則；將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，且點(diǎn)點(diǎn)剛好落在上，作AF⊥BC于點(diǎn)F，如圖：∴AD=AB=3，∠AFC=90°，BF=DF=，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線進(jìn)行解題．13．（2021·如皋市實(shí)驗(yàn)初中九年級(jí)期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則__________．【答案】【分析】過(guò)作于，由折疊的性質(zhì)得，，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，得到是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，推出，再根據(jù)勾股定理求得，由此即可求得答案．【詳解】解：過(guò)作于，由折疊的性質(zhì)得：，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，又∵，，，∵，，∵，，，∵，，，∴，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)．14．（2021·福建省福州第一中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在紙片中，，，，點(diǎn)，分別在，上，連結(jié)，將沿翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，若平分，則的長(zhǎng)為______．

【答案】【分析】由翻折得出AD＝DF，∠A＝∠DFE，再根據(jù)FD平分∠EFB，得出∠DFH＝∠A，然后借助相似列出方程即可．【詳解】解：作DH⊥BC于H，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB=，∵將△ADE沿DE翻折得△DEF，∴AD＝DF，∠A＝∠DFE，∵FD平分∠EFB，∴∠DFE＝∠DFH，∴∠DFH＝∠A，設(shè)DH＝3x，在Rt△DHF中，sin∠DFH＝sin∠A＝，∴AD=DF＝5x，∴BD＝5?5x，∵△BDH∽△BAC，∴，∴，∴x＝，∴AD＝5x＝．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了以直角三角形為背景的翻折問(wèn)題，緊扣翻折前后對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等來(lái)解決問(wèn)題，通過(guò)相似表示線段和列方程是解題本題的關(guān)鍵．15．（2020·四川成都雙流區(qū)九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，點(diǎn)A1，A2，A3，…都在x軸上，點(diǎn)C1，C2，C3，…都在直線上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，則B4的坐標(biāo)是_____．【答案】（19，4）．【分析】根據(jù)題意和圖形可以求得前幾個(gè)菱形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：∵直線y＝，∴當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣1，設(shè)直線y＝與x軸的交點(diǎn)為D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，0），∴DA1＝2，∵OC1＝OA1＝1，OC1∥A1，∴C2A1＝2＝2OA1＝2，同理可得，C3A2＝4，C4A3＝8，C5A4＝16，∵∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，∴B4的橫坐標(biāo)是：（16﹣1）+8?cos60°＝15+8×＝19，縱坐標(biāo)是：8?sin60°＝8×，故答案為：（19，4）．【點(diǎn)睛】本題考查平行線截線段成比例、菱形與銳角三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握平行線截線段成比例的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及正余弦的定義并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．16．（2021·福建省泉州九年級(jí)期中）如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA為x軸，OC為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，雙曲線y=與AB、BC分別交于點(diǎn)D、E，沿直線DE將△DBE翻折得△DFE，且點(diǎn)F恰好落在直線OA上，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若，則矩形的面積是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．

【答案】②③④【分析】①設(shè)AB=a，BC=b，得到E(，b)，D(a，)，比較可知，CE≠AD；②利用比例系數(shù)k的意義得到SΔOEC=SΔOAD=×20=10，再利用三角形面積公式即可判斷；③證明ΔEGF~ΔFAD，得到，即可判斷；④設(shè)AB=4a，BC=5a，則B(5a，4a)，由ΔEGF~ΔFAD，再根據(jù)OA=5a=OG+GF+AF，得到方程，即可判斷．【詳解】解：①設(shè)AB=a，BC=b，則B(a，b)，∵點(diǎn)E，D在y=上，∴E(，b)，D(a，)，∴CE=a?，AD=b?，可知，CE≠AD．∴①錯(cuò)誤；②連接OB，OE，OD，在矩形OABC中，SΔOBC=SΔOAB，∵SΔOEC=SΔOAD=×20=10，∴SΔOEB=SΔODB，∴CE?OC=AD?OA，BE?OC=BD?OA，∴，，∴，即．∴②正確；③過(guò)E點(diǎn)作EG⊥OA于G，∵△DBE翻折得△DFE，∴∠EFD=∠B=90°，∴∠EFG+∠GEF=∠EFG+∠DFA=90°，∴∠GEF=∠DFA，∴ΔEGF~ΔFAD，∴，∵EG=AB，∴tan∠FED===．∴③正確；④過(guò)E點(diǎn)作EG⊥OA于G，∵AB:BC=4:5，∴設(shè)AB=4a，BC=5a，則B(5a，4a)．∵點(diǎn)E，D在y=，∴E(，4a)，D(5a，)，∴CE=，BE=5a?，AD=，BD=4a?，∵ΔEGF~ΔFAD，∴，∴，∴FG=，AF=．∴OA=5a=OG+GF+AF，∴，解得，a2=，∴S矩形ABCD=20a2=．∴④正確．綜上，所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③④．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．17．（2021·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校九年級(jí)一模）如圖，在菱形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)E，點(diǎn)在上，CN與交于點(diǎn)，若，，．則__________．【答案】【分析】如圖1中：過(guò)點(diǎn)F作FP⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于P．由=，可以假設(shè)PF＝k，PB＝5k，在Rt△PFC中，根據(jù)CF2＝PF2＋PC2，構(gòu)建方程求出k，再證明∠FCP＝60°即可解決問(wèn)題；【詳解】解：如圖1中：過(guò)點(diǎn)F作FP⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于P．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，AB∥CD，∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴DF＝CF＝CD＝AB，∵3AM＝2DF，∴設(shè)DF＝3a，AM＝2a，∴CD＝AB＝6a，∴BM＝AB?AM＝4a，∵＝4a．∴a=，∴CF＝，BC=，∵=，∴可以假設(shè)PF＝k，PB＝5k，在Rt△PFC中，∵CF2＝PF2＋PC2，∴（）2＝（k）2＋（5k?）2，整理得：282k2?600k＋3×225＝0，解得k＝或（舍棄），∴PF＝，PC＝5k?＝，∴tan∠FCP＝＝，∴∠PCF＝60°，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠FCP＝60°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝，∵CF∥AB，∴△FCE∽△BAE，∴，∴AE＝×=故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形綜合題，菱形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．18．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)二模）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處，折痕為MN，點(diǎn)M、N分別在邊BC、AB上，若PN⊥AB，則點(diǎn)N到邊MP的距離為________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E，作MF⊥AB于F，作NH⊥BM于H，根據(jù)菱形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)，求點(diǎn)N到邊MP的距離等于求點(diǎn)N到BM的距離NH，在Rt△NBH中求出NH即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AB于F，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥BM于H，NG⊥MP，∵四邊形ABCD為菱形，AB∥CD，AD∥BC，∠BAD＝120°，∴∠ABC＝∠DCE＝60°，又PE⊥BC，∴∠CPE＝30°，∴PC＝2CE，PE＝CE，∵翻折，∴△NBM≌△NPM，∴NH＝NG，∠BNM＝∠PNM，BM＝MP，∠B＝∠NPM＝60°，∵NP⊥BA，∴∠BNP＝90°，∴∠BNM＝∠PNM＝45°，∵∠B＋∠BNP＋∠NPM＋∠BMP＝360°，∴∠BMP＝150°，∴∠PME＝30°，∴MP＝2PE＝2CE，ME＝PE＝3CE，∴BM＝PM＝2CE，MC＝2CE，∵BC＝2＋2＝2CE＋2CE，∴CE＝1，∴MB＝2，∴MF＝MB×sinB＝2×sin60°＝3，BF＝MB×cosB＝2×cos60°＝，∵∠FNM＝45°，F(xiàn)M⊥FN，∴FN＝MF＝3，∴BN＝BF＋FN＝＋3，∴NH＝BN×sinB＝（3＋）×sin60°＝，∴NG＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查四邊形的綜合性質(zhì)求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，利用菱形與三角函數(shù)的性質(zhì)求解．19．（2020·成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，sin∠O＝，長(zhǎng)度為2的線段DE在射線OB上滑動(dòng)，點(diǎn)C在射線OA上，且OC＝5，△CDE的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DE，垂足為G，則FG的最大值為_____．【答案】【分析】根據(jù)題意連接CF，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CD于M，F(xiàn)N⊥EC于N，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥OE于H．利用面積法可得FG?（2+EC+CD）=6，推出當(dāng)EC+CD的值最小時(shí)，F(xiàn)G的值最大，想辦法求出EC+CD的最小值即可．【詳解】解：如圖1中，連接CF，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CD于M，F(xiàn)N⊥EC于N，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥OE于H．∵△CDE的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥DE，F(xiàn)M⊥CD，F(xiàn)N⊥EC，∴FG＝FM＝FN，在Rt△OCH中，∵∠CHO＝90°，OC＝5，∴sinO＝＝，∴CH＝3，∴S△DEC＝?DE?CH＝?EC?FN+?CD?FM+?DE?FG，∴FG?（2+EC+CD）＝6，∴當(dāng)EC+CD的值最小時(shí)，F(xiàn)G的值最大，如圖2中，過(guò)點(diǎn)C作CK∥DE，使得CK＝DE＝2，作點(diǎn)K關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)J，連接CJ交OB于E，連接EJ交OB于T，截取ED＝CD，此時(shí)CE+CD的值最小，最小值＝CJ的長(zhǎng)．由圖1可知KT＝TJ＝3，在Rt△JKC中，∵∠JKC＝90°，CK＝2，JK＝6，∴CJ＝＝＝2，∴CE+CD的最小值＝2，∴FG的最大值＝＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短問(wèn)題，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，難度較大．三、解答題20．（2021·四川瀘州市中考真題）如圖，A，B是海面上位于東西方向的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，有一艘海輪在C點(diǎn)處遇險(xiǎn)發(fā)出求救信號(hào)，此時(shí)測(cè)得C點(diǎn)位于觀測(cè)點(diǎn)A的北偏東45°方向上，同時(shí)位于觀測(cè)點(diǎn)B的北偏西60°方向上，且測(cè)得C點(diǎn)與觀測(cè)點(diǎn)A的距離為海里．（1）求觀測(cè)點(diǎn)B與C點(diǎn)之間的距離；（2）有一艘救援船位于觀測(cè)點(diǎn)B的正南方向且與觀測(cè)點(diǎn)B相距30海里的D點(diǎn)處，在接到海輪的求救信號(hào)后立即前往營(yíng)救，其航行速度為42海里/小時(shí)，求救援船到達(dá)C點(diǎn)需要的最少時(shí)間．【答案】（1）觀測(cè)點(diǎn)B與C點(diǎn)之間的距離為50海里；（2）救援船到達(dá)C點(diǎn)需要的最少時(shí)間為小時(shí)．【分析】（1）過(guò)C作CE⊥AB于E，分別在Rt△ACE和Rt△BCE中，解直角三角形即可求解；（2）過(guò)C作CF⊥BD，交DB延長(zhǎng)線于F，求得四邊形BFCE為矩形，在Rt△CDF中，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）過(guò)C作CE⊥AB于E，由題意得：∠CAE=45°，∠CBE=90°-60°=30°，AC=25，在Rt△ACE中，AE=CE=AC=25=25(海里)，在Rt△BCE中，BC=2CE=50(海里)，BE==25(海里)，∴觀測(cè)點(diǎn)B與C點(diǎn)之間的距離為50海里；（2）過(guò)C作CF⊥BD，交DB延長(zhǎng)線于F，∵CE⊥AB，CF⊥BD，∠FBE=90°，∴四邊形BFCE為矩形，∴CF=BE=25(海里)，BF=CE=25(海里)，在Rt△CDF中，CF=25(海里)，DF=55(海里)，∴CD=70(海里)，救援船到達(dá)C點(diǎn)需要的最少時(shí)間為(小時(shí))．．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．21．（2021·四川成都市金牛區(qū)九年級(jí)期末）如圖所示，在矩形ABCD中，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)H處，GH交BC于點(diǎn)K，連接DG交EF于點(diǎn)O，DG＝2EF．（1）求證DE?DA＝DO?DG；（2）探索AB與BC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）連接BH，sin∠BFH＝，EF＝，求△BFH的周長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BC＝2AB，理由見(jiàn)解析；（3）9+【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出角相等，進(jìn)而利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)和矩形的判定和性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理解答即可．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAG＝90°，由折疊性質(zhì)得：DG⊥EF，∴∠DAG＝∠EOD＝90°，∵∠GDA＝∠EDO，∴△ADG∽△ODE，∴∴DE?DA＝DO?DG；（2）BC＝2AB，理由如下：過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC于N，由折疊性質(zhì)得：DG⊥EF，∴∠EOG＝∠ENF＝∠DAG＝90°，∴∠OEN+∠DEO＝90°，∠OED+∠EDO＝90°，∴∠NEF＝∠EDO，∴△DGA∽△EFN，∴∵∠AEN＝∠A＝∠B＝90°，∴四邊形ABNE是矩形，∴EN＝AB，∵AD＝2EN，∴AD＝2AB，∴BC＝2AB；（3）作HQ⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于Q，連接EG，如圖2，∵AE∥BC，GE∥HF，∴∠AEG＝∠BFH，∵sin∠BFH＝sin∠AEG＝，設(shè)AG＝3k，AE＝4k，GE＝ED＝5k，則AD=AE+ED=9k∵DG＝2EF，EF＝，∴DG＝，∵∴解得：k＝1或﹣1（舍去），∴AG＝3，AE＝4，AD＝9，AB＝4.5，∵∠EAB＝∠HQG＝∠EGH＝90°，∴∠AGE+∠QGH＝90°，∠AGE+∠AEG＝90°，∴∠AEG＝∠QGH，∴△EAG∽△GQH，∴即∴GQ＝，QH＝，GB＝，BQ＝，∴∴△BFH的周長(zhǎng)＝9+．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似綜合題，綜合運(yùn)用了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，三角函數(shù),熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2021·陜西師大附中九年級(jí)月考）（1）問(wèn)題背景：如圖（1），已知，求證：；（2）嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點(diǎn)F．點(diǎn)D在邊上，，求的值；（3）拓展創(chuàng)新：如圖（3），D是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，則的長(zhǎng)為________．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】（1）問(wèn)題背景：根據(jù)，得出，，推出，，即可證明結(jié)論；（2）嘗試應(yīng)用：連接，先證，由問(wèn)題背景知，得出，在中，，得，再證，即可得出；（3）拓展創(chuàng)新：過(guò)點(diǎn)作的垂線，過(guò)點(diǎn)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，連接，證，得出比例關(guān)系和角的關(guān)系，再證，根據(jù)，得出的值，根據(jù)勾股定理得出，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）問(wèn)題背景：，，，，，即，，；（2）嘗試應(yīng)用：連接，，，，由問(wèn)題背景知，，在中，，，，，，，；（3）拓展創(chuàng)新：過(guò)點(diǎn)作的垂線，過(guò)點(diǎn)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，連接，，，，，又，，，，，即，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2021·重慶巴川中學(xué)校九年級(jí)月考）已知，和都是等腰直角三角形，，，，分別過(guò)點(diǎn)B、D作、，兩平行線交于點(diǎn)F，連接．（1）如圖1、若點(diǎn)E在上，，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在上，若，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，求的值．（3）如圖3，若，，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最大時(shí)，直接寫出四邊形的面積．【答案】（1）；（2）；（3）48【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，可得，由銳角三角函數(shù)可得，可求，，由勾股定理可求解；（2）設(shè)，由勾股定理和相似三角形的性質(zhì)分別求出，，，即可求解；（3）連接交于，過(guò)點(diǎn)作于，連接，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理可求，，由三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，即有最大值為，即可求解．【詳解】解：（1）、，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，；（2）設(shè)，，，，，，，，由（1）可知：四邊形是平行四邊形，且，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，；（3）如圖3，連接交于，過(guò)點(diǎn)作于，連接，，，和都是等腰直角三角形，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，即有最大值為，，四邊形的面積．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．24．（2021·老河口市九年級(jí)月考）在和中，，連接，，直線交于交于．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，，．推斷∶①的值為__________；②的度數(shù)為__________．（2）探究證明：如圖2，若．判斷的值及的度數(shù)，并說(shuō)明理由．（3）拓展延伸：在（2）的條件下，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)第一次重合，若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）①；②；（2），，理由見(jiàn)解析；（3）3【分析】（1）根據(jù)題意可得得到，，從而得到，即可求解；（2）根據(jù)題意可得，從而得到，，從而得到，即可求解；（3）根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，得到，得到，即可求解．【詳解】解：（1）∵∴在和中

∴∴，∴又∵∴∴故答案為，．（2），．理由如下：∵，∴，即．∵，∴，∴，，∴．（3）∵，，，∴，在中，，在中，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2021·福建省福州屏東中學(xué)九年級(jí)月考）已知，在矩形ABCD中，＝m，F(xiàn)、G分別為AB、DC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接GF．（1）如圖，當(dāng)F為AB的中點(diǎn)，G與D重合時(shí)，將△AFD沿FD翻折至△EFD，連AE，BE．①求∠AEB的度數(shù)；②若C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求m的值．（2）當(dāng)F，G不與端點(diǎn)重合時(shí)，將四邊形AFGD沿FG翻折至四邊形FHPG，點(diǎn)H恰好落在BC上，HP交CD于點(diǎn)Q，連AH，交GF干占O，若m＝，tan∠CGP＝，GF＝，求CP的長(zhǎng)．【答案】（1）①∠AEB＝90°；②m＝；（2）CP＝．【分析】（1）①利用翻折的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)求解即可得到答案；②首先根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)證明△DEC≌△CBF，然后利用三角函數(shù)求解即可.（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接PC，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AB于點(diǎn)N，證明△PHM∽△HFB，利用三角函數(shù)和勾股定理進(jìn)行求解即可得到答案.【詳解】解：（1）①方法一：∵△AFD沿FD翻折至△EFD，∴AF＝FE，∴∠EAF＝∠AEF，∵F為AB的中點(diǎn)，∴AF＝BF，∴FE＝BF，∴∠FBE＝∠FEB，∵∠EAF+∠AEF+∠FBE+∠FEB＝180°，即2（∠AEF+∠FEB）＝180°，∴∠AEF+∠FEB＝90°，即∠AEB＝90°；方法二：∵△AFD沿FD翻折至△EFD，∴AF＝FE，∴∠EAF＝∠AEF，∵F為AB的中點(diǎn)，∴AF＝BF，∴FE＝BF＝AF，∴A、E、B三點(diǎn)在以F為圓心的圓上，AB是直徑，∴∠AEB＝90°；

②如圖1，連接CE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，DC//AB，由折疊得：∠DEF＝∠DAB＝90°，DE＝DA＝BC，∵C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴∠DCE＝∠BFE，∠CED＝180°﹣∠DEF＝90°，在△DEC和△CBF中，，∴△DEC≌△CBF（AAS），∴EC＝BF，∵BF＝AB，∴EC＝DC，∴cos∠DCE＝＝,∴∠DCE＝60°，∴＝tan∠DCE＝tan60°＝，∵＝m，∴,∴m＝；（2）如圖2，∵折疊，∴∠PHF＝∠DAF＝90°，PH＝DA，∠GPH＝∠D＝90°，∴∠1