黃金卷：2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷-數(shù)學(xué)2（含答案及解析）

新高二開學(xué)摸底考試卷數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）范圍：函數(shù)導(dǎo)數(shù)、計數(shù)原理、統(tǒng)計概率注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．甲乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種2．設(shè)隨機變量，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.63．2024年湯姆斯杯需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別負(fù)責(zé)語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作，則不同的選法種數(shù)共有（

）A．102種 B．105種 C．210種 D．288種4．下列求導(dǎo)運算中錯誤的是（

）A． B．C． D．5．我國古代有很多數(shù)學(xué)家，其中劉徽、祖沖之、趙爽、賈憲、秦九韶為我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻，若從上述五位數(shù)學(xué)家中任意抽取2位了解其著作，則抽到祖沖之的概率為（

）A． B． C． D．6．若的二項式展開式中的系數(shù)為10，則（

）A．1 B．-1 C．±1 D．±27．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則對于的描述正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．當(dāng)時取得最大值C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．當(dāng)時取得最小值8．下列說法正確的序號是（

）①在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時，預(yù)報變量平均增加0.8個單位；②利用最小二乘法求回歸直線方程，就是使得最小的原理；③已知X，Y是兩個分類變量，若它們的隨機變量的觀測值k越大，則“X與Y有關(guān)系”的把握程度越?。虎芤阎S機變量服從正態(tài)分布，且，則.A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②④9．已知偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（

）①；②在上是單調(diào)函數(shù)；③的最小值為；④方程有兩個不相等的實數(shù)根A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分．10．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是．11．已知，則，.12．從0，1，2，3，4中選出3個數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)，這樣的數(shù)有個.13．隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展，城市的交通問題越來越嚴(yán)重，為倡導(dǎo)綠色出行，某公司員工小明選擇了三種出行方式.已知他每天上班選擇步行、騎共享單車和乘坐地鐵的概率分別為0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不遲到的概率為0.91，騎共享單車上班不遲到的概率為0.92，乘坐地鐵上班不遲到的概率為0.93，則某天上班小明遲到的概率是.14．已知，的取值如表：01344.34.86.7若，具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為，則．15．已知函數(shù)，若，，則實數(shù)k的最大值是．三、解答題：本題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（13分）“馬街書會”是流行于河南省寶豐縣的傳統(tǒng)民俗活動，為國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．每年農(nóng)歷正月十三來自省內(nèi)外的說書藝人負(fù)鼓攜琴，匯集于此，說書亮藝，河南墜子、道情、曲子、琴書等曲種應(yīng)有盡有，規(guī)模壯觀．為了解人們對該活動的喜愛程度，現(xiàn)隨機抽取200人進行調(diào)查統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：不喜愛喜愛合計男性90120女性25合計200附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為性別與對該活動的喜愛程度有關(guān)聯(lián)？(2)為宣傳曲藝文化知識，當(dāng)?shù)匚幕衷跁鴷辖M織了戲曲知識競賽活動．活動規(guī)定從8道備選題中隨機抽取4道題進行作答．假設(shè)在8道備選題中，戲迷甲正確完成每道題的概率都是，且每道題正確完成與否互不影響；戲迷乙只能正確完成其中的6道題．①求戲迷甲至少正確完成其中3道題的概率；②設(shè)隨機變量表示戲迷乙正確完成題的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．（15分）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.（15分）為了普及安全教育，某市組織了一次學(xué)生安全知識競賽，規(guī)定每隊2人，甲、乙兩人組成“沖鋒隊”參加比賽，比賽共兩輪．第一輪甲、乙兩人各自先從“健康安全”題庫中隨機抽取一道題作答，每答對一道題給該隊加1分，沒答對不加分，也不扣分．第二輪甲、乙兩人各自再從“應(yīng)急救援”題庫中隨機抽取一道題作答，每答對一道題給該隊加2分，沒答對不加分，也不扣分．已知甲答對“健康安全”題庫中題目的概率為，答對“應(yīng)急救援”題庫中題目的概率為．乙答對“健康安全”題庫中題目的概率為，答對“應(yīng)急救援”題庫中題目的概率為，甲、乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．(1)求甲恰好答對一道題且乙恰好答對兩道題的概率；(2)求“沖鋒隊”最終得分不超過4分的概率．（16分）本著健康低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分，每小時收費2元（不足1小時的部分按1小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游（各租一車一次）.設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為，；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為，；兩人租車時間都不會超過四小時.(1)求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率；(2)求甲所付的租車費用比乙所付的租車費用多2元的概率；(3)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量X，求X的分布列、均值、方差（16分）已知函數(shù)，，其中．(1)若，求實數(shù)a的值(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在使得不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍．

新高二開學(xué)摸底考試卷數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）范圍：集合與常用邏輯用語、不等式，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)、解三角形，平面向量注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．甲乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】B【分析】借助分步乘法計數(shù)原理計算即可得.【詳解】相同的那一本有5種可能選法，不同的一本有種可能選法，故共有種選法.故選：B.2．設(shè)隨機變量，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解.【詳解】由于隨機變量,所以，又因為所以，所以.故選：B3．2024年湯姆斯杯需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別負(fù)責(zé)語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作，則不同的選法種數(shù)共有（

）A．102種 B．105種 C．210種 D．288種【答案】C【分析】先算從8名志愿者中任意選出3名的方法數(shù)，再減去甲、乙、丙3人有一人負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作的方法數(shù)，即可得解.【詳解】先從8名志愿者中任意選出3名，分別負(fù)責(zé)語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，有種，其中甲、乙、丙3人有一人負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作，有種，故符合條件的選法共有種.故選：C4．下列求導(dǎo)運算中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】借助導(dǎo)數(shù)的運算法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計算即可得.【詳解】對A：，故A正確；對B：，故B正確；對C：，故C錯誤；對D：，故D正確.故選：C.5．我國古代有很多數(shù)學(xué)家，其中劉徽、祖沖之、趙爽、賈憲、秦九韶為我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻，若從上述五位數(shù)學(xué)家中任意抽取2位了解其著作，則抽到祖沖之的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，找到樣本空間和抽到祖沖之事件的樣本點，根據(jù)古典概率求解.【詳解】記祖沖之為，其余4位數(shù)學(xué)家為，則從五位數(shù)學(xué)家中任意抽取2位,樣本空間為，其中抽到祖沖之為，所以抽到祖沖之的概率為.故選：A6．若的二項式展開式中的系數(shù)為10，則（

）A．1 B．-1 C．±1 D．±2【答案】A【分析】由多項式的二項展開式的通項公式列出方程，求解即得.【詳解】由的通項公式可知二項式展開式中的系數(shù)為，則得，解得.故選：A.7．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則對于的描述正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．當(dāng)時取得最大值C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．當(dāng)時取得最小值【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)圖象與函數(shù)圖象的關(guān)系可得答案.【詳解】由圖可知，時，，為增函數(shù)；時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，有極大值，不一定為最大值；時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，有極小值，不一定為最小值；時，，為減函數(shù)；綜上可得只有C正確.故選：C8．下列說法正確的序號是（

）①在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時，預(yù)報變量平均增加0.8個單位；②利用最小二乘法求回歸直線方程，就是使得最小的原理；③已知X，Y是兩個分類變量，若它們的隨機變量的觀測值k越大，則“X與Y有關(guān)系”的把握程度越?。虎芤阎S機變量服從正態(tài)分布，且，則.A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)回歸方程的定義和性質(zhì)即可判斷①②；隨機變量的觀測值越小，則“與有關(guān)系”的把握程度越小，即可判斷③；根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性即可判斷④【詳解】對于①，在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個單位時，預(yù)報變量平均增加0.8個單位，故①正確；對于②，用隨機誤差的平方和，即，并使之達到最小，這樣回歸直線就是所有直線中取最小值的那一條，由于平方又叫二乘，所以這種使“隨機誤差的平方和為最小”的方法叫做最小二乘法，所以利用最小二乘法求回歸直線方程，就是使得最小的原理，故②正確；對于③，對分類變量與，對它們的隨機變量的觀測值越小，則“與有關(guān)系”的把握程度越小，故③錯誤；對于④，隨機變量服從正態(tài)分布，且，則，故④正確.故選：D.9．已知偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（

）①；②在上是單調(diào)函數(shù)；③的最小值為；④方程有兩個不相等的實數(shù)根A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)分析求出,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷①，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性即可判斷②，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值判斷③,根據(jù)函數(shù)的最值即可判斷④.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，則有，即，，①正確；則，設(shè)，由于，易知在上單調(diào)遞增，則，所以在上為增函數(shù)，而為增函數(shù)，則在上是單調(diào)函數(shù)，②正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則的最小值為，③正確；為偶函數(shù)且在上為增函數(shù)，其最小值為，由于，所以，故方程沒有實數(shù)根；④錯誤．故選：C．二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分．10．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】求出導(dǎo)數(shù)，由題意得在上恒成立，由分離參數(shù)思想可得結(jié)果.【詳解】由得，由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，即在上恒成立，即，即得在恒成立，所以.故答案為：11．已知，則，.【答案】【分析】利用賦值法分別令和代入計算即可求得結(jié)果.【詳解】令，可得，令，可得，即.故答案為：12．從0，1，2，3，4中選出3個數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)，這樣的數(shù)有個.【答案】30【分析】根據(jù)題意，分在個位與不在個位種情況討論，分別求出每一種情況的三位偶數(shù)的個數(shù)，由加法原理計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分種情況討論：①在個位，在剩下的個數(shù)字中任選個，安排在百位、個位，有種選法，②不在個位，需要在、中選個，個位有種選法，不能在首位，則首位有種選法，則十位有種選法，此時有種選法，則一共可以組成個無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).故答案為：3013．隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展，城市的交通問題越來越嚴(yán)重，為倡導(dǎo)綠色出行，某公司員工小明選擇了三種出行方式.已知他每天上班選擇步行、騎共享單車和乘坐地鐵的概率分別為0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不遲到的概率為0.91，騎共享單車上班不遲到的概率為0.92，乘坐地鐵上班不遲到的概率為0.93，則某天上班小明遲到的概率是.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用對立事件及全概率公式計算即得.【詳解】記小明步行、騎共享單車、乘坐地鐵上班的事件分別為，小明上班不遲到的事件為，則，且兩兩互斥，依題意，，，因此，所以某天上班他遲到的概率.故答案為：14．已知，的取值如表：01344.34.86.7若，具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為，則．【答案】【詳解】將代入回歸方程為，可得，應(yīng)填答案．點睛：解答這類問題的常規(guī)方法就是先求出，再借助這個點的坐標(biāo)滿足回歸方程為這一結(jié)論，將其代入回歸方程可方程，然后通過解方程得到，使得問題獲解．15．已知函數(shù)，若，，則實數(shù)k的最大值是．【答案】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為即，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性與最大值，即可求解.【詳解】由，可得，即，設(shè)，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，因為，，所以，所以實數(shù)的最大值為.故答案為：.三、解答題：本題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．“馬街書會”是流行于河南省寶豐縣的傳統(tǒng)民俗活動，為國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．每年農(nóng)歷正月十三來自省內(nèi)外的說書藝人負(fù)鼓攜琴，匯集于此，說書亮藝，河南墜子、道情、曲子、琴書等曲種應(yīng)有盡有，規(guī)模壯觀．為了解人們對該活動的喜愛程度，現(xiàn)隨機抽取200人進行調(diào)查統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：不喜愛喜愛合計男性90120女性25合計200附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為性別與對該活動的喜愛程度有關(guān)聯(lián)？(2)為宣傳曲藝文化知識，當(dāng)?shù)匚幕衷跁鴷辖M織了戲曲知識競賽活動．活動規(guī)定從8道備選題中隨機抽取4道題進行作答．假設(shè)在8道備選題中，戲迷甲正確完成每道題的概率都是，且每道題正確完成與否互不影響；戲迷乙只能正確完成其中的6道題．①求戲迷甲至少正確完成其中3道題的概率；②設(shè)隨機變量表示戲迷乙正確完成題的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）補全的列聯(lián)表如下：不喜愛喜愛合計男性3090120女性255580合計55145200根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此我們可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為對該場活動的喜愛程度與性別無關(guān)．（2）①記“戲迷甲至少正確完成其中3道題”為事件A，則．②的可能取值為，，，的分布列為；X234P數(shù)學(xué)期望.17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為R.導(dǎo)函數(shù).所以，，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即.（2）令，解得：或.列表得：x13+2+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為；的極大值為，極小值為.18．為了普及安全教育，某市組織了一次學(xué)生安全知識競賽，規(guī)定每隊2人，甲、乙兩人組成“沖鋒隊”參加比賽，比賽共兩輪．第一輪甲、乙兩人各自先從“健康安全”題庫中隨機抽取一道題作答，每答對一道題給該隊加1分，沒答對不加分，也不扣分．第二輪甲、乙兩人各自再從“應(yīng)急救援”題庫中隨機抽取一道題作答，每答對一道題給該隊加2分，沒答對不加分，也不扣分．已知甲答對“健康安全”題庫中題目的概率為，答對“應(yīng)急救援”題庫中題目的概率為．乙答對“健康安全”題庫中題目的概率為，答對“應(yīng)急救援”題庫中題目的概率為，甲、乙答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．(1)求甲恰好答對一道題且乙恰好答對兩道題的概率；(2)求“沖鋒隊”最終得分不超過4分的概率．【詳解】（1）設(shè)事件為甲恰好答對一道題，事件為乙恰好答對兩道題，，，所以甲恰好答對一道題且乙恰好答對兩道題的概率為．（2）設(shè)事件為“沖鋒隊”最終得6分，事件為“沖鋒隊”最終得5分，，，，所以“沖鋒隊”最終得分不超過4分的概率為．19．本著健康低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分，