專題02公式法、因式分解法解一元二次方程和根與系數的關系壓軸題六種模型全攻略(原卷版+解析)

專題02公式法、因式分解法解一元二次方程和根與系數的關系壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一公式法解一元二次方程的解法】 1【考點二根據判別式判斷一元二次方程根的情況】 4【考點三根據一元二次方程根的情況求參數】 6【考點四因式分解法解一元二次方程的解法】 9【考點五換元法解一元二次方程】 12【考點六一元二次方程根與系數的關系】 15【過關檢測】 19【典型例題】【考點一公式法解一元二次方程的解法】【例題1】（2023秋·吉林白山·九年級?？计谀┙夥匠蹋海咀兪?-1】（2023秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）解方程：．【變式1-2】（2023秋·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）解方程：．【變式1-3】（2023秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）按要求解下列方程：(1)用配方法解方程：；(2)用公式法解方程：．【變式1-4】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【考點二根據判別式判斷一元二次方程根的情況】【例題2】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）下列一元二次方程中，沒有實數根的是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（2023·河南商丘·校考三模）一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．無實數根 D．無法確定【變式2-2】（2023·河南三門峽·統(tǒng)考一模）一元二次方程的根的情況（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根 D．只有一個實數根【變式2-3】（2023·江西九江·?？寄M預測）已知一元二次方程，下列說法錯誤的是（

）A．若，則方程沒有實數根B．當且方程存在實數根時，兩根一定互為相反數C．若，則方程必有兩個不相等的實數根D．若，則方程有兩個不相等的實數根【考點三根據一元二次方程根的情況求參數】【例題3】（2023·安徽宿州·?？家荒＃┤絷P于的方程有實數根，則的取值范圍為________．【變式3-1】（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為______．【變式3-2】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是______．【變式3-3】（2023·安徽蚌埠·?？家荒＃┤絷P于x的一元二次方程無實數根，則整數k的最小值為___________．【變式3-4】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）關于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程的兩個實數根都是正整數，求m的最小值．【變式3-5】（2023春·浙江杭州·八年級杭州市采荷中學?？计谥校┮阎P于x的一元二次方程．(1)判別方程根的情況，并說明理由．(2)設該一元二次方程的兩根為a，b，且a，b是矩形兩條對角線的長，求矩形對角線的長．【考點四因式分解法解一元二次方程的解法】【例題4】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級校聯(lián)考期中）解方程：．【變式4-1】（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）解方程：(1)；(2)．【變式4-2】（2023春·浙江寧波·八年級?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【變式4-3】（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┯煤线m的方法解方程：(1)；(2)．【變式4-4】（2023春·浙江寧波·八年級寧波市第七中學校聯(lián)考期中）解方程：(1)(2)【考點五換元法解一元二次方程】【例題5】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）實數滿足方程，則的值等于（

）A． B． C．或 D．或【變式5-1】（2023秋·廣西河池·九年級統(tǒng)考期末）若實數x，y滿足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或3【變式5-2】（2023·全國·九年級專題練習）若，則______．【變式5-3】（2023春·安徽亳州·八年級校考階段練習）閱讀材料，解答問題.解方程：.解：把視為一個整體，設，則原方程可化為．解得：，，或，，．以上方法就叫換元法，達到簡化或降次的目的，體現了轉化的思想．請仿照材料解決下列問題：(1)解方程；(2)已知，求的值.【考點六一元二次方程根與系數的關系】【例題6】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知是一元二次方程的兩根，則的值是______．【變式6-1】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若、為的兩根，則的值為______．【變式6-2】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）設一元二次方程的兩根分別是、，計算____________．【變式6-3】（2023春·安徽淮北·八年級淮北一中校聯(lián)考階段練習）已知a，b滿足，，且，則的值為___．【變式6-4】（2023春·全國·八年級專題練習）已知，是方程的兩根，則的值為__________．【變式6-5】（2023春·安徽合肥·八年級?？计谥校┮阎P于x的一元二次方程．(1)求證：無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程有兩個實數根，且，求k的值．【變式6-6】（2023春·浙江·八年級期末）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)若為正整數，求的值；(2)若滿足，求的值．【過關檢測】一、選擇題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱風華中學?？计谥校╆P于x的一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．不能確定2．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考二模）方程的兩個根是（

）A． B． C． D．3．（2023春·安徽合肥·八年級?？计谥校┤粢辉畏匠逃薪猓瑒tm的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且4．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）已知關于x的方程的兩實根為，若，則m的值為（

）A． B． C．或3 D．或15．（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）對于實數、定義運算“”為，例如，則關于的方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．無實數根 D．無法確定二、填空題6．（2023·陜西西安·?？寄M預測）方程的根為______________．7．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）一元二次方程根的判別式的值是_________．8．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）設，是方程的兩個根，則___________．9．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是______．10．（2023春·八年級單元測試）一個三角形的兩邊長分別為和，第三邊的長為一元二次方程的一個根，則這個三角形的周長為____．三、解答題11．（2023·全國·九年級專題練習）解方程：．12．（2023春·廣東深圳·九年級深圳市福田區(qū)石廈學校?？奸_學考試）解方程：(1)(2)．13．（2023春·浙江寧波·八年級?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．14．（2023·北京·統(tǒng)考二模）關于x的方程有兩個不相等的實數根．(1)求m的取值范圍；(2)若m為正整數，求此時方程的根．15．（2023春·八年級單元測試）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程的兩根、是斜邊長為5的直角三角形兩直角邊長，求k的值．16．（2023春·天津和平·九年級專題練習）解方程：(1)解方程：；(2)關于的一元二次方程有兩個實數根，，并且．①求實數的取值范圍；②滿足，求的值．專題02公式法、因式分解法解一元二次方程和根與系數的關系壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一公式法解一元二次方程的解法】 1【考點二根據判別式判斷一元二次方程根的情況】 4【考點三根據一元二次方程根的情況求參數】 6【考點四因式分解法解一元二次方程的解法】 9【考點五換元法解一元二次方程】 12【考點六一元二次方程根與系數的關系】 15【過關檢測】 19【典型例題】【考點一公式法解一元二次方程的解法】【例題1】（2023秋·吉林白山·九年級?？计谀┙夥匠蹋海敬鸢浮浚痉治觥坷霉椒ń庖辉畏匠碳纯桑驹斀狻拷猓?，，，∴，∴，∴，．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法步驟并正確求解是解答的關鍵．【變式1-1】（2023秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）解方程：．【答案】，【分析】利用公式法求解即可．【詳解】，，，，，，，即：，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．【變式1-2】（2023秋·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）解方程：．【答案】【分析】先把方程化為一般式，然后利用公式法求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關鍵．【變式1-3】（2023秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）按要求解下列方程：(1)用配方法解方程：；(2)用公式法解方程：．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據配方法解一元二次方程即可求解；（2）根據公式法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：原方程化為：∴∴，解得：（2）解：∵,∴解得：.【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．【變式1-4】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】運用公式法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，原方程的解為：，；（2）解：，，，，，原方程的解為：，．【點睛】本題考查了運用公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關鍵．【考點二根據判別式判斷一元二次方程根的情況】【例題2】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）下列一元二次方程中，沒有實數根的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據根的判別式計算出的值，可得到根的情況．【詳解】A選項，，方程有兩個不等的實數根，故A選項不符；B選項，，方程沒有實數根，故B選項符合題意；C選項，，方程有兩個不等的實數根，故C選項不符；D選項，，方程有兩個相等的實數根，故D選項不符．故選：B【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是根據根的判別式的值的正負性得到根的情況．【變式2-1】（2023·河南商丘·?？既＃┮辉畏匠痰母那闆r是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．無實數根 D．無法確定【答案】C【分析】利用一元二次方程根的判別式與根的關系判斷即可．【詳解】解：∵，∴該一元二次方程無實數根，故選：C．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，解答關鍵是熟練掌握一元二次方程根的情況與根的判別式的關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．【變式2-2】（2023·河南三門峽·統(tǒng)考一模）一元二次方程的根的情況（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根 D．只有一個實數根【答案】A【分析】先將一元二次方程化為一般式，然后根據即可求解.【詳解】解：，，，，.原方程有兩個不相等的實數根.故答案選：A.【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式對應的三種情況是解題的關鍵.當時，方程有兩個不等實根；當時，方程有兩個相等實根；當時，方程沒有實根.【變式2-3】（2023·江西九江·校考模擬預測）已知一元二次方程，下列說法錯誤的是（

）A．若，則方程沒有實數根B．當且方程存在實數根時，兩根一定互為相反數C．若，則方程必有兩個不相等的實數根D．若，則方程有兩個不相等的實數根【答案】A【分析】根據一元二次方程根的判別式逐一求解即可．【詳解】A.將代入原方程，得，則是原方程的根；故A中的說法錯誤；B.當且方程存在實數根時，；故B中的說法正確；C.若，則，∴，∴方程必有兩個不相等的實數根；故C中的說法正確；D.若，則．∵∴，故方程有兩個不相等的實數根；故D中的說法正確．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式．解題的關鍵是熟練運用一元二次方程判別式判斷根的情況．【考點三根據一元二次方程根的情況求參數】【例題3】（2023·安徽宿州·校考一模）若關于的方程有實數根，則的取值范圍為________．【答案】【分析】分當時和當兩種情況討論求解即可．【詳解】解：當，即時，此時關于的方程為，解得，方程有實數根；當，即時，此時關于的方程若有實數根，則有，解得．綜上所述，當時，關于的方程有實數根．故答案為：．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程和一元二次方程的根的判別式，利用分類討論的思想分析問題是解題關鍵．【變式3-1】（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考二模）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為______．【答案】3【分析】一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．根據一元二次方程根的判別式的意義，方程有兩個相等的實數根，則有，得到關于的方程，解方程即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，∴，即，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式以及解一元一次方程的知識，理解并正確運用一元二次方程的根的判別式是解題關鍵．【變式3-2】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是______．【答案】且，【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有2個不相等的實數根，∴，∴且，故答案為：且，．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．【變式3-3】（2023·安徽蚌埠·?？家荒＃┤絷P于x的一元二次方程無實數根，則整數k的最小值為___________．【答案】6【分析】要使一元二次方程沒有實根，只需二次項系數不等于0且根的判別式小于0，由此可求出k的范圍，再找出最小值即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程沒有實數根，∴且，解得，，∴，∴整數k的最小值是6，故答案為：6．【點睛】本題主要考查了根的判別式、一元二次方程的構成條件、解一元一次不等式等知識，解題的關鍵是掌握根的判別式：對于一元二次方程，時，方程有兩個不相等的實數根；時，方程有兩個相等的實數根；時，方程沒有實數根．【變式3-4】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）關于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程的兩個實數根都是正整數，求m的最小值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先求出一元二次方程根的判別式為，即可證明結論；（2）根據題意得到是原方程的根，根據方程兩個根均為正整數，可求m的最小值．【詳解】（1）證明：由得，，∵，∴方程總有兩個實數根；（2）∵，∴，∴，∵方程的兩個實數根都是正整數，∴．∴．∴m的最小值為．【點睛】本題考查的是根的判別式及解一元二次方程，在解答（2）時得到方程的兩個根是解題的關鍵．【變式3-5】（2023春·浙江杭州·八年級杭州市采荷中學?？计谥校┮阎P于x的一元二次方程．(1)判別方程根的情況，并說明理由．(2)設該一元二次方程的兩根為a，b，且a，b是矩形兩條對角線的長，求矩形對角線的長．【答案】(1)有兩個實數根，見解析(2)5【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式，即可進行解答；（2）根據矩形對角線相等的性質可得，則該方程有兩個相等的實數根，即可求出m的值，最后將m的值代入原方程，即可求解．【詳解】（1）解：這個一元二次方程一定有兩個實數根理由：，∵，∴，∴這個一元二次方程一定有兩個實數根；（2）解：∵a，b是矩形兩條對角線的長，∴，∵該一元二次方程的兩根為a，b，∴有兩個相等的實數根，∴，解得，∴這個一元二次方程為，解得．∴這個矩形對角線的長是5．【點睛】本題主要考查了已知一元二次方程根的情況求參數的取值范圍，解題的關鍵是熟練掌握當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．【考點四因式分解法解一元二次方程的解法】【例題4】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級校聯(lián)考期中）解方程：．【答案】【分析】根據因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：，即，∴，解得：．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．【變式4-1】（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）采用因式分解法解此方程，即可求解；（2）采用公式法解此方程，即可求解．【詳解】（1）解：由原方程得：，或，解得，，所以，原方程的解為，；（2）解：，，，，，解得，，所以，原方程的解為，．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握和運用一元二次方程的解法是解決本題的關鍵．【變式4-2】（2023春·浙江寧波·八年級?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據配方法解一元二次方程即可求解；（2）根據因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：，∴，∴，∴，∴，即或，解得：，；（2），∴，∴，即或，解得：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．【變式4-3】（2023春·浙江杭州·八年級校考期中）用合適的方法解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用因式分解法把轉化為或，然后解兩個一次方程即可；（2）利用因式分解法把轉化為或，然后解兩個一次方程即可．【詳解】（1）解：，或，所以；（2），或，所以．【點睛】本題考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【變式4-4】（2023春·浙江寧波·八年級寧波市第七中學校聯(lián)考期中）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先移項，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴或，解得：；（2）解：∵，∴，∴，∴，即，∴或，解得．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵．【考點五換元法解一元二次方程】【例題5】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）實數滿足方程，則的值等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】運用換元法解方程，再根據根的判別式判斷根的情況，由此即可求解．【詳解】解：根據題意，設，則原式變形得，因式分解法解一元二次方程得，，∴，，當時，，變形得，，根據判別式，無實根；當時，，變形得，，根據判別式，方程有兩個實根；∴，故選：．【點睛】本題主要考查換元法解高次方程，掌握換元法解方程的方法，根的判別式判斷根的情況等知識是解題的關鍵．【變式5-1】（2023秋·廣西河池·九年級統(tǒng)考期末）若實數x，y滿足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或3【答案】C【分析】利用換元法求解即可．【詳解】解：設，∵，∴，∴或，解得或，∴或，故選C．【點睛】本題主要考查了換元法解一元二次方程，熟知換元法是解題的關鍵．【變式5-2】（2023·全國·九年級專題練習）若，則______．【答案】【分析】設．則原方程轉化為關于的一元二次方程，即；然后解關于的方程即可．【詳解】解：設．則，即，解得，或不合題意，舍去)；故．故答案是：．【點睛】本題考查了換元法解一元二次方程．解答該題時，注意中的的取值范圍：．【變式5-3】（2023春·安徽亳州·八年級校考階段練習）閱讀材料，解答問題.解方程：.解：把視為一個整體，設，則原方程可化為．解得：，，或，，．以上方法就叫換元法，達到簡化或降次的目的，體現了轉化的思想．請仿照材料解決下列問題：(1)解方程；(2)已知，求的值.【答案】(1)，(2)的值是6【分析】（1）根據題目中給出的信息，利用換元法解方程即可；（2）設，原方程可化為，解關于a的一元二次方程，最后注意，不合題意，舍去，即可得出答案．【詳解】（1）解：，設，則原方程可化為，整理，得，解得，，當時，即，解得：；當時，即，解得；綜上所述，原方程的解為，；（2）解：設，則原方程可化為，整理，得，分解因式得：，解得，，∵

，∴∴不合題意，舍去，∴，即的值是6．【點睛】本題主要考查了換元法解一元二次方程，解題的關鍵是理解題意，熟練掌握解一元二次方程的一般方法，準確計算．【考點六一元二次方程根與系數的關系】【例題6】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知是一元二次方程的兩根，則的值是______．【答案】【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，可以得到，的值，即可求得．【詳解】∵，是一元二次方程的兩個實數根∴，則原式故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，掌握韋達定理是解題的關鍵．【變式6-1】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若、為的兩根，則的值為______．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的兩個實數根，結合根與系數的關系轉化求解即可．【詳解】解：α，β是方程的兩個實數根，可得，∴．∴的值為0．故答案為：0．【點睛】本題考查的知識點是一元二次方程根與關系，若α，β是一元二次方程的兩根時，，．【變式6-2】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）設一元二次方程的兩根分別是、，計算____________．【答案】11【分析】由一元二次方程根與系數的關系：、，然后再結合完全平方公式即可解答．【詳解】解：∵元二次方程的兩根分別是，∴、，∴故答案為：11【點睛】本題主要考考查了一元二次方程的根與系數的關系，掌握一元二次方程的一般形式的根與系數的關系為（b是一次項數），（c是常數項）是解答本題的關鍵．【變式6-3】（2023春·安徽淮北·八年級淮北一中校聯(lián)考階段練習）已知a，b滿足，，且，則的值為___．【答案】7【分析】根據題意得出a、b是關于x的方程的兩個實數根，故，，把所求式子變形再整體代入可算得答案．【詳解】解：∵a，b滿足，，且，∴a、b是關于x的方程的兩個實數根，∴，，∴，故答案為：7．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數的關系式．【變式6-4】（2023春·全國·八年級專題練習）已知，是方程的兩根，則的值為__________．【答案】【分析】先根據一元二次方程解的定義得到，即，代入得到，再根據根與系數的關系得到，然后利用整體代入的方法計算即可．【詳解】解：∵是方程的根∴∴∴∵，是方程的兩根∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程解的定義，一元二次工程根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根時，，．【變式6-5】（2023春·安徽合肥·八年級?？计谥校┮阎P于x的一元二次方程．(1)求證：無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程有兩個實數根，且，求k的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用根的判別式判斷即可；（2）利用根與系數的關系式得到，代入計算即可．【詳解】（1）證明：∵∴無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；（2）解：由根與系數的關系得出：，由得：解得：．【點睛】此題考查了一元二次方程的根的判別式，根與系數的關系，正確掌握根的判別式的三種情況及根與系數的關系式是解題的關鍵．【變式6-6】（2023春·浙江·八年級期末）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)若為正整數，求的值；(2)若滿足，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，得到，于是得到結論；（2）根據，，代入，解方程即可得到結論．【詳解】（1）解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，，解得：，為正整數，；（2）解：，，，，，解得：，，，．【點睛】本題主要考查了一元二次方程中根的判別式以及根與系數的關系，熟練掌握根與系數的關系是解題的關鍵．【過關檢測】一、選擇題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱風華中學?？计谥校╆P于x的一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．不能確定【答案】A【分析】根據根的判別式即可求解判斷即可．【詳解】解：∵，∴方程有兩個不相等的實數根，故選：A．【點睛】此題主要考查一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是熟知判別式的性質，要判斷一元二次方程實數根的情況，即判斷，若，那么方程有兩個不相等的實數根；若，那么方程有兩個相等的實數根；若，那么方程沒有實數根．2．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考二模）方程的兩個根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據因式分解法解一元二次方程即可解答．【詳解】解：，，，故選：D．【點睛】本題考查了解一元二次方程，利用方程的特點選擇簡便的方法是解題的關鍵．3．（2023春·安徽合肥·八年級?？计谥校┤粢辉畏匠逃薪?，則m的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根據二次項的系數不為0，求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有解，∴且，解得且，故m的取值范圍且．故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程的定義及根的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程的根的判別式：當時，有兩個不相等的實數根；當時，有兩個相等的實數根；當時，沒有實數根．4．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）已知關于x的方程的兩實根為，若，則m的值為（

）A． B． C．或3 D．或1【答案】A【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可得，再由可得，然后根據一元二次方程根的判別式可得，即可確定m的值．【詳解】解：∵關于x的方程的兩實數根為，∴，∵，∴，∴，解得：，∵方程有兩個實數根，∴，解得：，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系、根的判別式等知識點，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．5．（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）對于實數、定義運算“”為，例如，則關于的方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．無實數根 D．無法確定【答案】A【分析】先根據新定義得到關于x的方程，再根據一元二次方程根的判別式進行判斷即可．【詳解】∵實數，定義運算“”為，∴可化為，整理得：，，∴方程有兩個不相等的實數根，故選：A．【點睛】本題考查了新定義下的實數運算，一元二次方程根的判別式，準確理解題意，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．二、填空題6．（2023·陜西西安·校考模擬預測）方程的根為______________．【答案】，【分析】先把方程化為，再化為兩個一次方程即可．【詳解】解：由原方程，得，則或，解得，．故答案是：，．【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解本題的關鍵．7．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）一元二次方程根的判別式的值是_________．【答案】5【分析】根據一元二次方程根的判別式即可得．【詳解】解：一元二次方程中的，則這個方程根的判別式的值是，故答案為：5．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．8．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）設，是方程的兩個根，則___________．【答案】【分析】根據題意可得，，再整體代入計算即可．【詳解】解：∵，是方程的兩個根，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式和根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根，則，．掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．也考查了求代數式的值，運用了整體代入的思想．9．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是______．【答案】且【分析】根據根的判別式及一元二次方程的定義解題即可．【詳解】∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，，解得．又∵該方程為一元二次方程，，且．故答案為：且．【點睛】本題主要考查根的判別式及一元二次方程的定義，屬于基礎題，掌握根的判別式及一元二次方程的定義是解題的關鍵．10．（2023春·八年級單元測試）一個三角形的兩邊長分別為和，第三邊的長為一元二次方程的一個根，則這個三角形的周長為____．【答案】20【分析】因式分解法解方程求出的值，再根據三角形三邊之間的關系求出符合條件的的值，最后求出周長即可．【詳解】解：，即，或，解得：或，當時，三角形的三邊，構不成三角形，舍去；當時，這個三角形的周長為，故答案為：20．【點睛】本題考查了解一元二次方程因式分解法和三角形三邊關系，求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養(yǎng)成檢驗三邊長能否成三角形的好習慣．三、解答題11．（2023·全國·九年級專題練習）解方程：．【答案】，【分析】直接利用公式法求解即可．【詳解】解：，，，，，，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．12．（2023春·廣東深圳·九年級深圳市福田區(qū)石廈學校