高中數(shù)學(xué)平面向量應(yīng)用舉例

2.5平面向量應(yīng)用舉例

|自寺預(yù)習(xí)學(xué)案>>>?Zl—ZHU—YU-XI-XUE-AN⑴

情景引入在

舅ingjingyinru"

英國科學(xué)家赫胥黎應(yīng)邀到都柏林演講，由于時間緊迫，他一跳上出租車，就急著說：“快！

快！來不及了！”司機遵照指示，猛開了好幾分鐘，赫胥黎才發(fā)現(xiàn)不太對勁，問道：“我沒

有說要去哪里嗎？”司機回答：“沒有?。∧阒唤形铱扉_?。　焙振憷栌谑钦f：“對不起，

請掉頭，我要去都柏林.”由此可見，速度不僅有大小，而且有方向.在我們的生活中，有

太多的事物不僅與表示它的量的大小有關(guān)，而且也與方向有關(guān).

新知導(dǎo)學(xué),

Ainzhidaoxue」

1.向量在平面幾何中的應(yīng)用

向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下方面：

(1)證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時也用

到向量減法的意義.

(2)證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線(或線段)是否平行，常運用向量平行(共線)

的條件：a〃6㈡“=%?(或xiy2—尤2丫1=0)?

(3)證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(線段)是否垂直等，

常運用向量垂直的條件：0=0(或為必+丫1丫2=0).

(4)求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式cos0=^.

(5)向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立

直角坐標系，把向量用坐標表示，通過代數(shù)運算解決幾何問題.

2.向量在物理中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)中對物理背景問題主要研究下面兩類：

(1)力向量

力向量是具有大小、方向和作用點的向量，它與前面學(xué)習(xí)的自由向量不同，但力是具有

大小和方向的量，在不計作用點的情況下，.可用向量求和的平行四邊形法則，求兩個力的

合力一.

(2)速度向量

速度向量是具有大小和方向的向量，因而一可用求向量和的平行四邊形法則，求兩個速

度的合速度..

［知識點撥］向量方法在平面幾何中應(yīng)用的幾點說明：

(1)要證明兩線段平行，AB//CD,則只要證明存在實數(shù)使誦=4歷成立，且

AB與CD無公共點.

(2)要證明A、B、C三點共線，只要證明存在一實數(shù)/IWO,<AB=Z4C.

(3)要求一個角，如NABC,只要求向量就與向量魔的夾角即可.

v預(yù)習(xí)自測土：.

uxizice

1.四邊形ABC。中，若贏=班，則四邊形ABC。是()

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.梯形

2.下列直線與。=(2,1)垂直的是()

A.2x+y+l=0B.x+2y+l=0

C.%—2y+4=0D.2x—y+4=0

3.已知兩個力口，尸2的夾角為90°,它們合力大小等于10N,合力與Fi的夾角為60°,

則Fi的大小為_N()

A.5^3B.10

C.5表D.5

4.若直線/：7nx+2y+6=0與向量(1—〃z,l)平行，則實數(shù)根的值為.

H互動探究解疑在

“udongtanjiujieyi"

命題方向1。向量在平面幾何中的應(yīng)用

典例1如圖，平行四邊形ABC。中，已知AD=1,AB=2,對角線80=2.

求對角線AC的長.

〔跟蹤練習(xí)1〕如圖所示，四邊形ABC。是菱形，AC和8。是它的兩條對角線，試用

向量證明：AC±BD.

命題方向2。向量在物理中的應(yīng)用

■典例2如圖，在細繩。處用水平力尸2緩慢拉起所受重力為G的物體，繩子

與鉛垂方向的夾角為仇繩子所受到的拉力為

⑴求EI、尸2|隨角e的變化而變化的情況;

(2)當舊1IW21Gl時，求角。的取值范圍.

2.如果一個物體在力G的作用下產(chǎn)生位移為s,那么力F所做的功W=￡||s|cosO,其

中。是歹與s的夾角.由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力與位移的數(shù)量積.

〔跟蹤練習(xí)2〕兩個力Fi^i+j,F2=4Z-5J作用于同一質(zhì)點，使該質(zhì)點從點4(20,15)

移動到點8(7,0)(其中i、J分別是與x軸、y軸同方向的單位向量).求：

(1*1、巳分別對該質(zhì)點所做的功；

(2)尸1、巳的合力廠對該質(zhì)點所做的功.

x藍禽丁用向量方法探究存在性問題

做題時，我們會遇到一些存在性問題、比較復(fù)雜的綜合問題等等，解決此類問題常常運

用坐標法，坐標法就是把向量的幾何屬性代數(shù)化，把對向量問題的處理程序化，從而降低了

解決問題的難度.另外，坐標法又是實現(xiàn)把向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的橋梁.因此我們要善

于運用坐標法把幾何問題、代數(shù)問題、向量問題進行相互轉(zhuǎn)化.

■典例3在△A8C中，已知48=AC=5,BC=6,M是邊AC上靠近點A的一

個三等分點，試問：在線段8M(端點除外)上是否存在點P,使得PCLBM?

〔跟蹤練習(xí)3〕△ABC是等腰直角三角形，NB=90。，。是邊的中點，BELAD,

垂足為E,延長BE交AC于R連接DR求證：ZADB^ZFDC.

心需鬻著hi步對向量相等的定義理解不清楚

■典例4已知在四邊形ABCZ)中，對角線AC、2。相互平分，S.AC±BD,求

證：四邊形ABC。是菱形.

〔跟蹤練習(xí)4〕如右圖所示，在正方形A8CZ)中，尸為對角線AC上任一點，PE1AB,

PF±BC,垂足分別為￡、F,連接。尸、EF,求證：DP±EF.

V課堂達標驗收治

etangdabiaoyanshou,

1.已知作用在點BQ』)的三個力尸1=(3,4),歹2=(2,-5),-3=(3」),則合力尸=邑+

F2+F3的終點坐標是()

A.(8,0)B.(9,1)

C.(-1,9)D.(3,1)

2.在四邊形ABCD中，若花+歷=0,ACfib=0,則四邊形為()

A.平行四邊形B.矩形

C.等腰梯形D.菱形

3.過點A(2,3),且垂直于向量。=(2,1)的直線方程為()

A.2元+廠7=0B.2x+y+7=0

C.尤一2y+4=0D.x—2y—4=0

4.已知△ABC的重心是G,CA的中點為且A、M、G三點的坐標分別是(6,6),(7,4),

(y>|)>則18cl為()

A.4^/10B.V10

C.邛D.2710

A級基礎(chǔ)鞏固

、選擇題

1.若向量赤1=(1,1),加2=(—3,—2)分別表示兩個力荒、下2,則商十兩為()

A.(5,0)B.(-5,0)

C.乖D.一小

2.(2018?四川綿陽期末)△ABC中，設(shè)成=c,*=a,CA^b,若c-(c+a—b)<0,則^

ABC是()

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.無法確定其形狀

3.已知點4-2,0),8(0,0),動點P（無，y）滿足兩?麗=幺，則點尸的軌跡是（

A.x2+j2=lB.x2—y2=l

C.y2—2xD.y2——lx

4.在△ABC中，NC=90°,Q=（匕1）,n=（2,3）,則上的值是（）

A.5B.-5

C.|

D.

5.點。是△ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足51近=匠?沆=db而，則點。是△ABC

的（）

A.三個內(nèi)角的角平分線的交點B.三條邊的垂直平分線的交點

C.三條中線的交點D,三條高線的交點

6.兩個大小相等的共點力Fi、F2,當它們的夾角為90。時，合力大小為20N,當它們

的夾角為120。時，合力大小為（）

A.40NB.10V2N

C.2MND.4（h/2N.

二、填空題

7.力尸=（-1,一2）作用于質(zhì)點P,使P產(chǎn)生的位移為s=（3,4）,則力F對質(zhì)點P做功

的是——.

8.若平面向量a、/?滿足|a|=l,WIW1,且以向量a、/?為鄰邊的平行四邊形的面積為最

則a與/?的夾角0的取值范圍是

三、解答題

9.在△ABC中，NC=90。，。是AB的中點，用向量法證明

10.某人騎車以akm/h的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來，而當速度為2akm/h

時，感到風(fēng)從東北方向吹來，試求實際風(fēng)速和方向.

B級素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.點尸在平面上做勻速直線運動，速度。=(4,—3),設(shè)開始時點P的坐標為(一10,10),

則5秒后點P的坐標為(速度單位：m/s,長度單位：m)()

A.(-2,4)B.(-30,25)

C.(10,-5)D.(5,-10)

2.在四邊形ABC。中，AC=(1,2),礪=(—4,2),則該四邊形的面積為()

A.小B.2^5

C.5D.10

3.已知點O、N、P在△ABC所在的平面內(nèi)，S.\OA\=\OB\=\6C\,NA+NB+NC=0,

PAPB=PBPC=PCPA,則點。、N、P依次是△48(7的()

A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心

C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心