高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識點大全

10、函數(shù)極限的運算規(guī)則前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運算規(guī)則與數(shù)列極限的運算規(guī)則相似。⑴、函數(shù)極限的運算規(guī)則

若已知x→x0(或x→∞)時，.則：

推論：

在求函數(shù)的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復(fù)雜的函數(shù)化為若干個簡單的函數(shù)來求極限。例題：求解答：例題：求此題如果像上題那樣求解，則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。解答：注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。函數(shù)極限的存在準則學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。我們先來看一個例子：例：符號函數(shù)為對于這個分段函數(shù),x從左趨于0和從右趨于0時函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。定義：如果x僅從左側(cè)(x＜x0)趨近x0時，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當時的左極限.記：如果x僅從右側(cè)(x＞x0)趨近x0時，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當時的右極限.記：注：只有當x→x0時，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時有極限函數(shù)極限的存在準則

準則一：對于點x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點本身可以除外(或絕對值大于某一正數(shù)的一切x)有≤≤，且，那末存在，且等于A注：此準則也就是夾逼準則.準則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個重要的極限

一：注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=2.718281828459045...二：注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明.注：我們要牢記這兩個重要極限，在今后的解題中會經(jīng)常用到它們.例題：求解答：令，則x=-2t，因為x→∞，故t→∞，則注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時，若用t代換1/x，則t→0.無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個例子：已知函數(shù)，當x→0時，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當時，成立，則稱函數(shù)當時為無窮大量。記為：（表示為無窮大量，實際它是沒有極限的）同樣我們可以給出當x→∞時，無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=，當x充分大時有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當時，成立，則稱函數(shù)當x→∞時是無窮大量，記為：無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量。定義：設(shè)有函數(shù)，對于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M)，使得對于適合不等式(或)的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)當(或x→∞)時為無窮小量.記作：(或)注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.關(guān)于無窮小量的兩個定理定理一：如果函數(shù)在(或x→∞)時有極限A，則差是當(或x→∞)時的無窮小量，反之亦成立。定理二：無窮小量的有利運算定理a)：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；b)：有限個無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、差與乘積仍舊是無窮小.則兩個無窮小量的商會是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學(xué)的兩個無窮小量的比較。定義：設(shè)α，β都是時的無窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，a)：如果，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮小；b)：如果，則稱α和β是同階無窮??；c)：如果，則稱α和β是等價無窮小，記作：α∽β(α與β等價)例：因為，所以當x→0時，x與3x是同階無窮??；因為，所以當x→0時，x2是3x的高階無窮小；因為，所以當x→0時，sinx與x是等價無窮小。等價無窮小的性質(zhì)設(shè)，且存在，則.注：這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子與分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。例題：1.求

解答：當x→0時，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：例題：2.求解答：注：注：從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子。函數(shù)的一重要性質(zhì)——連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個概念——增量設(shè)變量x從它的一個初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：△x即：△x=x2-x1增量△x可正可負.我們再來看一個例子：函數(shù)在點x0的鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x時，函數(shù)y相應(yīng)地從變到，其對應(yīng)的增量為：這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖：現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當△x趨向于零時，函數(shù)y對應(yīng)的增量△y也趨向于零，即：，那末就稱函數(shù)在點x0處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性的定義：設(shè)函數(shù)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)在點x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點.下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點b左連續(xù).設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b)內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點a右連續(xù).一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注：一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個問題：函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點稱之為間斷點.

它包括三種情形：a)：在x0無定義；b)：在x→x0時無極限；c)：在x→x0時有極限但不等于；下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點的類型：例1：正切函數(shù)在處沒有定義，所以點是函數(shù)的間斷點，因，我們就稱為函數(shù)的無窮間斷點；例2：函數(shù)在點x=0處沒有定義；故當x→0時，函數(shù)值在-1與+1之間變動無限多次，我們就稱點x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點；

例3：函數(shù)當x→0時，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點x=0時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下:間斷點的分類我們通常把間斷點分成兩類：如果x0是函數(shù)的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.可去間斷點若x0是函數(shù)的間斷點，但極限存在，那末x0是函數(shù)的第一類間斷點。此時函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但≠。我們令，則可使函數(shù)在點x0處連續(xù)，故這種間斷點x0稱為可去間斷點。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性我們通過函數(shù)在某點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則，可得出以下結(jié)論：a)：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；b)：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；c)：兩個在某點連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點連續(xù)的函數(shù)(分母在該點不為零)；反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)也在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù)例：函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)在閉區(qū)間[-1,1]上也是單調(diào)增且連續(xù)的。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)當x→x0時的極限存在且等于a，即：.而函數(shù)在點u=a連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)當x→x0時的極限也存在且等于.即：例題：求解答：注：函數(shù)可看作與復(fù)合而成，且函數(shù)在點u=e連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。設(shè)函數(shù)在點x=x0連續(xù)，且，而函數(shù)在點u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點x=x0也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù).對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：

最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。(在此不作證明)

例：函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間[0，2π]上連續(xù)，則在點x=π/2處，它的函數(shù)值為1，且大于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點出的函數(shù)值；則在點x=3π/2處，它的函數(shù)值為-1，且小于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點出的函數(shù)值。介值定理

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點的函數(shù)值間的任何值。即：，μ在α、β之間，則在[a，b]間一定有一個ξ，使

推論：

在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運動的瞬時速度的問題。例：設(shè)一質(zhì)點沿x軸運動時，其位置x是時間t的函數(shù)，，求質(zhì)點在t0的瞬時速度？我們知道時間從t0有增量△t時，質(zhì)點的位置有增量，這就是質(zhì)點在時間段△t的位移。因此，在此段時間內(nèi)質(zhì)點的平均速度為：.若質(zhì)點是勻速運動的則這就是在t0的瞬時速度，若質(zhì)點是非勻速直線運動，則這還不是質(zhì)點在t0時的瞬時速度。我們認為當時間段△t無限地接近于0時，此平均速度會無限地接近于質(zhì)點t0時的瞬時速度，即：質(zhì)點在t0時的瞬時速度=為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下：導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若△y與△x之比當△x→0時極限存在，則稱這個極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。記為：還可記為：，函數(shù)在點x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個確定的x值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。注：函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則

法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫為：。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。例題：已知，求解答：例題：已知，求解答：函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：在求一個常數(shù)與一個可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號外面去。用公式可寫成：例題：已知，求解答：函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成：例題：已知，求解答：注：若是三個函數(shù)相乘，則先把其中的兩個看成一項。函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成：例題：已知，求解答：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個例子!例題：求=解答：由于，故

這個解答正確嗎這個解答是錯誤的，正確的解答應(yīng)該如下：我們發(fā)生錯誤的原因是是對自變量x求導(dǎo)，而不是對2x求導(dǎo)。下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則：兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：，其中u為中間變量例題：已知，求解答：設(shè),則可分解為,因此注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。例題：已知，求

解答：反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下(我們以定理的形式給出)：定理：若是單調(diào)連續(xù)的，且，則它的反函數(shù)在點x可導(dǎo)，且有：注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒有對它作記號變換。即：是對y求導(dǎo)，是對x求導(dǎo)例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：高階導(dǎo)數(shù)我們知道，在物理學(xué)上變速直線運動的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即：，而加速度a又是速度v對時間t的變化率，即速度v對時間t的導(dǎo)數(shù)：，或。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做s對t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義：定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù).我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即：或.相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別記作：，，…，或，，…，二階與二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時可運用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。例題：已知，求

解答：因為=a，故=0例題：求對數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。解答：，，，，一般地，可得隱函數(shù)與其求導(dǎo)法則我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù).一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，則在求其導(dǎo)數(shù)時該如何呢？下面讓我們來解決這個問題！隱函數(shù)的求導(dǎo)若已知F(x,y)=0，求時，一般按下列步驟進行求解：a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進行求導(dǎo)；b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對x進行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行。例題：已知，求解答：此方程不易顯化，故運用隱函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊對x進行求導(dǎo)，，，故=

注：我們對隱函數(shù)兩邊對x進行求導(dǎo)時，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)。例題：求隱函數(shù)，在x=0處的導(dǎo)數(shù)解答：兩邊對x求導(dǎo)，故，當x=0時，y=0.故。有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時，若對其直接求導(dǎo)有時很不方便，像對某些冪函數(shù)進行求導(dǎo)時，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們再來學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù)，然后在求導(dǎo)。注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。例題：已知x＞0，求此題若對其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進行求導(dǎo)，就比較簡便些。如下解答：先兩邊取對數(shù)：，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)因為，所以例題：已知，求此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對數(shù)求導(dǎo)法進行求導(dǎo)解答：先兩邊取對數(shù)再兩邊求導(dǎo)因為，所以函數(shù)的微分學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前，我們先來分析一個具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時，其邊長由x0變到了x0+△x，則此薄片的面積改變了多少？解答：設(shè)此薄片的邊長為x，面積為A，則A是x的函數(shù)：薄片受溫度變化的影響面積的改變量，可以看成是當自變量x從x0取的增量△x時，函數(shù)A相應(yīng)的增量△A，即：。從上式我們可以看出，△A分成兩部分，第一部分是△x的線性函數(shù)，即下圖中紅色部分；第二部分即圖中的黑色部分，當△x→0時，它是△x的高階無窮小，表示為：由此我們可以發(fā)現(xiàn)，如果邊長變化的很小時，面積的改變量可以近似的用地一部分來代替。下面我們給出微分的數(shù)學(xué)定義：函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0與x0+△x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中A是不依賴于△x的常數(shù)，是△x的高階無窮小，則稱函數(shù)在點x0可微的。叫做函數(shù)在點x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即：=。通過上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是自變量改變量△x的線性函數(shù)，dy與△y的差是關(guān)于△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。于是我們又得出：當△x→0時，△y≈dy.導(dǎo)數(shù)的記號為：，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號，而且還可以表示兩個微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為：由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。微分形式不變性

什么是微分形式不邊形呢？

設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的微分為：

，

由于，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成

由此可見，不論u是自變量還是中間變量，的微分dy總可以用與du的乘積來表示，

我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。

例題：已知，求dy

解答：把2x+1看成中間變量u，根據(jù)微分形式不變性，則

通過上面的學(xué)習(xí)，我們知道微分與導(dǎo)數(shù)有著不可分割的聯(lián)系，前面我們知道基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)

的運算法則，則基本初等函數(shù)的微分公式和微分運算法則是怎樣的呢？

下面我們來學(xué)習(xí)———基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則基本初等函數(shù)的微分公式

由于函數(shù)微分的表達式為：，于是我們通過基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式，下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對比一下：(部分公式)導(dǎo)數(shù)公式微分公式微分運算法則

由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推出相應(yīng)的微分法則.為了便于理解，下面我們用表格來把微分的運算法則與導(dǎo)數(shù)的運算法則對照一下：函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則

復(fù)合函數(shù)的微分法則就是前面我們學(xué)到的微分形式不變性，在此不再詳述。

例題：設(shè)，求對x3的導(dǎo)數(shù)

解答：根據(jù)微分形式的不變性

微分的應(yīng)用

微分是表示函數(shù)增量的線性主部.計算函數(shù)的增量，有時比較困難，但計算微分則比較簡單，為此我們用函數(shù)的微分來近似的代替函數(shù)的增量，這就是微分在近似計算中的應(yīng)用.

例題：求的近似值。

解答：我們發(fā)現(xiàn)用計算的方法特別麻煩，為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問題

故其近似值為1.025(精確值為1.024695)三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分學(xué)中值定理

在給出微分學(xué)中值定理的數(shù)學(xué)定義之前，我們先從幾何的角度看一個問題，如下：

設(shè)有連續(xù)函數(shù)，a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(a＜b)，假定此函數(shù)在(a,b)處處可導(dǎo)，也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到，

差商就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動，則至少有一次機會達到離割線最遠的一點P(x=c)處成為曲線的切線，而曲線的斜率為，由于切線與割線是平行的，因此

成立。

注：這個結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理，也稱為拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理

如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使

成立。

這個定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。描述如下：

若在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使成立。

注：這個定理是羅爾在17世紀初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。

注：在此我們對這兩個定理不加以證明，若有什么疑問，請參考相關(guān)書籍

下面我們在學(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理——柯西中值定理柯西中值定理

如果函數(shù)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且≠0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點c，使成立。

例題：證明方程在0與1之間至少有一個實根

證明：不難發(fā)現(xiàn)方程左端是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

函數(shù)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理

可知，在0與1之間至少有一點c，使，即

也就是：方程在0與1之間至少有一個實根未定式問題

問題：什么樣的式子稱作未定式呢？

答案：對于函數(shù),來說，當x→a(或x→∞)時，函數(shù),都趨于零或無窮大

則極限可能存在，也可能不存在，我們就把式子稱為未定式。分別記為型

我們?nèi)菀字?，對于未定式的極限求法，是不能應(yīng)用"商的極限等于極限的商"這個法則來求解的，則我們該如何求這類問題的極限呢？

下面我們來學(xué)習(xí)羅彼塔(L'Hospital)法則，它就是這個問題的答案

注：它是根據(jù)柯西中值定理推出來的。羅彼塔(L'Hospital)法則

當x→a(或x→∞)時，函數(shù),都趨于零或無窮大，在點a的某個去心鄰域內(nèi)(或當│x│＞N)時，與都存在，≠0，且存在

則：=

這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則

注：它是以前求極限的法則的補充，以前利用法則不好求的極限，可利用此法則求解。

例題：求

解答：容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的，因為它是未定式中的型求解問題，因此我們就可以利用上面所學(xué)的法則了。

例題：求

解答：此題為未定式中的型求解問題，利用羅彼塔法則來求解

另外，若遇到、、、、等型，通常是轉(zhuǎn)化為型后，在利用法則求解。

例題：求

解答：此題利用以前所學(xué)的法則是不好求解的，它為型，故可先將其轉(zhuǎn)化為型后在求解，

注：羅彼塔法則只是說明：對未定式來說，當存在，則存在且二者的極限相同；而并不是不存在時，也不存在，此時只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。函數(shù)單調(diào)性的判定法

函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性，怎樣才能判斷函數(shù)的增減性呢？

我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減)，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正(或負),也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負值).因此我們可通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負來判定函數(shù)的增減性.判定方法：

設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

a)：如果在(a,b)內(nèi)＞0，那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)增加；

b)：如果在(a,b)內(nèi)＜0，那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)減少.

例題：確定函數(shù)的增減區(qū)間.

解答：容易確定此函數(shù)的定義域為(－∞,＋∞)

其導(dǎo)數(shù)為：，因此可以判出：

當x＞0時，＞0，故它的單調(diào)增區(qū)間為(0,＋∞)；

當x＜0時，＜0，故它的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)；

注：此判定方法若反過來講，則是不正確的。函數(shù)的極值與其求法

在學(xué)習(xí)函數(shù)的極值之前，我們先來看一例子：

設(shè)有函數(shù)，容易知道點x=1與x=2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點，又可知在點x=1左側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)增加的，在點x=1右側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)減小的.因此存在著點x=1的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi),任何點x(x=1除外)，＜均成立，點x=2也有類似的情況(在此不多說),為什么這些點有這些性質(zhì)呢？

事實上，這就是我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——函數(shù)的極值，函數(shù)極值的定義

設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)一點.

若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外)，＜均成立，

則說是函數(shù)的一個極大值；

若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外)，＞均成立，

則說是函數(shù)的一個極小值.

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。

我們知道了函數(shù)極值的定義了，怎樣求函數(shù)的極值呢？

學(xué)習(xí)這個問題之前，我們再來學(xué)習(xí)一個概念——駐點

凡是使的x點，稱為函數(shù)的駐點。

判斷極值點存在的方法有兩種：如下方法一：

設(shè)函數(shù)在x0點的鄰域可導(dǎo)，且.

情況一：若當x取x0左側(cè)鄰近值時，＞0，當x取x0右側(cè)鄰近值時，＜0，

則函數(shù)在x0點取極大值。

情況一：若當x取x0左側(cè)鄰近值時，＜0，當x取x0右側(cè)鄰近值時，＞0，

則函數(shù)在x0點取極小值。

注：此判定方法也適用于導(dǎo)數(shù)在x0點不存在的情況。

用方法一求極值的一般步驟是：

a)：求；

b)：求的全部的解——駐點；

c)：判斷在駐點兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。

例題：求極值點

解答：先求導(dǎo)數(shù)

再求出駐點：當時，x=-2、1、-4/5

判定函數(shù)的極值，如下圖所示

方法二：

設(shè)函數(shù)在x0點具有二階導(dǎo)數(shù)，且時.

則：a)：當＜0，函數(shù)在x0點取極大值；

b)：當＞0，函數(shù)在x0點取極小值；

c)：當=0，其情形不一定，可由方法一來判定.

例題：我們?nèi)砸岳?為例，以比較這兩種方法的區(qū)別。

解答：上面我們已求出了此函數(shù)的駐點，下面我們再來求它的二階導(dǎo)數(shù)。

，故此時的情形不確定，我們可由方法一來判定；

＜0，故此點為極大值點；

＞0，故此點為極小值點。函數(shù)的最大值、最小值與其應(yīng)用

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)與科學(xué)實驗中，常會遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使"產(chǎn)品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。

這類問題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值、最小值的問題。

怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢？前面我們已經(jīng)知道了，函數(shù)的極值是局部的。要求在[a,b]上的最大值、最小值時，可求出開區(qū)間(a,b)內(nèi)全部的極值點，加上端點的值，從中取得最大值、最小值即為所求。

例題：求函數(shù)，在區(qū)間[-3，3/2]的最大值、最小值。

解答：在此區(qū)間處處可導(dǎo)，

先來求函數(shù)的極值，故x=±1，

再來比較端點與極值點的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。

因為，，，

故函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為。

例題：圓柱形罐頭，高度H與半徑R應(yīng)怎樣配，使同樣容積下材料最?。?/p>

解答：由題意可知：為一常數(shù)，

面積

故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。

故：時，用料最省。曲線的凹向與拐點

通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道由一階導(dǎo)數(shù)的正負，可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，但是還不能進一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解曲線的凹性。

定義：

對區(qū)間I的曲線作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間I下凹，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I上凹。曲線凹向的判定定理

定理一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，它對應(yīng)曲線是向上凹(或向下凹)的充分必要條件是：

導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。

定理二：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；那末：

若在(a,b)內(nèi)，＞0，則在[a,b]對應(yīng)的曲線是下凹的；

若在(a,b)內(nèi)，＜0，則在[a,b]對應(yīng)的曲線是上凹的；

例題：判斷函數(shù)的凹向

解答：我們根據(jù)定理二來判定。

因為，所以在函數(shù)的定義域(0,+∞)內(nèi)，＜0，

故函數(shù)所對應(yīng)的曲線時下凹的。拐點的定義

連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點。拐定的判定方法

如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定的拐點。

(1)：求；

(2)：令=0，解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實根；

(3)：對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點。

例題：求曲線的拐點。

解答：由，

令=0，得x=0，2/3

判斷在0，2/3左、右兩側(cè)鄰近的符號，可知此兩點皆是曲線的拐點。四、不定積分不定積分的概念原函數(shù)的概念

已知函數(shù)f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點都有

dF'(x)=f(x)dx，

則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。

例：sinx是cosx的原函數(shù)。

關(guān)于原函數(shù)的問題

函數(shù)f(x)滿足什么條件是，才保證其原函數(shù)一定存在呢？這個問題我們以后來解決。若其存在原函數(shù)，那末原函數(shù)一共有多少個呢？

我們可以明顯的看出來：若函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)，

即：F"(x)=f(x)，

則函數(shù)族F(x)+C(C為任一個常數(shù)）中的任一個函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù)，

故：若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那末其原函數(shù)為無窮多個.

不定積分的概念

函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分，

記作。

由上面的定義我們可以知道：如果函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族

F(x)+C.

即:=F(x)+C

例題：求：.

解答：由于，故=

不定積分的性質(zhì)

1、函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和；

即：

2、求不定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，

即：求不定積分的方法換元法

換元法（一）：設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u)，u=g(x)可導(dǎo)，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函數(shù).

即有換元公式:

例題：求

解答：這個積分在基本積分表中是查不到的，故我們要利用換元法。

設(shè)u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：

換元法（二）：設(shè)x=g(t)是單調(diào)的，可導(dǎo)的函數(shù)，并且g'(t)≠0，又設(shè)f[g(t)]g'(t)具有原函數(shù)φ(t)，

則φ[g(x)]是f(x)的原函數(shù).(其中g(shù)(x)是x=g(t)的反函數(shù)）

即有換元公式:

例題：求

解答：這個積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來換元.

設(shè)x=asint(-π/2<t<π/2)，那末，dx=acostdt,于是有：

關(guān)于換元法的問題

不定積分的換元法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上得來的，我們應(yīng)根據(jù)具體實例來選擇所用的方法，求不定積分不象求導(dǎo)那樣有規(guī)則可依，因此要想熟練的求出某函數(shù)的不定積分，只有作大量的練習(xí)。

分部積分法

這種方法是利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則得來的。

設(shè)函數(shù)u=u(x)與v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).我們知道，兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式為：

(uv)'=u'v+uv'，移項，得

uv'=(uv)'-u'v，對其兩邊求不定積分得：

，

這就是分部積分公式

例題：求

解答：這個積分用換元法不易得出結(jié)果，我們來利用分部積分法。

設(shè)u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部積分公式得：

關(guān)于分部積分法的問題

在使用分部積分法時，應(yīng)恰當?shù)倪x取u和dv，否則就會南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點：

(1)v要容易求得；

(2)容易積出。幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分舉例

有理函數(shù)是指兩個多項式的商所表示的函數(shù)，當分子的最高項的次數(shù)大于分母最高項的次數(shù)時稱之為假分式，

反之為真分式。

在求有理函數(shù)的不定積分時，若有理函數(shù)為假分式應(yīng)先利用多項式的除法，把一個假分式化成一個多項式和一個真分式之和的形式，然后再求之。

例題：求

解答：

關(guān)于有理函數(shù)積分的問題

有理函數(shù)積分的具體方法請大家參照有關(guān)書籍，請諒。

三角函數(shù)的有理式的積分舉例

三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù)。

例題：求

解答：

關(guān)于三角函數(shù)的有理式的積分的問題

任何三角函數(shù)都可用正弦與余弦函數(shù)表出，故變量代換u=tan(x/2)對三角函數(shù)的有理式的積分應(yīng)用，在此我

們不再舉例。

簡單無理函數(shù)的積分舉例

例題：求

解答：設(shè)，于是x=u2+1，dx=2udu，從而所求積分為：

五、定積分與其應(yīng)用定積分的概念

我們先來看一個實際問題———求曲邊梯形的面積。

設(shè)曲邊梯形是有連續(xù)曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成。如下圖所示：

現(xiàn)在計算它的面積A.我們知道矩形面積的求法，但是此圖形有一邊是一條曲線，該如何求呢？

我們知道曲邊梯形在底邊上各點處的高f(x)在區(qū)間[a,b]上變動，而且它的高是連續(xù)變化的，因此在很小的一段區(qū)間的變化很小，近似于不變，并且當區(qū)間的長度無限縮小時，高的變化也無限減小。因此，如果把區(qū)間[a,b]分成許多小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，用其中某一點的高來近似代替同一個小區(qū)間上的窄曲變梯形的變高，我們再根據(jù)矩形的面積公式，即可求出相應(yīng)窄曲邊梯形面積的近似值，從而求出整個曲邊梯形的近似值。

顯然：把區(qū)間[a,b]分的越細，所求出的面積值越接近于精確值。為此我們產(chǎn)生了定積分的概念。

定積分的概念

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點

a=x0<x1<...<xn-1<xn=b

把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間

[x0，x1]，...[xn-1,xn],

在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函數(shù)值f(ξi)與小區(qū)間長度的乘積f(ξi)△xi，

并作出和，

如果不論對[a,b]怎樣分法，也不論在小區(qū)間上的點ξi怎樣取法，只要當區(qū)間的長度趨于零時，和S總趨于確定的極限I，

這時我們稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，

記作。

即：

關(guān)于定積分的問題

我們有了定積分的概念了，則函數(shù)f(x)滿足什么條件時才可積？

定理（1）：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

（2）：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

定積分的性質(zhì)

性質(zhì)(1)：函數(shù)的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差）.

即：

性質(zhì)(2)：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面.

即：

性質(zhì)(3)：如果在區(qū)間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則≤

（a<b)

性質(zhì)(4)：設(shè)M與m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值，則m(b-a)≤≤M(b-a)

性質(zhì)(5)：如果f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點ξ，使下式成立：

=f(ξ)(b-a)

注：此性質(zhì)就是定積分中值定理。微積分積分公式積分上限的函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且設(shè)x為[a,b]上的一點.現(xiàn)在我們來考察f(x)在部分區(qū)間[a,x]上的定積分,我們知道f(x)在[a,x]上仍舊連續(xù)，因此此定積分存在。

如果上限x在區(qū)間[a,b]上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個對應(yīng)值，所以它在[a,b]上定義了一個函數(shù)，記作φ(x):

注意：為了明確起見，我們改換了積分變量（定積分與積分變量的記法無關(guān)）

定理(1)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù)，

并且它的導(dǎo)數(shù)是

（a≤x≤b)

(2)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)就是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)。

注意：定理（2）即一定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。牛頓--萊布尼茲公式

定理(3)：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則

注意：此公式被稱為牛頓-萊布尼茲公式，它進一步揭示了定積分與原函數(shù)(不定積分）之間的聯(lián)系。

它表明：一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任一個原函數(shù)再去見[a,b]上的增量。因此它就

給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法。

例題：求

解答：我們由牛頓-萊布尼茲公式得：

注