2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)章末綜合測(cè)評(píng)含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE1章末綜合測(cè)評(píng)(一)集合與常用邏輯用語(yǔ)(滿分：150分時(shí)間：120分鐘)一、單選題(本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列說(shuō)法正確的是()A．0∈ B．eq\r(5)∈QC．? D．A∪＝C[空集中不含任何元素，A錯(cuò)誤．eq\r(5)是無(wú)理數(shù)，B錯(cuò)誤．A∪＝A，D錯(cuò)誤，應(yīng)選C.]2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，則A∪(?RB)＝()A．{x|x>1} B．{x|x≥－1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}B[由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知?RB＝{x|x≥1}，∴A∪(?RB)＝{x|x≥－1}．故選B.]3．滿意{1}?X{1，2，3，4}的集合X有()A．4個(gè) B．5個(gè)C．6個(gè) D．7個(gè)D[集合X可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，共7個(gè)．故選D.]4．命題“對(duì)隨意x∈R，都有x2≥1”A．對(duì)隨意x∈R，都有x2＜1B．不存在x∈R，使得x2＜1C．存在x∈R，使得x2≥1D.存在x∈R，使得x2＜1D[因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“對(duì)隨意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2＜1.故選D.5．命題“?x∈R，x3－x2＋1≤0”A．?x∈R，x3－x2＋1<0B．?x∈R，x3－x2＋1≥0C．?x∈R，x3－x2＋1>0D．?x∈R，x3－x2＋1≤0C[由存在量詞命題的否定可得，所給命題的否定為“?x∈R，x3－x2＋1>0”．故選C.6.“a＝－1”是“函數(shù)y＝ax2＋2x－1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)”A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D.既不充分也不必要條件B[當(dāng)a＝－1時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；但若函數(shù)y＝ax2＋2x－1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函數(shù)y＝ax2＋2x－1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)”7．下列命題中，真命題是()A．若x，y∈R且x＋y＞2，則x，y至少有一個(gè)大于1B．?x∈R，2x＞x2C．a(chǎn)＋b＝0的充要條件是eq\f(a,b)＝－1D．?x∈R，x2＋2≤0A[當(dāng)x＝2時(shí)，2x＝x2，故B錯(cuò)誤；當(dāng)a＝b＝0時(shí)，滿意a＋b＝0，但eq\f(a,b)＝－1不成立，故C錯(cuò)誤；?x∈R，x2＋2＞0，故?x∈R，x2＋2≤0錯(cuò)誤，故選A.]8．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，則能使A?B成立的全部A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}C．{a|a≤7} D．C[當(dāng)3a－5<2a＋1，即a<6時(shí)，A＝?B當(dāng)3a－5≥2a＋1，即a≥6時(shí)，A≠要使A?B，需有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－5≤16，,2a＋1≥5，))解得2≤a≤7.綜上可知，a≤7.故選C.]二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．a(chǎn)2＞b2的一個(gè)充分條件是()A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＞|b| D．a(chǎn)＝2，b＝1CD[A中，當(dāng)a＝0，b＝－2時(shí)，a2＝0，b2＝4，不能推出a2＞b2；B中，當(dāng)a＝－1，b＝1時(shí)，a2＝b2，不能推出a2＞b2；C中，a＞|b|兩邊平方得a2＞b2，能推出a2＞b2；D中，a2＝4，b2＝1，能推出a2＞b2，故選C、D.]10．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分不必要條件是()A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)＜－2C．a(chǎn)<－1 D．a(chǎn)＜1BC[方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根時(shí)，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知eq\f(3,a)＜0，即a＜0，故a＜0是一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件，其充分不必要條件應(yīng)為(－∞，0)的真子集，故選B、C.]11．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}，且A??RB，那么mA．0B．1C．2D．3AB[依據(jù)補(bǔ)集的概念，?RB＝{x|x≥2m又∵A??RB，∴2m≤解得m≤1，故m的值可以是0，1.故選A、B.]12．設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)元素．若對(duì)隨意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)∈P(除數(shù)b≠0)，則稱P是一個(gè)數(shù)域，例如有理數(shù)集Q是一個(gè)數(shù)域，有下列說(shuō)法正確的是()A．?dāng)?shù)域必含有0，1兩個(gè)數(shù)；B．整數(shù)集是數(shù)域；C．若有理數(shù)集Q?M，則數(shù)集M必為數(shù)域；D．?dāng)?shù)域必為無(wú)限集．AD[數(shù)集P有兩個(gè)元素m，n，則肯定有m－m＝0，eq\f(m,m)＝1(設(shè)m≠0)，A正確；因?yàn)?∈Z，2∈Z，eq\f(1,2)Z，所以整數(shù)集不是數(shù)域，B不正確；令數(shù)集M＝Q∪{eq\r(2)}，則1∈M，eq\r(2)∈M，但1＋eq\r(2)M，所以C不正確；數(shù)域中有1，肯定有1＋1＝2，1＋2＝3，遞推下去，可知數(shù)域必為無(wú)限集，D正確．]三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，則A∪(?UB)＝________．{x|x≤1}[∵B＝{x|x＞1}，∴?UB＝{x|x≤1}，則A∪(?UB)＝{x|x≤1}．]14．命題“?x∈[1，2]，使x2－a≥0”是真命題，則a{a|a≤1}[命題p：a≤x2在[1，2]上恒成立，y＝x2在[1，2]上的最小值為1，∴a≤1.]15．已知集合P＝{x|－2≤x≤5}，Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，當(dāng)k＝4時(shí)，P∩Q＝________；當(dāng)P∩Q＝時(shí)，k的取值范圍是________．(本題第一空2分，其次空3分){5}k＜2或k＞4[當(dāng)k＝4時(shí)，Q＝{x|5≤x≤7}，∴P∩Q＝{5}；當(dāng)P∩Q＝時(shí)，若Q＝時(shí)，k＋1>2k－1，∴k<2，P∩Q＝成立；若Q≠，∴k＋1≤2k－1，即k≥2.由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≥2，,2k－1<－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≥2，,k＋1>5.))∴k>4.綜上所述，k的取值范圍是{k|k<2或k>4}．]16．已知集合M＝{1，2，3，4}，對(duì)它的非空子集A，可將A中的每一個(gè)元素k都乘以(－1)k再求和，則對(duì)M的全部非空子集執(zhí)行上述求和操作，則這些和的總和是________．16[因?yàn)镸＝{1，2，3，4}，對(duì)它的非空子集A共有15個(gè)，分別是{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，其中數(shù)字1，2，3，4都出現(xiàn)了8次.依題意得：8×[1×(－1)1＋2×(－1)2＋3×(－1)3＋4×(－1)4]＝16.]四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)推斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并寫(xiě)出它們的否定：(1)p：對(duì)隨意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；(2)p：?x∈R，x2＋2x＋5＞0.[解](1)由于命題中含有全稱量詞“隨意的”，因而是全稱量詞命題；又由于“隨意”的否定為“存在一個(gè)”，因此，￢p：存在一個(gè)x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“?x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．(2)由于“?x∈R”表示存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，即命題中含有存在量詞“存在一個(gè)”，因而是存在量詞命題；又由于“存在一個(gè)”的否定為“隨意一個(gè)”，因此，￢p：對(duì)隨意一個(gè)x都有x2＋2x＋5≤0，即“?x∈R，x2＋2x＋5≤0”18．(本小題滿分12分)已知A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求?RA，?R(A∩B)，(?RA)∩B.[解]結(jié)合數(shù)軸，由圖可知?RA＝{x|x≤－2或x≥3}，又∵A∩B＝{x|－2<x<3}＝A，∴?R(A∩B)＝?RA＝{x|x≤－2或x≥3}，∴(?RA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．19．(本小題滿分12分)已知p：x－2＞0，q：ax－4＞0，其中a∈R且a≠0.(1)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解](1)設(shè)p：A＝{x|x－2＞0}，即p：A＝{x|x＞2}，q：B＝{x|ax－4＞0}，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，則AB，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(4,a)＜2，))解得a＞2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＞2.(2)由(1)及題意得BA，①當(dāng)a＞0時(shí)，由BA得eq\f(4,a)＞2，即0＜a＜2；②當(dāng)a＜0時(shí)，明顯不滿意題意．綜上可得，實(shí)數(shù)a的范圍為0＜a＜2.20．(本小題滿分12分)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m(1)當(dāng)m＝－1時(shí)，求A∪B；(2)若A?B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解](1)當(dāng)m＝－1時(shí)，B＝{x|－2＜x＜2}，A∪B＝{x|－2＜x＜3}．(2)由A?B，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＞2m，,2m≤1，,1－m≥3，))解得m≤－2，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m≤－2}．21．(本小題滿分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠.(1)若x∈A是x∈B的充分條件，求a的取值范圍；(2)若A∩B＝，求a的取值范圍．[解](1)∵x∈A是x∈B的充分條件，∴A?B.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤2，,3a≥4，))解得a的取值范圍為eq\f(4,3)≤a≤2.(2)∵B＝{x|a＜x＜3a}且B≠，∴a＞0.若A∩B＝，∴a≥4或3a≤2，∴a的取值范圍為0＜a≤eq\f(2,3)或a≥4.22．(本小題滿分12分)已知x，y都是非零實(shí)數(shù)，且x＞y，求證：eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)的充要條件是xy＞0.[證明]法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得eq\f(x,xy)＞eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)＜eq\f(1,y).必要性：由eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)，得eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＜0，即eq\f(y－x,x