高考數(shù)學(xué)知識點復(fù)習(xí)指導(dǎo)文

高考數(shù)學(xué)學(xué)問點總結(jié)【文】TOC\o"1-3"\u第一部分集合及簡易邏輯 2第二部分不等式的解法 2第三部分函數(shù) 3第四部分導(dǎo)數(shù) 6第五部分三角函數(shù) 7第六部分?jǐn)?shù)列 10第七部分平面對量 11第八部分不等式性質(zhì) 13第九部分直線和圓 13第十部分圓錐曲線 15第十一部分立體幾何 17第十二部分復(fù)數(shù) 19第十三部分概率及統(tǒng)計 19第十四部分極坐標(biāo)及參數(shù)方程 21第一部分集合及簡易邏輯1.數(shù)集的符號表示：自然數(shù)集N；正整數(shù)集N*；整數(shù)集Z；有理數(shù)集Q、實數(shù)集R2.是任何集合的子集，條件為時不要遺忘了的狀況個元素的有限集合子集數(shù)目：其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為2n,2n-1,2n-1,2n-2―抓住集合的代表元素。如:{x|y=f(x)}表示y=f(x)的定義域，{y|y=f(x)}表示y=f(x)的值域，{(x,y)|y=f(x)}表示y=f(x)的圖像5.A是B的子集A∪B=BA∩B=A，:假設(shè)原命題是“假設(shè)p則q〞，則逆命題為“假設(shè)q則p〞；否命題為“假設(shè)﹁p則﹁q〞；逆否命題為“假設(shè)﹁q則﹁p〞?；槟娣耜P(guān)系的命題是等價命題.對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否認(rèn)式的命題，一般利用等價關(guān)系“〞推斷其真假7.要留意區(qū)分“否命題〞及“命題的否認(rèn)〞：否命題要對命題的條件和結(jié)論都否認(rèn)，而命題的否認(rèn)僅對命題的結(jié)論否認(rèn)；命題“或〞的否認(rèn)是“且〞；“且〞的否認(rèn)是“或〞8、邏輯聯(lián)結(jié)詞：命題真假推斷：兩真才真，一假則假；命題真假推斷：兩假才假，一真則真；命題真假及P相反9、⑴全稱量詞——“全部的〞、“隨意一個〞等，用“〞表示；全稱命題p：xM,P(x)；全稱命題p的否認(rèn)p:xM,P(x)。⑵存在量詞——“存在一個〞、“至少有一個〞等，用“〞表示；特稱命題p：xM,P(x)；特稱命題p的否認(rèn)p：xM,P(x)；:由A可推出B，A是B成立的充分條件；B是A成立的必要條件。從集合角度說明，假設(shè)，則A是B的充分條件；B是A的必要條件；小充分大必要第二部分不等式的解法11.一元二次方程的根底學(xué)問：①求根公式：②根的判別式：=b2-4ac③根及系數(shù)關(guān)系：x1+x2=－eq\f(b,a),x1x2=eq\f(c,a)④根的分布：方程ax2+bx+c=0有兩正根的條件是：；有兩負(fù)根的條件是：；有一正一負(fù)兩根的條件是：>0,x1x2<0；在上有兩根的條件是：、在上有兩根的條件是：、在和上各有一根的條件是f〔k〕<012.一元二次不等式的解法：先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，解出對應(yīng)方程的兩根，依據(jù)不等號方向?qū)懗鼋饧泊笥谌蛇叄∮谌≈虚g〕留意：二次項系數(shù)為字母或兩根表達(dá)式含字母時要類探討開口方向及根的大小。13.二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)絡(luò)：二次方程ax2+bx+c=0的兩個根即為二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端點值，也是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象及軸交點的橫坐標(biāo)：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分變成標(biāo)準(zhǔn)型eq\f(f(x),g(x))>0，再轉(zhuǎn)化為整式不等式f(x)g(x)>0求解，留意最高次項的系數(shù)要為正15.一定值不等式的解法：單一定值不等式用公式法：.;雙一定值不等式可用“按零點分區(qū)間探討〞的方法來解16.指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的解法：先將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為同底的指對數(shù)式，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。留意對底數(shù)的探討，對數(shù)不等式還要留意真數(shù)要大于0第三部分函數(shù)17.函數(shù)定義：函數(shù)是定義在兩個非空數(shù)集A，B上的一種特殊對應(yīng)關(guān)系，對于A中每一個數(shù)x，在B中都有唯一的數(shù)及之對應(yīng)。函數(shù)圖像及軸的垂線至多有一個公共點18.一樣函數(shù)的推斷方法：①表達(dá)式一樣〔及表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)〕；②定義域一樣(兩點必需同時具備)19.定義域求法:使函數(shù)解析式有意義(如:分母;偶次根式被開方數(shù)非負(fù);對數(shù)的真數(shù),底數(shù)且；零指數(shù)冪的底數(shù))；實際問題有意義；假設(shè)定義域為,復(fù)合函數(shù)定義域由解出；假設(shè)定義域為,則定義域相當(dāng)于時的值域.20.求函數(shù)值域〔最值〕的方法：〔1〕二次函數(shù)區(qū)間最值：一看開口方向；二看對稱軸及所給區(qū)間的相對關(guān)系〕，〔2〕換元法——通過換元把一個較困難的函數(shù)變?yōu)楹啙嵰浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如，〔運用換元法時，要特殊要留意新元的范圍〕〔3〕單調(diào)性法——利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，〔4〕導(dǎo)數(shù)法：一般適用于高次多項式函數(shù)或其他困難函數(shù)，①求導(dǎo)②解導(dǎo)數(shù)為0的根③計算極值和區(qū)間端點函數(shù)值④比較大小，得出最值21.求函數(shù)解析式的常用方法：〔1〕代換法：形如f(g(x))的表達(dá)式，求f(x)的表達(dá)式?？稍O(shè)g(x)=t,用t表示x,再代回原式即可〔2〕轉(zhuǎn)化法：假設(shè)依據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式，則設(shè)x∈所求區(qū)間，利用f(x)=f(－x)或f(x)=－f(－x)求解析式〔3〕方程的思想——條件是含有及另外一個函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對等式的進(jìn)展賦值，從而得到關(guān)于及另外一個函數(shù)的方程組。通過解方程組得到f(x)解析式。如，求的解析式22.函數(shù)的單調(diào)性?！?〕定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，假如對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的隨意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)〔f(x1)>f(x2)〕，則就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)〔減函數(shù)〕；(2)常見函數(shù)的單調(diào)性：y=kx+b(看k正負(fù))f(x)=ax2+bx+c〔一看開口方向；二看對稱軸〕指對數(shù)函數(shù)〔看底數(shù)a>1增；0<a<1減〕冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)。假如α＞0，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在[0，＋∞)上為增函數(shù)．假如α<0，則冪函數(shù)的圖象在(0，＋∞)上為減函數(shù)，圖象無限接近x軸及y軸．其他象限看奇偶性〔3〕復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則：特點是同增異減，〔4〕特殊提示：求單調(diào)區(qū)間時，一是勿忘定義域；二是在多個單調(diào)區(qū)間之間一定不能添加符號“〞和“或〞；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)當(dāng)用區(qū)間表示，不能用不等號表示．〔5〕留意函數(shù)單調(diào)性的逆用：假設(shè)f(x1)<f(x2)，則有x1<x2〔增函數(shù)〕或x1>x2〔減函數(shù)〕23.函數(shù)的奇偶性。〔1〕具有奇偶性的函數(shù)定義域必需關(guān)于原點對稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時，務(wù)必先斷定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱。⑵假設(shè)f(x)是奇函數(shù),則f(x)=-f(-x)；假設(shè)f(x)是偶函數(shù),則；定義域含零的奇函數(shù)必過原點(f(0)=0)；〔3〕復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外〞.〔4〕假設(shè)推斷較為困難解析式函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先化簡再推斷；既奇又偶的函數(shù)有多數(shù)個(如y=0定義域關(guān)于原點對稱即可).⑸奇函數(shù)在對稱的區(qū)間有一樣的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的區(qū)間有相反的單調(diào)性；24.函數(shù)的對稱性：①y=f(x)及y=f(-x)的圖像關(guān)于y軸對稱；y=f(x)及y=-f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱；②假設(shè)f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)恒成立,則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱；③假設(shè)f(a+x)=f(b-x)恒成立,則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=eq\f(a+b,2)對稱；25.函數(shù)的周期性：假設(shè)f(T+x)=f(x),則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期。⑴假設(shè)y=f(x)f(x+a)=f(x-a)恒成立,f(x)2|a|；⑵假設(shè)y=f(x)是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線x=a對稱,則y=f(x)的周期為2|a|；⑶假設(shè)y=f(x)奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線x=a對稱,則y=f(x)的周期為4|a|；⑷假設(shè)y=f(x)關(guān)于點(a,0),(b,0)對稱,則y=f(x)的周期為2|a-b|；⑸y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b對稱,則函數(shù)y=f(x)的周期為2|a-b|；⑹f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=-eq\f(1,f(x)),則y=f(x)的周期為2|a|；26.指數(shù)式、對數(shù)式運算：，，loga1＝0，logaa＝1;logex=lnx，b＝logaNab＝N，alogaN＝N，logab＝eq\f(logcb,logca)，logaMn＝nlogaM;loga(MN)＝logaM＋logaN;logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.；27.指數(shù)、對數(shù)值的大小比較：〔1〕化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；〔2〕利用中間量〔0或1〕；〔3〕化同指數(shù)〔或同真數(shù)〕后利用圖象比較。28.指數(shù)函數(shù)y=ax及對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)名稱指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)定義域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)過定點〔０，1〕〔1，０〕圖象指數(shù)函數(shù)y=ax及對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)圖象關(guān)于y=x對稱單調(diào)性a＞1,在(-∞,+∞)為增函數(shù)0＜a＜1,在(-∞,+∞)為減函數(shù)a>1,在(0,+∞)為增函數(shù)０＜a<1,在(0,+∞)為減函數(shù)底數(shù)及圖像位置關(guān)系：在第一象限指數(shù)函數(shù)是“底大圖高〞對數(shù)函數(shù)是“底大圖低〞29冪函數(shù)冪函數(shù)的定義:一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，α是常數(shù)．①y＝xα在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類：〔在其他象限的圖像要依據(jù)函數(shù)的定義域和奇偶性作圖〕②冪函數(shù)y＝xα的性質(zhì)．(1)全部的冪函數(shù)在(0，＋∞)都有定義，并且圖象都過點(1,1)(2)當(dāng)α＞0時，冪函數(shù)的圖象都通過原點，并且在[0，＋∞)上是增函數(shù)(從左往右看，函數(shù)圖象漸漸上升)．特殊地，當(dāng)α＞1時，x∈(0,1)，y＝xα的圖象都在y＝x圖象的下方，形態(tài)向下凹，α越大，下凹的程度越大．當(dāng)0＜α＜1時，x∈(0,1)，y＝xα的圖象都在y＝x的圖象上方，形態(tài)向上凸，α越小，上凸的程度越大．(3)當(dāng)α＜0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．30.函數(shù)的零點.(1)零點概念：對于函數(shù)y=f(x)，把使f(x)=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點。(2)函數(shù)零點的意義：函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0實數(shù)根，亦即函數(shù)y=f(x)的圖象及軸交點的橫坐標(biāo)。(3)推斷函數(shù)F〔x〕的零點個數(shù)，一般將F〔x〕=0拆成f(x)=g(x),通過看兩個函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖像交點個數(shù)斷定(4)二分法：對于在區(qū)間[a,b]上連綿不斷，且滿意f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間函數(shù)值異號的兩個端點逐步靠近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法31.常見的圖象變換⑴平移變換：“左加右減〞〔留意是針對而言〕；“上加下減〞(留意是針對f(x)而言).⑵翻折變換：32.恒成立，能成立問題處理思想：方程k=f(x)有解(D為f(x)的值域)；恒成立,恒成立.能成立,能成立第四部分導(dǎo)數(shù)33.導(dǎo)數(shù)的運算〔1〕常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:(為常數(shù))；.；；；；. 〔2〕導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：；；.34、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即曲線在點處的切線的斜率是，相應(yīng)地切線的方程是。特殊提示：解這類題首先要弄清晰點是否為切點，假如不是切點，應(yīng)先設(shè)切點為然后寫出切線方程：再把點代入求出切點。假如點是切點，則直線求此點的導(dǎo)數(shù)得出直線的斜率。35、導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性：〔先求函數(shù)的定義域〕①求函數(shù)單調(diào)區(qū)間方法：解不等式,則為增函數(shù)；假設(shè),則為減函數(shù)；②依據(jù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)問題：假設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〔〕上單調(diào)遞增，則恒成立；假設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〔〕上單調(diào)遞減，則恒成立36、函數(shù)的極值：求函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上的極值的步驟：〔i〕求導(dǎo)數(shù)；〔ii〕求方程的根；〔iii〕檢查在方程的根的左右的符號：“左正右負(fù)〞在處取極大值；“左負(fù)右正〞在處取微小值。特殊提示：是極值點的充要條件是點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不僅是＝0，＝0是為極值點的必要而不充分條件。37、求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值及最小值的步驟：〔1〕求函數(shù)y=f(x)在〔〕內(nèi)的極值〔極大值或微小值〕；〔2〕將y=f(x)的各極值及f(a),f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。第五部分三角函數(shù)38、隨意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)α是隨意一個角，P〔x,y〕是α的終邊上的隨意一點〔異于原點〕，它及原點的間隔是r，則，39、三角函數(shù)值的符號：“一全正二正弦,三正切四余弦〞40.弧長公式：，扇形面積：，π弧度41.同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式：〔1〕“正余弦和差積式sinxcosx、sinxcosx〞的關(guān)系.如(sinxcosx)2=12sinxcosx.〔2〕正切值，關(guān)于正、余弦齊次式處理方法：；42.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式〔eq\f(k,2)π+α〕的本質(zhì)是：奇變偶不變〔對k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù)〕，符號看象限〔看原函數(shù)，同時把α看成是銳角〕.牢記幾個誘導(dǎo)公式：43、正余弦函數(shù)性質(zhì)44、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像：正弦函數(shù)圖像余弦函數(shù)圖像45、的函數(shù)性質(zhì)：〔1〕幾個物理量：A―振幅；f=eq\f(1,T)―頻率〔周期的倒數(shù)〕；ωx+φ―相位；φ―初相；〔2〕探討函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)的方法：類比于探討y=sinx的性質(zhì)，只需將y=Asin(ωx+φ)中的ωx+φ看成y=sinx中的，整體代換到正弦函數(shù)相應(yīng)性質(zhì)中，但在求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時，要特殊留意A和ω的符號，通過誘導(dǎo)公式先將ω化正。〔3〕函數(shù)y=Asin(ωx+φ)表達(dá)式的確定：A由最值確定；ω由周期確定T=eq\f(2π,ω)；φ由圖象上的特殊點的相位值列方程確定〔即〕〔4〕函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k的圖象及y=sinx圖象間的關(guān)系：①函數(shù)y=sinx的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左〔φ>0〕或向右〔φ<0〕平移|φ|個單位得y=sin(x+φ)的圖象；②函數(shù)y=sin(x+φ)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,ω)倍，得到函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象；③函數(shù)y=sin(ωx+φ)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象；④函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上〔k>0〕或向下〔k<0〕，得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+k的圖象。特殊留意，假設(shè)由y=sinωx得到y(tǒng)=sin(ωx+φ)的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移|eq\f(φ,ω)|個單位，46、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)：〔1〕定義域：?！?〕周期性：是周期函數(shù)且周期是，〔3〕奇偶性及對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是〔eq\f(k,2)π，0〕，特殊提示：正切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖象及軸的交點，另一類是漸近線及軸的交點，但無對稱軸，?！?〕單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間〔kπ-eq\f(π,2)，kπ+eq\f(π,2)〕內(nèi)都是增函數(shù)。但在整個定義域上不具有單調(diào)性。47、兩角和及差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ;sin(α-β)＝sinαcosβ–cosαsinβcos(α+β)＝cosαcosβ－sinαsinβ;cos(α－β)＝cosαcosβ+sinαsinβ;；；;；；；48.三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的根本思路：〔1〕巧變角〔角及特殊角的變換、角及目的角的變換、角及其倍角的變換、兩角及其和差角的變換.如，，(2)三角函數(shù)名互化(切割化弦)，(3)公式變形運用。(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式：，及升冪公式：，)。(5)正余弦值互求時一定要留意角的范圍確定開方結(jié)果的正負(fù)49、協(xié)助角公式：常見變形：；；50.三角形中的有關(guān)公式：(1)內(nèi)角和定理：(2)正弦定理：.(3)余弦定理：(4)面積公式：〔其中為三角形內(nèi)切圓半徑〕.51．三角函數(shù)的值域的求法：〔1〕y=asinx+b〔或y=acosx+b〕型，利用，即可求解，此時必需留意字母a的符號對最值的影響?！?〕y=asinx+bcosx型，引入?yún)f(xié)助角，化為y=sin〔x+〕,利用函數(shù)即可求解?！?〕y=asinx+bsinx+c〔或y=acosx+bcosx+c〕，型，可令t=sinx〔t=cosx〕,-1≤t≤1,化歸為閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題?！?〕Y=〔或y=〕型，解出sinx〔或cosx〕,利用去解；或用別離常數(shù)的方法去解決?！?〕y=型，可化歸為sin〔x+〕=g〔y〕。利用函數(shù)即可求解〔6〕對于含有sinx±cosx,sinxcosx的函數(shù)的最值問題，常用的方法是令sinx±cosx=t,,將sinxcosx轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)關(guān)系式，從而化為二次函數(shù)的最值問題。(7)y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型問題，可先利用降冪公式轉(zhuǎn)化為二倍角形式，再利用協(xié)助角公式轉(zhuǎn)化為，依據(jù)x的范圍求解整體取值范圍，在求解相應(yīng)值域52．三角不等式的解法：sinx>a,cosx>a型不等式，應(yīng)先畫出正余弦函數(shù)在[0,2π]的圖像，依據(jù)取值要求找出對應(yīng)角的范圍，再加上周期2kπ即可，假如角的區(qū)間不連續(xù)，則平移使之相連。tanx>a問題要留意加周期kπ第六部分?jǐn)?shù)列53.Sn＝a1＋a2＋…＋an；．(1)求，用作差法：。求，用作商法：。檢驗當(dāng)n＝1時，假設(shè)a1合適Sn－Sn－1，則n＝1的狀況可并入n≥2時的通項an；當(dāng)n＝1時，假設(shè)a1不合適Sn－Sn－1，則用分段函數(shù)的形式表示．(2)由an及Sn的關(guān)系求an，通常用n－1代替n，兩式作差將Sn－Sn－1用an交換，轉(zhuǎn)化為an及an－1的關(guān)系，然后求解．(3)由an及Sn的關(guān)系求Sn.通常利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為Sn及Sn－1的關(guān)系式，然后求解．54.等差數(shù)列的有關(guān)概念：〔1〕等差數(shù)列的推斷方法：定義法或。〔2〕等差數(shù)列的通項：或?！?〕等差數(shù)列的前項和：，。.〔4〕等差中項：假設(shè)成等差數(shù)列，則A叫做及的等差中項，且。55.等差數(shù)列的性質(zhì)：〔1〕當(dāng)m+n=p+q時,則有，特殊地，當(dāng)m+n=2p時，則有.(2)假設(shè){an}成等差數(shù)列,則，…也成等差數(shù)列56.等比數(shù)列的有關(guān)概念：〔1〕等比數(shù)列的通項：或。〔2〕等比數(shù)列的前和：當(dāng)q=1時，；當(dāng)時，?！?〕等比中項：假設(shè)成等比數(shù)列，則A叫做及的等比中項。提示：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個。57.等比數(shù)列的性質(zhì)：〔1〕當(dāng)m+n=p+q時，則有，特殊地，當(dāng)m+n=2p時，則有.(2)假設(shè){an}是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列也是等比數(shù)列。(3)假如數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，則數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。58.遞推數(shù)列的通項求法：(1)假設(shè)求an用累加法：。(2)求an，用累乘法：(3)a1且an＋1＝Aan＋B，則an＋1＋k＝A(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{an＋k}．(4)形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)方法構(gòu)造新數(shù)列求解．59.數(shù)列求和的常用方法：〔1〕分組求和法：等差數(shù)列及等比數(shù)列對應(yīng)項相加而成的新數(shù)列的求和問題(2)錯位相減法：一個等差數(shù)列及一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘而成的新數(shù)列的求和問題；如根本步驟如下：乘上公比、錯位書寫；上下相減、末項為負(fù)；中間求和、留意項數(shù)，右式整理、高次化低；去除系數(shù)、代2檢驗。(3)裂項相消法：解決通項公式是等差數(shù)列相鄰兩項乘積的倒數(shù)的新數(shù)列的求和問題常用裂項形式有：①；②；第七部分平面對量60．向量的有關(guān)概念及表示(1)向量：既有方向又有大小的量，記作向量自由向量：數(shù)學(xué)中所探討的向量是可以平移的，及位置無關(guān)，只要是長度相等，方向一樣的向量都看成是相等的向量．(2)向量的模：向量的長度，記作：|eq\o(AB,\s\up8(→))|(3)向量的夾角：兩個非零向量a，b，作，則AOB稱為向量a，b的夾角，61、零向量：模為0，方向隨意的向量，記作：0單位向量：模為1，方向隨意的向量，及a共線的單位向量是：相等向量：長度相等，且方向一樣的向量叫相等向量．相反向量：長度相等，方向相反的向量．向量共線：方向一樣或相反的非零向量是共線向量，零向量及隨意向量共線；共線向量也稱為平行向量．記作a∥b62．向量的幾何運算(1)加法：平行四邊形法則、三角形法則、多邊形法則．(2)減法：三角形法則．共起點；差向量方向指向被減向量(3)數(shù)乘：記作：a．它的長度是：｜a｜＝｜｜·｜a｜它的方向：①當(dāng)＞0時，a及a同向②當(dāng)＜0時，a及a反向③當(dāng)＝0時，a＝0(4)數(shù)量積：①定義：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉．②性質(zhì)：設(shè)a，b是非零向量，則：a·b＝0a⊥b當(dāng)為銳角時，＞0，且a，b不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時，＜0，且a，b不反向，是為鈍角的必要非充分條件；特殊地：a·a＝｜a｜2或夾角：63．向量的坐標(biāo)運算假設(shè)在平面直角坐標(biāo)系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)(2)減法：a－b＝(x1－x2，y1－y2)(3)數(shù)乘：a＝(x1，y1)(4)數(shù)量積：a·b＝x1x2＋y1y2(5)假設(shè)a＝(x，y)，則(6)(7)假設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(8)a在b方向上的正射影的數(shù)量為64．重要定理(1)平行向量根本定理：假設(shè)a＝b，則a∥b，反之：假設(shè)a∥b，且b≠0，則存在唯一的實數(shù)使得a＝b(2)平面對量根本定理：假如e1和e2是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，則該平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一的一對實數(shù)a1，a2使a＝a1e1＋a2e2(3)向量共線和垂直的充要條件：假設(shè)在平面直角坐標(biāo)系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)則：a∥bx1y2－x2y1＝0，a⊥bx1x2＋y1y2＝0(4)假設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則65、中中向量一些常用的結(jié)論：①為的重心；②O為的垂心；③向量所在直線過內(nèi)心(是角平分線所在直線)；④向量中三終點A,B,C共線存在實數(shù)x,y使得且x+y=1.特殊的，假設(shè)C是A,B中點，則有第八部分不等式性質(zhì)66、不等式的性質(zhì)：〔1〕同向不等式可以相加；不行以相減：〔2〕同向正數(shù)不等式可以相乘，但不能相除；〔3〕同向正數(shù)不等式兩邊可以同時乘方或開方：假設(shè)，則或；〔4〕假設(shè)，，則；假設(shè)，，則。67.均值不等式定理：假設(shè)，，則，即．68.常用的重要不等式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；69.含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為根底，分類探討是關(guān)鍵．〞留意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…〞。留意：按參數(shù)探討，最終應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；假設(shè)按未知數(shù)探討，最終應(yīng)求并集.集合的形式表示結(jié)果第九部分直線和圓70、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l及x軸相交時,取x軸作為基準(zhǔn),x軸正向及直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特殊地,當(dāng)直線l及x軸平行或重合時,規(guī)定α=0°.傾斜角α的值范圍：0°≤α＜180°.71、直線的斜率：〔1〕定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即＝tan(≠90°)；傾斜角為90°的直線沒有斜率；當(dāng)α∈[0°，90°)時，α越大，l的斜率越大；當(dāng)α∈(90°，180°)時，α越大，l的斜率越大．〔2〕斜率公式：經(jīng)過兩點、的直線的斜率為；72、直線的方程：(1)直線方程的各種形式都有局限性.〔如點斜式不適用于斜率不存在的直線，過定點的直線要設(shè)成x=x0和〕；(2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距一定值相等直線的斜率為或直線過原點。73、點到直線的間隔及兩平行直線間的間隔：〔1〕點到直線Ax＋By＋C＝0的間隔；〔2〕兩平行線間的間隔為。74、直線及直線的位置關(guān)系：〔1〕平行〔斜率相等〕且〔在軸上截距不等〕；〔2〕直線Ax1＋B1y＋C1＝0及直線Ax2＋B2y＋C2＝0垂直。75、對稱問題：〔1〕中心對稱①點P(x，y)關(guān)于O(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿意x′=2a-x,y′=2b-y②直線關(guān)于點的對稱可能轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決．(2)軸對稱①點A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點A′(m，n)，②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.提示：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。76、簡潔的線性規(guī)劃：〔1〕二元一次不等式表示的平面區(qū)域：用特殊點推斷；②無等號時用虛線表示不包含直線，有等號時用實線表示包含直線；〔2〕求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么？①依據(jù)實際問題的約束條件列出不等式；②作出可行域，寫出目的函數(shù)；③確定目的函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解?！?〕在求解線性規(guī)劃問題時要留意：①將目的函數(shù)改成斜截式方程；②找尋最優(yōu)解時留意作圖標(biāo)準(zhǔn)；③留意直線的斜率正負(fù)對最值取點的影響?！?〕線性目的函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處獲得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，我們可以干脆解出可行域的頂點，然后將坐標(biāo)代入目的函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目的函數(shù)的最值。77、圓的方程：⑴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：。⑵圓的一般方程：，⑶圓的參數(shù)方程：〔為參數(shù)〕，其中圓心為，半徑為。78、直線及圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個方面來推斷：〔1〕代數(shù)方法〔推斷直線及圓方程聯(lián)立所得方程組的解的狀況〕：相交；相離；相切；〔2〕幾何方法〔比較圓心到直線的間隔及半徑的大小〕：設(shè)圓心到直線的間隔為，則相交；相離；相切。79、圓及圓的位置關(guān)系〔用兩圓的圓心距及半徑之間的關(guān)系推斷〕：兩圓的圓心分別為，半徑分別為，則〔1〕當(dāng)時，兩圓外離；〔2〕當(dāng)時，兩圓外切；〔3〕當(dāng)時，兩圓相交；〔4〕當(dāng)時，兩圓內(nèi)切；〔5〕當(dāng)時，兩圓內(nèi)含。80、圓的切線及弦長：(1)切線：①過圓上一點P(x0,y0)圓的切線方程是：，過圓上一點P(x0,y0)圓的切線方程是：，一般地，如何求圓的切線方程？〔抓住圓心到直線的間隔等于半徑〕；②從圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再依據(jù)相切的條件，運用幾何方法〔抓住圓心到直線的間隔等于半徑〕來求；③過兩切點的直線〔即“切點弦〞〕方程的求法：先求出以圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓及圓的公共弦就是過兩切點的直線方程；③切線長：圓的切線的長為；〔2〕弦長問題：①圓的弦長的計算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：；②過兩圓、交點的圓(公共弦)系為，當(dāng)時，方程為兩圓公共弦所在直線方程.。第十部分圓錐曲線81.圓錐曲線的定義：〔1〕定義中要重視“括號〞內(nèi)的限制條件：橢圓中，及兩個定點F，F(xiàn)的間隔的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，及兩定點F，F(xiàn)的間隔的差的一定值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“一定值〞及＜|FF|不行無視。假設(shè)＝|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點的兩條射線，假設(shè)﹥|FF|，則軌跡不存在。假設(shè)去掉定義中的一定值則軌跡僅表示雙曲線的一支。〔2〕拋物線定義中曲線上的點到焦點間隔及此點到準(zhǔn)線間隔相等，要擅長運用定義對它們進(jìn)展互相轉(zhuǎn)化。82.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程〔標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心〔頂點〕在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程〕：〔1〕橢圓：焦點在軸上時eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦點在軸上時eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1.(a>b>0)，〔2〕雙曲線：焦點在軸上：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，焦點在軸上：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1?！?〕拋物線：開口向右時y2＝2px，開口向左時，開口向上時，開口向下時。83.圓錐曲線焦點位置的推斷〔首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再推斷〕：〔1〕橢圓：由,分母的大小確定，焦點在分母大的坐標(biāo)軸上?！?〕雙曲線：由,項系數(shù)的正負(fù)確定，焦點在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；〔3〕拋物線：焦點在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號確定開口方向。特殊提示：〔1〕在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要推斷焦點位置，焦點F，F(xiàn)的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它確定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形態(tài)和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要推斷開口方向；〔2〕在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。84.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：〔1〕橢圓〔以〔〕為例〕：①范圍：；②離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁?！?〕雙曲線〔以〔〕為例〕：①范圍：或；②當(dāng)實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；③兩條漸近線：?！?〕拋物線〔以y2＝2px為例〕：①準(zhǔn)線：；②離心率：拋物線。85、點和橢圓〔〕的關(guān)系：〔1〕點在橢圓外；〔2〕點在橢圓上＝1；〔3〕點在橢圓內(nèi)86．直線及圓錐曲線的位置關(guān)系：相交：直線及橢圓相交；直線及雙曲線相交，但直線及雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線及雙曲線的漸近線平行時，直線及雙曲線相交且只有一個交點，故是直線及雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線及拋物線相交，但直線及拋物線相交不一定有，當(dāng)直線及拋物線的對稱軸平行時，直線及拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線及拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。87、焦點三角形〔橢圓或雙曲線上的一點及兩焦點所構(gòu)成的三角形〕問題：常利用定義和正弦、余弦定理求解。在橢圓中，，對于雙曲線的焦點三角形有：。88、弦長公式：假設(shè)直線y=kx+b及圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則＝，假設(shè)分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝，89．解析幾何常用結(jié)論〔1〕雙曲線的漸近線方程為；〔2〕以為漸近線〔即及雙曲線共漸近線〕的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t?！?〕橢圓、雙曲線的通徑〔過焦點且垂直于對稱軸的弦〕為，拋物線的通徑為，〔4〕假設(shè)拋物線y2＝2px的焦點弦為AB，，則①；②90．求軌跡的常用方法(1)干脆法：假如動點滿意的幾何條件本身就是一些幾何量(如間隔及角)的等量關(guān)系，只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為x、y的等式就得到曲線的軌跡方程．(2)定義法：其動點的軌跡符合某一圓錐曲線的定義，則可依據(jù)定義采納設(shè)方程，求方程系數(shù)得到動點的軌跡方程．(3)代入〔相關(guān)點〕法：動點依靠于另一動點的改變而改變，并且又在某曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入曲線得要求的軌跡方程；(4)參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)之間的關(guān)系不易干脆找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將均用一中間變量〔參數(shù)〕表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得一般方程特殊提示：求點的軌跡及軌跡方程是不同的需求，求軌跡時，應(yīng)先求軌跡方程，然后依據(jù)方程說明軌跡的形態(tài)、位置、大小等．第十一部分立體幾何91、空間幾何體的構(gòu)造特征〔1〕直棱柱：指的是側(cè)棱垂直于底面的棱柱，當(dāng)?shù)酌媸钦噙呅螘r，這樣的直棱柱叫正棱柱；〔2〕正棱錐：指的是底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心的棱錐。特殊地，各條棱均相等的正三棱錐又叫正四面體；〔3〕平行六面體：指的是底面為平行四邊形的四棱柱。92、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式：〔1〕S圓柱側(cè)=2πrl，S圓錐側(cè)=πrl，S圓臺側(cè)=π(r1+r2)l，S球=4πR2，V柱=sh,V錐=1/3sh,V球=4/3πR3〔2〕球的截面的性質(zhì)：用一個平面去截球，截面是圓面；球心和截面圓的間隔d及球的半徑R及截面圓半徑r之間的關(guān)系是r＝。93、直線和平面的平行關(guān)系線面平行的斷定定理：假如不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個平面平行。線面平行的性質(zhì)94．平面和平面的平行關(guān)系兩個平面平行的斷定定理：假如一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，則這兩個平面平行。兩個平面平行的性質(zhì)〔1〕假如兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面；〔2〕假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行。95．直線和平面的垂直關(guān)系直線及平面垂直的斷定定理：假如一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線垂直于這個平面。直線和平面垂直的性質(zhì)定理：假如兩條直線同垂直于一個平面,則這兩條直線平行。線面垂直定義應(yīng)用：假如一條直線l和一個平面α垂直，則l和平面α內(nèi)的隨意一條直線都垂直，96．平面和平面的垂直關(guān)系兩平面垂直的斷定定理：假如一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直。兩平面垂直的性質(zhì)定理：假設(shè)兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面。97、兩直線平行的斷定：〔1〕公理4：平行于同始終線的兩直線互相平行；〔2〕線面平行的性質(zhì)：假如一條直線和一個平面平行，則經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行；〔3〕面面平行的性質(zhì)：假如兩個平行平面同時及第三個平面相交，則它們的交線平行；〔4〕線面垂直的性質(zhì)：假如兩條直線都垂直于同一個平面，則這兩條直線平行?！?〕平面圖形中常用中位線及平行四邊形的斷定〔一組對邊平行且相等〕98、兩直線垂直的斷定：〔1〕轉(zhuǎn)化為證線面垂直，尤其是兩直線無交點時；〔2〕平面圖形中常用等腰三角形三線合一性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊一半的逆定理99、空間中的角〔1〕、異面直線所成角的求法：〔1〕范圍：；〔2〕求法：計算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移〔中點平移，頂點平移以及補形法：把空間圖形補成熟識的或完好的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，以便易于發(fā)覺兩條異面直線間的關(guān)系〕轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角。〔2〕直線和平面所成的角：〔1〕范圍：；〔2〕求法：作出直線在平面上的射影；〔4〕斜線及平面所成的角的特征：斜線及平面中全部直線所成角中最小的角100、空間間隔的求法：〔特殊強(qiáng)調(diào)：立體幾何中有關(guān)角和間隔的計算，要遵循“一作，二證，三計算〞的原則〕〔1〕異面直線的間隔：①干脆找公垂線段而求之；②轉(zhuǎn)化為求直線到平面的間隔，即過其中一條直線作平面和另一條直線平行。③轉(zhuǎn)化為求平面到平面的間隔，即過兩直線分別作互相平行的兩個平面?！?〕點到直線的間隔：一般作出垂線再求解?！?〕點到平面的間隔：①垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來作垂線，其中過點確定面的垂面是關(guān)鍵；②體積法：轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高；③等價轉(zhuǎn)移法。〔4〕直線及平面的間隔：前提是直線及平面平行，利用直線上隨意一點到平面的間隔都相等，轉(zhuǎn)化為求點到平面的間隔?！?〕兩平行平面之間的間隔：轉(zhuǎn)化為求點到平面的間隔。〔6〕球面間隔〔球面上經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度〕：求球面上兩點A、B間的間隔的步驟：①計算線段AB的長；②計算球心角∠AOB的弧度數(shù)；③用弧長公式計算劣弧AB的長。101．立體幾何常用結(jié)論〔1〕棱長為的正四面體的高：；②內(nèi)切球半徑：③外接球半徑：〔2〕在三棱錐中：①側(cè)棱長相等(側(cè)棱及底面所成角相等)頂點在底上射影為底面外心；②側(cè)棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底上射影為底面垂心；③頂點究竟面三角形各邊的間隔相等(側(cè)面及底面所成角相等)且頂點在底面上的射影在底面三角形內(nèi)頂點在底上射影為底面內(nèi)心.提示：③假設(shè)頂點在底面上的射影在底面三角形外，則頂點在底上射影為底面的旁心。第十二部分復(fù)數(shù)102．復(fù)數(shù)概念：〔1〕復(fù)數(shù)的分類eq\a\vs4\al(復(fù)數(shù)a＋bi,〔a，b∈R〕)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實數(shù)〔b＝0〕,虛數(shù)〔b≠0〕\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)〔a＝0〕,,非純虛數(shù)〔