人教版九年級(jí)全冊(cè)數(shù)學(xué)教案 第二十七章 相似

第二十七章相似

27.1圖形的相似

@教學(xué)目標(biāo)

1.通過對(duì)實(shí)物圖形的觀察、思考和分析,認(rèn)識(shí)相似的圖形.

2.經(jīng)歷動(dòng)手操作的活動(dòng)過程，增強(qiáng)學(xué)生的觀察和動(dòng)手能力.

3.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境了解成比例線段,并能運(yùn)用比例線段進(jìn)行計(jì)算求值，

理解并掌握相似多邊形的性質(zhì)以及運(yùn)用相似多邊形的性質(zhì)解決實(shí)際問題.

4.在探索過程中激發(fā)學(xué)生的求知欲,發(fā)展學(xué)生的交流合作精神.

?預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

1.閱讀教材P24?25,弄清楚相似圖形的概念,能正確判斷兩個(gè)圖形是

否相似，并完成下列預(yù)習(xí)內(nèi)容.

①把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

②兩個(gè)圖形相似,其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小

得到的.

③從放大鏡里看到的三角板和原來的三角板相似嗎？

相似.

④哈哈鏡中人的形象與本人相似嗎？

不相似.

⑤全等三角形相似嗎？

相似.

⑥生活中哪些地方會(huì)見到相似圖形？

答案不唯一.

[]研究幾何主要是研究幾何圖形的形狀、大小與位置，只要形狀

相同的兩個(gè)圖形就叫做相似圖形.

2.閱讀教材P26?27,理解并掌握“相似多邊形”及“相似比”的概念,

并完成下列預(yù)習(xí)內(nèi)容：

①對(duì)于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的比等于另兩條線段的

比,如即ad=bc）,那么我們就說這四條線段是成比例線段.

②相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例.

③相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比,當(dāng)相似比為1:1時(shí),這兩個(gè)多

邊形全等.

④用一個(gè)放大鏡看一個(gè)四邊形ABCD,若該四邊形的邊長(zhǎng)放大5倍,下

列說法正確的是（B）

A.角A是原來的5倍

B.周長(zhǎng)是原來的5倍

C.每一個(gè)內(nèi)角都發(fā)生了變化

D.以上說法都不對(duì)

@典例剖析

類型1相似圖形

【例1】如圖所示的圖形中，不是相似圖形的是（C）

【跟蹤訓(xùn)練1】（《全科王》27.1第2題）如圖所示的各組圖形中,

是相似圖形的是（D）

ABCD

類型2比例線段

[例2]a,b,c,d是四條線段,下列各組中這四條線段成比例的是

（B）

A.a=2cm,b=5cm,c=5cm,d=10cm

B.a=5cm,b=3cm,c=10cm,d=6cm

C.a=30cm,b=2cm,c=0.8cm,d=2cm

D.a=5cm,b=0.02cm,c=7cm,d=0.3cm

【方法歸納】判斷四條線段是否成比例的步驟：（1）統(tǒng)一單位；（2）

按大小排序；⑶最大、最小相乘，中間相乘,積相等則成比例（或計(jì)算前兩

條線段、后兩條線段的比，比值相等則成比例）.

【跟蹤訓(xùn)練2】（《全科王》27.1第3題）下列各組中的四條線段是

成比例線段的是（D

A.4cm,1cm,2cm,1cm

B.1cm,2cm,3cm,4cm

C.25cm,35cm,45cm,55cm

D.1cm,2cm,20cm,40cm

【跟蹤訓(xùn)I練3]（《全科王》27.1M5題）已矢口a,b,c,d是成比例線

段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,則線段d的長(zhǎng)為4cm.

類型3相似多邊形

[例3]下列圖形中，不一定相似的是（D）

A.任意兩個(gè)等腰直角三角形

B.任意兩個(gè)等邊三角形

C.任意兩個(gè)正方形

D.任意兩個(gè)菱形

[]兩個(gè)多邊形相似，必須同時(shí)具備三個(gè)條件:①邊數(shù)相同;②角分

別相等;③邊成比例.

【例4]（教材P26例題）如圖所示，四邊形ABCD和EFGH相似,求角

a,B的大小和EH的長(zhǎng)度x.

（解答）四邊形ABCD和EFGH相似，

,它們的對(duì)應(yīng)角相等，由此可得a=ZC=83°,ZA=ZE=118°.

在四邊形ABCD中,6=360°-（78°+83°+118°）=81°.

二?四邊形ABCD和EFGH相似，.?.它們的對(duì)應(yīng)邊成比例，由此可得瞿嘿,

ADAB

解得x=28.

@鞏固訓(xùn)練

1.下列圖形中：①放大鏡下的圖片與原來的圖片;②幻燈片的底片與投影

在屏幕上的圖象;③天空中兩朵白云的照片;④衛(wèi)星上拍攝的長(zhǎng)城照片與

相機(jī)拍攝的長(zhǎng)城照片.其中相似的組數(shù)有（C）

A.4組B.3組C.2組D.1組

2.下列各組線段中，能構(gòu)成比例線段的是（C）

A.1cm,2cm,4cm,6cm

B.2cm,4cm,0.4cm,7cm

cm,9cm,18cm,6cm

D.3cm,4cm,5cm,6cm

3.下列各組圖形中，必定相似的是（D）

A.兩個(gè)等腰三角形

B.各有一個(gè)角是40°的兩個(gè)等腰三角形

C.兩條邊之比都是2:3的兩個(gè)直角三角形

D.有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形

4.已知A,B兩地的實(shí)際距離AB=5km,畫在地圖上的距離CD=2cm,則這張

地圖的比例尺是「250000.

5.在兩個(gè)相似的五邊形中，一個(gè)邊長(zhǎng)分別為1,2,3,4,5,另一個(gè)的最大邊

為8,則另一個(gè)五邊形的周長(zhǎng)是多少？

解:另一個(gè)五邊形的周長(zhǎng)為24.

?課邕少綺

1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？

2.全等三角形和相似三角形有哪些區(qū)別和聯(lián)系？

3.如何根據(jù)相似多邊形的概念判斷多邊形相似？

27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定

第一課時(shí)平行線分線段成比例

口教學(xué)目標(biāo)

1.理解相似三角形的概念.

2.掌握平行線分線段成比例的基本事實(shí)及推論.

3.掌握判定三角形相似的預(yù)備定理.

◎預(yù)3號(hào)要

閱讀教材P29?31,弄懂相似三角形的概念,理解平行線分線段成比例

定理和相似三角形判定的預(yù)備定理,并完成下面的預(yù)習(xí)內(nèi)容.

①如果△ABCs^ABG,且相似比為k,那么△ABGsaABC的相似比

年

②如圖所示,L,12分別被k,L,1.5所截,且U//L//U,則AB與近對(duì)

應(yīng),BC與正對(duì)應(yīng),DF與皿對(duì)應(yīng)衰署覆器,祟篝器

&

③平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或延長(zhǎng)線）相交所構(gòu)成的三

角形與原三角形相似.

[]找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段是關(guān)鍵.

?典例剖析

類型1相似三角形

【例1】（教材補(bǔ)充例題）如圖所示，已知AD=4cm,2BC=3AC,NB=36°,

ZD=117°,△ABCsaDAC,求AB的長(zhǎng)和/BAD的度數(shù).

（解答）?.?△ABCS/^DAC,.?.NDAC=NB=36°,ZBAC=Z

D=117°

ADAC

：.ZBAD=ZDAC+ZBAC=36°+117°=153°.

V2BC=3AC,

AC2

AR2

VAD-4cm,Z.AB=6cm.

42

［］用符號(hào)“s”連接的兩個(gè)三角形,對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)是確定的，位于對(duì)

應(yīng)的位置上.

【跟蹤訓(xùn)練1］（《全科王》27.2.1第一課時(shí)第3題）已知AABCs

△A'B'C',且相似比為3：2,若A'B'=10cm,則AB等于（B）

A.—20cmB.15cmC.30cmD.20cm

3

類型2平行線分線段成比例

【例2］（教材補(bǔ)充例題）如圖所示，已知AB〃CD〃EF,AF交BE于點(diǎn)

0,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（C）

.OBOAADBC

A.—=一B.-=—

OCODDFCE

cOCOD門AFBE

OEDFDFCE

【跟蹤訓(xùn)練2］（《全科王》27.2.1第一課時(shí)第6題）如圖所示，已

知EG〃BC,GF/7DC,AE=3,EB=2,AF=6,求AD的長(zhǎng).

A

解：VEG^BC,

EBGC

又,「GF〃DC,竺，

GCFD

?AE_AFgij3_6

??EBFD"'2FD，

AFD=4,AAD=10.

【例3］（教材補(bǔ)充例題）如圖所示,ED〃BC,EC,BD相交于點(diǎn)A,過A

的直線分別交ED,BC于點(diǎn)M,N,則圖中有相似三角形（C）

A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)

【跟蹤訓(xùn)練3］（《全科王》27.2.1第一課時(shí)第9題）如圖所示,在

△ABC中，點(diǎn)D在BC上,EF〃BC,分別交AB,AC,AD于點(diǎn)E,F,G,圖中共有幾

對(duì)相似三角形?分別是哪幾對(duì)?

解:共有3對(duì)相似三角形,分別是:△AEGs^ABD,AAGF^AADC,△

AEF^AABC.

金鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示，若△ABCs/M）EF,則NE的度數(shù)為（C）

A.28°B,32°C.42°D.52°

2.如圖所示,在口ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上,射線CE,BA交于點(diǎn)F,下列等式成

立的是C)

AAECEnAECD

A.—=—B.—=—

EDEFEDAF

「AEFA「AEFE

D.—=—

?EDABEDFC

3.如圖所示,在4ABC中,DE//BC,DE=2,BC=6,AD=3,求BD的長(zhǎng).

解：VDE/7BC,.,.△ADE^AABC,

?ADDE

,9ABBC"

VDE=2,BC=6,AD=3,

?32

>?-------=-,.\BD=6.

3+BD6

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

2.當(dāng)平行線與三角形兩邊的延長(zhǎng)線相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形

相似嗎？

第二課時(shí)三邊成比例或兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似

@教學(xué)目..標(biāo)

掌握三邊成比例的兩個(gè)三角形相似和兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)

三角形相似這兩個(gè)判定三角形相似的定理.

■預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

閱讀教材P32?34,理解相似三角形判定定理1與判定定理2.完成下列

預(yù)習(xí)內(nèi)容.

①如果兩個(gè)三角形的三組邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.

②如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且夾角相等,那么這兩

個(gè)三角形相似.

③下面是兩位同學(xué)運(yùn)用相似三角形的定義判定兩個(gè)三角形是否相似,

他們的說法是否正確？為什么？并寫出你的解答.

判斷如圖所示的兩個(gè)三角形是否相似,簡(jiǎn)單說明理由.

甲同學(xué):這兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角雖然分別相等，但是它們的邊的比

不相等,與相普工竊，所以它們不相似.

/JHJH1

乙同學(xué):這兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別相等,對(duì)應(yīng)邊之比也相等,所以

它們相似.

解：甲同學(xué)的說法不正確，甲同學(xué)所分析的邊的比不是對(duì)應(yīng)邊的比,根

據(jù)相似三角形的概念，甲同學(xué)的說法不正確;根據(jù)相似三角形的概念，乙同

學(xué)的說法正確.

[]判斷三角形相似要注意對(duì)應(yīng)關(guān)系,找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角時(shí)可類比

全等三角形中找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的方法.

0典例剖析

類型1三邊成比例的兩個(gè)三角形相似

【例1]（教材P例例1（1））根據(jù)下列條件，判斷aABC與△A'B'C'

是否相似,并說明理由：

（1）AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm,A'B'=12cm,B'C'=18cm,A'C'=24cm.

（解答）半#7=-=-,/.當(dāng)TYr.AABC

AB123BC183AC243ABBCAC

^△A，B，C'.

【方法歸納】判斷三角形三邊是否成比例的一般步驟：（1）排:將三

角形的邊按大小順序排列；（2）算:分別計(jì)算三組對(duì)應(yīng)邊的比；（3）判：由算

得的比是否相等來判斷兩個(gè)三角形的三邊是否成比例.

【跟蹤訓(xùn)練1】（《全科王》27.2.1第二課時(shí)第3題）如圖所示，在

△ABC中，D,E分別在邊AB,AC上,AD=2BD,AE=2CE,求證AABC與4ADE

BC3

相似.

A

證明：VAD=2BD,AE=2CE,

AB3AC3

..DE2.ADAEDE

*BC3"*9ABACBC'

/.△ADE^AABC,BP△ABC與AADE相似.

類型2兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似

【例2](教材P33例1(2))根據(jù)下列條件,判斷AABC與ANB'C'

是否相彳以,并說明理由：

(2)ZA=120°,AB=7cm,AC=14cm,

NA'=120°,A'B'=3cm,A'C'=6cm.

r南漢里)??—―7_14_7.AB_AC

角?？?A"B"3"AfCf~~3y°

又NA=NA',???△ABCS/IA'B'C\

【跟蹤訓(xùn)練2］（《全科王》27.2.1第二課時(shí)第8題）如圖所示，點(diǎn)

D在4ABC的AB邊上,AD=1,BD=2,AC=V3.求證△ACDs/\ABC.

證明：?.,AD=I,BD=2,AC=V5,

.AD1V3ACy/3.ADAC

''ACy[33)AB3'?,ACAB

VZA=ZA,.,.△ACD^AABC.

金鞏固訓(xùn)練

1.在4ABC和AA'B'C'中,AB=9cm,BC=8cm,CA=5cm,A'B'=4.5

cm,B'C'=2.5cm,C'A'=4cm,則下列說法錯(cuò)誤的是（D）

A.AABC與AA'B'C'相似

B.AB與B'A'是對(duì)應(yīng)邊

C.兩個(gè)三角形的相似比是2：1

D.BC與B'C'是對(duì)應(yīng)邊

2.AABC的三邊長(zhǎng)分別為6,8,12,△ABG的三邊長(zhǎng)分別為2,3,2.5,△

A2B2c2的三邊長(zhǎng)分別為6,3,4,則AABC與△域運(yùn)相似?

3.在Z\ABC中，AB=5,AC=10,3A=40°,在ADEF中，DE=6,DF=12,填上一個(gè)

合適的條件：ND=40°,能使△ABCs/^DEF.

4.如圖所示，當(dāng)AC=四_時(shí)一，△ACBs/XDCE;當(dāng)AC=81_0-'t,AACB^AECD.

5.如圖所示，四邊形ABCD,CDEF,EFGH都是正方形.

(1)AACF與4ACG相似嗎?說說你的理由；

(2)求N1+N2的度數(shù).

R

解：(1)不妨設(shè)正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,

貝！JCF=1,AC=V2,AF=V5,CG=2,AG=VW,

?CFACAF_1

,'ACCGAG收

.,.△ACF與AACG相似.

(2)VAACF-^AACG相似，

AZCAF=Z1,AZ1+Z2=ZCAF+Z2=ZACB=45°.

[]正方形網(wǎng)格中不僅能計(jì)算線段的長(zhǎng)度,還能得到特殊角的度數(shù).

?課綺

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？

2.全等三角形的判定定理對(duì)相似三角形的判定定理有什么借鑒作用？

第三課時(shí)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似

?教學(xué)目標(biāo)

1.掌握相似三角形的判定定理3.

2.了解兩個(gè)直角三角形相似的判定方法.

3.深化對(duì)相似三角形的三個(gè)判定定理的理解,并能夠運(yùn)用相似三角形

的判定方法解決相似三角形的有關(guān)問題.

?預(yù)亙導(dǎo)手

閱讀教材P35~36,理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判

定方法.完成下列預(yù)習(xí)內(nèi)容.

①如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相簽,那么

這兩個(gè)三角形相似.

②如果兩個(gè)直角三角形中，有一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這

兩個(gè)直角三角形相似.

③要判定兩個(gè)直角三角形相似,最簡(jiǎn)單的方法就是再找除直角外的一

組內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等,就可以根據(jù)相似三角形的判定定理3,判定這兩個(gè)直角

三角形相似.

④如圖所示，已知NADE=NB,則△AEDs^^.理由是兩角分別相等

的兩個(gè)三角形相似.

⑤頂角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似嗎?為什么？

解:相似.理由：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知，頂角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰

三角形其底角也對(duì)應(yīng)相等.再根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”這

個(gè)判定定理即可判斷這兩個(gè)等腰三角形相似.

[]要根據(jù)已知條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸ㄈ切蜗嗨?

?典例剖析

類型1兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似

【例1】（教材P35例2）如圖所示，在RtZXABC中，Z

C=90°,AB=10,AC=8.E是AC上一點(diǎn),AE=5,ED1AB,垂足為D.求AD的長(zhǎng).

ADB

（解答）?.?ED，AB,

.?.ZEDA=90°.

又NC=90°,ZA=ZA,

/.△AED^AABC.

【跟蹤訓(xùn)練1】（《全科王》27.2.1第三課時(shí)第5題）如圖所示，若

ZDAB=ZCAE,ZB=ZD,AD=4,DE=5,AB=6,求BC的長(zhǎng).

解:BC=7.5.

類型2斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似

【例2］（教材補(bǔ)充例題）如圖所示，ZABC=ZCDB=90°,AC=a,BC=b,

當(dāng)BD與a,b之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí),這兩個(gè)三角形相似？

BD

（解答）VZABC=ZCDB=90°,

①當(dāng)些="時(shí)一，AABC^ACDB,

止匕時(shí)二”二生，ep-=—.

BDCDBCbBD

人2人2

...BD，-.即當(dāng)BD=±時(shí)，AABC^ACDB.

aa

②當(dāng)空些時(shí)△ABCs^BDC,此時(shí)空="="，

BD=CDBDCDBC

artA.BAC

BP—BD=—BC.

』

BDbBDaV^^,

.?.當(dāng)BDq時(shí)，AABC^ABDC.

a

綜上，即當(dāng)BD-^或BD上疝干時(shí),這兩個(gè)三角形相似.

aa

n本題要考慮當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等時(shí),夾這個(gè)角的兩邊的

比相等時(shí)有兩種情況.

【跟蹤訓(xùn)練2](《全科王》27.2.1第三課時(shí)第7題)如圖所示,在

平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(6,0),B(0,3).如果點(diǎn)C在x軸上(C與A不重

合)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(T.5,0)或(1.5,0)或(-6,0)時(shí),ABOC與AAOB相似.

O]Ax

@鞏固訓(xùn)練

1.下列條件中，一定能判斷兩個(gè)等腰三角形相似的是(C)

A.都含有一個(gè)40°的內(nèi)角

B.都含有一個(gè)50°的內(nèi)角

C.都含有一個(gè)60°的內(nèi)角

D.都含有一個(gè)70°的內(nèi)角

2.在RtaABC和RtZiDEF中，ZC=ZF=90°,下列條件中不能判定這兩個(gè)三

角形相似的是（C）

A.ZA=55°,ZD=35°

B.AC=9,BC=12,DF=6,EF=8

C.AC=3,BC=4,DF=6,DE=8

D.AB=10,AC=8,DE=15,EF=9

3.如圖所示,AABC是等邊三角形,D為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),E為BC延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，且NDAE=120°.

⑴求證△ADBsaEAC;

(2)求證BD?EC=BC2.

證明:(1)VAABC是等邊三角形，，ZABC=ZACB=ZBAC=60°,AB=BC=AC,

.*.ZD+ZDAB=ZABC=60o,ZABD=ZACE=120°.

VZDAE=120°,.,.ZDAB+ZEAC=120°-60°=60°,

，ND=NEAC,AADB^AEAC.

(2)由⑴知△ADBsaEAC,工器考,

ACEC

ABD-EC=AC-AB.

,.,AB=AC=BC,ABD-EC=BC2.

國(guó)課堂小結(jié)

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？

2.全等三角形的判定定理與相似三角形的判定定理有何區(qū)別？

27.2.2相似三角形的性質(zhì)

@教學(xué)目.標(biāo)

理解并掌握相似三角形的性質(zhì).

閱讀教材P37?39,理解相似三角形的性質(zhì)，并完成下列預(yù)習(xí)內(nèi)容.

(1)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等

于相似比.

(2)如圖所示,△ABC^AA，B'C,相似比為k,AD1BC于點(diǎn)D,A'D'±

B'C'于點(diǎn)D'.

①圖中還有其他的相似三角形:△ABDS/^A'B'D\△ADC^AA，D'C'.

②AABC"A'B'C'中，-^^=k,-^^=k2.

C

AA'B'C5△＜，B，C'

[]在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，要注意周長(zhǎng)的比與面積的比之間

的區(qū)別，不要混為一談,另外面積的比等于相似比的平方,反過來相似比等

于面積比的算術(shù)平方根.

@典例剖析

【例題】（教材P38例3）如圖所示，在AABC和ADEF

中，AB=2DE,AC=2DF,ZA=ZD.若AABC的邊BC上的高為6,面積為12V5,

求ADEF的邊EF上的高和面積.

〔解答）在AABC和ADEF中,

VAB=2DE,AC=2DF,

?DE_DF_1.XZD=ZA,

ABAC2

/.△DEF^AABC,ADEF與AABC的相似比為去

AABC的邊BC上的高為6,面積為12V5,

:?△DEF的邊EF上的高為罪6=3,

面積為GJ*12而=3遍.

【跟蹤訓(xùn)練1】（《全科王》27.2.2第13題）如圖所示,D是4ABC

的邊BC上一點(diǎn)，AB=8,AD=4,ZDAC=ZB,如果AABD的面積為15,那么4ACD

的面積為（D）

16

A.15B.10C,—D.5

2

A

BD

【跟蹤訓(xùn)練2】(《全科王》27.2.2第17題)如圖所示,口ABCD中,AE：

EB=2：3,DE交AC于F.

(1)求△AEF與4CDF周長(zhǎng)之比；

(2)如果4CDF的面積為20cm2,求4AEF的面積.

解：(1)???四邊形ABCD是平行四邊形,

.,.AB=CD,AB〃CD,

.\ZEAF=ZDCF,ZAEF=ZCDF,

AAEF^ACDF,

△4EF的周長(zhǎng)_AE_2

△COF的周長(zhǎng)CD5'

￡=(42=土

S^cDFV5/25'

SACDE=20cm2,.*.SAAEF~~cm-.

色鞏固訓(xùn)練

1.若△ABCsaDEF,且SAABC:s^=3：4,則4ABC與ADEF的周長(zhǎng)比為

—L/Cr

(c)

A.3：4B.4：3C.V3：2D.2：V3

2.如果△ABCs^DEF,A,B分別對(duì)應(yīng)D,E,且AB：DE=1：2,那么下列等式一

定成立的是(D)

A.BC:DE=1：2

B.AABC的面積：/kDEF的面積=1：2

C.ZA的度數(shù)：ZD的度數(shù)=1：2

D.AABC的周長(zhǎng)：aDEF的周長(zhǎng)二1：2

3.如果兩個(gè)相似三角形的面積的比是4:9,那么它們對(duì)應(yīng)的角平分線的

比是2：3.

4.已知△ABCS^AIBC,AABC的周長(zhǎng)與△ABG的周長(zhǎng)的比值是|,BE,BE

分別是它們對(duì)應(yīng)邊上的中線,且BE=6,則BE=生

5.如圖所示，四邊形DEFG是AABC的內(nèi)接矩形，如果4ABC的高線AH長(zhǎng)8

cm,底邊BC長(zhǎng)10cm,設(shè)DG=,

⑴求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

⑵當(dāng)x為何值時(shí)一，四邊形DEFG的面積最大?最大面積是多少？

解：（l）y=8-x.

⑵當(dāng):

色課堂小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例

@教宣目標(biāo)

1.通過本節(jié)相似三角形應(yīng)用舉例，發(fā)展綜合運(yùn)用相似三角形的判定方

法和性質(zhì)解決問題的能力,提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，加深對(duì)相似三角形的理解

與認(rèn)識(shí).

2.在活動(dòng)過程中使大家積累經(jīng)驗(yàn)與成功體驗(yàn)，激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱

情與興趣.

■預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

閱讀教材P39?41,進(jìn)一步體會(huì)從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型，并完成下

列預(yù)習(xí)內(nèi)容.

(1)太陽光下，同一時(shí)刻,物體的長(zhǎng)度與其影長(zhǎng)成正比(正比或反比).

(2)太陽光下，同一時(shí)一刻，一個(gè)物體的高度、影子、光線構(gòu)成的三角形

與另一個(gè)物體的相似嗎？

相似.

0典例剖析

【例1】(教材P40例5)如圖所示,為了估算河的寬度,我們可以在

河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P,在近岸取點(diǎn)Q和S,使點(diǎn)P,Q,S共線且直線PS

與河垂直,接著在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T,確定PT

與過點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R.已測(cè)得QS=45m,ST=90m,QR=60m,

請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù),計(jì)算河寬PQ.

P

【解答）VZPQR=ZPST=90°,ZP=ZP,

.,.△PQR^APST.

.PQ_QR即PQ_QRPQ_60

**PSST''PQ+QSST'PQ+4590’

PQX90=（PQ+45）X60.

解得PQ=90m.

答:河寬大約為90m.

【跟蹤訓(xùn)練1】（《全科王》27.2.3第6題）如圖所示，為了測(cè)量一

池塘的寬DE,在岸邊找到一點(diǎn)C,測(cè)得CD=30m,在DC的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)A,

測(cè)得AC=5m,過點(diǎn)A作AB〃DE交EC的延長(zhǎng)線于B,測(cè)出AB=6m,則池塘的

寬DE為（C）

A.25mB.30m

C.36mD.40m

[例2]小剛用下面的方法來測(cè)量學(xué)校大樓AB的高度.如圖所示，

在水平地面上有一面平面鏡,鏡子與教學(xué)大樓的距離EA=21m,當(dāng)他與鏡子

的距離CE=2.5m時(shí)，他剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓的頂端B,已知他的

眼睛距地面高度DC=1.6m,請(qǐng)你幫助小剛計(jì)算出教學(xué)大樓的高度AB是多

少米.（注意:根據(jù)光的反射定律:反射角等于入射角）

（解答）根據(jù)反射角等于入射角，則有NDEF=NBEF,而FE1AC,

.,.ZDEC=ZBEA,

又?.?NDCE=NBAE=90°,

???△DECSMEA..?端噎

XVDC=1.6,EC=2.5,EA=21,

:?擠等????AB=13.44.

答:建筑物AB的高度為13.44m.

[]從實(shí)際問題的情景中，找出相似三角形是解決本類題型的關(guān)鍵.

【跟蹤訓(xùn)練2】（《全科王》27.2.3第11題）如圖所示的是一個(gè)照

相機(jī)成像的示意圖.

50mm,

C/

(1)如果像高M(jìn)N是35mm,焦距是50mm,拍攝的景物高度AB是4.9m,

拍攝點(diǎn)離景物有多遠(yuǎn)？

(2)如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4%像高

不變,則相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為多少？

解：(1)拍攝點(diǎn)距離景物7m.

(2)相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為70mm.

通鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示，小明在打網(wǎng)球時(shí),擊球點(diǎn)距球網(wǎng)的水平距離為8m,已知網(wǎng)高

為0.8m,要使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)4m的位置,則球拍擊球時(shí)

的高度h為24m.

8m4m

2.如圖所示,小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他拿出一根竹竿豎直插在地面

上,然后自己退后，使眼睛通過竹竿的頂端剛好看到塔頂,若小明眼睛離地

面1.5m,竹竿頂端離地面2.4m,小明到竹竿的距離DF=2m,竹竿到塔底

的距離DB=32m,求這座古塔的高度.

解:古塔的高度是16.8m.

?課等

利用相似三角形進(jìn)行測(cè)量的一般步驟：（1）因地制宜,構(gòu)造相似三角

形；（2）測(cè)量與所求線段對(duì)應(yīng)的邊的長(zhǎng)以及另外任意一組對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)；（3）

根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算.

27.3位似

第一課時(shí)位似的概念及性質(zhì)

?教學(xué)目標(biāo)

1.正確理解位似圖形等有關(guān)概念,能夠按照要求利用位似將圖形進(jìn)行

放大或縮小以及能夠正確地作出位似圖形的位似中心.

2.在實(shí)際操作和探究活動(dòng)中，讓學(xué)生感受、體會(huì)到幾何圖形之美,提高

對(duì)數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí)層次，陶冶美育情操,激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.

@預(yù)包導(dǎo).要

閱讀教材P47?48,完成下列預(yù)習(xí)內(nèi)容.

⑴兩個(gè)多邊形不僅相似,而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相

平行或在一條直線上,像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似

中心.

（2）下列說法正確的是（D）

A.兩個(gè)圖形如果是位似圖形,那么這兩個(gè)圖形一定全等

B.兩個(gè)圖形如果是位似圖形,那么這兩個(gè)圖形不一定相似

C.兩個(gè)圖形如果是相似圖形,那么這兩個(gè)圖形一定位似

D.兩個(gè)圖形如果是位似圖形,那么這兩個(gè)圖形一定相似

（3）用作位似圖形的方法可以將一個(gè)圖形放大或縮小，位似中心位置

可能在（D）

A.原圖形的外部B.原圖形的內(nèi)部

C.原圖形的邊上D.任意位置

0典例剖析

【例1】如圖所示，作出一個(gè)新圖形，使新圖形與原圖形對(duì)應(yīng)線段的

比為2：1.

〔解答）①在原圖形上取點(diǎn)A,B,C,D,E,F,G,在圖形外任取一點(diǎn)P;

②作射線AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP;

③在這些射線上依次取A',B',C',D',E',F',G',使

PA'=2PA,PB'=2PB,PC'=2PC,PD'=2PD,PE'=2PE,PF，=2PF,PG'=2PG;

④順次連接點(diǎn)A，,B，,C，,D，,E，,F，,G，,A，.

所得到的圖形就是符合要求的圖形.

【方法歸納】畫位似圖形的一般步驟：（1）確定位似中心（可以在圖

形外部,可以在圖形內(nèi)部,也可以在圖形的邊上,還可以在某一頂點(diǎn)上）;（2）

分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)，并延長(zhǎng)；⑶根據(jù)相似比,確定

能代表所畫的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；（4）按照原圖的形狀,順次連接上述各點(diǎn),

得到放大或縮小后的圖形.

【跟蹤訓(xùn)練11（《全科王》27.3第一課時(shí)第9題）如圖所示,在8義8

的正方形網(wǎng)格中，AAOB的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出AOAB的一個(gè)

位似圖形，使兩個(gè)圖形以點(diǎn)0為位似中心,且所畫圖形與AOAB的位似比為

2：1.

解:如圖所示.

【例2]請(qǐng)畫出如圖所示兩個(gè)圖形的位似中心.

Ox

（1）（2）

（解答〕如圖⑴所示的點(diǎn)a就是圖⑴的位似中心.

如圖⑵所示的點(diǎn)就是圖⑵的位似中心.

[]位似圖形中對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的交點(diǎn)就是位似中心.

【跟蹤訓(xùn)練2】（《全科王》27.3第一課時(shí)第3題）如圖所示的是兩

個(gè)三角形是位似圖形，它們的位似中心是（D）

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)D

【例3]（教材補(bǔ)充例題）如圖所示,在4ABC所在平面上任意取一點(diǎn)

0（與A,B,C不重合），連接0A,OB,0C,分別取0A,OB,0C的中點(diǎn)A?B”Cb再

連接AB,AC,BC得到△ABC,則下列說法不正確的是（D）

A.AABC與△ABC是位似圖形

B.AABC與△ABG是相似圖形

C.AABC與△ABC的周長(zhǎng)比為2：1

D.AABC與△ABC的面積比為2：1

1]位似圖形一定是相似圖形,具有相似圖形的所有性質(zhì).

【跟蹤訓(xùn)練3】（《全科王》27.3第一課時(shí)第6題）如圖所示，四邊

形ABCD和四邊形A'B'C,D'是以點(diǎn)0為位似中心的位似圖形，若0A：0A'=2：

3,則四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的面積比為

?鞏固訓(xùn)練

1.下列每組的兩個(gè)圖形不是位似圖形的是（D）

ABCD

2.如圖所示，已知BC〃DE,則下列說法中不正確的是（C）

A.兩個(gè)三角形是位似圖形

B.點(diǎn)A是兩個(gè)三角形的位似中心

C.AE：AD等于位似比

D.點(diǎn)B與點(diǎn)D,點(diǎn)C與點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)

3.如圖所示，以點(diǎn)0為位似中心，將4ABC放大后得到△DEF,已知4ABC與

△DEF的面積比為1：9,則AB：DE等于（A）

A.1：3B,1：2C.1：V3D.1：9

4.如圖所示,正方形EFGH,IJKL是由正方形ABCD經(jīng)過位似變換得到的，點(diǎn)

P是位似中心,其中PA=AE=EI.

⑴如果相似比為3：1,正方形ABCD的位似圖形是哪個(gè)正方形?

⑵如果由正方形ABCD得到它的位似圖形是正方形EFGH,求其相似比.

解：（1）相似比為3：1,正方形ABCD的位似圖形是正方形IJKL.

（2）相似比為1：2.

5.如圖所示，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的小正方形,AABC與B'C'是

以點(diǎn)0為位似中心的位似圖形,它們的頂點(diǎn)都是在小正方形的頂點(diǎn)上.

⑴找出位似中心點(diǎn)