專題05九種函數(shù)與抽象函數(shù)模型歸類

專題05九種函數(shù)與抽象函數(shù)模型歸類目錄TOC\o"11"\h\u題型一：三大補充函數(shù)：對勾函數(shù) 1題型二：三大補充函數(shù)：復雜分式型“反比例”函數(shù) 4題型三：三大補充函數(shù)：雙曲函數(shù)（雙刀函數(shù)） 6題型四：一元三次函數(shù) 9題型五：高斯取整函數(shù) 12題型六：絕對值函數(shù) 15題型七：對數(shù)絕對值型 19題型八：對數(shù)無理型 22題型九：對數(shù)反比例型 24題型十：指數(shù)反比例型 26題型十一：抽象函數(shù)模型：過原點直線型 28題型十二：抽象函數(shù)模型：不過原點直線型 30題型十三：抽象函數(shù)模型：正切型 33題型十四：抽象函數(shù)模型：一元二次型 35題型十五：抽象函數(shù)模型：一元三次函數(shù)型 37題型十六：抽象函數(shù)模型：余弦或者雙曲余弦模型 39題型一：三大補充函數(shù)：對勾函數(shù)對勾函數(shù)：對勾函數(shù)：圖像特征形如稱為對勾函數(shù)1.有“漸近線”：y=ax2.“拐點”：解方程（即第一象限均值不等式取等處）1.（2022秋·四川成都·高三成都七中校考階段練習）若對任意的，不等式恒成立，則的最大值是.【答案】【分析】令，討論的取值范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)的最大值與最小值，使且恒成立，進而確定的取值范圍以及的取值范圍，即求.【詳解】令I.當時，函數(shù)顯然單調(diào)遞增，所以，，由題意可得，這與矛盾，故舍去；II，當時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，①.當時，即，所以，由題意可得，這與矛盾（舍去）.②．當時，即，所以，，由題意得，a.當時，此時，所以，故，而，故，b.當時，此時，所以，故，而，故.③．當時，即，所以，，由題意可得，這與矛盾，綜上所述：.故答案為：2.（2022·安徽合肥·高二校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)，關于x的不等式只有一個整數(shù)解，則正數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】將函數(shù)解析式變形，結合打勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)可求得的值域，進而結合不等式可知；因為不等式只有一個解，因而計算后與比較即可確定這個解為；進而由不等式成立條件可得正數(shù)a的取值范圍.【詳解】函數(shù)，結合打勾函數(shù)性質(zhì)可知，，關于x的不等式，因為求正數(shù)a的取值范圍，因而，化簡不等式可得，所以，即則，因為關于x的不等式只有一個整數(shù)解，所以由以上數(shù)據(jù)可知整數(shù)解為，所以，解得，所以故答案為：.3.．（2023·高三單元測試）已知函數(shù)，若存在，使得，則正整數(shù)的最大值為.【答案】4【分析】根據(jù)單調(diào)性得到，要使正整數(shù)盡可能大，則可以是，得到答案.【詳解】當時，，單調(diào)遞減，故，要使正整數(shù)盡可能大，則可以是，故的最大值為4.故答案為：4.4.（2022·上海閔行·高三上海市七寶中學?？奸_學考試）已知函數(shù)，若對任意的，長為的三條線段均可以構成三角形，則正實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】求出的導數(shù)，分類討論可得最小值和最大值，由題意可得最小值的2倍大于最大值，解不等式即可得到所求的范圍．【詳解】函數(shù)的導數(shù)為，當時，，遞增；當時，，遞減．當即時，，為減區(qū)間，即有的最大值為；最小值為．由題意可得只要滿足，解得；當且即時，，為減區(qū)間，，為增區(qū)間，即有的最大值為；最小值為．由題意可得只要滿足，解得，所以；當且（1）即時，，為減區(qū)間，，為增區(qū)間，即有的最大值為；最小值為．由題意可得只要滿足，解得，所以；當，即時，，為增區(qū)間，即有的最小值為；最大值為．由題意可得只要滿足，解得．綜上可得，的取值范圍是．故答案為：．題型二：三大補充函數(shù)：復雜分式型“反比例”函數(shù)反比例與分式型函數(shù)反比例與分式型函數(shù)解分式不等式，一般是移項（一側(cè)為零），通分，化商為積，化為一元二次求解，或者高次不等式，再用穿線法求解形如：。對稱中為P，其中①；②③一、三或者二、四象限，通過計算判斷1.（2022·湖北武漢·高三校聯(lián)考模擬）已知函數(shù)為奇函數(shù)，與的圖像有8個交點，分別為，則.【答案】16【分析】由為奇函數(shù)可得函數(shù)關于點對稱，分離常數(shù)可知函數(shù)關于點對稱，繼而可得與圖像的8個交點關于點對稱，則，可求，結果可得.【詳解】為奇函數(shù)函數(shù)關于點對稱函數(shù)關于點對稱與圖像的8個交點關于點對稱,,,可得同理可知故答案為：2.（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)的值域是或，則此函數(shù)的定義域為.【答案】【分析】利用反函數(shù),可將原函數(shù)化為,(其中或),求出的值域即得的定義域.【詳解】，其中或，當時,是減函數(shù),此時，當時,是減函數(shù),此時，∴函數(shù)的定義域為.故答案為：.3.（2023·全國·高三專題練習）已知集合，其中且，函數(shù)，且對任意，都有，則的值是．【答案】或3.【分析】先判斷區(qū)間與的關系可得，再分析時定義域與值域的關系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可確定定義域與值域的區(qū)間端點的不等式，進而求得和即可.最后分析當時，，從而確定定義域與值域的關系，列不等式求解即可【詳解】先判斷區(qū)間與的關系，因為，故或.因為當，即時，由題意，當時，，故不成立；故.再分析區(qū)間與的關系，因為，故或.①當，即時，因為在區(qū)間上為減函數(shù)，故當，，因為，而，故此時，即，因為，故即，故，解得，因為，故.此時區(qū)間在左側(cè)，在右側(cè).故當時，，因為，故，所以，此時，故，解得，因為，故；②當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，易得，故此時且，即且，所以，故，故，即，，因為，故；綜上所述，或3。故答案為：或3.4.（2023·浙江·高二校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)，若函數(shù)在的最大值為2，則實數(shù)的值為.【答案】或2【解析】由題意可得三個非負端點值，分別令它們?yōu)樽畲笾?求，再驗證是否符合題設即可求的值.【詳解】，由題意知：，∴時，；時，；時，；若時，或，而有，有，故與題設矛盾；若時，或，而有，所以只有時成立；若時，或，而有，所以只有時成立；綜上有：或，故答案為：或2題型三：三大補充函數(shù)：雙曲函數(shù)（雙刀函數(shù)）雙刀函數(shù)雙刀函數(shù)（兩支各自增），或者（兩支各自減）1.有“漸近線”：y=ax與y=ax2.“零點”：解方程（即方程等0處）1.（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則關于x的不等式的解集是.【答案】【分析】求出是奇函數(shù)，且在定義域上是單減函數(shù)，變形再利用單調(diào)性解不等式可得解.【詳解】，

是奇函數(shù)，又是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性質(zhì)得是上的減函數(shù).,則，由奇函數(shù)得

且是上的減函數(shù).，，又不等式的解集是故答案為：2.（2023春·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知奇函數(shù)，有三個零點，則t的取值范圍為.【答案】【分析】由為奇函數(shù)求出的值，再利用導數(shù)研究函數(shù)和單調(diào)性和極值點，由有三個零點，求t的取值范圍.【詳解】若，，函數(shù)沒有三個零點，所以，為奇函數(shù)，則，即，得，設，函數(shù)定義域為R，，為偶函數(shù)，，是R上的增函數(shù)，且，則，解得；，解得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由，則有，所以，，由，當且僅當時等號成立，則，若，則，單調(diào)遞減，沒有三個零點；若，令，則方程，即，判別式，方程有兩個不相等實數(shù)根，設兩根為且，則有，，所以，令，，由，則且，，即，即，解得，得；，即，即，解得或，得或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，則有，，由函數(shù)的單調(diào)性和遞增速度可知，時，存在，的圖像如圖所示，

此時奇函數(shù)有三個零點.綜上可知，t的取值范圍為.故答案為：3.（2023春·遼寧鐵嶺·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)若，則．【答案】3【分析】利用，求得的值.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，則，故有，又由，則，故答案為：3.4...2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學?？迹┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為．【答案】【分析】令，分析函數(shù)的定義域、奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式變形為，結合函數(shù)的單調(diào)性可得出關于的不等式，解之即可.【詳解】設，則函數(shù)是定義域為，因為，故函數(shù)為奇函數(shù)，因為函數(shù)、、、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，因為，由可得，可得，所以，，即，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.題型四：一元三次函數(shù)一元三次函數(shù)：一元三次函數(shù)：所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖像的對稱中心，設是函數(shù)的導數(shù)，是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”．1.．給出定義：設是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖像的對稱中心．若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用題中給出的定義，得到的拐點為，從而得到的對稱中心為，即，由此分析計算即可．【詳解】解：因為函數(shù)，則，，令，解得，且，由題意可知，的拐點為，故的對稱中心為，所以，所以．故選：A．2.已知函數(shù)fx=ax3+3x2+1，若至少存在兩個實數(shù)m，使得f-m，f1 A.3條 B.2條 C.1條 D.0條【答案】B 【解析】至少存在兩個實數(shù)m，使得f-m，f1，f可得f-m+f2+m=2f1=2a+4，即有fx的圖象關于點1,a+4f?x=6ax+6，由f?x=0，可得x=-1a，由f-1即有fx=-x3+3x2+1，f?x=-3x2+6x，設切點為當0<t<1時，g?t<0，gt遞減；當t>1或t<0時，g?t可得gt在t=0處取得極大值，且為1>0；在t=1處取得極小值，且為0可知2t3-3t2+1=0有兩解，即過坐標原點作曲線y=f3.（多選）（全國名校大聯(lián)考20222023學年高三上學期第三次聯(lián)考數(shù)學試卷）對于三次函數(shù)，給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極大值點為B．有且僅有3個零點C．點是的對稱中心D．【答案】BCD【分析】求出，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得極值，要注意極值點是一個數(shù)，可判斷A項；根據(jù)極大值、極小值的正負，可得到函數(shù)零點的個數(shù)，即判斷B項；根據(jù)的解的情況，可判斷C項；由對稱中心可推得，用倒序相加法即可求得式子的和，判斷D項.【詳解】由題意知.令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；令，解得，所以在上單調(diào)遞減.又，.所以，在處有極大值，在處有極小值.所以的極大值點為2，A項錯誤；又極大值，極小值，作出的圖象，有圖象可知，有且僅有3個零點，故B正確；，令，解得，又，由題意可知，點是的對稱中心，故C正確；因為點是的對稱中心，所以有，即.令，又，所以，，所以.故D正確.故選：BCD.4.（多選）（江蘇省蘇州市常熟市20222023學年高三上學期12月抽測二數(shù)學試題）對于三次函數(shù),給出定義:設是函數(shù)的導數(shù),是的導數(shù),若方程有實數(shù)解,則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”,任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.設函數(shù),則以下說法正確的是（

）A．B．當時,有三個零點C．D．當有兩個極值點時,過的直線必過點【答案】AB【分析】根據(jù)題意令二次導數(shù)為零即可求出拐點,即對稱中心,即可得選項A的正誤,先討論時是否為零點,然后進行全分離,設新函數(shù)求導求單調(diào)性,求特殊值,畫函數(shù)圖象即可判斷選項B的正誤,根據(jù)選項A,將代入再相加即可得選項C的正誤,兩點在一條直線上,則中點也在直線上,根據(jù)為極值點,令導函數(shù)為0,用韋達定理即可得,根據(jù)選項A,可得,即可求出中點坐標,即可判斷選項D的正誤.【詳解】解:由題知,關于選項A:,令可得,的拐點為,,對稱中心為,即成立,故選項A正確;關于選項B:當時,,不是的零點,令,即有三個根,令,,時,單調(diào)遞增,時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞減,,,,,畫圖象如下:由圖可知:時,與有三個交點,即有三個零點,故選項B正確;關于選項C:由選項A可知:,,兩式相加可得,故選項C錯誤;關于選項D:由于有兩個極值點有兩根,,由于直線過,則直線一定過中點,由選項A知,且有,中點坐標為,則直線一定過,故選項D錯誤.故選:AB題型五：高斯取整函數(shù)取整函數(shù)取整函數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，又叫做“高斯函數(shù)”，1.（黑龍江省大慶市鐵人中學20222023學年高三月考數(shù)學試題）符號表示不超過的最大整數(shù)，如，，，定義函數(shù)則下列說法正確的個數(shù)是（）①函數(shù)的定義域為R②函數(shù)的值域為③函數(shù)是增函數(shù)④函數(shù)是奇函數(shù)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)題中定義、增函數(shù)的性質(zhì)、奇函數(shù)的性質(zhì)，結合特例法進行判斷即可.【詳解】①：函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，故本說法正確；②：因為表示不超過的最大整數(shù)，所以，因此本說法不正確；③：因為，顯然函數(shù)在整個實數(shù)集上不是增函數(shù)，所以本說法不正確；④：因為，，所以，因此本函數(shù)不是奇函數(shù)，所以本說法不正確，故選：A2.（廣東省廣州市第四中學20212022學年高三上學期月考數(shù)學試題）高斯（17771855）是德國著名數(shù)學家，物理學家，天文學家，大地測量學家，近代數(shù)學奠基者之一，并享有“數(shù)學王子”之稱，高斯一生的數(shù)學成就很多，其中：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，，設函數(shù)的值域為集合，則中所有負整數(shù)元素個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域，然后再進行判斷即可.【詳解】函數(shù)圖象的對稱軸為，當時，易知，，所以的值域，故其值域中所有負整數(shù)元素為，，，個數(shù)為3.故選：B.3.（百師聯(lián)盟20202021學年高三上學期一輪復習聯(lián)考（四）全國卷I理科數(shù)學試題）高斯是德國著名數(shù)學家，物理學家，天文學家，大地測量學家，近代數(shù)學奠基者之一.高斯被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并享有“數(shù)學王子”之稱，用其名字命名的高斯函數(shù)為：設用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：已知函數(shù).設函數(shù)的值域為集合，則中所有正整數(shù)元素個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求解出二次函數(shù)的值域，然后根據(jù)高斯函數(shù)的定義確定出集合，從而中所有正整數(shù)元素個數(shù)可知.【詳解】函數(shù)圖象的對稱軸為，當時，，，所以，所以的值域，故其值域中所有正整數(shù)元素為個數(shù)為，故選：.4.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號.設，用表示不超過的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：，.已知函數(shù)，下列說法中正確的是（）A．是周期函數(shù) B．的值域是C．在上是減函數(shù) D．，【答案】AC【分析】根據(jù)定義將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷函數(shù)的性質(zhì).【詳解】由題意可知，，可畫出函數(shù)圖像，如圖：可得到函數(shù)是周期為1的函數(shù)，且值域為，在上單調(diào)遞減，故選項AC正確，B錯誤；對于D，取，則，故D錯誤.故選：AC．題型六：絕對值函數(shù)絕對值函數(shù)：絕對值函數(shù)：1.（2023春·湖南長沙·高二長沙一中校考階段練習）定義為與距離最近的整數(shù)，令函數(shù)，如：.【答案】19【分析】令，則，即，所以，滿足此不等式的正整數(shù)的個數(shù)有，即共有個數(shù)，由此求解即可得出答案.【詳解】令，則，即，即，所以，滿足此不等式的正整數(shù)的個數(shù)有，即共有個數(shù)；時則有2個，即；時則有4個，即；時則有6個，即；時則有18個，即，（其中）；又，所以，其中共有10個數(shù)；所以.故答案為：19.2.（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若關于的方程恰有三個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值集合為.【答案】【分析】分類討論的不同取值，并作出的圖象，利用數(shù)形結合的思想，結合函數(shù)圖象確定兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)即可求解.【詳解】，當時，，此時無解，不滿足題意；當時，設，則與的圖象大致如下，則對應的2個根為，此時方程均無解，即方程無解，不滿足題意；當時，設，則與的圖象大致如下，則則對應的2個根為，若方程恰有三個不相等的實數(shù)解，則與函數(shù)的圖象共有3個不同的交點，①當時，與函數(shù)的圖象共有2個交點，如圖所示，所以與函數(shù)的圖象只有1個交點，則，所以，解得；②當時，與函數(shù)的圖象共有2個交點，所以與函數(shù)的圖象只有1個交點，則，與矛盾，不合題意；③當時，與函數(shù)的圖象共有2個交點，如圖所示，所以與函數(shù)的圖象只有1個交點，則，所以，解得；綜上，的取值集合為，故答案為:.3.（2022·浙江·高三模擬）已知函數(shù)，有下列結論：①，等式恒成立；②，方程有兩個不等實根；③，若，則一定有；④存在無數(shù)多個實數(shù)k，使得方程在上有三個不同的實數(shù)根．則其中正確結論序號為．【答案】①③④【分析】①根據(jù)函數(shù)表達式計算判斷；②舉反例判斷；③根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷；④用數(shù)形結合法判斷.【詳解】已知函數(shù)，有下列結論：對于①，因為，，所以①對；對于②，因為當時，方程，只有一個實根，所以②錯；對于③，因為當時，，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，若，則一定有，所以③對；對于④，方程在上有三個不同的實數(shù)根，即方程在上有三個不同的實數(shù)根，因為必為一根，只要方程有兩個不同的實數(shù)根，即只要有兩個不同的實數(shù)根，由函數(shù)圖像知，即，所以④對．故答案為：①③④·4.（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考階段練習）已知若存在，使得成立的最大正整數(shù)為6，則的取值范圍為.【答案】【分析】由題意得，分類討論作出函數(shù)圖象，求得最值解不等式組即可.【詳解】原問題等價于，當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；當時，函數(shù)圖象如圖此時，則，解得：；綜上，滿足條件的取值范圍為.故答案為：題型七：對數(shù)絕對值型對數(shù)絕對值型函數(shù)對數(shù)絕對值型函數(shù)對于，若有兩個零點，則滿足1.2.3.要注意上述結論在對稱軸作用下的“變與不變”1.（2022·吉林白山·撫松縣第一中學?？级＃┮阎瘮?shù)，若方程有4個不同的根，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)與的圖像，得到關于對稱，化簡條件，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】作函數(shù)與的圖像如下：方程有4個不同的根，，，，且，可知關于對稱，即，且，則，即，則即，則；當?shù)没?，則；；故，；則函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；故取得最小值為，而當時，函數(shù)值最大值為.即函數(shù)取值范圍是.故選：D.2.（2023春·江蘇蘇州·高二星海實驗中學校考階段練習）設函數(shù)，若關于x的方程有四個實根（），則的最小值為（

）A． B．16 C． D．17【答案】B【分析】作出函數(shù)的大致圖象，可知，由與的圖象有四個交點可得，計算求得的值即可得的范圍，根據(jù)可得與的關系，再根據(jù)基本不等式計算的最小值即可求解.【詳解】作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：當時，對稱軸為，所以，若關于的方程有四個實根，，，，則，由，得或，則，又，所以，所以，所以，且，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故選：B.3.（2020秋·陜西延安·高三?？寄M）已知，則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】首先由函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程和的根，再利用數(shù)形結合即可求得函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】函數(shù)的零點，即方程和的根，函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可得方程和共有5個根，即函數(shù)有5個零點，故選：A4.（2023春·安徽安慶·高三統(tǒng)考模擬）設函數(shù)，若（其中），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)并作出圖象，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的四個交點問題，結合圖象性質(zhì)再構造函數(shù)，借助單調(diào)性求解作答.【詳解】當時，函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，當時，函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，作出函數(shù)的圖象，如圖，設，

當時，直線與函數(shù)的圖象有四個交點，且交點的橫坐標分別為，且，當時，由，解得或，于是，由，得，則，即，而，因此，令，顯然函數(shù)在上遞減，且，于是，所以的取值范圍是．故選：D題型八：對數(shù)無理型對數(shù)與無理式復合是奇函數(shù)：對數(shù)與無理式復合是奇函數(shù)：，如1.（2023春·黑龍江綏化·高二?？计谀┮阎瘮?shù)，若任意的正數(shù)，均滿足，則的最小值為．【答案】【分析】先判斷出的單調(diào)性和奇偶性，再由得出與滿足的等式，再由基本不等式“1”的妙用求解即可.【詳解】∵恒成立，∴函數(shù)的定義域為．，有成立，，，∴，∴為定義在上的奇函數(shù)．由復合函數(shù)的單調(diào)性易知，當時，與均單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，又∵為定義在上的奇函數(shù)，∴在上單調(diào)遞減.∴由得，∴正數(shù)，滿足，即，∴由基本不等式，，當且僅當，即，時等號成立，∴的最小值為．故答案為：．2.（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是.【答案】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】因為函數(shù)，定義域為，且，則，即，即為奇函數(shù)，當時，，均單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，由，可得，則，解得，即的取值范圍為.故答案為：3.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校?？寄M）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝．【答案】【分析】設，判斷是奇函數(shù)，故，從而可求解.【詳解】設，則的定義域為，則，∴，是奇函數(shù)，因此.又，，∴，．故答案為:.4.（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若正實數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】16【分析】根據(jù)題意設，利用函數(shù)奇偶性可以得到設，再利用基本不等式即可求出結果.【詳解】由函數(shù)，設，則的定義域為，，則，所以是奇函數(shù)，則，又因為正實數(shù)滿足，所以，，當且僅當時取到等號.故答案為：16.題型九：對數(shù)反比例型1.（2024·江蘇泰州·模擬預測）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象關于點對稱，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】方法一：由題意，推出是奇函數(shù)，根據(jù)定義域的對稱性依次求得的值，即可求得；方法二：直接利用，將其化成，再由等式恒成立得到，繼而求得.【詳解】方法一：依題意將函數(shù)的圖象向左移1個單位長度關于原點對稱，即是奇函數(shù)，因奇函數(shù)的定義域關于原點對稱，而時函數(shù)無意義，故時也無意義，即，解得此時為奇函數(shù)，則解得故.故選：C．方法二：依題意恒成立，代入得化簡得，,整理得：，即(*)，依題意，此式在函數(shù)的定義域內(nèi)恒成立，故須使，則得，回代(*)可得，，即，故.故選：C.2.（2122高三上·云南曲靖·階段練習）設定義在區(qū)間上的函數(shù)是奇函數(shù)，且.若表示不超過的最大整數(shù)，是函數(shù)的零點，則A． B．或 C． D．【答案】C【詳解】由奇函數(shù)的定義可得，即，也即；當時，，則，與題設不符，所以，由，所以．由于，所以若時，，則函數(shù)的零點；則由題設中的新定義的概念可得．若時，，則函數(shù)無零點，則由題設中的新定義的概念可得，應選答案C．3.（2024·山東菏澤·模擬預測）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)是奇函數(shù)求出的值，再求出的定義域即可求出的取值范圍.【詳解】，，即，即，，，是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，，即，，解得（舍）或，的定義域為，.故選：D.4.（2324高三上·浙江寧波·模擬）已知是奇函數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關于原點對稱,得到,即可求出的值,求出函數(shù)的定義域，再由奇函數(shù)的性質(zhì),求出的值,即可得到結果?！驹斀狻恳驗槭瞧婧瘮?shù)，可知定義域關于原點對稱，由，可得，顯然，則且，可得，解得，所以函數(shù)的定義域為，則，解得,此時,且，即，符合題意，所以.故選：D.題型十：指數(shù)反比例型變化變化1.（2324高三上·河南·模擬）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意，不等式恒成立，則實數(shù)有（

）A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值【答案】D【分析】先由奇函數(shù)確定的值，然后對變形得到其單調(diào)性，結合函數(shù)奇偶性將不等式等價變形為對任意恒成立，故只需求出函數(shù)的最小值即可，由復合函數(shù)單調(diào)性，即可得出其單調(diào)性，進而得到其最小值.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，得，，從而由復合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，且注意到是定義在上的奇函數(shù)，所以不等式等價于，即等價于，亦即，該不等式對任意恒成立，則不大于的最小值．因為由復合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，的最小值為所以，等號成立當且僅當．故選：D.2.（2324高三上·安徽銅陵·階段練習）已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由題意推出，然后由基本不等式即可求解.【詳解】一方面由題意有，另一方面若有成立，結合以上兩方面有，且注意到，所以由復合函數(shù)單調(diào)性可得在上嚴格單調(diào)遞增，若，則只能，因此當且僅當；又已知，所以，即，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：C.3.（2122高三上·遼寧錦州·模擬）已知函數(shù)的圖像與過點的直線有3個不同的交點，，，則（

）A．8 B．10 C．13 D．18【答案】D【分析】分析函數(shù)的對稱性，再借助對稱性的性質(zhì)計算作答.【詳解】函數(shù)定義域為R，且，即點在函數(shù)圖象上，，，因此，函數(shù)的圖象關于點對稱，依題意，不妨令，則點與關于點對稱，即且，所以.故選：D4.（2024·河北衡水·模擬預測）設，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，結合偶函數(shù)滿足的等量關系，即可求解.【詳解】的定義域為，關于原點對稱，故所以，故或（舍去），故選：D題型十一：抽象函數(shù)模型：過原點直線型過原點直線型f（x）=kx1.（2324高三上·山東泰安·模擬）已知函數(shù)對于任意的，都有成立，則（

多選

）A．B．是上的偶函數(shù)C．若，則D．當時，，則在上單調(diào)遞增【答案】AC【分析】A選項，令，得到A正確；B選項，令，得到，但f(x)不一定恒為0可判斷B；C選項，令即可；D選項，令，得到，得到在上單調(diào)遞減.【詳解】A選項，當時，，解得，A正確；B選項，令得，即，故是上的奇函數(shù)，但不一定是偶函數(shù),因為不一定恒為0，B錯誤；C選項，令，則，因為，則，C正確；D選項，令，則，則，故在上單調(diào)遞減，D錯誤.故選：AC2.（2324高三上·江蘇·階段練習）已知函數(shù)，，對于任意，，，且當時，均有，則（

多選

）A．B．C．D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)，利用賦值法可判斷A，根據(jù)性質(zhì)可判斷B，由賦值法及性質(zhì)可判斷C，根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】令，則，解得，故A錯；因為，故B正確；因為，所以，故C正確；設任意的，且，則，所以，即，所以函數(shù)為上的增函數(shù)，因為，所以，解得，故D正確.故選：BCD3.（2324高二下·廣東深圳·階段練習）定義在上的函數(shù)滿足，當時，，則函數(shù)滿足（

）A． B．是偶函數(shù)C．在上有最小值 D．的解集為【答案】C【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的關系，利用賦值法可判斷選項A；利用賦值法和函數(shù)奇偶性的定義可判斷選項B；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷選項C；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可判斷選項D.【詳解】令，，由可得：，解得，故選項A錯誤；令，由可得：，即，則是奇函數(shù)，故選項B錯誤；任取，且，則，所以，即所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為是奇函數(shù)，所以函數(shù)為上的減函數(shù).所以在上有最小值，故選項C正確；因為是為上的奇函數(shù)，且為上的減函數(shù)，所以當時有，解得，故選項D錯誤.故選：C4.（2023·廣西玉林·三模）函數(shù)對任意x，總有，當時，，，則下列命題中正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是R上的減函數(shù)C．在上的最小值為 D．若，則實數(shù)x的取值范圍為【答案】C【分析】利用賦值法，結合函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結合條件，即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，和奇偶性，以及條件，即可判斷C；不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷D.【詳解】解：取，，則，解得，，則．即，函數(shù)是奇函數(shù)，所以選項A錯誤；令，，且，則，因為當時，，所以．則．即，函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以選項B錯誤；因為函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)在上的最小值為，，，．故，在的最小值為2，所以選項C正確；，即，因為函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以，所以，所以實數(shù)x的取值范圍為，所以選項D不正確．故選：C．題型十二：抽象函數(shù)模型：不過原點直線型1.（多選）（2324高三上·四川成都·階段練習）設函數(shù)滿足：對任意實數(shù)、都有,且當時，.設.則下列命題正確的是（

）A． B．函數(shù)有對稱中心C．函數(shù)為奇函數(shù) D．函數(shù)為減函數(shù)【答案】ABC【分析】令，可得，再令，判斷選項A；令，即可判斷選項B；由，判斷選項C；令,利用函數(shù)的單調(diào)性定義進行判斷選項D.【詳解】由對于任意實數(shù)，，令，則，即,再令,則，即，故A正確;令，則，即，故B正確；由，則，即是奇函數(shù)，故C正確；對于任意,則，當時，，則，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：ABC2.（多選）（2324高三上·遼寧朝陽·模擬）若定義在R上的函數(shù)滿足，且當時，，則（

）A．B．為奇函數(shù)C．在上是減函數(shù)D．若，則不等式的解集為【答案】AB【分析】令，得，可求解選項A，利用奇函數(shù)的定義可求解選項B，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可求解選項C，利用函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式可求解選項D.【詳解】對A，令，得，A正確；對B，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，B正確；對C，在R上任取，則，所以,又，所以函數(shù)在R上是增函數(shù)，C錯誤；由，得．由得．因為函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以，解得或．故原不等式的解集為或，D錯誤．故選:AB．3.（2324高三上·湖南株洲·模擬）已知函數(shù)對，都有，若在上存在最大值M和最小值m，則（

）A．8 B．4 C．2 D．0【答案】B【分析】根據(jù)賦值法可得，進而根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得為奇函數(shù)，即可根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】令，則，得；令，則，所以；令，則，所以為奇函數(shù)，故，即，所以．故選：B．4.（2324高三下·河南周口·開學考試）已知定義在上的函數(shù)滿足，若函數(shù)的最大值和最小值分別為，則．【答案】4048【分析】利用賦值法可得為奇函數(shù)，則，令，根據(jù)定義法證得為奇函數(shù)，則，結合，即可求解.【詳解】令，得，令，則，所以，令，所以，為奇函數(shù)，．令，則，即為奇函數(shù)，所以．而，所以．故答案為：4048題型十三：抽象函數(shù)模型：正切型1.（2021高三上·浙江寧波·模擬）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，其定義域為，滿足：當時，；任意的x，，均有.若，則x的取值范圍是（

）（e是自然對數(shù)的底數(shù)）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，解得，再令，得到，從而是奇函數(shù)，用替代，結合是奇函數(shù)，得到，再由時，，利用單調(diào)性定義得到在上遞增，則在上遞增，將轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】解：令，即，則，令，即，則，因為定義域為，所以是奇函數(shù)，由，用替代，得，因為是奇函數(shù)，所以，，且，則，因為當時，，所以，，即，所以在上遞增，又是定義域為的奇函數(shù)，所以在上遞增，則等價于，解得，故選：D2.（山東·高考真題）給出下列三個等式：，，．下列函數(shù)中不滿足其中任何一個等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)指、對數(shù)的運算性質(zhì)，和角公式，逐一驗證各個選項滿足的某個等式即可判斷作答【詳解】對于A，因，則滿足，A不是；對于C，因，則滿足，C不是；對于D，因，則滿足，D不是；對于B，顯然不能變形，，因此不滿足三個等式中任一個，B是.故選：B3.（多選）（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，且，，則（

多選

）A．B．為偶函數(shù)C．為周期函數(shù)，且4為的周期D．【答案】ACD【分析】對于選項A：令中，即可得出答案；對于選項B：令中，得出，根據(jù)已知得出其定義域關于軸對稱，即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得出答案；對于選項C：令中，得出，即可根據(jù)周期定義得出答案；對于選項D：根據(jù)周期得出答案.【詳解】A選項：令，得，故A正確.B選項：令，則，因此，又的定義域為，關于軸對稱，所以為奇函數(shù)，故B錯誤.C選項：令，則，所以，因此，所以為周期函數(shù)，且周期為4，故C正確.D選項：，故D正確.故選：ACD.4.（2021高三上·浙江寧波·模擬）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，其定義域為，滿足：當時，；任意的x，，均有.若，則x的取值范圍是（

）（e是自然對數(shù)的底數(shù)）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，解得，再令，得到，從而是奇函數(shù)，用替代，結合是奇函數(shù)，得到，再由時，，利用單調(diào)性定義得到在上遞增，則在上遞增，將轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】解：令，即，則，令，即，則，因為定義域為，所以是奇函數(shù)，由，用替代，得，因為是奇函數(shù)，所以，，且，則，因為當時，，所以，，即，所以在上遞增，又是定義域為的奇函數(shù)，所以在上遞增，則等價于，解得，故選：D題型十四：抽象函數(shù)模型：一元二次型1.（2324高三上·上海普陀·模擬）已知對于任意的整數(shù)、、，，有成立，且，則【答案】【分析】通過對、不斷賦值，求得，可得出，利用累加法求出的表達式，即可得出的表達式.【詳解】在等式中，令，可得，解得，令，可得，可得，令，，則，可得，令，，其中，則，則當且時，，故當且時，，當時，也滿足，故對任意的，，所以，.故答案為：.2.（2324高三上·內(nèi)蒙古赤峰·開學考試）已知函數(shù)的定義域為R，，，則下列說法不正確的是（

）A． B．C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】D【分析】利用賦值法、特殊值法結合函數(shù)的奇偶性一一判定選項即可.【詳解】令，可得，故A正確；令，可得，令，，可得，則，故B正確；由，可得，令，則，令，可得，令，則，所以是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，故C正確；因為，所以不是偶函數(shù)，故D不正確.故選：D3.（2324高三上·吉林長春·模擬）函數(shù)滿足：任意，.且.則的最小值是（

）A．1775 B．1850 C．1925 D．2000【答案】C【分析】由可得，設，可得，從而可得結論.【詳解】因為，所以有，設，那么，因此，因此，取，得到.所以.設，等號成立！故選：C.4.（2324高三上·河北保定·模擬）已知函數(shù)滿足：，，成立，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，求出，令，求出，令，求出，再令，可求出的關系，再利用累加法結合等差數(shù)列前項和公式即可得解.【詳解】令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，則當時，，則，當時，上式也成立，所以，所以.故選：C.題型十五：抽象函數(shù)模型：一元三次函數(shù)型1.（多選）（2024·福建莆田·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足：，則（

）A．是奇函數(shù)B．若，則C．若，則為增函數(shù)D．若，則為增函數(shù)【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件，利用函數(shù)奇偶性的定義，單調(diào)性的定義和性質(zhì)，結合賦值法的使用，對每個