專題05 直接開平方法、因式分解法和配方法解一元二次方程壓軸題六種模型全攻略(解析版)

專題05直接開平方法、因式分解法和配方法解一元二次方程壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一解一元二次方程——直接開平方法】 1【考點二一元二次方程的解法——因式分解法】 3【考點三配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程】 5【考點四配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程】 6【考點五用配方法解一元二次方程錯解復原】 8【考點六利用配方法求多項式的最值問題】 10【過關檢測】 13【典型例題】【考點一解一元二次方程——直接開平方法】例題：（2023·上海·八年級假期作業(yè)）用開平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先方程兩邊同時乘以3，變形為，再開平方得，再解一元一次方程即可求解．（2）先把方程變形為，再開平方得，再解一元一次方程即可求解．【詳解】（1）解：或，，；（2）解：或，．【點睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握直接開平方法是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）解關于的方程：．【答案】，【分析】變形后利用直接開方法解方程即可．【詳解】整理得：，∴，∴或，∴，．【點睛】本題考查了直接開方法解一元二次方程，解題關鍵是熟記直接開平方法的解方程的步驟，準確進行計算即可．2．（2023春·全國·八年級專題練習）解方程：(1)(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先移項，寫成的形式，然后利用數(shù)的開方解答．（2）方程兩邊直接開方，再按解一元一次方程的方法求解．【詳解】（1）解：移項得，，開方得，，解得，．（2）方程兩邊直接開方得：，或，∴，或，解得：，．【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接開平方法解一元二次方程”是解本題的關鍵．【考點二一元二次方程的解法——因式分解法】例題：（2023·安徽馬鞍山·校考一模）解下列方程：．【答案】，【分析】首先移項，把方程的右邊化成，左邊分解因式，即可化成兩個一元一次方程，即可求解．【詳解】解：移項，得：則則或解得：，．【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵在于正確理解因式分解法的基本思想是化成一元一次方程．【變式訓練】1．（2023春·八年級統(tǒng)考期中）解方程：(1)；(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）把方程分解為兩個因式積的形式，進而可得出結論；（2）利用因式分解法解方程．【詳解】（1），，或，所以，；（2），，或，所以，．【點睛】本題考查了解一元二次方程因式分解法，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．2．（2023春·全國·八年級專題練習）解下列一元二次方程．(1)(2)【答案】(1)，，(2)，，【分析】（1）利用因式分解法求解即可得到答案；（2）移項，利用因式分解法求解即可得到答案；【詳解】（1）解：因式分解可得，，∴或，解得：，，故方程的解為：，；（2）解：移項得，，因式分解可得，，∴，，解得：，；【點睛】本題主要考查因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是選擇適當?shù)姆椒ń夥匠蹋究键c三配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）用配方法解關于的方程：．【答案】，【分析】先移項后，再配方得，再直接開方即可求解．【詳解】解：，移項得：，配方得：，即，，解得：，．【點睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的步驟是解題的關鍵．【變式訓練】1.（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學?？奸_學考試）解方程：．【答案】【分析】利用配方法求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關鍵．2.（2023秋·廣東東莞·九年級校聯(lián)考期末）解方程：．【答案】，【分析】根據(jù)配方法先配成：，然后解一元二次方程即可方法不唯一．【詳解】解：，，，，，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．【考點四配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程】例題：（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）用配方法解．【答案】【分析】利用配方法解一元二次方程即可．【詳解】解：，移項得，二次項系數(shù)化成1得，配方得，即∴，解得，．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．【變式訓練】1.（2023春·八年級單元測試）用配方法解一元二次方程：．【答案】，【分析】根據(jù)完全平方公式的形式進行配方，由此即可求解．【詳解】解：方程兩邊都乘，得，移項，得，配方，得，即，開平方，得，∴，，∴原方程的根是，．【點睛】本題主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法是解題的關鍵．2.（2023春·江蘇南通·八年級?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）先去括號，再利用配方法解一元二次方程即可得．【詳解】（1）解：，，，，即，，，所以方程的解為，．（2）解：，，，，，即，，，所以方程的解為，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的常用方法（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法、換元法等）是解題關鍵．【考點五用配方法解一元二次方程錯解復原】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）以下是圓圓在用配方法解一元二次方程的過程：解：移項得配方：開平方得：移項：所以：，圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．【答案】有錯誤，過程見解析【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法進而分析得出答案．【詳解】解：圓圓的解答過程有錯誤，正確的解答過程如下：移項得：，配方：，，開平方得：，移項：，所以：，．【點睛】此題主要考查了解一元二次方程，正確掌握配方法解方程的步驟是解題關鍵．【變式訓練】1.（2023秋·河北滄州·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答問題：佳佳解一元二次方程的過程如下：解：①②③④．問題：(1)佳佳解方程的方法是______；A．直接開平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法(2)上述解答過程中，從______步開始出現(xiàn)了錯誤（填序號），發(fā)生錯誤的原因是______；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．【答案】(1)B(2)②，等號右邊沒有加9(3)，．【分析】（1）利用配方法解方程的方法進行判斷；（2）第2步方程兩邊都加上4，則可判斷從②步開始出現(xiàn)了錯誤；（3）利用配方法解方程的基本步驟解方程．【詳解】（1）解：佳佳解方程的方法為配方法；故選：B；（2）解：上述解答過程中，從②步開始出現(xiàn)了錯誤，發(fā)生錯誤的原因是方程右邊沒有加上9；故答案為：②；等號右邊沒有加9；（3）解：正確解答為：解：，移項得，配方得，即，∴，∴或，所以，．【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關鍵．2.（2023春·八年級單元測試）用配方法解一元二次方程：．小明同學的解題過程如下：解：，小明的解題過程是否正確？若正確，請回答“對”；若錯誤，請寫出你的解題過程．【答案】錯誤，見解析【分析】運用配方法解答該方程即可判定正誤．【詳解】解：錯誤，正確解法如下：解得，．【點睛】本題主要考查了運用配方法解一元二次方程，掌握配方法成為解答本題的關鍵．【考點六利用配方法求多項式的最值問題】例題：（2023秋·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫作“配方法”．運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行因式分解，例如．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)分解因式：．(2)求多項式的最小值．【答案】(1)(2)-23【分析】（1）先利用完全平方公式進行配方，再利用平方差公式進行因式分解即可；（2）利用完全平方公式進行配方，根據(jù)平方的非負性即可得出答案．【詳解】（1）解：原式．（2）解：，，，多項式的最小值為．【點睛】本題考查利用完全平方公式進行配方以及利用平方差公式進行因式分解，熟練掌握兩個公式及其特點是本題解題關鍵．【變式訓練】1.（2023春·浙江·七年級專題練習）代數(shù)式的最小值為（

）．A． B．0 C．3 D．5【答案】A【分析】利用配方法對代數(shù)式做適當變形，通過計算即可得到答案．【詳解】代數(shù)式∵，∴即代數(shù)式，故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式和不等式的知識；解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式和不等式的性質，從而完成求解．2.（2023春·浙江·七年級專題練習）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因為，所以當時，M有最小值5請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個常數(shù)，使之成為完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．【答案】(1)16(2)(3)【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次項系數(shù)一半的平方即可；（2）利用配方法分解因式即可；（3）利用配方法得到，然后根據(jù)非負數(shù)的性質確定M的最小值．【詳解】（1）解：，故答案為：16；（2）解：；（3）解：∵，∴當時，M有最小值．【點睛】本題考查了因式分解?配方法等，熟練掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解決問題的關鍵．【過關檢測】一、選擇題1．（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時，原方程可變形為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，配方得，然后作答即可．【詳解】解：，配方得，故選：B．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程．解題的關鍵在于熟練掌握配方法解一元二次方程．2．（2023春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的根為（）A． B． C．， D．，【答案】D【分析】首先移項，將方程右邊移到左邊，再提取公因式x，可得，再根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”，即可求得方程的解．【詳解】解：，移項得：，因式分解得：，∴或，解得：，，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，解題關鍵在于要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法，本題運用的是因式分解法．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）用配方法解方程：，開始出現(xiàn)錯誤的一步是（

）①，②，③，④．A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】按照配方法的步驟逐步分析即可.【詳解】解：，，，．即．從用配方法的解題過程中可知，第③步開始出現(xiàn)錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：①把常數(shù)項移到等號的右邊；②把二次項的系數(shù)化為1；③等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．4．（2023春·安徽蚌埠·八年級校聯(lián)考階段練習）我們規(guī)定一種新運算“★”，其意義為，已知，則x的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)新運算的法則，列出一元二次方程，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，整理，得：，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查定義新運算，因式分解法解一元二次方程．解題的關鍵是理解新運算的定義，正確的列出一元二次方程．5．（2023春·安徽安慶·八年級安慶市第四中學?？计谀τ诙囗検剑捎?，所以有最小值3．已知關于x的多項式的最大值為10，則m的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】原式配方后，利用非負數(shù)的性質確定出m的值即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴的最大值為，∴，∴故選：B．【點睛】本題主要考查了配方法的應用，正確將原式配方是解題的關鍵．二、填空題6．（2023春·山東東營·八年級校聯(lián)考階段練習）方程的解為．【答案】【分析】根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”進行求解．【詳解】解：由，得或，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．7．（2023春·北京平谷·八年級統(tǒng)考期末）用配方法解方程時，將方程化為的形式，則，．【答案】【分析】先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊都加上1，然后把方程作邊寫成完全平方形式，從而得到m、n的值．【詳解】解：，移項得：，配方得：，即，∴，∴，故答案為：1，5．【點睛】本題考查解一元二次方程—配方法：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．8．（2023春·浙江·八年級專題練習）代數(shù)式的最小值為．【答案】1【分析】根據(jù)完全平方公式將原式變形為，然后利用完全平方式的非負性分析其最值．【詳解】解：∵∴∴代數(shù)式的最小值為1．故答案為：1．【點睛】本題考查完全平方公式的應用，掌握完全平方公式的結構及其非負性是解題關鍵．9．（2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）對于任意的實數(shù)a，b，定義一種新運算：，若，則的值為．【答案】或/或【分析】根據(jù)，由，可得：，據(jù)此求出的值為多少即可．【詳解】解：，，即：，，解得：，故答案為：或．【點睛】此題主要考查了實數(shù)的新定義運算，解一元二次方程，解題的關鍵是要熟練掌握利用因式分解法求解一元二次方程．10．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┑妊切蔚膬蛇呴L為方程的兩根，則這個等腰三角形的周長為【答案】【分析】先利用因式分解法求出方程的兩個根，從而可得等腰三角形的兩邊長，再根據(jù)等腰三角形的定義、三角形的三邊關系定理可得這個等腰三角形的三邊長，然后利用三角形的周長公式即可得．【詳解】解：，因式分解，得，解得，等腰三角形的邊長是方程的兩個根，這個等腰三角形的兩邊長為，(1)當邊長為的邊為腰時，這個等腰三角形的三邊長為，此時，不滿足三角形的三邊關系定理，舍去；(2)當邊長為的邊為腰時，這個等腰三角形的三邊長為，此時，滿足三角形的三邊關系定理，則這個等腰三角形的周長為；綜上，這個等腰三角形的周長為，故答案為：．【點睛】本題考查了解一元二次方程、等腰三角形的定義、三角形的三邊關系定理等知識點，熟練掌握一元二次方程的解法是解題關鍵．三、解答題11．（2023春·浙江·八年級專題練習）解方程：（用配方法）．【答案】【分析】利用配方法解答，即可求解．【詳解】解：，，，，，所以．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．12．（2023春·浙江·八年級專題練習）解下列方程．(用配方法)【答案】，【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：∵，∴，則∴即∴，解得：，．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解題的關鍵．13．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考期末）解方程(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）方程運用因式分解法求解即可；（2）方程運用直接開平方法求解即可．【詳解】（1），，則或，解得，；（2），，，，，，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．14．（2023春·全國·八年級專題練習）解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用分解因式法解一元二次方程即可；（2）先移項，然后用分解因式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，分解因式得：，∴或，解得：，．（2）解：，移項得：，分解因式得：，∴或，解得：，．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法，準確計算．15．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）用配方法解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，進行計算即可解答；（2）利用解一元二次方程-配方法，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：，，，，，；（2）（2），，，，，，，．【點睛】本題考查了解一元二次方程——配方法，熟練掌握解一元二次方程——配方法是解題的關鍵．16．（2023春·全國·八年級專題練習）用十字相乘法解方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】根據(jù)因式分解法求解即可.【詳解】（1）解：方程可以化為：，∴或，∴，；（2）解：方程可以化為：，∴或，∴，；（3）解：方程可以化為：，∴或，∴，．【點睛】本題考查了解一元二次方程－因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉化思想）．17．（2023春·浙江·八年級階段練習）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）移項后利用分解因式法求解即可；（3）原方程化為一般形式后再利用分解因式法求解；（4）原方程化為一般形式后再利用分解因式法求解.【詳解】（1）解：∵，∴，∴或，解得；（2）解：移項，得，即，進一步可變形為，∴或，解得：；（3）解：原方程可變形為，即為，∴或，解得：；（4）解：原方程即為，∴，∴或，解得：.【點睛】本題考查了一元二次方程的求解，屬于基本題目，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵.18．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）閱讀解方程的過程，并解決問題：解：方程兩邊分解因式，得，……第一步方程變形為，……第二步方程兩邊都除以，得，……第三步解得，……第四步(1)上述解方程的過程中從第______步開始出錯；(2)請用因式分解法求出該方程的解．【答案】(1)三(2)，【分析】（1）根據(jù)因式分解法解一元二次方程的步驟和等式的性質即可作出判斷；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程的步驟求解即可．【詳解】（1）解：上述解方程的過程中從第三步開始出錯，因為忽略這一情況，故答案為：三；（2）解：方程兩邊分解因式，得，方程變形為，移項，得，∴，則或，解得，．【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，熟知解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．19．（2023·全國·九年級專題練習）∵，∴我們把形如的式子稱為完全平方式．請解決下列問題：(1)代數(shù)式中，當時，代數(shù)式為完全平方式；(2)代數(shù)式中，當時，代數(shù)式為完全平方