專(zhuān)題05九種函數(shù)與抽象函數(shù)模型歸類(lèi)

專(zhuān)題05九種函數(shù)與抽象函數(shù)模型歸類(lèi)目錄TOC\o"11"\h\u題型一：三大補(bǔ)充函數(shù)：對(duì)勾函數(shù) 1題型二：三大補(bǔ)充函數(shù)：復(fù)雜分式型“反比例”函數(shù) 4題型三：三大補(bǔ)充函數(shù)：雙曲函數(shù)（雙刀函數(shù)） 6題型四：一元三次函數(shù) 9題型五：高斯取整函數(shù) 12題型六：絕對(duì)值函數(shù) 15題型七：對(duì)數(shù)絕對(duì)值型 19題型八：對(duì)數(shù)無(wú)理型 22題型九：對(duì)數(shù)反比例型 24題型十：指數(shù)反比例型 26題型十一：抽象函數(shù)模型：過(guò)原點(diǎn)直線型 28題型十二：抽象函數(shù)模型：不過(guò)原點(diǎn)直線型 30題型十三：抽象函數(shù)模型：正切型 33題型十四：抽象函數(shù)模型：一元二次型 35題型十五：抽象函數(shù)模型：一元三次函數(shù)型 37題型十六：抽象函數(shù)模型：余弦或者雙曲余弦模型 39題型一：三大補(bǔ)充函數(shù)：對(duì)勾函數(shù)對(duì)勾函數(shù)：對(duì)勾函數(shù)：圖像特征形如稱(chēng)為對(duì)勾函數(shù)1.有“漸近線”：y=ax2.“拐點(diǎn)”：解方程（即第一象限均值不等式取等處）1.（2022秋·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最大值是.【答案】【分析】令，討論的取值范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)的最大值與最小值，使且恒成立，進(jìn)而確定的取值范圍以及的取值范圍，即求.【詳解】令I(lǐng).當(dāng)時(shí)，函數(shù)顯然單調(diào)遞增，所以，，由題意可得，這與矛盾，故舍去；II，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，①.當(dāng)時(shí)，即，所以，由題意可得，這與矛盾（舍去）.②．當(dāng)時(shí)，即，所以，，由題意得，a.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，故，而，故，b.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，故，而，故.③．當(dāng)時(shí)，即，所以，，由題意可得，這與矛盾，綜上所述：.故答案為：2.（2022·安徽合肥·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，關(guān)于x的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則正數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】將函數(shù)解析式變形，結(jié)合打勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)可求得的值域，進(jìn)而結(jié)合不等式可知；因?yàn)椴坏仁街挥幸粋€(gè)解，因而計(jì)算后與比較即可確定這個(gè)解為；進(jìn)而由不等式成立條件可得正數(shù)a的取值范圍.【詳解】函數(shù)，結(jié)合打勾函數(shù)性質(zhì)可知，，關(guān)于x的不等式，因?yàn)榍笳龜?shù)a的取值范圍，因而，化簡(jiǎn)不等式可得，所以，即則，因?yàn)殛P(guān)于x的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，所以由以上數(shù)據(jù)可知整數(shù)解為，所以，解得，所以故答案為：.3.．（2023·高三單元測(cè)試）已知函數(shù)，若存在，使得，則正整數(shù)的最大值為.【答案】4【分析】根據(jù)單調(diào)性得到，要使正整數(shù)盡可能大，則可以是，得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，要使正整數(shù)盡可能大，則可以是，故的最大值為4.故答案為：4.4.（2022·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，長(zhǎng)為的三條線段均可以構(gòu)成三角形，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論可得最小值和最大值，由題意可得最小值的2倍大于最大值，解不等式即可得到所求的范圍．【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減．當(dāng)即時(shí)，，為減區(qū)間，即有的最大值為；最小值為．由題意可得只要滿(mǎn)足，解得；當(dāng)且即時(shí)，，為減區(qū)間，，為增區(qū)間，即有的最大值為；最小值為．由題意可得只要滿(mǎn)足，解得，所以；當(dāng)且（1）即時(shí)，，為減區(qū)間，，為增區(qū)間，即有的最大值為；最小值為．由題意可得只要滿(mǎn)足，解得，所以；當(dāng)，即時(shí)，，為增區(qū)間，即有的最小值為；最大值為．由題意可得只要滿(mǎn)足，解得．綜上可得，的取值范圍是．故答案為：．題型二：三大補(bǔ)充函數(shù)：復(fù)雜分式型“反比例”函數(shù)反比例與分式型函數(shù)反比例與分式型函數(shù)解分式不等式，一般是移項(xiàng)（一側(cè)為零），通分，化商為積，化為一元二次求解，或者高次不等式，再用穿線法求解形如：。對(duì)稱(chēng)中為P，其中①；②③一、三或者二、四象限，通過(guò)計(jì)算判斷1.（2022·湖北武漢·高三校聯(lián)考模擬）已知函數(shù)為奇函數(shù)，與的圖像有8個(gè)交點(diǎn)，分別為，則.【答案】16【分析】由為奇函數(shù)可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，分離常數(shù)可知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，繼而可得與圖像的8個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，可求，結(jié)果可得.【詳解】為奇函數(shù)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)與圖像的8個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),,,可得同理可知故答案為：2.（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）函數(shù)的值域是或，則此函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】利用反函數(shù),可將原函數(shù)化為,(其中或),求出的值域即得的定義域.【詳解】，其中或，當(dāng)時(shí),是減函數(shù),此時(shí)，當(dāng)時(shí),是減函數(shù),此時(shí)，∴函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.3.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，其中且，函數(shù)，且對(duì)任意，都有，則的值是．【答案】或3.【分析】先判斷區(qū)間與的關(guān)系可得，再分析時(shí)定義域與值域的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可確定定義域與值域的區(qū)間端點(diǎn)的不等式，進(jìn)而求得和即可.最后分析當(dāng)時(shí)，，從而確定定義域與值域的關(guān)系，列不等式求解即可【詳解】先判斷區(qū)間與的關(guān)系，因?yàn)椋驶?因?yàn)楫?dāng)，即時(shí)，由題意，當(dāng)時(shí)，，故不成立；故.再分析區(qū)間與的關(guān)系，因?yàn)椋驶?①當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間上為減函數(shù)，故當(dāng)，，因?yàn)?，而，故此時(shí)，即，因?yàn)椋始?，故，解得，因?yàn)椋?此時(shí)區(qū)間在左側(cè)，在右側(cè).故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以，此時(shí)，故，解得，因?yàn)椋?；②?dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，易得，故此時(shí)且，即且，所以，故，故，即，，因?yàn)?，故；綜上所述，或3。故答案為：或3.4.（2023·浙江·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，若函數(shù)在的最大值為2，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】或2【解析】由題意可得三個(gè)非負(fù)端點(diǎn)值，分別令它們?yōu)樽畲笾?求，再驗(yàn)證是否符合題設(shè)即可求的值.【詳解】，由題意知：，∴時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；若時(shí)，或，而有，有，故與題設(shè)矛盾；若時(shí)，或，而有，所以只有時(shí)成立；若時(shí)，或，而有，所以只有時(shí)成立；綜上有：或，故答案為：或2題型三：三大補(bǔ)充函數(shù)：雙曲函數(shù)（雙刀函數(shù)）雙刀函數(shù)雙刀函數(shù)（兩支各自增），或者（兩支各自減）1.有“漸近線”：y=ax與y=ax2.“零點(diǎn)”：解方程（即方程等0處）1.（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集是.【答案】【分析】求出是奇函數(shù)，且在定義域上是單減函數(shù)，變形再利用單調(diào)性解不等式可得解.【詳解】，

是奇函數(shù)，又是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性質(zhì)得是上的減函數(shù).,則，由奇函數(shù)得

且是上的減函數(shù).，，又不等式的解集是故答案為：2.（2023春·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知奇函數(shù)，有三個(gè)零點(diǎn)，則t的取值范圍為.【答案】【分析】由為奇函數(shù)求出的值，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)和單調(diào)性和極值點(diǎn)，由有三個(gè)零點(diǎn)，求t的取值范圍.【詳解】若，，函數(shù)沒(méi)有三個(gè)零點(diǎn)，所以，為奇函數(shù)，則，即，得，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)镽，，為偶函數(shù)，，是R上的增函數(shù)，且，則，解得；，解得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由，則有，所以，，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，若，則，單調(diào)遞減，沒(méi)有三個(gè)零點(diǎn)；若，令，則方程，即，判別式，方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，設(shè)兩根為且，則有，，所以，令，，由，則且，，即，即，解得，得；，即，即，解得或，得或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，則有，，由函數(shù)的單調(diào)性和遞增速度可知，時(shí)，存在，的圖像如圖所示，

此時(shí)奇函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).綜上可知，t的取值范圍為.故答案為：3.（2023春·遼寧鐵嶺·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)若，則．【答案】3【分析】利用，求得的值.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，則，故有，又由，則，故答案為：3.4...2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)校考）已知函數(shù)，則不等式的解集為．【答案】【分析】令，分析函數(shù)的定義域、奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】設(shè)，則函數(shù)是定義域?yàn)?，因?yàn)?，故函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、、、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，由可得，可得，所以，，即，解?因此，不等式的解集為.故答案為：.題型四：一元三次函數(shù)一元三次函數(shù)：一元三次函數(shù)：所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)中心，設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．1.．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)中心．若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用題中給出的定義，得到的拐點(diǎn)為，從而得到的對(duì)稱(chēng)中心為，即，由此分析計(jì)算即可．【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，則，，令，解得，且，由題意可知，的拐點(diǎn)為，故的對(duì)稱(chēng)中心為，所以，所以．故選：A．2.已知函數(shù)fx=ax3+3x2+1，若至少存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m，使得f-m，f1 A.3條 B.2條 C.1條 D.0條【答案】B 【解析】至少存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m，使得f-m，f1，f可得f-m+f2+m=2f1=2a+4，即有fx的圖象關(guān)于點(diǎn)1,a+4f?x=6ax+6，由f?x=0，可得x=-1a，由f-1即有fx=-x3+3x2+1，f?x=-3x2+6x，設(shè)切點(diǎn)為當(dāng)0<t<1時(shí)，g?t<0，gt遞減；當(dāng)t>1或t<0時(shí)，g?t可得gt在t=0處取得極大值，且為1>0；在t=1處取得極小值，且為0可知2t3-3t2+1=0有兩解，即過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=f3.（多選）（全國(guó)名校大聯(lián)考20222023學(xué)年高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心.若函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的極大值點(diǎn)為B．有且僅有3個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是的對(duì)稱(chēng)中心D．【答案】BCD【分析】求出，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得極值，要注意極值點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，可判斷A項(xiàng)；根據(jù)極大值、極小值的正負(fù)，可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即判斷B項(xiàng)；根據(jù)的解的情況，可判斷C項(xiàng)；由對(duì)稱(chēng)中心可推得，用倒序相加法即可求得式子的和，判斷D項(xiàng).【詳解】由題意知.令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；令，解得，所以在上單調(diào)遞減.又，.所以，在處有極大值，在處有極小值.所以的極大值點(diǎn)為2，A項(xiàng)錯(cuò)誤；又極大值，極小值，作出的圖象，有圖象可知，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，故B正確；，令，解得，又，由題意可知，點(diǎn)是的對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；因?yàn)辄c(diǎn)是的對(duì)稱(chēng)中心，所以有，即.令，又，所以，，所以.故D正確.故選：BCD.4.（多選）（江蘇省蘇州市常熟市20222023學(xué)年高三上學(xué)期12月抽測(cè)二數(shù)學(xué)試題）對(duì)于三次函數(shù),給出定義:設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù),是的導(dǎo)數(shù),若方程有實(shí)數(shù)解,則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”,任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心,且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心.設(shè)函數(shù),則以下說(shuō)法正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí),有三個(gè)零點(diǎn)C．D．當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),過(guò)的直線必過(guò)點(diǎn)【答案】AB【分析】根據(jù)題意令二次導(dǎo)數(shù)為零即可求出拐點(diǎn),即對(duì)稱(chēng)中心,即可得選項(xiàng)A的正誤,先討論時(shí)是否為零點(diǎn),然后進(jìn)行全分離,設(shè)新函數(shù)求導(dǎo)求單調(diào)性,求特殊值,畫(huà)函數(shù)圖象即可判斷選項(xiàng)B的正誤,根據(jù)選項(xiàng)A,將代入再相加即可得選項(xiàng)C的正誤,兩點(diǎn)在一條直線上,則中點(diǎn)也在直線上,根據(jù)為極值點(diǎn),令導(dǎo)函數(shù)為0,用韋達(dá)定理即可得,根據(jù)選項(xiàng)A,可得,即可求出中點(diǎn)坐標(biāo),即可判斷選項(xiàng)D的正誤.【詳解】解:由題知,關(guān)于選項(xiàng)A:,令可得,的拐點(diǎn)為,,對(duì)稱(chēng)中心為,即成立,故選項(xiàng)A正確;關(guān)于選項(xiàng)B:當(dāng)時(shí),,不是的零點(diǎn),令,即有三個(gè)根,令,,時(shí),單調(diào)遞增,時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞減,,,,,畫(huà)圖象如下:由圖可知:時(shí),與有三個(gè)交點(diǎn),即有三個(gè)零點(diǎn),故選項(xiàng)B正確;關(guān)于選項(xiàng)C:由選項(xiàng)A可知:,,兩式相加可得,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;關(guān)于選項(xiàng)D:由于有兩個(gè)極值點(diǎn)有兩根,,由于直線過(guò),則直線一定過(guò)中點(diǎn),由選項(xiàng)A知,且有,中點(diǎn)坐標(biāo)為,則直線一定過(guò),故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:AB題型五：高斯取整函數(shù)取整函數(shù)取整函數(shù)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，又叫做“高斯函數(shù)”，1.（黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)20222023學(xué)年高三月考數(shù)學(xué)試題）符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，，定義函數(shù)則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①函數(shù)的定義域?yàn)镽②函數(shù)的值域?yàn)棰酆瘮?shù)是增函數(shù)④函數(shù)是奇函數(shù)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)題中定義、增函數(shù)的性質(zhì)、奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特例法進(jìn)行判斷即可.【詳解】①：函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，故本說(shuō)法正確；②：因?yàn)楸硎静怀^(guò)的最大整數(shù)，所以，因此本說(shuō)法不正確；③：因?yàn)?，顯然函數(shù)在整個(gè)實(shí)數(shù)集上不是增函數(shù)，所以本說(shuō)法不正確；④：因?yàn)?，，所以，因此本函?shù)不是奇函數(shù)，所以本說(shuō)法不正確，故選：A2.（廣東省廣州市第四中學(xué)20212022學(xué)年高三上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）高斯（17771855）是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家，天文學(xué)家，大地測(cè)量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱(chēng)，高斯一生的數(shù)學(xué)成就很多，其中：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榧?，則中所有負(fù)整數(shù)元素個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域，然后再進(jìn)行判斷即可.【詳解】函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，易知，，所以的值域，故其值域中所有負(fù)整數(shù)元素為，，，個(gè)數(shù)為3.故選：B.3.（百師聯(lián)盟20202021學(xué)年高三上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（四）全國(guó)卷I理科數(shù)學(xué)試題）高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家，天文學(xué)家，大地測(cè)量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱(chēng)，用其名字命名的高斯函數(shù)為：設(shè)用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，例如：已知函數(shù).設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榧?，則中所有正整數(shù)元素個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求解出二次函數(shù)的值域，然后根據(jù)高斯函數(shù)的定義確定出集合，從而中所有正整數(shù)元素個(gè)數(shù)可知.【詳解】函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以的值域，故其值域中所有正整數(shù)元素為個(gè)數(shù)為，故選：.4.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào).設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，也被稱(chēng)為“高斯函數(shù)”，例如：，.已知函數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（）A．是周期函數(shù) B．的值域是C．在上是減函數(shù) D．，【答案】AC【分析】根據(jù)定義將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，再畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷函數(shù)的性質(zhì).【詳解】由題意可知，，可畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖：可得到函數(shù)是周期為1的函數(shù)，且值域?yàn)?，在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)AC正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC．題型六：絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)：絕對(duì)值函數(shù)：1.（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）定義為與距離最近的整數(shù)，令函數(shù)，如：.【答案】19【分析】令，則，即，所以，滿(mǎn)足此不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)有，即共有個(gè)數(shù)，由此求解即可得出答案.【詳解】令，則，即，即，所以，滿(mǎn)足此不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)有，即共有個(gè)數(shù)；時(shí)則有2個(gè)，即；時(shí)則有4個(gè)，即；時(shí)則有6個(gè)，即；時(shí)則有18個(gè)，即，（其中）；又，所以，其中共有10個(gè)數(shù)；所以.故答案為：19.2.（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值集合為.【答案】【分析】分類(lèi)討論的不同取值，并作出的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合函數(shù)圖象確定兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)解，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則與的圖象大致如下，則對(duì)應(yīng)的2個(gè)根為，此時(shí)方程均無(wú)解，即方程無(wú)解，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則與的圖象大致如下，則則對(duì)應(yīng)的2個(gè)根為，若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則與函數(shù)的圖象共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖象共有2個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，所以與函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，則，所以，解得；②當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖象共有2個(gè)交點(diǎn)，所以與函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，則，與矛盾，不合題意；③當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖象共有2個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，所以與函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，則，所以，解得；綜上，的取值集合為，故答案為:.3.（2022·浙江·高三模擬）已知函數(shù)，有下列結(jié)論：①，等式恒成立；②，方程有兩個(gè)不等實(shí)根；③，若，則一定有；④存在無(wú)數(shù)多個(gè)實(shí)數(shù)k，使得方程在上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．則其中正確結(jié)論序號(hào)為．【答案】①③④【分析】①根據(jù)函數(shù)表達(dá)式計(jì)算判斷；②舉反例判斷；③根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷；④用數(shù)形結(jié)合法判斷.【詳解】已知函數(shù)，有下列結(jié)論：對(duì)于①，因?yàn)?，，所以①?duì)；對(duì)于②，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，方程，只有一個(gè)實(shí)根，所以②錯(cuò)；對(duì)于③，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，若，則一定有，所以③對(duì)；對(duì)于④，方程在上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即方程在上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，因?yàn)楸貫橐桓?，只要方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即只要有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由函數(shù)圖像知，即，所以④對(duì)．故答案為：①③④·4.（2023春·上海松江·高三上海市松江一中?？茧A段練習(xí)）已知若存在，使得成立的最大正整數(shù)為6，則的取值范圍為.【答案】【分析】由題意得，分類(lèi)討論作出函數(shù)圖象，求得最值解不等式組即可.【詳解】原問(wèn)題等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；綜上，滿(mǎn)足條件的取值范圍為.故答案為：題型七：對(duì)數(shù)絕對(duì)值型對(duì)數(shù)絕對(duì)值型函數(shù)對(duì)數(shù)絕對(duì)值型函數(shù)對(duì)于，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿(mǎn)足1.2.3.要注意上述結(jié)論在對(duì)稱(chēng)軸作用下的“變與不變”1.（2022·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)，若方程有4個(gè)不同的根，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)與的圖像，得到關(guān)于對(duì)稱(chēng)，化簡(jiǎn)條件，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】作函數(shù)與的圖像如下：方程有4個(gè)不同的根，，，，且，可知關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即，且，則，即，則即，則；當(dāng)?shù)没颍瑒t；；故，；則函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；故取得最小值為，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最大值為.即函數(shù)取值范圍是.故選：D.2.（2023春·江蘇蘇州·高二星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)實(shí)根（），則的最小值為（

）A． B．16 C． D．17【答案】B【分析】作出函數(shù)的大致圖象，可知，由與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)可得，計(jì)算求得的值即可得的范圍，根據(jù)可得與的關(guān)系，再根據(jù)基本不等式計(jì)算的最小值即可求解.【詳解】作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為，所以，若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根，，，，則，由，得或，則，又，所以，所以，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.3.（2020秋·陜西延安·高三?？寄M）已知，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】首先由函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程和的根，再利用數(shù)形結(jié)合即可求得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程和的根，函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可得方程和共有5個(gè)根，即函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，故選：A4.（2023春·安徽安慶·高三統(tǒng)考模擬）設(shè)函數(shù)，若（其中），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)并作出圖象，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的四個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合圖象性質(zhì)再構(gòu)造函數(shù)，借助單調(diào)性求解作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，作出函數(shù)的圖象，如圖，設(shè)，

當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，當(dāng)時(shí)，由，解得或，于是，由，得，則，即，而，因此，令，顯然函數(shù)在上遞減，且，于是，所以的取值范圍是．故選：D題型八：對(duì)數(shù)無(wú)理型對(duì)數(shù)與無(wú)理式復(fù)合是奇函數(shù)：對(duì)數(shù)與無(wú)理式復(fù)合是奇函數(shù)：，如1.（2023春·黑龍江綏化·高二?？计谀┮阎瘮?shù)，若任意的正數(shù)，均滿(mǎn)足，則的最小值為．【答案】【分析】先判斷出的單調(diào)性和奇偶性，再由得出與滿(mǎn)足的等式，再由基本不等式“1”的妙用求解即可.【詳解】∵恒成立，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，有成立，，，∴，∴為定義在上的奇函數(shù)．由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知，當(dāng)時(shí)，與均單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，又∵為定義在上的奇函數(shù)，∴在上單調(diào)遞減.∴由得，∴正數(shù)，滿(mǎn)足，即，∴由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為．故答案為：．2.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是.【答案】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?，且，則，即，即為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，均單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，由，可得，則，解得，即的取值范圍為.故答案為：3.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？寄M）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝．【答案】【分析】設(shè)，判斷是奇函數(shù)，故，從而可求解.【詳解】設(shè)，則的定義域?yàn)?，則，∴，是奇函數(shù)，因此.又，，∴，．故答案為:.4.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為.【答案】16【分析】根據(jù)題意設(shè)，利用函數(shù)奇偶性可以得到設(shè)，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】由函數(shù)，設(shè)，則的定義域?yàn)?，，則，所以是奇函數(shù)，則，又因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿(mǎn)足，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào).故答案為：16.題型九：對(duì)數(shù)反比例型1.（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】方法一：由題意，推出是奇函數(shù)，根據(jù)定義域的對(duì)稱(chēng)性依次求得的值，即可求得；方法二：直接利用，將其化成，再由等式恒成立得到，繼而求得.【詳解】方法一：依題意將函數(shù)的圖象向左移1個(gè)單位長(zhǎng)度關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即是奇函數(shù)，因奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，而時(shí)函數(shù)無(wú)意義，故時(shí)也無(wú)意義，即，解得此時(shí)為奇函數(shù)，則解得故.故選：C．方法二：依題意恒成立，代入得化簡(jiǎn)得，,整理得：，即(*)，依題意，此式在函數(shù)的定義域內(nèi)恒成立，故須使，則得，回代(*)可得，，即，故.故選：C.2.（2122高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）設(shè)定義在區(qū)間上的函數(shù)是奇函數(shù)，且.若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，是函數(shù)的零點(diǎn)，則A． B．或 C． D．【答案】C【詳解】由奇函數(shù)的定義可得，即，也即；當(dāng)時(shí)，，則，與題設(shè)不符，所以，由，所以．由于，所以若時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)；則由題設(shè)中的新定義的概念可得．若時(shí)，，則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，則由題設(shè)中的新定義的概念可得，應(yīng)選答案C．3.（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)是奇函數(shù)求出的值，再求出的定義域即可求出的取值范圍.【詳解】，，即，即，，，是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，，即，，解得（舍）或，的定義域?yàn)椋?故選：D.4.（2324高三上·浙江寧波·模擬）已知是奇函數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),得到,即可求出的值,求出函數(shù)的定義域，再由奇函數(shù)的性質(zhì),求出的值,即可得到結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由，可得，顯然，則且，可得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，則，解得,此時(shí),且，即，符合題意，所以.故選：D.題型十：指數(shù)反比例型變化變化1.（2324高三上·河南·模擬）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)有（

）A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值【答案】D【分析】先由奇函數(shù)確定的值，然后對(duì)變形得到其單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性將不等式等價(jià)變形為對(duì)任意恒成立，故只需求出函數(shù)的最小值即可，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，即可得出其單調(diào)性，進(jìn)而得到其最小值.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，得，，從而由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，且注意到是定義在上的奇函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，即等價(jià)于，亦即，該不等式對(duì)任意恒成立，則不大于的最小值．因?yàn)橛蓮?fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)．故選：D.2.（2324高三上·安徽銅陵·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由題意推出，然后由基本不等式即可求解.【詳解】一方面由題意有，另一方面若有成立，結(jié)合以上兩方面有，且注意到，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，若，則只能，因此當(dāng)且僅當(dāng)；又已知，所以，即，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：C.3.（2122高三上·遼寧錦州·模擬）已知函數(shù)的圖像與過(guò)點(diǎn)的直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，，，則（

）A．8 B．10 C．13 D．18【答案】D【分析】分析函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，再借助對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，且，即點(diǎn)在函數(shù)圖象上，，，因此，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，依題意，不妨令，則點(diǎn)與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即且，所以.故選：D4.（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合偶函數(shù)滿(mǎn)足的等量關(guān)系，即可求解.【詳解】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故所以，故或（舍去），故選：D題型十一：抽象函數(shù)模型：過(guò)原點(diǎn)直線型過(guò)原點(diǎn)直線型f（x）=kx1.（2324高三上·山東泰安·模擬）已知函數(shù)對(duì)于任意的，都有成立，則（

多選

）A．B．是上的偶函數(shù)C．若，則D．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增【答案】AC【分析】A選項(xiàng)，令，得到A正確；B選項(xiàng)，令，得到，但f(x)不一定恒為0可判斷B；C選項(xiàng)，令即可；D選項(xiàng)，令，得到，得到在上單調(diào)遞減.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，解得，A正確；B選項(xiàng)，令得，即，故是上的奇函數(shù)，但不一定是偶函數(shù),因?yàn)椴灰欢ê銥?，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，令，則，因?yàn)?，則，C正確；D選項(xiàng)，令，則，則，故在上單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤.故選：AC2.（2324高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，對(duì)于任意，，，且當(dāng)時(shí)，均有，則（

多選

）A．B．C．D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)，利用賦值法可判斷A，根據(jù)性質(zhì)可判斷B，由賦值法及性質(zhì)可判斷C，根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】令，則，解得，故A錯(cuò)；因?yàn)?，故B正確；因?yàn)?，所以，故C正確；設(shè)任意的，且，則，所以，即，所以函數(shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，所以，解得，故D正確.故選：BCD3.（2324高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)滿(mǎn)足（

）A． B．是偶函數(shù)C．在上有最小值 D．的解集為【答案】C【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，利用賦值法可判斷選項(xiàng)A；利用賦值法和函數(shù)奇偶性的定義可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可判斷選項(xiàng)D.【詳解】令，，由可得：，解得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；令，由可得：，即，則是奇函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；任取，且，則，所以，即所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以函數(shù)為上的減函數(shù).所以在上有最小值，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)槭菫樯系钠婧瘮?shù)，且為上的減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)有，解得，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C4.（2023·廣西玉林·三模）函數(shù)對(duì)任意x，總有，當(dāng)時(shí)，，，則下列命題中正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是R上的減函數(shù)C．在上的最小值為 D．若，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為【答案】C【分析】利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合條件，即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，和奇偶性，以及條件，即可判斷C；不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷D.【詳解】解：取，，則，解得，，則．即，函數(shù)是奇函數(shù)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；令，，且，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．則．即，函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)在上的最小值為，，，．故，在的最小值為2，所以選項(xiàng)C正確；，即，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的增函數(shù)，所以，所以，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為，所以選項(xiàng)D不正確．故選：C．題型十二：抽象函數(shù)模型：不過(guò)原點(diǎn)直線型1.（多選）（2324高三上·四川成都·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意實(shí)數(shù)、都有,且當(dāng)時(shí)，.設(shè).則下列命題正確的是（

）A． B．函數(shù)有對(duì)稱(chēng)中心C．函數(shù)為奇函數(shù) D．函數(shù)為減函數(shù)【答案】ABC【分析】令，可得，再令，判斷選項(xiàng)A；令，即可判斷選項(xiàng)B；由，判斷選項(xiàng)C；令,利用函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行判斷選項(xiàng)D.【詳解】由對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，令，則，即,再令,則，即，故A正確;令，則，即，故B正確；由，則，即是奇函數(shù)，故C正確；對(duì)于任意,則，當(dāng)時(shí)，，則，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：ABC2.（多選）（2324高三上·遼寧朝陽(yáng)·模擬）若定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．B．為奇函數(shù)C．在上是減函數(shù)D．若，則不等式的解集為【答案】AB【分析】令，得，可求解選項(xiàng)A，利用奇函數(shù)的定義可求解選項(xiàng)B，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可求解選項(xiàng)C，利用函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式可求解選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)A，令，得，A正確；對(duì)B，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，B正確；對(duì)C，在R上任取，則，所以,又，所以函數(shù)在R上是增函數(shù)，C錯(cuò)誤；由，得．由得．因?yàn)楹瘮?shù)在R上是增函數(shù)，所以，解得或．故原不等式的解集為或，D錯(cuò)誤．故選:AB．3.（2324高三上·湖南株洲·模擬）已知函數(shù)對(duì)，都有，若在上存在最大值M和最小值m，則（

）A．8 B．4 C．2 D．0【答案】B【分析】根據(jù)賦值法可得，進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得為奇函數(shù)，即可根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】令，則，得；令，則，所以；令，則，所以為奇函數(shù)，故，即，所以．故選：B．4.（2324高三下·河南周口·開(kāi)學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，若函數(shù)的最大值和最小值分別為，則．【答案】4048【分析】利用賦值法可得為奇函數(shù)，則，令，根據(jù)定義法證得為奇函數(shù)，則，結(jié)合，即可求解.【詳解】令，得，令，則，所以，令，所以，為奇函數(shù)，．令，則，即為奇函數(shù)，所以．而，所以．故答案為：4048題型十三：抽象函數(shù)模型：正切型1.（2021高三上·浙江寧波·模擬）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，其定義域?yàn)椋瑵M(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，；任意的x，，均有.若，則x的取值范圍是（

）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，解得，再令，得到，從而是奇函數(shù)，用替代，結(jié)合是奇函數(shù)，得到，再由時(shí)，，利用單調(diào)性定義得到在上遞增，則在上遞增，將轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】解：令，即，則，令，即，則，因?yàn)槎x域?yàn)?，所以是奇函?shù)，由，用替代，得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，，且，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，即，所以在上遞增，又是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以在上遞增，則等價(jià)于，解得，故選：D2.（山東·高考真題）給出下列三個(gè)等式：，，．下列函數(shù)中不滿(mǎn)足其中任何一個(gè)等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)指、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，和角公式，逐一驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)滿(mǎn)足的某個(gè)等式即可判斷作答【詳解】對(duì)于A，因，則滿(mǎn)足，A不是；對(duì)于C，因，則滿(mǎn)足，C不是；對(duì)于D，因，則滿(mǎn)足，D不是；對(duì)于B，顯然不能變形，，因此不滿(mǎn)足三個(gè)等式中任一個(gè)，B是.故選：B3.（多選）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（

多選

）A．B．為偶函數(shù)C．為周期函數(shù)，且4為的周期D．【答案】ACD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：令中，即可得出答案；對(duì)于選項(xiàng)B：令中，得出，根據(jù)已知得出其定義域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得出答案；對(duì)于選項(xiàng)C：令中，得出，即可根據(jù)周期定義得出答案；對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)周期得出答案.【詳解】A選項(xiàng)：令，得，故A正確.B選項(xiàng)：令，則，因此，又的定義域?yàn)椋P(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：令，則，所以，因此，所以為周期函數(shù)，且周期為4，故C正確.D選項(xiàng)：，故D正確.故選：ACD.4.（2021高三上·浙江寧波·模擬）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，其定義域?yàn)?，滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，；任意的x，，均有.若，則x的取值范圍是（

）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，解得，再令，得到，從而是奇函數(shù)，用替代，結(jié)合是奇函數(shù)，得到，再由時(shí)，，利用單調(diào)性定義得到在上遞增，則在上遞增，將轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】解：令，即，則，令，即，則，因?yàn)槎x域?yàn)?，所以是奇函?shù)，由，用替代，得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，，且，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，即，所以在上遞增，又是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以在上遞增，則等價(jià)于，解得，故選：D題型十四：抽象函數(shù)模型：一元二次型1.（2324高三上·上海普陀·模擬）已知對(duì)于任意的整數(shù)、、，，有成立，且，則【答案】【分析】通過(guò)對(duì)、不斷賦值，求得，可得出，利用累加法求出的表達(dá)式，即可得出的表達(dá)式.【詳解】在等式中，令，可得，解得，令，可得，可得，令，，則，可得，令，，其中，則，則當(dāng)且時(shí)，，故當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足，故對(duì)任意的，，所以，.故答案為：.2.（2324高三上·內(nèi)蒙古赤峰·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A． B．C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】D【分析】利用賦值法、特殊值法結(jié)合函數(shù)的奇偶性一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】令，可得，故A正確；令，可得，令，，可得，則，故B正確；由，可得，令，則，令，可得，令，則，所以是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，故C正確；因?yàn)椋圆皇桥己瘮?shù)，故D不正確.故選：D3.（2324高三上·吉林長(zhǎng)春·模擬）函數(shù)滿(mǎn)足：任意，.且.則的最小值是（

）A．1775 B．1850 C．1925 D．2000【答案】C【分析】由可得，設(shè)，可得，從而可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以有，設(shè)，那么，因此，因此，取，得到.所以.設(shè)，等號(hào)成立！故選：C.4.（2324高三上·河北保定·模擬）已知函數(shù)滿(mǎn)足：，，成立，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，求出，令，求出，令，求出，再令，可求出的關(guān)系，再利用累加法結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，則當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以，所以.故選：C.題型十五：抽象函數(shù)模型：一元三次函數(shù)型1.（多選）（2024·福建莆田·二模）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：，則（

）A．是奇函數(shù)B．若，則C．若，則為增函數(shù)D．若，則為增函數(shù)【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件，利用函數(shù)奇偶性的定義，單調(diào)性的定義和性質(zhì)，結(jié)合賦值法的使用，對(duì)每個(gè)