第19章《幾何證明(二)-勾股定理》知識講練(學(xué)生版+解析)

2023-2024學(xué)年滬教版數(shù)學(xué)八年級上冊章節(jié)知識講練知識點01：直角三角形1.直角三角形全等的判定（1）直角三角形全等一般判定定理：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也適用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)（2）直角三角形全等的HL判定定理：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記為：HL）綜上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.2.直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余；定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；推論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；推論：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°.3.勾股定理定理：在直角三角形中，斜邊大于直角邊；勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形；勾股定理證明思路：面積分割法（勾股定理逆定理證明思路：三角形全等）勾股數(shù)組：如果正整數(shù)滿足，那么叫做勾股數(shù)組，常見的勾股數(shù)組有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.4.兩點之間的距離公式如果直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點，那么A、B兩點的距離為：.兩種特殊情況：（1）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，軸或平行于軸的直線上的兩點的距離為：（2）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，軸或平行于軸的直線上的兩點的距離為：易錯點撥：幾何證明的分析思路：（1）從結(jié)論出發(fā)，即：根據(jù)所要證明的結(jié)論→去尋找條件.例如：要證線段相等，則需先證：①⊿全等，然后利用全等三角形性質(zhì)得到線段相等；②角相等，然后利用等角對等邊（前提：在同一個三角形中）③尋找中間變量，然后利用等量代換得出結(jié)論；④觀察圖形，看是否可以直接利用線段的垂直平分線定理或角平分線定理來得出結(jié)論；要證角相等，則需先證：①⊿全等，然后利用全等三角形性質(zhì)得到角相等；②線段相等，然后利用等邊對等角（前提：在同一個三角形中）③尋找中間變量，然后利用等量代換得出結(jié)論；④觀察圖形，看是否可以直接利用角平分線逆定理來得出結(jié)論；要證垂直，則需先證：①兩條直線所夾的角為90°；②先證等腰三角形，然后利用“三線合一”來得出結(jié)論（前提：在同一個三角形中）；要證三角形全等，則需先要從已知找條件，看要判定全等還卻什么條件，然后再去尋找.（2）從已知出發(fā)，即：根據(jù)所給條件、利用相關(guān)定理→直接可得的結(jié)論.例如：已知線段的垂直平分線→線段相等；已知角平分線→到角的兩邊距離相等或角相等；已知直線平行→角相等；已知邊相等→角相等（前提：在同一三角形中）.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021秋?奉賢區(qū)校級期末）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是（）A．13 B．26 C．47 D．942．（2分）（2021秋?寶山區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分別是斜邊上的高和中線，AC＝2，BC＝4，那么下列結(jié)論中錯誤的是（）A．∠ACD＝∠B B．CM＝ C．∠B＝30° D．CD＝3．（2分）（2020秋?奉賢區(qū)期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a，b，c．下列條件中，不能說明△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B C．b2＝a2﹣c2 D．a(chǎn)：b：c＝5：12：134．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，BD、CE是高，點G、F分別是BC、DE的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．GE＝GD B．GF⊥DE C．∠DGE＝60° D．GF平分∠DGE5．（2分）（2021秋?普陀區(qū)期末）用下列幾組邊長構(gòu)成的三角形中哪一組不是直角三角形（）A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2，6．（2分）（2021秋?普陀區(qū)期末）現(xiàn)有四塊正方形紙片，面積分別是2，3，4，5，選取其中三塊按如圖的方式圍成一個三角形，如果要使這個三角形是直角三角形，那么選取的三塊紙片的面積分別是（）A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D．3，4，57．（2分）（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分別是斜邊上的高和中線，那么下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠ACM＝∠BCD B．∠ACD＝∠B C．∠ACD＝∠BCM D．∠ACD＝∠MCD8．（2分）（2022秋?寶山區(qū)期末）機場入口處的銘牌上說明，飛機行李架是一個50cm×40cm×20cm的長方體空間，有位旅客想購買一件畫卷隨身攜帶，現(xiàn)有4種長度的畫卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，請問這位旅客可以購買的尺寸是（）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①9．（2分）（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，BD平分∠ABC，BD＝2，則以下結(jié)論錯誤的是（）A．點D在AB的垂直平分線上 B．點D到直線AB的距離為1 C．點A到直線BD的距離為2 D．點B到直線AC的距離為10．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）美國數(shù)學(xué)家伽菲爾德在1876年提出了證明勾股定理的一種巧妙方法，如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，E是邊BC上一點，且BE＝CD＝a，AB＝EC＝b．如果△ABE的面積為1，且a﹣b＝1，那么△ADE的面積為（）A．1 B．2 C．2.5 D．5二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2021秋?嘉定區(qū)期末）一個直角三角形兩條直角邊的比是3：4，斜邊長為10cm，那么這個直角三角形面積為．12．（2分）（2021秋?寶山區(qū)期末）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，點D在BC延長線上，且AD＝，若∠D＝50°，則∠B＝．13．（2分）（2021秋?徐匯區(qū)期末）如圖，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝2，則EF＝．14．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如果一個直角三角形斜邊上的中線與斜邊夾角為70°，那么這個直角三角形的較小的內(nèi)角是°．15．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為AB上一點，聯(lián)結(jié)CD，BD＝5，DC＝12，BC＝13，則AB＝．16．（2分）（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，且AD＝5，AC＝10．則AB＝．17．（2分）（2022秋?徐匯區(qū)期末）已知等腰三角形一腰上的高線等于腰長的一半，那么這個等腰三角形的頂角等于．18．（2分）（2021秋?奉賢區(qū)校級期末）已知：如圖在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝AC，D是邊BC上一點，E是邊AC上一點，AD＝AE，若△ABD為等腰三角形，則∠CDE的度數(shù)為．19．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）在證明“勾股定理”時，可以將4個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形（如圖所示，AB＜BC）．如果小正方形的面積是25，大正方形的面積為49，那么＝．20．（2分）（2022秋?閔行區(qū)期中）閱讀材料：在直角三角形中，斜邊和兩條直角邊滿足定理：兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方．因此如果已知兩條邊的長，根據(jù)定理就能求出第三邊的長．例如：在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由定理得AC2+BC2＝AB2，代入數(shù)據(jù)計算求得AB＝5．請結(jié)合上述材料和已學(xué)幾何知識解答以下問題：已知：如圖，∠C＝90°，AB∥CD，AB＝5，CD＝11，AC＝8，點E是BD的中點，那么AE的長為．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?閔行區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，點D是AB上一點，BD＝AD＝CD，過點B作BE⊥CD，分別交AC于點E，交CD于點F．（1）求證：∠ACB＝90°；（2）如果BE＝CD，求證：AC＝2BC．22．（6分）（2022秋?楊浦區(qū)期末）已知，如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且AD＝BC，AE⊥BC．（1）求證：∠CAE＝∠B；（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求AB的長．23．（8分）（2022秋?寶山區(qū)期末）如圖，直角三角形ACB，直角頂點C在直線l上，分別過點A、B作直線l的垂線，垂足分別為點D和點E．（1）求證：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求證：CD＝BE；②若設(shè)△ADC的三邊分別為a、b、c，試用此圖證明勾股定理．24．（8分）（2021秋?普陀區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，MN是AD的垂直平分線，交AD于點M，交AB于點N，已知DC＝2，求AN的長．25．（8分）（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）已知，如圖，在三角形ABC中，AD是邊BC邊上的高，CE是中線，F(xiàn)是CE中點，DF垂直于CE，求證：CD＝AB．26．（8分）（2021秋?寶山區(qū)校級期中）閱讀材料：兩點間的距離公式：如果直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B兩點的距離AB＝．則AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若點A（4，1），B（2，3），則AB＝，根據(jù)上面材料完成下列各題：（1）若點A（﹣2，3），B（1，﹣3），則A、B兩點間的距離是．（2）若點A（﹣2，3），點B在坐標(biāo)軸上，且A、B兩點間的距離是5，求B點坐標(biāo)．（3）若點A（x，3），B（3，x+1），且A、B兩點間的距離是5，求x的值．27．（8分）（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝2∠B，AH⊥BC于點H，D是AC中點，DE∥AB，求證：EH＝AC．28．（8分）（2021秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，對角線AC與BD相交于點O，M、N分別是邊AC、BD的中點．（1）求證：MN⊥BD；（2）當(dāng)∠BCA＝15°，AC＝10cm，OB＝OM時，求MN的長．

2023-2024學(xué)年滬教版數(shù)學(xué)八年級上冊章節(jié)知識講練知識點01：直角三角形1.直角三角形全等的判定（1）直角三角形全等一般判定定理：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也適用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)（2）直角三角形全等的HL判定定理：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記為：HL）綜上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.2.直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余；定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；推論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；推論：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°.3.勾股定理定理：在直角三角形中，斜邊大于直角邊；勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形；勾股定理證明思路：面積分割法（勾股定理逆定理證明思路：三角形全等）勾股數(shù)組：如果正整數(shù)滿足，那么叫做勾股數(shù)組，常見的勾股數(shù)組有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.4.兩點之間的距離公式如果直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點，那么A、B兩點的距離為：.兩種特殊情況：（1）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，軸或平行于軸的直線上的兩點的距離為：（2）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，軸或平行于軸的直線上的兩點的距離為：易錯點撥：幾何證明的分析思路：（1）從結(jié)論出發(fā)，即：根據(jù)所要證明的結(jié)論→去尋找條件.例如：要證線段相等，則需先證：①⊿全等，然后利用全等三角形性質(zhì)得到線段相等；②角相等，然后利用等角對等邊（前提：在同一個三角形中）③尋找中間變量，然后利用等量代換得出結(jié)論；④觀察圖形，看是否可以直接利用線段的垂直平分線定理或角平分線定理來得出結(jié)論；要證角相等，則需先證：①⊿全等，然后利用全等三角形性質(zhì)得到角相等；②線段相等，然后利用等邊對等角（前提：在同一個三角形中）③尋找中間變量，然后利用等量代換得出結(jié)論；④觀察圖形，看是否可以直接利用角平分線逆定理來得出結(jié)論；要證垂直，則需先證：①兩條直線所夾的角為90°；②先證等腰三角形，然后利用“三線合一”來得出結(jié)論（前提：在同一個三角形中）；要證三角形全等，則需先要從已知找條件，看要判定全等還卻什么條件，然后再去尋找.（2）從已知出發(fā)，即：根據(jù)所給條件、利用相關(guān)定理→直接可得的結(jié)論.例如：已知線段的垂直平分線→線段相等；已知角平分線→到角的兩邊距離相等或角相等；已知直線平行→角相等；已知邊相等→角相等（前提：在同一三角形中）.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021秋?奉賢區(qū)校級期末）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是（）A．13 B．26 C．47 D．94解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，即S3＝9+25+4+9＝47．故選：C．2．（2分）（2021秋?寶山區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分別是斜邊上的高和中線，AC＝2，BC＝4，那么下列結(jié)論中錯誤的是（）A．∠ACD＝∠B B．CM＝ C．∠B＝30° D．CD＝解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，A正確，不符合題意；在Rt△ACB中，AB＝＝2，∵∠ACB＝90°，CM是斜邊上的中線，∴CM＝，B正確，不符合題意；在Rt△ACB中，AB＝2，AC＝2，∴∠B≠30°，C錯誤，符合題意；×2×4＝×2×CD，解得，CD＝，D正確，不符合題意；故選：C．3．（2分）（2020秋?奉賢區(qū)期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a，b，c．下列條件中，不能說明△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B C．b2＝a2﹣c2 D．a(chǎn)：b：c＝5：12：13解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°×＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；B、因為∠C＝∠A﹣∠B，即∠A＝∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以2∠A＝180°，解得∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；C、因為b2＝a2﹣c2，所以a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；D、因為a：b：c＝5：12：13，設(shè)a＝5x，b＝12x，c＝13x，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC是直角三角形．故選：A．4．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，BD、CE是高，點G、F分別是BC、DE的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．GE＝GD B．GF⊥DE C．∠DGE＝60° D．GF平分∠DGE解：∵BD、CE是高，點G是BC的中點，∴GE＝BC，GD＝BC，∴GE＝GD，A正確，不符合題意；∵GE＝GD，F(xiàn)是DE的中點，∴GF⊥DE，B正確，不符合題意；∠DGE的度數(shù)不確定，C錯誤，符合題意；∵GE＝GD，F(xiàn)是DE的中點，∴GF平分∠DGE，D正確，不符合題意；故選：C．5．（2分）（2021秋?普陀區(qū)期末）用下列幾組邊長構(gòu)成的三角形中哪一組不是直角三角形（）A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2，解：A、∵82+152＝172，∴此三角形為直角三角形，故選項錯誤；B、∵（）2+（）2＝（）2，∴此三角形是直角三角形，故選項錯誤；C、∵（）2+22≠（）2，∴此三角形不是直角三角形，故選項正確；D、∵12+22＝（）2，∴此三角形為直角三角形，故選項錯誤．故選：C．6．（2分）（2021秋?普陀區(qū)期末）現(xiàn)有四塊正方形紙片，面積分別是2，3，4，5，選取其中三塊按如圖的方式圍成一個三角形，如果要使這個三角形是直角三角形，那么選取的三塊紙片的面積分別是（）A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D．3，4，5解：∵四塊正方形紙片，面積分別是2，3，4，5，∴四塊正方形紙片的邊長分別是，，，，由題意可得，三角形各邊的平方是對應(yīng)的各個正方形的面積，當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，3，4，2+3≠4，圍成的三角形不是直角三角形；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5時，2+3＝5，圍成的三角形是直角三角形；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，4，5時，2+4≠5，圍成的三角形不是直角三角形；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是3，4，5時，3+4≠5，圍成的三角形不是直角三角形；故選：B．7．（2分）（2020秋?浦東新區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分別是斜邊上的高和中線，那么下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠ACM＝∠BCD B．∠ACD＝∠B C．∠ACD＝∠BCM D．∠ACD＝∠MCD解：∵∠ACB＝90°，CD是高，∴∠A+∠ACD＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，故B選項正確；∵∠ACB＝90°，CM是斜邊的中線，∴CM＝BM，∴∠MCB＝∠B＝∠ACD，∴∠ACM＝∠BCD，故A選項正確；∵∠MCB＝∠B＝∠ACD，故C選項正確；∵AC不一定等于CM，∴∠ACD與∠MCD不一定相等，故D選項錯誤．故選：D．8．（2分）（2022秋?寶山區(qū)期末）機場入口處的銘牌上說明，飛機行李架是一個50cm×40cm×20cm的長方體空間，有位旅客想購買一件畫卷隨身攜帶，現(xiàn)有4種長度的畫卷①38cm；②40cm；③60cm；④68cm，請問這位旅客可以購買的尺寸是（）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①解：由題意知：AD＝20cm，CD＝50cm，AE＝40cm．如圖，連接AC，CE．在直角△ACD中，由勾股定理知：AC2＝AD2+CD2＝232+362．在直角△ACE中，CE2＝AE2+AC2．所以CE2＝402+202+502＝4500．因為382＝1444＜4500，402＝1600＜4500，602＝3600＜4500，682＝4624＞4500，所以這位旅客可以購買的尺寸是①②③．故選：B．9．（2分）（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，BD平分∠ABC，BD＝2，則以下結(jié)論錯誤的是（）A．點D在AB的垂直平分線上 B．點D到直線AB的距離為1 C．點A到直線BD的距離為2 D．點B到直線AC的距離為解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，∴∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∴∠A＝∠ABD，CD＝BD＝1，∴AD＝BD＝2，∴點D在AB的垂直平分線上．故選項A結(jié)論正確；過D作DE⊥AB于E，∴DE＝DC＝1，∴點D到AB的距離為1（故選項B結(jié)論正確），BC＝CD＝，∴點B到AC的距離為，故選項D結(jié)論正確；過A作AF⊥BD交BD的延長線于F，∴AF＝AB＝BC＝，∴點A到BD的距離為，故選項C結(jié)論不正確；故選：C．10．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）美國數(shù)學(xué)家伽菲爾德在1876年提出了證明勾股定理的一種巧妙方法，如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，E是邊BC上一點，且BE＝CD＝a，AB＝EC＝b．如果△ABE的面積為1，且a﹣b＝1，那么△ADE的面積為（）A．1 B．2 C．2.5 D．5解：∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∵BE＝CD＝a，AB＝EC＝b，∴△ABC≌△ECD（SAS），∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，∵∠EDC+∠DEC＝∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°，∴△AED是等腰直角三角形，∴△ADE的面積＝AE2，∵△ABE的面積為1，∴ab＝1，∴ab＝2，∵a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，∴a2+b2＝5，∴△ADE的面積＝×5＝，故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2021秋?嘉定區(qū)期末）一個直角三角形兩條直角邊的比是3：4，斜邊長為10cm，那么這個直角三角形面積為24cm2．解：∵一個直角三角形兩條直角邊的比是3：4，∴設(shè)兩條直角邊分別為3x，4x，根據(jù)勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝102，∴x＝2，∴兩條直角邊分別為6cm和8cm，∴這個直角三角形面積為×8×6＝24（cm2），故答案為：24cm2．12．（2分）（2021秋?寶山區(qū)期末）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，點D在BC延長線上，且AD＝，若∠D＝50°，則∠B＝25°．解：根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半可得：AE＝BE＝EC＝AD，∴∠AED＝∠D＝50°＝2∠B，∴∠B＝25°．故答案為：25．13．（2分）（2021秋?徐匯區(qū)期末）如圖，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝2，則EF＝4．解：作EG⊥OA于G，如圖所示：∵EF∥OB，∠AOE＝∠BOE＝15°∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，∵∠AOE＝15°，∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∴EF＝2EG＝4．故答案為：4．14．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如果一個直角三角形斜邊上的中線與斜邊夾角為70°，那么這個直角三角形的較小的內(nèi)角是35°．解：如圖，∵CD是Rt△ABC斜邊上的中線，∴CD＝AD＝DB，∴∠A＝∠ACD，∵斜邊上的中線與斜邊所成的銳角為70°，即∠BDC＝70°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A＝70°，解得∠A＝35°，另一個銳角∠B＝90°﹣35°＝55°，∴這個直角三角形的較小內(nèi)角的度數(shù)為35°．故答案為：35．15．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為AB上一點，聯(lián)結(jié)CD，BD＝5，DC＝12，BC＝13，則AB＝16.9．解：在△BDC中，BD＝5，DC＝12，BC＝13，∴BD2+CD2＝25+144＝169，BC2＝169，∴BD2+CD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°，設(shè)AB＝AC＝x，則AD＝AB﹣BD＝x﹣5，在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，∴（x﹣5）2+144＝x2，解得：x＝16.9，∴AB＝AC＝16.9，故答案為：16.9．16．（2分）（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，且AD＝5，AC＝10．則AB＝20．解：如圖，∵CD⊥AB于D，AD＝5，AC＝10，∴∠ACD＝30°，∵CD⊥AB于D，∴∠B+∠BCD＝90°，又∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD＝30°，∵AC＝10，∴AB＝2AC＝20．故答案為：20．17．（2分）（2022秋?徐匯區(qū)期末）已知等腰三角形一腰上的高線等于腰長的一半，那么這個等腰三角形的頂角等于30°或150°．解：①如圖，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB且CD＝AB，∵△ABC中，CD⊥AB且CD＝AB，AB＝AC，∴CD＝AC，∴∠A＝30°．②如圖，△ABC中，AB＝AC，CD⊥BA的延長線于點D，且CD＝AB，∵∠CDA＝90°，CD＝AB，AB＝AC，∴CD＝AC，∴∠DAC＝30°，∴∠A＝150°．故答案為：30°或150°．18．（2分）（2021秋?奉賢區(qū)校級期末）已知：如圖在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝AC，D是邊BC上一點，E是邊AC上一點，AD＝AE，若△ABD為等腰三角形，則∠CDE的度數(shù)為22.5°或33.75°．解：當(dāng)BA＝BD時，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣22.5°）＝78.75°，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∠C＝45°，∴∠EDC＝78.75°﹣45°＝33.75°，當(dāng)DB＝DA時，∵∠DAC＝∠DAB＝45°，∴∠ADB＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∠C＝45°，∴∠EDC＝67.5°﹣45°＝22.5°，故答案為22.5°或33.75°．19．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級期末）在證明“勾股定理”時，可以將4個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形（如圖所示，AB＜BC）．如果小正方形的面積是25，大正方形的面積為49，那么＝．解：∵小正方形的面積是25，∴EB＝5，∵△HAG≌△BCA，∴AH＝CB，∵大正方形的面積為49，∴BH＝7，∴AB+AH＝7，設(shè)AB＝x，則AH＝7﹣x，在Rt△ABC中：x2+（7﹣x）2＝52，解得：x1＝4，x2＝3，當(dāng)x＝4時，7﹣x＝3，當(dāng)x＝3時，7﹣x＝4，∵AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4，∴＝，故答案為：．20．（2分）（2022秋?閔行區(qū)期中）閱讀材料：在直角三角形中，斜邊和兩條直角邊滿足定理：兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方．因此如果已知兩條邊的長，根據(jù)定理就能求出第三邊的長．例如：在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由定理得AC2+BC2＝AB2，代入數(shù)據(jù)計算求得AB＝5．請結(jié)合上述材料和已學(xué)幾何知識解答以下問題：已知：如圖，∠C＝90°，AB∥CD，AB＝5，CD＝11，AC＝8，點E是BD的中點，那么AE的長為5．解：作EG⊥AC，垂足為G．∵AB∥CD∴△ABF∽△CDF，∴＝，∵AB＝5，DC＝11，∴＝，∴AF＝AC＝×8＝；∴FC＝8﹣2.5＝，∴BF＝＝，DF＝＝，∴EB＝×（+）＝4，∴EF＝4﹣＝．易得，△ABF∽△GEF，∴，，∴，，∴EG＝3，F(xiàn)G＝，∴AG＝+＝4，在Rt△AEG中，AE＝＝5．故答案為：5．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?閔行區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，點D是AB上一點，BD＝AD＝CD，過點B作BE⊥CD，分別交AC于點E，交CD于點F．（1）求證：∠ACB＝90°；（2）如果BE＝CD，求證：AC＝2BC．證明：（1）∵BD＝AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∠ABC＝∠DCB，∵∠A+∠ACD+∠ABC+∠DCB＝180°，∴∠ACD+∠BCD＝×180°＝90°，∴∠ACB＝90°；（2）取AC中的G，連接DG，∴GD是△ABC的中位線，∴GD∥BC，∴∠CGD+∠ACB＝180°，∴∠CGD＝∠ECB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠EBC+∠BCF＝90°，∵∠GCD+∠BCF﹣90°，∴∠GCD＝∠EBC，∵BE＝CD，∴△CDG≌△BEC（AAS），∴CG＝BC，∵AC＝2CG，∴AC＝2BC．22．（6分）（2022秋?楊浦區(qū)期末）已知，如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且AD＝BC，AE⊥BC．（1）求證：∠CAE＝∠B；（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求AB的長．（1）證明：∵AD為BC邊上的中線，∴BD＝DC＝BC，∵AD＝BC，∴AD＝DC＝BD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠DAC，∵∠B+∠BAD+∠DAC+∠C＝180°，∴2（∠B+∠C）＝180°，∴∠B+∠C＝90°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE+∠C＝90°，∴∠CAE＝∠B；（2）解：∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，CE＝2，∴AC＝2CE＝4，∵∠B+∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°，∵∠B＝∠CAE＝30°，∴AB＝AC＝4，∴AB的長為4．23．（8分）（2022秋?寶山區(qū)期末）如圖，直角三角形ACB，直角頂點C在直線l上，分別過點A、B作直線l的垂線，垂足分別為點D和點E．（1）求證：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求證：CD＝BE；②若設(shè)△ADC的三邊分別為a、b、c，試用此圖證明勾股定理．證明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于點D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于點D，BE⊥DE于點E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由圖可知：S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴＝，化簡，得：a2+b2＝c2．24．（8分）（2021秋?普陀區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，MN是AD的垂直平分線，交AD于點M，交AB于點N，已知DC＝2，求AN的長．解：如圖所示，過D作DE⊥AB于點E，連接DN，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC