圖形的平移與旋轉(zhuǎn)壓軸題（7個類型55題）-【常考壓軸題】2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略（解析版）

第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)壓軸題內(nèi)容導(dǎo)航一、圖形的平移類型一、圖形的平移問題HYPERLINK類型二、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖形平移問題HYPERLINK類型三、一次函數(shù)圖象的平移問題二、圖形的旋轉(zhuǎn)類型四、圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律問題類型五、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)應(yīng)用類型六、圖形旋轉(zhuǎn)的綜合問題類型七、中心對稱圖形的性質(zhì)應(yīng)用一、圖形的平移類型一、圖形的平移問題1．如圖，直線m//n，點A在直線m上，BC在直線n上，構(gòu)成ABC，把ABC向右平移BC長度的一半得到（如圖①），再把向右平移BC長度的一半得到（如圖②），再繼續(xù)上述的平移得到圖③，…，通過觀察可知圖①中有4個三角形，圖②中有8個三角形，則第2020個圖形中三角形的個數(shù)是（

）A．4040 B．6060 C．6061 D．8080【答案】D【分析】探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：觀察圖可得，第1個圖形中大三角形有2個，小三角形有2個，第2個圖形中大三角形有4個，小三角形有4個，第3個圖形中大三角形有6個，小三角形有6個，…依次可得第n個圖形中大三角形有2n個，小三角形有2n個．故第2019個圖形中三角形的個數(shù)是：2×2020+2×2020=8080．故選：D．【點睛】本題考查規(guī)律型問題，平行線的性質(zhì)，平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．2．△ABC是一塊含有45o的直角三角板，四邊形DEFG是長方形，D、G分別在AB、AC上，E、F在BC上。BC=16,DG=4，DE=6，現(xiàn)將長方形DEFG向右沿BC方向平移，設(shè)水平移動的距離為d，長方形與直角三角板的重疊面積為S，（1）當(dāng)水平距離d是何值時，長方形DEFG恰好完全移出三角板；（2）在移動過程中，請你用含有d的代數(shù)式表示重疊面積S，并寫出相應(yīng)的d的范圍?！敬鸢浮浚?）10；（2）當(dāng)0<d≤4時，S=24-；當(dāng)4<d≤6時，S=32-4d；當(dāng)6<d≤10時，S=；當(dāng)10<d時,S=0.【分析】（1）要使長方形完全移出，則點E平移到了點C處，此時d=EC，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知∠B=45°，從而得到BE=DE=6.再用計算BC-BE的值即可.（2）分三種情況依次畫出圖形，再結(jié)合圖形進(jìn)行計算即可.【詳解】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45o.∵四邊形DEFG是長方形，∴∠DEF=∠GFE=90°.∵∠DEF+∠BED=180°.∴∠BED=90°.∴BE=DE=6.∵BE+CE=BC=16,∴CE=BC-BE=16-6=10.∴當(dāng)水平距離d是10時，長方形DEFG恰好完全移出三角板；(2)①當(dāng)0<d≤4時，如圖1所示，∵∠GNM=∠FNC=∠C=45°，∠G=90°，∴GN=GM=d.∴S=長方形DEFG的面積-△GMN的面積=24-；②當(dāng)4<d≤6時，如圖2所示，依題意可知：BE=6+d,FC=6-d.∵BC=16,∴EC=16-BE=10-d.∵∠C=45°，∴ME=EC=10-d.FN=FC=6-d.∴S=△MEC面積-△FCN的面積==（10-d+6-d）(10-d-6+d)=32-4d.③當(dāng)6<d≤10時，如圖2所示，∵EH=EC=10-d∴S==④當(dāng)10<d時,長方形DEFG與△ABC沒有重疊部分，∴S=0.綜上所述，當(dāng)0<d≤4時，S=24-；當(dāng)4<d≤6時，S=32-4d；當(dāng)6<d≤10時，S=；當(dāng)10<d時,S=0.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和長方形的性質(zhì)，注意分類討論不要漏解是解題的關(guān)鍵.3．如圖，已知線段，點是線段外一點，連接，．將線段沿平移得到線段．點是線段上一動點，連接，．

(1)依題意在圖1中補(bǔ)全圖形，并證明：；(2)過點C作直線．在直線上取點，使．①當(dāng)時，畫出圖形，并直接用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系；②在點運(yùn)動的過程中，當(dāng)點到直線的距離最大時，的度數(shù)是________（用含的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)①點在直線的上方時，；點在直線的下方時，；②．【分析】（1）作，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明即可；（2）①分兩種情況，畫出圖形后，利用平行線的性質(zhì)求解即可；②先確定點到直線的最大距離就是線段的長，再畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)和垂線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：補(bǔ)全圖形如圖所示，作，∵將線段沿平移得到線段，∴，∴，∴，∴，即

（2）解：①分兩種情況：點在直線的上方時，如圖所示：

由平移的性質(zhì)得：，∴，∵，∴，∴，整理，得；點在直線的下方時，如圖所示：

，∴，整理，得；②作，如圖所示：

∵，∴點到直線的距離就是線段的長，∵，∴點到直線的最大距離就是線段的長，此時，作于點，如圖所示：

由平移的性質(zhì)得：，∴，∵，∴，∴故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，平行線間的距離，點到直線的距離，角的和差，恰當(dāng)分類并畫出圖形是解題的關(guān)鍵．4．某同學(xué)在一次課外活動中用硬紙片做了兩個直角三角形，中，，，．中，，，．該同學(xué)將的直角邊與的斜邊重合在一起，并將沿方向移動，在移動過程中，D、E兩點始終在邊上．(1)當(dāng)移動至什么位置，即的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與平行？(2)當(dāng)移動至什么位置，即的長為多少時，以線段、、的長為三邊長的三角形是直角三角形？(3)在的移動過程中，是否存在某個位置，使得？如果存在，求出的長；如果不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析．【分析】本題主要考查平移的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，結(jié)合已知條件應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)解題即可．（1）因為，，所以，又因為，，，所以，連接，設(shè)，則可求證，故的長可求；（2）設(shè)，則，再分情況討論∶為斜邊；為斜邊；為斜邊，綜合分析即可求得的長；（3）假設(shè)，因為，作的平分線，交于點P，則，所以，，則的值大于邊長12，故不存在．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵中，，，∴，如圖1，連接，當(dāng)時，，∴∴∴∴當(dāng)時，．（2）設(shè)，在中，當(dāng)為斜邊時，由得，解得：，當(dāng)為斜邊時，由得，解得：∵∴，∴（不合題意舍去）當(dāng)為斜邊時，由得，，整理得出∶∵∴此方程無解，綜上所述：當(dāng)時，以線段、、的長度為三邊長的三角形是直角三角形．（3）不存在這樣的位置，使得理由如下∶假設(shè)（如上圖2）∵作的平分線，交于點P，則，，∴，∴∴，又∵∴，∴∴不存在這樣的位置，使得．【點睛】本題考查的是平移的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，以及角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)等等知識點，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵，解答時，注意勾股定理的應(yīng)用和正確解出一元二次方程．5．如圖，等腰三角形中，，D為邊上一點，E為射線上一點，連接．(1)如圖1，點F在線段上，連接、．若，為等邊三角形，，，求的長；(2)如圖2，F(xiàn)為線段的垂直平分線上一點，連接、、，M為的中點，連接、．若，求證：；(3)如圖3，，D為中點，F(xiàn)為中點，與交于點G，將沿射線方向平移得，連接、．若，直接寫出的最小值．【答案】(1)5(2)見解析(3)【分析】(1)證明得到，根據(jù)計算即可．(2)延長到點N，使得，連接，先證明，在證明，得到即可．(3)過點C作，根據(jù)等邊三角形的對稱性，得到，根據(jù)平移的性質(zhì)，得到直線上存在點使得，作出點B關(guān)于直線的對稱點M，連接交于點Q，連接交于點N，當(dāng)點與點N重合時，取得最小值，過點M作，交的延長線于點P，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】（1）∵，，為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴．（2）如圖，延長到點N，使得，連接，∵M(jìn)為的中點，∴，∴，∴，∴，∵F為線段的垂直平分線上一點，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（3）解：如圖，過點C作，∵，，D為中點，∴為等邊三角形，直線是線段的垂直平分線，∴，∴；∵點B平移到點，∴過點B作，交直線于點，根據(jù)平移性質(zhì)，得到四邊形是平行四邊形，∴，，根據(jù)平移性質(zhì)，得到，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴；作出點B關(guān)于直線的對稱點M，連接交于點Q，連接交于點N，當(dāng)點與點N重合時，取得最小值，過點M作，交的延長線于點P，∵，，，為等邊三角形，∴，，∵，，∴四邊形是矩形，，∴，∴的最小值為．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平移，線段和的最小值，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，線段和的最值，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．綜合與探究：問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以直角三角形紙片為背景進(jìn)行探究性活動．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，AE平分∠BAC交CD于點F．初步分析：（1）智慧小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)△CEF是等腰三角形，請你證明這一結(jié)論；（2）博學(xué)小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)給△ABC添加一個條件，可使△CEF成為等邊三角形．添加的條件可以是．（寫出一種即可）操作探究：（3）創(chuàng)新小組的同學(xué)從圖形平移的角度進(jìn)行了如下的探究，請從下面A，B兩題中任選一題作答我選擇題：A．將△ADF沿射線AB的方向平移，使點F的對應(yīng)點F恰好落在線段BC上，①請在圖中畫出平移后的，②猜想此時線段A′B與AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．B．將△CEF沿射線CB的方向平移，使點C的對應(yīng)點恰好與點B重合，①請在圖中畫出平移后的，②連接EF′，交BD于點G，猜想此時線段EG與F′G之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）（答案不唯一）；（3）A：①見解析；②，證明見解析；B：①見解析；②，證明見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)進(jìn)行等量代換進(jìn)而證明結(jié)論即可；（2）當(dāng)△ABC中，時，根據(jù)等邊三角形判定定理進(jìn)行判定；（3）A.過點F作于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明≌，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，根據(jù)平移的性質(zhì)得到≌，得出，，然后利用“角角邊”證明≌，得到，最終得出；B.過點E作于H，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)平移的性質(zhì)得到≌，得出，是等腰三角形，得，然后利用“角角邊”證明≌，最終得出．【詳解】（1）∵AE平分∠BAC，∴，∵CD⊥AB，，∴,∴在中，，在中，，∵，∴，∴△CEF是等腰三角形；（2）當(dāng)△ABC中，時，，，∴△CEF是等邊三角形；（3）A.①如下圖即為所求，②，理由如下：過點F作于G，∵AE平分∠BAC，∵，，∴，∴在和中，∴≌（HL）∴,∵平移后得到，∴≌∴，，∵在中，，又∵，∴，∴在和中，∴≌（AAS）∴，∴，即：；B.①如下圖即為所求，②，理由如下：過點E作于H，,∵AE平分∠BAC，∵，,∴，∵平移后得到，∴≌，∴，，∵是等腰三角形，∴，∵在中，，∴，∴，在和中，∴≌（AAS）∴．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圖形的平移等，熟練運(yùn)用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．類型二、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖形平移問題7．對于給定的兩點，若存在點，使得三角形的面積等于1，則稱點為線段的“單位面積點”，已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點．點，，．若將線段沿軸正方向平移個單位長度，使得線段上存在線段的“單位面積點”，則的值可以是（

）A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5【答案】A【分析】設(shè)線段上存在線段的“單位面積點”是，分兩種情況進(jìn)行討論：線段在線段的下方；線段在線段的上方，分別求解即可．【詳解】解：設(shè)線段上存在線段的“單位面積點”是，如圖，

，當(dāng)線段在線段的下方時，此時，點，，，，，，，點到的距離為，可將線段沿軸正方向平移個單位長度，沿軸正方向平移，，，當(dāng)線段在線段的上方時，此時，同理可得：點到的距離為，可將線段沿軸正方向平移，即，綜上所述，的取值范圍為：或，的值可以是0.5，故選：A．8．如圖，直線m⊥n．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，x軸∥m，y軸∥n．如果以O(shè)1為原點，點A的坐標(biāo)為（1，1）．將點O1平移2個單位長度到點O2，點A的位置不變，如果以O(shè)2為原點，那么點A的坐標(biāo)可能是（）A．（3，﹣1） B．（1，﹣3） C．（﹣2，﹣1） D．（2+1，2+1）【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用平移的特征結(jié)合圖形即可求解．【詳解】如圖，由題意，可得O1M=O1N=1．∵將點O1平移2個單位長度到點O2，∴O1O2=2，O1P=O2P=2，∴PM=3，∴點A的坐標(biāo)是（3，﹣1），故選A．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點A，C的坐標(biāo)分別為，．已知線段的端點M，N的坐標(biāo)分別為，，平移線段，使得平移后的線段的兩個端點均落在正方形的邊上，此時正方形被該線段分為兩部分，其中三角形部分的面積為；已知線段的端點坐標(biāo)分別為，，且，，．平移線段，使得平移后的線段的兩個端點均落在正方形的邊上，且線段將正方形的面積分為兩部分，取的中點H，連接，則的長為．【答案】/【分析】明確三角形部分與形狀大小完全相同，即可求解；明確的長度定了，不管怎么放，三角形部分，形狀大小完全一樣，長度一樣，即可求解．【詳解】平移之后，如圖所示，三角形部分與形狀大小完全相同，∴三角形部分的面積，，平移后兩端點落在正方形邊上，∵，，∴不垂直四條邊，把正方形分成兩部分為三角形部分和另一部分多邊形，兩部分的面積為，可得，的長度定了，的面積確定了，不管怎么放，三角形部分，形狀大小完全一樣，則長度一樣，令在如圖位置，且，解得，∴的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，∴中點的坐標(biāo)為，即的坐標(biāo)為，∴，故答案為：，．【點睛】本題考查四邊形的綜合題和移動線段問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，畫出圖形，學(xué)會利用特殊點解決問題．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點A，規(guī)定點A的變換和變換．變換：將點A向左平移一個單位長度，再向上平移兩個單位長度；變換：將點A向右平移三個單位長度，再向下平移一個單位長度(1)若對點B進(jìn)行變換，得到點（1，1），則對點B進(jìn)行變換后得到的點的坐標(biāo)為．(2)若對點C（m，0）進(jìn)行變換得到點P，對點C（m，0）進(jìn)行變換得到點Q，，求m的值．(3)點D為y軸的正半軸上的一個定點，對點D進(jìn)行變換后得到點E，點F為x軸上的一個動點，對點F進(jìn)行變換之后得到點G，若的最小值為2，直接寫出點D的坐標(biāo)．【答案】(1)（5，-2）(2)(3)（0，）【分析】（1）根據(jù)變換求出B的坐標(biāo)，再根據(jù)變換求出對應(yīng)點的坐標(biāo)即可；（2）先求出P、Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)OP=OQ構(gòu)建關(guān)于m的方程即可求解；（3）設(shè)D（0，y），F(xiàn)（x，0），則E（-1，y+2），G（x+3，-1），可得=，令（-3，y+1），（-1，y+2），則，，推出，推出的最小值就是x軸上點F（x，0）到，的距離之和的值最?。驹斀狻浚?）解：由題意知：點（1，1）向右平移一個單位長度，再向下平移兩個單位長度即可得到B，∴B的坐標(biāo)為（2，-1），∴點B進(jìn)行變換后得到的點的坐標(biāo)為（5，-2）；故答案為：（5，-2）；（2）解：由題意知：對點C（m，0）進(jìn)行變換得到點P的坐標(biāo)為（m-1，2），對點C（m，0）進(jìn)行變換得到點Q（m+3，-1），∵OP=OQ，∴，即，∴；（3）解：由題意，設(shè)D（0，y），F(xiàn)（x，0），則E（-1，y+2），G（x+3，-1），∴，，∴=令（-3，y+1），（-1，y+2），則，∴，∴的最小值就是x軸上點F（x，0）到，的距離之和的值最小，如果，在x軸的兩側(cè)，那么點F就是與x軸的交點，的最小值就是的長，此時，故此種情況不符合題意，舍去，如果，在x軸的同側(cè)，作關(guān)于x軸的對稱點（-3，-y-1），連接交x軸于點K，此時，的值最小，∴，∴或，又點D（0，y）在y軸上，則y＞0，∴，∴D的坐標(biāo)為（0，）．故答案為：（0，）．【點睛】本題考查了點的平移，軸對稱，兩點間距離公式，二元二次方程組等知識，解題關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B坐標(biāo)分別為、，且a，b滿足：，現(xiàn)同時將點A，B分別向下平移4個單位，再向左平移1個單位，分別得到點A，B的對應(yīng)點C，D，連接．

(1)求C，D兩點的坐標(biāo)及四邊形的面積；(2)點P是線段上的一個動點，連接，當(dāng)點P在上移動時（不與B，D重合），的值是否發(fā)生變化，并說明理由；(3)已知點M在y軸上，且點D在的外部，連接，若的面積與四邊形的面積相等，求點M的坐標(biāo)．【答案】(1)；四邊形的面積為20；(2)不變，，理由見解析；(3)．【分析】（1）根據(jù)條件確定A，B坐標(biāo)，根據(jù)平移得到C，D兩點的坐標(biāo)；由A，B，C，D坐標(biāo)確定四邊形底和高，即可求面積；（2）過點作的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得；（3）設(shè)M坐標(biāo)為，根據(jù)，列出方程求出m的值，即可確定M點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將點A，B分別向下平移4個單位，向左平移1個單位故答案為：，四邊形的面積為20；（2）由（1）中、，可得；如下圖所示，過點作，不發(fā)生變化；

（3）如下圖所示，過作交于點F，設(shè)點即解得：，；故答案為：．

【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形平移的關(guān)系，坐標(biāo)與平行四邊形性質(zhì)的關(guān)系，平行線的性質(zhì)及三角形、平行四邊形的面積公式，關(guān)鍵是理解平移規(guī)律，作平行線將相關(guān)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化．12．如圖1，在直角坐標(biāo)系中直線與、軸的交點分別為，，且滿足.（1）求、的值；（2）若點的坐標(biāo)為且，求的值；（3）如圖2，點坐標(biāo)是，若以2個單位/秒的速度向下平移，同時點以1個單位/秒的速度向左平移，平移時間是秒，若點落在內(nèi)部（不包含三角形的邊），求的取值范圍．【答案】（1），；（2）或；（3）【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)和為0，則每一個非負(fù)數(shù)都是0，即可求出a，b的值；（2）設(shè)直線AB與直線x＝1交于點N，可得N（1，5），根據(jù)S△ABM＝S△AMN?S△BMN，即可表示出S△ABM，從而列出m的方程．（3）根據(jù)題意知，臨界狀態(tài)是點P落在OA和AB上，分別求出此時t的值，即可得出范圍．【詳解】（1）∵，，∴，解得：，（2）設(shè)直線與直線交于，設(shè)∵a＝?4，b＝4，∴A（?4，0），B（0，4），設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為：y＝kx＋b，代入得，解得∴直線AB的函數(shù)解析式為：y＝x＋4，代入x=1得∵∴＝×5×|5?m|?×1×|5?m|＝2|5?m|，∵∴∴或解得：或，（3）當(dāng)點P在OA邊上時，則2t＝2，∴t＝1，當(dāng)點P在AB邊上時，如圖，過點P作PKx軸，AK⊥x軸交于K，則KP'＝3?t，KA'＝2t?2，∴3?t＝2t?2，∴綜上所述：．【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)、一般三角形面積的和差表示、以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識點，第（2）問中用絕對值來表示動點構(gòu)成的線段長度是正確解題的關(guān)鍵．13．在平面直角坐標(biāo)系中，對于給定的兩點，若存在點M，使得的面積等于1，即，則稱點M為線段的“單位面積點”，解答下列問題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為．

(1)在點中，線段的“單位面積點”是；(2)已知點，將線段沿y軸向上平移個單位長度，使得線段上存在線段的“單位面積點”，直接寫出t的取值范圍．(3)已知點，點是線段的兩個“單位面積點”，點M在的延長線上，若，求出點N縱坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)“單位面積點”的定義和點的坐標(biāo)即可得結(jié)果，（2）根據(jù)“單位面積點”的定義，可得點的縱坐標(biāo)，分兩種情況：①當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)為時，②當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)為時，根據(jù)“單位面積點”的定義，得關(guān)于的不等式組，解不等式組即可，（3）根據(jù)“單位面積點”的定義，可得的橫坐標(biāo)，再根據(jù)，即可求得點的縱坐標(biāo)的取值范圍．【詳解】（1）解：如圖1所示：

∵點P的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，，，，∴點A、點C是線段的“單位面積點”，故答案為：．（2）解：如圖2所示：

當(dāng)點E為線段的“單位面積點”時，，解得：，當(dāng)點F為線段的“單位面積點”時，，解得：，∴線段EF上存在線段的“單位面積點”，t的取值范圍為；（3）解：∵點P的坐標(biāo)為，，∴，∴線段的“單位面積點”在y軸上或x＝2的直線上，∵點M在的延長線上，∴點M在的直線與延長線的交點上，如圖3所示：

設(shè)直線的解析式為：，則，解得，∴直線的解析式為：，則，∵N是線段的“單位面積點”，∴，∴，①當(dāng)點N在y軸上時，，∴，∵，∴N的縱坐標(biāo)為，②當(dāng)點N在直線上時，，∴，∵，∴N的縱坐標(biāo)為，綜上所述，點N縱坐標(biāo)的取值范圍為：．【點睛】本題主要考查三角形的面積，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，注意“單位面積點”的定義和分類討論思想的應(yīng)用．14．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為，．且a，b滿足，現(xiàn)同時將點A，B分別向左平移2個單位，再向上平移2個單位，分別得到點A、B的對應(yīng)點C、D，連接AC，BD，CA的延長線交y軸于點K．(1)點P是線段CK上的一個動點，點Q是線段CD的中點，連接PQ，PO，當(dāng)點P在線段CA上移動時（不與A，C重合），請找出，，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)連接AD，在坐標(biāo)軸上是否存在點M，使的面積與的面積相等？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．【答案】(1)，證明見詳解(2)存在，M點坐標(biāo)為，，，【分析】（1）根據(jù)平方與絕對值的非負(fù)性即可求出a、b的值，過點P作，由平移的性質(zhì)可得，利用平行線的性質(zhì)即可求解；（2）先求出的面積，再根據(jù)Q在x軸上與y軸上分別求解．【詳解】（1）解：，證明如下：證明：∵∴，，解得，，∴，，∵將點A、B分別向左平移2個單位，再向上平移2個單位，得到對應(yīng)點C、D，∴，，過點P作，由平移的性質(zhì)可得，∴，∴，，∴，即．（2）解：存在，M點坐標(biāo)為，，，．理由如下：的面積為，①M(fèi)在x軸上，根據(jù)的高與相等的高，∴，∴點M坐標(biāo)為，，②M在y軸上，的高為，的面積為5，即∴又∵，∴點M坐標(biāo)為，．故存在符合條件的M點坐標(biāo)為，，，．【點睛】本題主要考查直角坐標(biāo)系中點的平移及圖形面積的計算和坐標(biāo)軸上點的特征，根據(jù)題目已知平移方式得到點的坐標(biāo)與面積的計算是解答本題的關(guān)鍵．15．在平面直角坐標(biāo)系中，，，a，b滿足，連接AB交y軸于C．(1)直接寫出______，______；(2)如圖1，點P是y軸上一點，且三角形ABP的面積為12，求點P的坐標(biāo)；(3)如圖2，直線BD交x軸于，將直線BD平移經(jīng)過點A，交y軸于E，點在直線AE上，且三角形ABQ的面積不超過三角形ABD面積的，求點Q橫坐標(biāo)x的取值范圍．【答案】(1)-3，4(2)-3，4(3)-4≤x≤-2且x≠-3【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)構(gòu)建方程組，解方程組求出，；（2）過點作軸于，設(shè)，由三角形面積關(guān)系得出，求出，過點作軸于，由三角形面積關(guān)系得出，求出即可；（3）連接，過點作軸，分點在第二象限，點在第三象限時，兩種情況，分別列出方程，解之即可．【詳解】（1）解：，又∵，，，解得：，故答案為：-3，4．（2）過點作軸于，設(shè)，三角形的面積四邊形的面積三角形的面積，，即，解得：，點的坐標(biāo)為，過點作軸于，三角形的面積三角形的面積三角形的面積，，即，，點的坐標(biāo)為或．（3）點向左平移4個單位長度，向下平移4個單位長度到點A，∵點D向左平移4個單位長度后的對應(yīng)點正好在y軸上，∴點平移后的對應(yīng)點恰好是點，連接，過點作軸，如圖所示：，三角形的面積三角形的面積，當(dāng)三角形的面積三角形的面積時，，當(dāng)點在第三象限時，，解得：，當(dāng)點在第二象限時，，解得：，當(dāng)三角形的面積不超過三角形面積的時，點的橫坐標(biāo)的取值范圍是，且．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的面積，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．類型三、一次函數(shù)圖象的平移問題16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中．直線與軸、軸相交于兩點，動點在線段上，將線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，此時點恰好落在直線上時，過點作軸于點．

(1)求證：；(2)如圖2，將沿軸正方向平移得，當(dāng)直線經(jīng)過點時，求點的坐標(biāo)及平移的距離．【答案】(1)見解析；(2)，【分析】（1）由同角的余角相等可得，再根據(jù)即可證明；（2）由三角形全等的性質(zhì)可得，設(shè)，則代入即可求出點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，求出點的坐標(biāo)即可解決問題．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，；（2）解：，，，設(shè)，，把代入，得到，，，，，設(shè)直線的解析式為，將代入，得，解得，∴直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，把代入得到，∴直線的解析式為，，，平移的距離是個單位．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，是解此題的關(guān)鍵．17．在平面直角坐標(biāo)系中，對于點與圖形W，若點Q為圖形W上任意一點，點關(guān)于第一、三象限角平分線的對稱點為，且線段中點為，則稱點是圖形W關(guān)于點的“關(guān)聯(lián)點”．(1)如圖1，若點是點關(guān)于原點的關(guān)聯(lián)點，則點的坐標(biāo)為；(2)如圖2，在中，，，．①將線段向右平移（）個單位長度，若平移后的線段上存在兩個關(guān)于點的關(guān)聯(lián)點，則d的取值范圍是．②已知點和點，若線段上存在關(guān)于點的關(guān)聯(lián)點，求n的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②或．【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，不等式組的求解，求一次函數(shù)的解析式等，解題的關(guān)鍵是用轉(zhuǎn)化的思想借助參數(shù)構(gòu)建不等式組．（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)點”的定義可知點，Q關(guān)于原點對稱，由此即可解決問題．（2）①作出關(guān)于對稱的，由題意可得當(dāng)線段向右平移時，與的邊有兩個交點時滿足條件，利用圖象法解決問題即可．②分別求出直線與州的交點和點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)，根據(jù)題意即可列出不等式，求解即可．【詳解】（1）解：∵點關(guān)于第一、三象限角平分線的對稱點為，∴，∵點是點關(guān)于原點的關(guān)聯(lián)點，即點，點關(guān)于原點對稱，∴，故答案為：．（2）解：①如圖中，作關(guān)于對稱的，當(dāng)線段向右平移時，與的邊有兩個交點，即滿足條件，觀察圖象可知當(dāng)線段向右平移時，經(jīng)過點，此時平移的距離為，當(dāng)線段向右平移時，經(jīng)過點，此時平移的距離為，∴當(dāng)時，平移后的線段上存在兩個關(guān)于點的“關(guān)聯(lián)點”，故答案為：．②設(shè)直線所在的函數(shù)解析式為，將，代入得：，解得：，∴直線所在的函數(shù)解析式為，當(dāng)時，，解得：，即直線與軸的交點為；則點關(guān)于點的對稱點坐標(biāo)為，點關(guān)于點的對稱點坐標(biāo)為，∵線段上存在關(guān)于點的關(guān)聯(lián)點，即點在線段上或點在線段上，可得或，解得：或．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與、軸分別相交于點、，與直線交于點，直線交軸于點，交軸于點．（1）若點是軸上一動點，連接、，求當(dāng)取最大值時，點的坐標(biāo)．（2）在（1）問的條件下，將沿軸平移，在平移的過程中，直線交直線于點，則當(dāng)是等腰三角形時，求的長．【答案】（1）P(0，﹣10)；（2）8＋2或2﹣8或10或49【分析】（1）取關(guān)于軸的對稱點，當(dāng)與、三點共線時，取最大值，利用待定系數(shù)法求的解析式，可得此時的坐標(biāo)；（2）分三種情況討論：①當(dāng)時，如圖2，②當(dāng)時，如圖3，過作于，③當(dāng)時，如圖4，過作于，分別計算即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時，，，把代入中，，，，當(dāng)時，，，，如圖1，取關(guān)于軸的對稱點，是軸上一點，連接、、，則，，當(dāng)與、共線時，有最大值是，設(shè)直線的解析式為：，把和代入得：，解得：，直線的解析式為：，；（2）分三種情況：①當(dāng)時，如圖2，由（1）知：，由勾股定理得：，，；同理得：；②當(dāng)時，如圖3，過作于，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，；③當(dāng)時，如圖4，過作于，，，設(shè)，則，由勾股定理得：，，解得：，；綜上，當(dāng)是等腰三角形時，的長是或或或．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到點的對稱性、圖形的平移、等腰三角形的判定、勾股定理等，要注意分類求解，避免遺漏．19．對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形和圖形上的任意點，給出如下定義：將點平移到稱為將點進(jìn)行“型平移”，點稱為將點進(jìn)行“型平移”的對應(yīng)點；將圖形上的所有點進(jìn)行“型平移”稱為將圖形進(jìn)行“型平移”．例如，將點平移到稱為將點進(jìn)行“1型平移”，將點平移到稱為將點進(jìn)行“﹣1型平移”．已知點和點．(1)將點進(jìn)行“1型平移”后的對應(yīng)點的坐標(biāo)為．(2)①將線段進(jìn)行“﹣1型平移”后得到線段，點，，中，在線段上的點是．②若線段進(jìn)行“型平移”后與坐標(biāo)軸有公共點，則的取值范圍是．(3)知點，，點是線段上的一個動點，將點進(jìn)行“型平移”后得到的對應(yīng)點為，畫圖、觀察、歸納可得，當(dāng)?shù)娜≈捣秶菚r，的最小值保持不變．【答案】(1)；(2)，或；(3)．【分析】（1）根據(jù)“1型平移”的定義求解即可；（2）①畫出線段即可求解；②根據(jù)定義求出t的最大值，最小值即可；（3）觀察圖象可知：當(dāng)在線段上時，的最小值保持不變，最小值為．【詳解】（1）解：由“1型平移”的定義可知：的坐標(biāo)為；（2）解：①如圖所示，觀察圖象可知：將線段進(jìn)行“﹣1型平移”后得到線段，點，，中，在線段上的點是；②若線段進(jìn)行“型平移”后與坐標(biāo)軸有公共點，則的取值范圍是或；（3）解：如圖所示：觀察圖象可知：當(dāng)在線段上時，的最小值保持不變，最小值為，此時．【點睛】本題考查平移變換，“t型平移”的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用圖象法解決問題．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于兩點，點坐標(biāo)為，連接．(1)求點的坐標(biāo)及線段的長度；(2)將線段沿軸向下平移個單位至，連接．當(dāng)為直角三角形時，求的值；當(dāng)周長最小時，的值是；此時，最小周長等于．【答案】(1)，(2)1或；，【分析】（1）求出點坐標(biāo)，再由勾股定理求的長即可；（2）先求平移后的點，分別可求，分三種情況討論：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，利用勾股定理建立方程，求出的值即可；作點關(guān)于直線的對稱點，連接，當(dāng)三點共線時，的值最小，此時周長最小，由對稱性求出，用待定系數(shù)法求出直線的解析式將點代入解析式即可求，從而確定，，再用兩點間距離公式求出，則周長最小值為．【詳解】（1）解：令，則，，點坐標(biāo)為，；（2）解：令，則，，線段沿軸向下平移個單位至，，，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，此時不存在實數(shù)根，當(dāng)時，，解得，綜上所述：的值為1或；作點關(guān)于直線的對稱點，連接，，，當(dāng)三點共線時，的值最小，此時周長最小，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，，將點代入，，，，周長最小值為，故答案為：，．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，軸對稱求最短距離的方法，線段平移的性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．21．已知直線與軸、y軸分別交于A、B兩點，以A為直角頂點，線段為腰在第一象限內(nèi)作等腰．

(1)求點C的坐標(biāo)(2)P為直線上的動點，若的面積與的面積相等，則點P的坐標(biāo)為多少(3)點M為直線上的動點，點N為x軸上的一點，是否存在以點M、N、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)或或【分析】（1）過點C作軸于點D，求出點B的坐標(biāo)為，點A的坐標(biāo)為，得出，，證明，得出，，求出，即可得出答案；（2）求出，求出直線與直線的交點坐標(biāo)為，設(shè)點P的坐標(biāo)為，根據(jù)三角形面積公式得出，求出或，即可得出答案；（3）分情況進(jìn)行討論：當(dāng)為邊時，點B平移得到點N，點C平移得到點M，當(dāng)為邊時，點B平移得到點M，點C平移得到點N，當(dāng)為對角線時，分別畫出圖形，根據(jù)中點坐標(biāo)公式和點的平移特點求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：過點C作軸于點D，如圖所示：

把代入得：，∴點B的坐標(biāo)為；把代入得：，解得：，∴點A的坐標(biāo)為，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴點C的坐標(biāo)為；（2）解：，∵，，∴，把代入得：，∴直線與直線的交點坐標(biāo)為，設(shè)點P的坐標(biāo)為，則，解得：或，∴點P的坐標(biāo)為或；（3）解：設(shè)點M的坐標(biāo)為，當(dāng)為邊時，點B平移得到點N，點C平移得到點M，如圖所示：

∴此時，解得：，∴點M的坐標(biāo)為；當(dāng)為邊時，點B平移得到點M，點C平移得到點N，如圖所示：

∴此時，解得：，∴點M的坐標(biāo)為；當(dāng)為對角線時，如圖所示：

，解得：，∴此時點M的坐標(biāo)為；綜上分析可知，點M的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論．22．（1）閱讀以下內(nèi)容并回答問題：問題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線y＝﹣2x向上平移3個單位，求平移后直線的解析式．小雯同學(xué)在做這類問題時經(jīng)常困惑和糾結(jié)，她做此題的簡要過程和反思如下．在課堂交流中，小謝同學(xué)聽了她的困惑后，給她提出了下面的建議：“你可以找直線上的關(guān)鍵點，比如點A（1，﹣2），先把它按要求平移到相應(yīng)的對應(yīng)點A′，再用老師教過的待定系數(shù)法求過點A′的新直線的解析式，這樣就不用糾結(jié)了．”小雯用這個方法進(jìn)行了嘗試，點A（1，﹣2）向上平移3個單位后的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為，過點A′的直線的解析式為．（2）小雯自己又提出了一個新問題請全班同學(xué)一起解答和檢驗此方法，請你也試試看：將直線y＝﹣2x向左平移3個單位，平移后直線的解析式為，另外直接將直線y＝﹣2x向（“上”或“下”）平移個單位也能得到這條直線．（3）請你繼續(xù)利用這個方法解決問題：對于平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的圖形M，將圖形M上所有點都向上平移3個單位，再向左平移3個單位，我們把這個過程稱為圖形M的一次“斜平移”．求將直線y＝﹣2x進(jìn)行兩次“斜平移”后得到的直線的解析式．【答案】（1）（1，1），y＝﹣2x+3；（2）y＝﹣2x﹣6，下，6；（3）y＝﹣2x﹣6.【分析】（1）由平移的性質(zhì)可求點A'坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解；（2）平移后的直線的解析式的k不變，設(shè)出相應(yīng)的直線解析式，可求O（0，0）向左平移3個單位后的坐標(biāo)，代入設(shè)出的直線解析式，即可求得m，也就求得了所求的直線解析式；（3）平移后的直線的解析式的k不變，設(shè)出相應(yīng)的直線解析式，找到點A（1，-2）進(jìn)行兩次“斜平移”后的對應(yīng)點的坐標(biāo)，代入設(shè)出的直線解析式，即可求得n，也就求得了所求的直線解析式．【詳解】（1）點A（1，﹣2）向上平移3個單位后的點A′的坐標(biāo)為（1，1），設(shè)平移后的直線解析式為y＝﹣2x+b，代入得1＝﹣2×1+b，則b＝3，所以過點A′的直線的解析式為y＝﹣2x+3；故答案為：（1，1），y＝﹣2x+3；（2）可設(shè)新直線解析式為y＝﹣2x+m，∵原直線y＝﹣2x經(jīng)過點O（0，0），∴點O向左平移3個單位后點O'（﹣3，0），代入新直線解析式得：0＝6x+m，∴m＝﹣6，∴平移后直線的解析式為：y＝﹣2x﹣6，由（1）可知，另外直接將直線y＝﹣2x向下平移6個單位也能得到直線y＝﹣2x﹣6；故答案為：y＝﹣2x﹣6，下，6；（3）直線上的點A（1，﹣2），進(jìn)行一次“斜平移”后的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（﹣2，1），進(jìn)行兩次“斜平移”后的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（﹣5，4），設(shè)兩次斜平移后的直線的解析式為y＝﹣2x+n，代入（﹣5，4）得，4＝﹣2×（﹣5）+n，則n＝﹣6，所以，兩次斜平移后的直線的解析式為y＝﹣2x﹣6.【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，是一次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是得到平移后經(jīng)過的一個具體點．二、圖形的旋轉(zhuǎn)類型四、圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律問題23．在每個小正方形的邊長為的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．從一個格點移動到與之相距的另一個格點的運(yùn)動稱為一次跳馬變換．例如，在的正方形網(wǎng)格圖形中（如圖1），從點經(jīng)過一次跳馬變換可以到達(dá)點，，，等處現(xiàn)有的正方形網(wǎng)格圖形（如圖2），則從該正方形的頂點經(jīng)過跳馬變換到達(dá)與其相對的頂點，最少需要跳馬變換的次數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出F點,由圖一計算出規(guī)律即可推出．【詳解】如圖1，連接AC，CF，則AF=，∴兩次變換相當(dāng)于向右移動3格，向上移動3格．又∵M(jìn)N=，∴（不是整數(shù)），∴按A﹣C﹣F的方向連續(xù)變換10次后，相當(dāng)于向右移動了10÷2×3=15格，向上移動了10÷2×3=15格，此時M位于如圖所示的5×5的正方形網(wǎng)格的點G處，再按如圖所示的方式變換4次即可到達(dá)點N處．∴從該正方形的頂點M經(jīng)過跳馬變換到達(dá)與其相對的頂點N，最少需要跳馬變換的次數(shù)是14次．故選D．【點睛】本題考查規(guī)律計算題,主要在于結(jié)合圖形找出規(guī)律．24．如圖，在△ABC中,∠ACB=，∠B=，AC=1，BC=，AB=2，AC在直線l上，將△ABC繞點A順時針轉(zhuǎn)到位置①可得到點P1，此時AP1=2；將位置①的三角形繞點P1順時針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點P2，此時AP2=2+；將位置②的三角形繞點P2順時針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點P3，此時AP3=3+…，按此順序繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，得到點P2016，則AP2016=(

)A．2016+671 B．2016+672C．2017+671 D．2017+672【答案】B【分析】利用題意得AP3＝3+，則易得AP6＝2（3+），AP9＝3（3+），則三角形旋轉(zhuǎn)三次一個循環(huán)，一個循環(huán)3+，然后由2016＝3×672即可得到AP2016的長度．【詳解】解：∵AP1＝2，AP2＝2+，AP3＝3+，∴AP6＝2（3+），AP9＝3（3+），而2016＝3×672，∴AP2016＝672（3+）＝2016+672．故選B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了規(guī)律型問題的解決方法．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為的等腰三角形．第一次變化后得到等腰三角形，點的對應(yīng)點為；第二次變化后得到等腰三角形，點的對應(yīng)點為；第三次變化后得到等腰三角形，點的對應(yīng)點為……依此規(guī)律，則第2023年等腰三角形中，點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，可得點，，在第二象限，，，，推出，可得結(jié)論．【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為的等腰三角形．第一次變化后得到等腰三角形，點的對應(yīng)點為，∴；第二次變化后得列等腰三角形，點的對應(yīng)點為，；∴；第三次變化后得到等腰三角形，點的對應(yīng)點為；∴；……由圖可知：繞點每次順時針旋轉(zhuǎn)，并且腰長增加1，∴旋轉(zhuǎn)三次完成一周，故點，，，……在第三象限，，，，……，，∴，∴點到軸距離為，到軸距離為，，故選：D．【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．26．如圖，在中，頂點，，，將與正方形組成的圖形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】先利用周期性確定所求坐標(biāo)就是第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標(biāo)，即圖中的，過作y軸的垂線，求，即可，轉(zhuǎn)移這兩條線段，構(gòu)造的角即可解決問題．【詳解】解：∵每次旋轉(zhuǎn)，∴周期為，∵，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標(biāo)就是第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標(biāo)，即圖中的．作射線使其與x軸的夾角為，交于E，過D作，垂足為F，過E作軸，垂足為G，

則，，∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，∴或（舍去），∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了帶周期性的點的坐標(biāo)，把旋轉(zhuǎn)后，不好直接求，關(guān)鍵是構(gòu)造角，通過建立方程解決．27．如圖所示，一動點從半徑為2的⊙O上的A0點出發(fā)，沿著射線A0O方向運(yùn)動到⊙O上的點A1處，再向左沿著與射線A1O夾角為60°的方向運(yùn)動到⊙O上的點A2處；接著又從A2點出發(fā)，沿著射線A2O方向運(yùn)動到⊙O上的點A3處，再向左沿著與射線A3O夾角為60°的方向運(yùn)動到⊙O上的點A4處；……按此規(guī)律運(yùn)動到點A2017處，則點A2017與點A0間的距離是【答案】4【分析】由圖分析可知，點與點重合，于是得到點與重合，依此規(guī)律即可得解．【詳解】由圖分析可知，點與點重合，2017÷6=336……1，即點與重合，∵⊙O的半徑為2，∴點與點間的距離是4．故答案是：4【點睛】本題考查了圖形的變化類，結(jié)合圖形即可得到點與重合，依此規(guī)律即可解決問題．28．在平面直角坐標(biāo)系中，等邊如圖放置，點的坐標(biāo)為，將等邊繞著點依次順時針旋轉(zhuǎn)，同時每邊擴(kuò)大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到，第二次旋轉(zhuǎn)后得到，…，按此作法進(jìn)行下去，則點的坐標(biāo)為．

【答案】【詳解】解：∵A點坐標(biāo)為，∴，∴第一次旋轉(zhuǎn)后，點在第二象限，；第二次旋轉(zhuǎn)后，點在第一象限，；第三次旋轉(zhuǎn)后，點在x軸正半軸，；第四次旋轉(zhuǎn)后，點在第三象限，；第五次旋轉(zhuǎn)后，點在第四象限，；第六次旋轉(zhuǎn)后，點在x軸負(fù)半軸，；如此循環(huán)，每旋轉(zhuǎn)6次，A的對應(yīng)點又回到x軸負(fù)半軸上，∵，∴點在第二象限，且，過點作軸于，

∴，∴，∴，∴點的坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，涉及等邊三角形、的直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是確定所在的象限．類型五、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)應(yīng)用29．如圖，等腰，，，點為邊上一點，，點為邊上一點，連結(jié)，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，則的最小值為．【答案】【分析】如圖所示，過點作的垂線交于點，連接并延長，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判定可得點在過點與垂直的射線上運(yùn)動，作點關(guān)于的對稱點，連接與射線交于點，根據(jù)兩點之間線段最短可得，當(dāng)點與點重合時，的值最小，過點作的垂線，交于點，根據(jù)題意可求出，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作的垂線交于點，連接并延長，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴是等邊直角三角形，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴點在過點與垂直的射線上運(yùn)動，作點關(guān)于的對稱點，連接與射線交于點，∴，則，根據(jù)兩點之間線段最短可得，當(dāng)點與點重合時，的值最小，即，過點作的垂線，交于點，則是等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，則，∵點關(guān)于的對稱點為，∴，則，∵，且，∴在中，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱最短路徑，兩點之間線段最短，動點與軌跡，勾股定理的綜合運(yùn)用，掌握點的運(yùn)動軌跡，構(gòu)造軸對稱最短路徑的方法是解題的關(guān)鍵．30．如圖，在四邊形中，，，連接，將繞點旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)到，當(dāng)與交于一點，同時與交于一點時，下面四個結(jié)論：；；；周長的最小值是．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，最短路徑問題，根據(jù)題意可證，可判斷，由的周長，則當(dāng)最小時的周長最小，根據(jù)垂線段最短，可得時，最小，即最小，即可求此時周長最小值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì)的應(yīng)用．【詳解】∵，，∴，為等邊三角形，∴，∵將繞點旋轉(zhuǎn)到位置，∴，且，，∴，∴，，，∴，故正確，錯誤；∵，，∴，故正確；∵的周長，∴當(dāng)最小時，∴的周長最小，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴當(dāng)時，長度最小，即長度最小，∵，，，∴，∴的周長最小值為，故正確，故答案為：．31．在中，，，．把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點為點．(1)當(dāng)時，在圖1中作出旋轉(zhuǎn)后的（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接，則的長為______；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，直線分別交，于點，，若為等腰三角形，求的長．【答案】(1)作圖過程見解析，(2)(3)或【分析】3421726244929536（1）過點作的平行線，根據(jù)全等三角形判定定理，截取，，，即可做出旋轉(zhuǎn)后的，（2）根據(jù)勾股定理求出的長度，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得是等腰直角三角形，即可求出的長，（3）分、、分別為底的情況進(jìn)行討論，根據(jù)等角對等邊，及勾股定理進(jìn)行求解，本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形存在性問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)等腰三角形存在的可能性進(jìn)行分情況討論，結(jié)合圖形找到等量關(guān)系，進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：過點作，在上截取使，分別以點、點為圓心，、長為半徑做圓，交點即為點（方法不止一種），（2），，，，連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，，，為等腰直角三角形，，故答案為：，（3）當(dāng)為底時，，，連接，，，，設(shè)，則，，，在和中，，，，，不存在為底的情況，當(dāng)為底時，，，，，，，，，故答案為：或．32．如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個角：、和，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的奇妙線．

(1)一個角的角平分線___________這個角的奇妙線．（填是或不是）(2)如圖2，若，射線繞點P從位置開始，以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)首次等于時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為．①當(dāng)t為何值時，射線是的奇妙線？②若射線同時繞點P以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，并與同時停止旋轉(zhuǎn)．請求出當(dāng)射線是的奇妙線時t的值．【答案】(1)是(2)①9或12或18；②或或【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和“奇妙線”的定義進(jìn)行計算即可；（2）①分三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別列出方程進(jìn)行求解即可；②分三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：一個角的平分線是這個角的“奇妙線”；故答案為：是．（2）解：①依題意有：A．當(dāng)時，，解得：；B．當(dāng)時，，解得；C．當(dāng)時，，解得：；故當(dāng)t為9或12或18時，射線是的“奇妙線”；②依題意有A．當(dāng)時，，解得：；B．當(dāng)時，，解得；C．當(dāng)時，，解得：．故當(dāng)射線是的奇妙線時t的值為或或．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，幾何圖形中角度的計算，新定義運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論．33．綜合與實踐【模型感知】手拉手模型是初中數(shù)學(xué)里三角形全等知識點考察的重要模型．兩個有公共頂點且頂角相等的等腰三角形組成的圖形叫手拉手模型．（1）如圖，已知和都是等邊三角形，連接，．求證：；【模型應(yīng)用】（2）如圖，已知和都是等邊三角形，將繞點旋轉(zhuǎn)一定的角度，當(dāng)點在的延長線上時，求證：；【類比探究】（3）如圖，已知和都是等邊三角形．當(dāng)點在射線上時，過點作于點，直接寫出線段，與之間存在的數(shù)量關(guān)系為_____________．【答案】（）見解析；（）見解析；（）或．【分析】（）由和都是等邊三角形得，，，．進(jìn)而得．最后證明，即可得證；（）由和都是等邊三角形，得，，，，從而得．進(jìn)而證明得，即可得證；（）如圖，當(dāng)在線段上時，如圖，當(dāng)在線段的延長線上時，證明，可得；再證明，從而可得結(jié)論．【詳解】證明：（）和都是等邊三角形，，，，．．．．在和中，，；（）和都是等邊三角形，，，，，，，．在和中，，．．，；（）或．理由如下：如圖，當(dāng)在線段上時，∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，，∴，∴；，∵，∴，∵，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)在線段的延長線上時，同理可得：，∴，∵，∴，同理可得：，∴．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，含度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．類型六、圖形旋轉(zhuǎn)的綜合問題34．問題提出：（1）如圖①，已知是面積為的等邊三角形，是的平分線，則的長為______．問題探究：（2）如圖②，在中，，，，點為的中點，點，分別在邊，上，且．證明：．問題解決：（3）如圖③，李叔叔準(zhǔn)備在一塊空地上修建一個矩形花園，然后將其分割種植三種不同的花卉．按照他的分割方案，點，分別在，上，連接、、，，、分別在、上，連接、，，，其中四邊形種植玫瑰，和種植郁金香，剩下的區(qū)域種植康乃馨，根據(jù)實際需要，要求種植玫瑰的四邊形的面積為，為了節(jié)約成本，矩形花園的面積是否存在最小值？若存在，請求出矩形的最小面積，若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在，【分析】（1）設(shè)的邊長為，得出，即可求解；（2）連接，證明，即可求解；（3）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，根據(jù)四邊形的面積為，得出，則當(dāng)時，矩形的面積最小，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：（1）∵是面積為的等邊三角形，是的平分線，∴設(shè)的邊長為∴∴∴解得：，故答案為：．（2）如圖所示，連接，

∵在中，，，，點為的中點，∴，，又∵∴在中，∴∴；（3）如圖所示，

∵，，∴將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，∴三點共線，∴四邊形的面積等于，又∵，∴過點作于點，則設(shè)，則∴∴∵四邊形的面積為，∴，即,如圖所示，作于點，

∵，，，則，在中，∴，同理可得則∴，作點關(guān)于的對稱點，連接，則是等邊三角形，則，如圖所示，依題意，當(dāng)時，矩形的面積最小，此時與重合，，

∴∴矩形的最小面積為【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．35．問題提出：

（1）如圖1，點A為線段外一動點，且，，填空：當(dāng)__________時，線段的長取得最大值，且最大值為__________（用含a，b的式子表示）．問題探究：（2）點A為線段外一動點，且，，如圖2所示，分別以，為邊，作等邊三角形和等邊三角形，連接，，找出圖中與BE相等的線段，請說明理由，并直接寫出線段長的最大值．問題解決：（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點P為線段外一動點，且，，，求線段長的最大值及此時點P的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2）①理由見解析；②的最大值（3）的最大值是，點的坐標(biāo)為【分析】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，最大值問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（1）根據(jù)點位于的延長線上時，線段的長取得最大值，即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，，推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；②由于線段長的最大值線段的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；（3）連接，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，得到是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)當(dāng)在線段的延長線時，線段取得最大值，即可得到最大值為；如圖，過作軸于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）點為線段外一動點，且，，當(dāng)點位于的延長線上時即，線段的長取得最大值，且最大值為，故答案為：，；（2）①，理由：與是等邊三角形，，，，，即，在與中，，，；②線段長的最大值線段的最大值，由知，當(dāng)線段的長取得最大值時，點在的延長線上，最大值為；（3）將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則是等腰直角三角形，，，的坐標(biāo)為，，點的坐標(biāo)為，，，，，線段長的最大值線段長的最大值，當(dāng)在線段的延長線時，線段取得最大值，最大值，，最大值為；如圖，過作軸于，是等腰直角三角形，，，．36．已知，點M為線段的中點，點P為線段上一動點，過點P作直線l（不與重合），于點E，于點F．(1)如圖1，當(dāng)點P與點M重合時，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)點P不與點M重合時，（1）問中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？(3)在等邊中，點M為的中點，點P為邊上一動點，過點P的直線，于點E，于點F，連結(jié)．①如圖3，當(dāng)時，求的度數(shù)；②如圖4，當(dāng)時，探究的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)（1）中的結(jié)論仍成立，理由見解析(3)①，②【分析】（1）證明，即可得到結(jié)論；（2）延長交于點D，證明，則，得到，，即可得到結(jié)論；（3）①由等邊得到，由平行線性質(zhì)得到，則，求出．由（2）知即可得到；②將繞點M順時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，進(jìn)一步得到，則，得到，則，由得到，則，再證明，即可得到解論．【詳解】（1）解：，理由如下：∵M(jìn)為AB中點∴又∵，∴在和中∴∴；（2）（1）中的結(jié)論仍成立，理由如下：如圖2，延長交于點D，∵M(jìn)為的中點，∴，又∵，．∴，∴，在和中，∴∴，又∵，∴∴又∵，∴∴（3）①如圖3，∵等邊∴∵∴，∴，∵，點M為的中點∴∴∴．由（2）知∴②，理由如下；如圖4，由（2）知∴又∵∴∴．將繞點M順時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，∵∴即∴∴，∴∴又∵∴∴∴又∵，∴∴∴即．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)并添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．37．如圖，在四邊形中，，點在四邊形的內(nèi)部，且，，已知，則的長為．

【答案】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造全等三角形解決問題．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，過點F作，交延長線于H，證得，由30度直角三角形性質(zhì)求出，，再由勾股定理求出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出．【詳解】解：如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，過點F作，交延長線于H，

則，，，，，，，，，，即，∴，∴，∴，，，，，，，在和中，，，．【點睛】本題涉及考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、30度直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)將分散的條件集中到同一三角形，再證明三角形全等，進(jìn)行轉(zhuǎn)化線段關(guān)系是解題的關(guān)鍵．38．問題初探：（1）一天楊老師給同學(xué)們這樣一個幾何問題：如圖1，和都是等邊三角形，點在上．求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．類比分析：（2）楊老師發(fā)現(xiàn)，小明通過構(gòu)造全等三角形，將邊和轉(zhuǎn)移，使、、在一個三角形中，為了幫助學(xué)生更好的利用已知邊角的數(shù)量關(guān)系構(gòu)造全等三角形，楊老師將和換成兩個等腰直角三角形，并隱藏了一部分圖形，得到了下面的圖形，如圖3，并提出了下面的問題，請解答．已知：，，為AC邊上的一點，試判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系．學(xué)以致用：（3）如圖4．已知四邊形是正方形．點在上，，，試求出正方形的面積．【答案】（1）問題初探：見解析；小明通過探究發(fā)現(xiàn)：見解析；（2）類比分析：見解析；學(xué)以致用：【分析】（1）連接，由等邊三角形的性質(zhì)可證，由可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，，即可求證；(2)將線段繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，再由可判定，由由全等三角形的性質(zhì)得，由勾股定理得，即可求證；（3）將線段繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，由勾股定理可求，作，由外角性質(zhì)得，由直角三角形的特征可求，再由勾股定理求出的長，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，和都是等邊三角形，，，，，即，在和中，（），，，，為鈍角三角形，∴以、、為邊的三角形是鈍角三角形；(2)如圖2，將線段繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，，，，，，，在和中，（），，，，，，；（3）解：如圖3，將線段繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，由(2)可得，，，作，，，，，，，，．【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，能靈活利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．39．問題提出（）如圖所示，將含有和角的一副直角三角板與在直線，的頂點和角的頂點重合于點，點在直線上，為平分線，則．問題探究（）如圖，若將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，平分，請你探究度數(shù)是否會發(fā)生變化？若不變，求出其角度；若變化，請說明理由；問題解決（）如圖，從圖位置開始，將三角板繞點以每秒速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)首次與重合或當(dāng)與首次重合時，兩個三角板都停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)兩三角板的旋轉(zhuǎn)時間為，在整個旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)滿足，求的值．

【答案】（）；（）度數(shù)不會發(fā)生變化，為；（）或．【分析】（）利用角的和差關(guān)系及角平分線的定義即可求解；（）利用角的和差關(guān)系及角平分線的定義即可求解；（）由，可判斷出與重合前（含重合）和與重合后這兩個階段不存在滿足條件的值，由此得到滿足條件的值在與重合后到與重合時這個階段，根據(jù)角的和差關(guān)系列出方程即可求解；本題考查了角的旋轉(zhuǎn)，角的計算及角平分線的定義，能通過圖形找到所求角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）∵點在直線上，，，∴，∵為平分線，∴，故答案為：；（）∵將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，∴，，∵平分，為平分線，∴，，∴，∴度數(shù)不會發(fā)生變化，為；（）由圖可知，當(dāng)與重合前（含重合）和與重合后，，∴在這兩個階段不存在滿足條件的值，當(dāng)與重合后到與重合時，，，∴，∵，∴，∴或，解得或，∴當(dāng)時，的值為或．40．【初步感知】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出如下問題：如圖1，將等腰三角形紙片與等腰三角形紙片按圖示位置擺放，其中，．

求證：，請你完成證明．【深入探究】（2）如圖2，中，，點在底邊上，，，點在點的右側(cè)，連接．求證：．小明和小紅分別給出如下思路：①小明同學(xué)從軸對稱變化的角度做了研究：以為對稱軸，利用軸對稱構(gòu)造一個與全等的三角形，通過研究角的大小關(guān)系解決了問題．②小紅同學(xué)從旋轉(zhuǎn)變化的角度做了研究：以點為旋轉(zhuǎn)中心，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造一個與全等的三角形，也通過研究角的大小關(guān)系解決了問題．請你選擇一名同學(xué)的思路，寫出證明過程．【學(xué)以致用】為了幫助學(xué)生更好地感悟類比推理思想，李老師將圖2進(jìn)行修改并提出下面問題，請你解答．（3）如圖3，在（2）的條件下，將“點在點的右側(cè)”改為“點在點的左側(cè)”，其他條件不變，點E在線段上，且滿足，當(dāng)，，時，求的長．（用含的式子表示）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；（2）①過點作交于點，如圖所示，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得到兩個三角形全等的條件，從而判定，再由平行線的判定定理即可得到答案；②過點作交的延長線于點，如圖所示，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得到兩個三角形全等的條件，從而判定，再由平行線的判定定理即可得到答案；（3）延長，過點作交于點，連接，如圖所示，由等腰三角形性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)得到和為等邊三角形，結(jié)合平行線性質(zhì)，由三角形全等的判定與性質(zhì)得到、，再由等腰三角形判定與性質(zhì)即可得到答案．【詳解】證明：（1），，，，，∵在中，；在中，；；（2）①選擇小明同學(xué)，過點作交于點，如圖所示：

，由（1）得，，，，，，，∵在中，；在中，；又，，，，，，，，，，，；②選擇小紅同學(xué)，過點作交的延長線于點，如圖所示：

，∴由（1）得，，，由（1）得，，，，，，，，，，，，；（3）延長，過點作交于點，連接，如圖所示：

，，，，∴和為等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查三角形綜合，難度較大，涉及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰三角形判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形性質(zhì)，靈活運(yùn)用等腰三角形判定與性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．41．如圖1，點O為直線上一點，將兩個含角的三角板和三角板如圖擺放，使三角板的一條直角邊在直線上，其中．(1)將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得邊在的內(nèi)部且平分，此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為度；(2)三角板在繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，若在的內(nèi)部．試探究與之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，將圖1中的三角板繞點O以每秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，同時將三角板繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，將射線繞點O以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的射線記為，射線平分，射線平分，當(dāng)射線重合時，射線改為繞點O以原速按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在第二次相遇前，當(dāng)時，直接寫出旋轉(zhuǎn)時間t的值．【答案】(1)(2)當(dāng)在外部時，，當(dāng)在內(nèi)部時，，理由見解析(3)或或或【分析】（1）先根據(jù)平分得到，即可求出；（2）根據(jù)題意可得，作差即可求解；（3）先求出旋轉(zhuǎn)前的夾角，然后再求出第一次和第二次相遇所需要的時間，再設(shè)在第二次相遇前，當(dāng)時，需要旋轉(zhuǎn)時間為t，再分在的左側(cè)和在的右側(cè)兩種情況討論解答即可．【詳解】（1）解：平分，，三角板旋轉(zhuǎn)的角∶，故答案為：．（2）當(dāng)在外部時，，理由如下∶，，，當(dāng)在內(nèi)部時，，理由如下∶，；（3）射線平分，射線平分，，旋轉(zhuǎn)前，旋轉(zhuǎn)前與的夾角為：，與第一次相遇的時間為：秒，此時旋轉(zhuǎn)的角度為：此時OC與的夾角為：與OD第二次相遇的時間為：(秒)，設(shè)在與第二次相遇前，當(dāng)時，需要旋轉(zhuǎn)時間為，①，解得∶，②，解得∶，③，解得∶，，④，解得∶，．在OC與OD第二次相遇前，當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)時間為或或或．【點睛】本題考查了角的運(yùn)算，角的旋轉(zhuǎn)，角的平分線，余角和補(bǔ)角等知識，掌握角的平分線、余角、補(bǔ)角等概念才能在求解角度時需要合理運(yùn)用“等量代換”；求解角的旋轉(zhuǎn)時會出現(xiàn)多種情況運(yùn)用“分類討論思想”．本題難點在于旋轉(zhuǎn)后的多種情況的分析，清楚“旋轉(zhuǎn)前后的圖形是完全相等的，各邊旋轉(zhuǎn)角度相同，”是解題關(guān)鍵．42．?dāng)?shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展如下探究活動：

(1)【操作探究】如圖1，為等邊三角形，將繞點A旋轉(zhuǎn)，得到，連接，F(xiàn)是的中點，連接．①寫出圖1中一個等于的角；②圖1中與的數(shù)量關(guān)系是．(2)【遷移探究】如圖2，將（1）中的等邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，其他條件不變．探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，在，，，，將繞點A旋轉(zhuǎn)，得到，連接，F(xiàn)是的中點，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，直接寫出線段的長．【答案】(1)①或或或(寫出一個即可)；②(2)，理由見解析(3)或【分析】（1）①根據(jù)為等邊三角形，將繞點A旋轉(zhuǎn)，得到，可得，又F為中點，故，，可知；②由是的中位線，可得；（2）由等邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，可得，，，即得，而F為中點，，有，故是等腰直角三角形，，從而；（3）分兩種情況：當(dāng)在下方時，求出，，可得，故；當(dāng)在上方時，，，有．【詳解】（1）解：①∵為等邊三角形，將繞點A旋轉(zhuǎn)，得到，∴，∵F為中點，∴，是的中位線，也是的中位線，∴，∴；故答案為：或或或(寫出一個即可)；②由①知，是的中位線，∴；故答案為：；（2），理由如下：如圖：

∵等邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，，∴，∴，∵F為中點，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（3）當(dāng)在下方時，如圖：∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，F(xiàn)為中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴；當(dāng)BE在BC上方時，如圖：

∵，∴；綜上所述，的長為或1．【點睛】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形性質(zhì)及應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是掌握含特殊角的直角三角形三邊的關(guān)系．43．如圖，在中，，，于點D．點G是射線AD上一點，過G作分別交AB、AC于點E、F：

(1)如圖①所示，若點E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，當(dāng)點G與點D重合時，求證：；(2)如圖②所示，當(dāng)點G在線段AD外，且點E與點B重合時，猜想AE，AF與AG之間存在的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)當(dāng)點G在線段AD上時，請直接寫出的最小值．參考公式：【答案】(1)證明見詳解(2)，理由如下(3)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可求證；（2）過點作上交延長線于點，由等腰直角三角形可得，，由““可證，可得，可得結(jié)論；（3）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，過點作，交的延長線于點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則當(dāng)點，點，點，點共線時，的值最小，最小值為的長，由角所對直角邊是斜邊一半和勾股定理可求解．【詳解】（1）解：由題：在中，，，于點，,則也是上的中點，即是的垂直平分線，，，，，，，．（2），理由如下：如圖1，過點作交延長線于點，AI

，，，，，，，，，，又，，，．（3）如圖2，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，過點作，交的延長線于點，

，，，，，，是等邊三角形，，，當(dāng)點，點，點，點共線時，的值最小，最小值為的長，，，，，，，的最小值為：．【點睛】考查綜合運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的知識作輔助線證明的能力，用旋轉(zhuǎn)的知識解決幾何最值問題，對于與等腰直角三角形有關(guān)的證明題往往要進(jìn)行圖形的旋轉(zhuǎn)，把要證明的要素集中到一個熟悉的圖形中進(jìn)行，最值問題常常要通過軸對稱和旋轉(zhuǎn)把要求的線段之和或差轉(zhuǎn)化為俱有固定端點的折線，然后據(jù)兩點之間線段最短來解決．44．如圖①，在等腰直角三角形中，，D，E分別為的中點，F(xiàn)為線段上一動點（不與D，E重合），將線段繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．

(1)求證：．(2)如圖②，連接，交于點H．①證明：在點F的運(yùn)動過程中，總有；②若，直接寫出當(dāng)?shù)拈L度是多少時，為為等腰三角形？【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析，②1或【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，推出，是等腰直角三角形，得到，根據(jù)即可證明；（2）①證明，進(jìn)一步可得結(jié)果；②分為，此時，進(jìn)而求得結(jié)果；當(dāng)時，推出，從而求得結(jié)果；當(dāng)時，點F的點E重合，不合題意．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，即，是等腰直角三角形，，，在和中，，；（2）①證明：∵點D是的中點，點E是的中點，，，，，是等腰直角三角形，同理（1）得，，，；②解：由題意得：，，如圖1，

當(dāng)時，，，，，；如圖2，當(dāng)時，，，，，，，；當(dāng)時，，，此時F點和E點重合，不符合題意，綜上所述：或1時，是等腰三角形．【點睛】本題考查了等腰直角三角形判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，找出條件．45．如下圖，在和中，，，且，則可證明得到．

【初步探究】（1）如下圖，為等邊三角形，過點作的垂線，點為上一動點（不與點重合），連接，把線段繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連．請寫出與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

【思維提升】（2）如下圖，在中，以為邊向外作等邊，連接，，，，求長．

【拓展應(yīng)用】（3）如下圖，在中，，，作交于點，過點作直線，點是直線上的一個動點，線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，則的最小值為_____．

【答案】（1），理由見解析；（2）；（3）【分析】（1）．理由：證明