高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)簡單線性規(guī)劃知識梳理提高

簡潔的線性規(guī)劃【考綱要求】1.理解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，理解不等式〔組〕的實(shí)際背景。2.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型。3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；理解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；4.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡潔的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。5.嫻熟應(yīng)用不等式性質(zhì)解決目的函數(shù)的最優(yōu)解問題。【學(xué)問網(wǎng)絡(luò)】簡潔簡潔的線性規(guī)劃二元一次不等式〔組〕表示的區(qū)域簡潔應(yīng)用不等式〔組〕的應(yīng)用背景【考點(diǎn)梳理】【高清課堂：不等式及不等關(guān)系394841學(xué)問要點(diǎn)】考點(diǎn)一：用二元一次不等式〔組〕表示平面區(qū)域二元一次不等式＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線0某一側(cè)全部點(diǎn)組成的平面區(qū)域.〔虛線表示區(qū)域不包括邊界直線〕要點(diǎn)詮釋：畫二元一次不等式或表示的平面區(qū)域的根本步驟：①畫出直線〔有等號畫實(shí)線，無等號畫虛線〕；②當(dāng)時(shí)，取原點(diǎn)作為特別點(diǎn)，推斷原點(diǎn)所在的平面區(qū)域；當(dāng)時(shí)，另取一特別點(diǎn)推斷；③確定要畫不等式所表示的平面區(qū)域。簡稱：“直線定界，特別點(diǎn)定域〞方法?？键c(diǎn)二：二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的推斷方法因?yàn)閷υ谥本€0同一側(cè)的全部點(diǎn)(x)，實(shí)數(shù)的符號一樣，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點(diǎn)(x0,y0)〔假設(shè)原點(diǎn)不在直線上，則取原點(diǎn)(0,0)最簡便〕.把它的坐標(biāo)代入，由其值的符號即可推斷二元一次不等式>0(或<0)表示直線的哪一側(cè).要點(diǎn)詮釋：推斷二元一次不等式>0(或<0)表示直線的哪一側(cè)的方法：因?yàn)閷υ谥本€=0同一側(cè)的全部點(diǎn)(x)，數(shù)的符號一樣，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點(diǎn)(x0,y0)〔假設(shè)原點(diǎn)不在直線上，則取原點(diǎn)(0,0)最簡便〕，它的坐標(biāo)代入，由其值的符號即可推斷二元一次不等式>0(或<0)表示直線的哪一側(cè).考點(diǎn)三：線性規(guī)劃的有關(guān)概念：①線性約束條件：在一個(gè)問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件．②線性目的函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式(a，b∈R)是欲到達(dá)最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目的函數(shù)．③線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目的函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．④可行解、可行域和最優(yōu)解：滿意線性約束條件的解〔〕叫可行解．由全部可行解組成的集合叫做可行域．使目的函數(shù)獲得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解．要點(diǎn)詮釋：在應(yīng)用線性規(guī)劃的方法時(shí)，一般具備以下條件：①一定要可以將目的表述為最大化〔極大〕或最小化〔微小〕的要求。②一定要有到達(dá)目的的不同方法，即必需要有不同的選擇的可能性存在；③所求的目的函數(shù)是有約束〔限制〕條件的；④必需將約束條件用代數(shù)語言表示成為線性等式或線性不等式〔組〕，并將目的函數(shù)表示成為線性函數(shù)?？键c(diǎn)四：解線性規(guī)劃問題總體步驟：設(shè)變量→找約束條件，找目的函數(shù)作圖，找出可行域求出最優(yōu)解要點(diǎn)詮釋：線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用：①在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何運(yùn)用它們來完成最多的任務(wù)；②給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理支配和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù)．【典型例題】類型一：二元一次不等式〔組〕表示的平面區(qū)域例1.用平面區(qū)域表示不等式組.【解析】不等式表示直線右下方的區(qū)域，表示直線右上方的區(qū)域，取兩區(qū)域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集。舉一反三：【變式1】畫出不等式組表示的平面區(qū)域并求其面積?！窘馕觥咳鐖D，面積為；【變式2】由直線，和圍成的三角形區(qū)域〔如圖〕用不等式組可表示為。【解析】【變式3】求不等式組表示平面區(qū)域的面積.【解析】不等式所表示的平面區(qū)域如圖聯(lián)立方程組得所以例2.畫出以下不等式表示的平面區(qū)域(1)；(2)【解析】(1)原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為或〔無解〕，故點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)，如圖：(2)原不等式等價(jià)為或，如圖舉一反三：【變式1】用平面區(qū)域表示不等式〔1〕；〔2〕；〔3〕【解析】〔1〕〔2〕〔3〕例3.求滿意不等式組的整數(shù)解.【解析】設(shè)：，：，：，則由，得，由，得由，得于是看出區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在內(nèi)，取，當(dāng)時(shí)，代入原不等式組有，即，得＝－2，∴區(qū)域內(nèi)有整點(diǎn)。同理可求得另外三個(gè)整點(diǎn)、、.舉一反三：【變式1】求不等式組的整數(shù)解。【解析】如下圖，作直線，，，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出滿意不等式組的區(qū)域，此三角形區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,－1)，(2,－1)，(3,－1)即為原不等式組的整數(shù)解。類型二：圖解法解決簡潔的線性規(guī)劃問題.【高清課堂：不等式及不等關(guān)系394841根底練習(xí)一】例4．設(shè)變量滿意約束條件，則目的函數(shù)的最大值為〔〕A．12 B．10 C．8 D．【解析】由約束條件可知可行域如圖：平移知在處獲得最大值答案：B舉一反三：【變式1】求的最大值和最小值，使式中的,滿意約束條件.【解析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域〔如下圖〕作直線，把向右上方平移至位置，即直線經(jīng)過可行域上點(diǎn)A時(shí)，距原點(diǎn)間隔最大，且，這時(shí)目的函數(shù)獲得最大值.由方程組，解得，∴.把直線向左下方平移至位置，即直線l經(jīng)過可行域上點(diǎn)B時(shí)，由于，這時(shí)目的函數(shù)獲得最小值.由方程組，解得，∴.【變式2】給出平面區(qū)域如下圖，假設(shè)使目的函數(shù)獲得最大值的最優(yōu)解有無窮個(gè)，則的值為.【解析】由題意結(jié)合圖形可知,線性目的函數(shù)及可行域的一邊界平行,可得.【變式3】假如點(diǎn)在平面區(qū)域上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為〔〕A． B． C． D．【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖，要求的最小值只需求出圓心到平面區(qū)域的最小值再減去半徑1即可。由圖象可以知道圓心到平面區(qū)域的最小值就是圓心到直線的間隔〔垂足為A〕所以，應(yīng)選Ａ例5.、滿意約束條件，求以下各式的最大值和最小值.〔1〕；〔2〕.【解析】〔1〕不等式組表示的平面區(qū)域如下圖：求出交點(diǎn)，，，作過點(diǎn)的直線:，平移直線，得到一組及平行的直線:,.可知，在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于的直線中，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的直線所對應(yīng)的最大，所以；當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的直線所對應(yīng)的最小，所以.〔2〕不等式組表示的平面區(qū)域如下圖：作過點(diǎn)的直線:，平移直線，得到一組及平行的直線:,.可知，在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于的直線中，當(dāng)經(jīng)過線段上的全部點(diǎn)時(shí)的直線所對應(yīng)的最大，所以；當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的直線所對應(yīng)的最小，所以.舉一反三：【變式1】求的最大值和最小值，使式中的、滿意約束條件.【解析】不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖：從圖示可知，直線在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，以經(jīng)過點(diǎn)的直線所對應(yīng)的最小，以經(jīng)過點(diǎn)的直線所對應(yīng)的最大.所以，.類型三：某些實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題.例6.某廠消費(fèi)甲、乙兩種產(chǎn)品，消費(fèi)甲種產(chǎn)品每件要消耗煤9噸，電力4千瓦，運(yùn)用勞動(dòng)力3個(gè)，獲利7000元：消費(fèi)乙種產(chǎn)品每件要消耗煤4噸，電力5千瓦，運(yùn)用勞動(dòng)力10個(gè)，獲利12000元。有一個(gè)消費(fèi)日，這個(gè)廠可動(dòng)用的煤是360噸，電力是200千瓦，勞動(dòng)力是300個(gè)，問應(yīng)當(dāng)如何支配甲、乙兩種產(chǎn)品的消費(fèi)，才能使工廠在當(dāng)日的獲利最大，并問該廠當(dāng)日的最大獲利是多少【解析】設(shè)消費(fèi)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件約束條件：，目的函數(shù)：700012000y如圖：目的函數(shù)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，z獲得最大值，即A〔20，24〕∴當(dāng)20,24時(shí)，7000×20+12000×24=428000〔元〕。答：支配甲產(chǎn)品20件，乙產(chǎn)品24件時(shí)，利潤最大為428000元。舉一反三：【變式1】某運(yùn)輸公司有7輛載重量為6t的A型卡車及4輛載重量為10t的B型卡車，9名駕駛員，在建筑某段高速馬路中，此公司承擔(dān)了每天至少搬運(yùn)360t瀝青的任務(wù)，每輛卡車每天來回的次數(shù)為A型卡車8次，B型卡車6次，每輛卡車每天來回的本錢費(fèi)為A型卡車160元，B型卡車252元，每天派出A型車及B型車各多少輛，才能使公司所花的本錢費(fèi)最低？【解析】設(shè)派出A型車x輛，B型車y輛，所花本錢費(fèi)為160252y，且x、y滿意給條件如：，即如下圖，作出不等式表示的區(qū)域，作直線，即，作直線的平行線：當(dāng)直