專題11 模型構(gòu)建專題：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略（解析版）

專題11模型構(gòu)建專題：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一（雙）A字型相似】 1【考點二（雙）8字型相似】 5【考點三母子型相似】 11【考點四手拉手型相似】 15【考點五K字型相似】 21【考點六三角形內(nèi)接矩形】 26【典型例題】【考點一（雙）A字型相似】【基本模型】①如圖，在中，點D在上，點E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．例題：如圖，在中，點分別在上，且．（1）求證：；（2）若點在上，與交于點，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算，得到答案．【詳解】解：∵AE=2，EC=3，∴AC=AE+EC=5，∵DEBC，∴△ADE∽△ABC，∴，故選：A．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．2．已知：D、E是△ABC的邊AB、AC上的點，AB＝8，AD＝3，AC＝6，AE＝4，求證：△ABC∽△AED．【答案】見解析【分析】根據(jù)已知線段長度求出，再根據(jù)∠A=∠A推出相似即可．【詳解】證明：在△ABC和△AED中，∵，，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED．【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：有兩邊的對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似．3．如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由題意易得，則有，進而問題可求證；（2）由（1）及題意可知，然后可得，進而可證，最后問題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【考點二（雙）8字型相似】【基本模型】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．例題：如圖，在平行四邊形中，為上一點，連接、，且、交于點，：：，則：（

）A．： B．： C．： D．：【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DCAB，DC=AB，得到△DFE△ABF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵E為上一點，∴∴，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.如圖，，，分別交于點G，H，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵AB∥CD，∴，∴A選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B選項正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D選項不正確，符合題目要求．故選D．2．如圖，一人站在兩等高的路燈之間走動，為人在路燈照射下的影子，為人在路燈照射下的影子．當(dāng)人從點走向點時兩段影子之和的變化趨勢是（

）A．先變長后變短 B．先變短后變長C．不變 D．先變短后變長再變短【答案】C【詳解】解：連接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,∴四邊形CDFE為矩形.∴DF∥GH,∴又AB∥CD，∴.設(shè)=a，DF=b,∴,∴∴∴GH=，∵a,b的長是定值不變，∴當(dāng)人從點走向點時兩段影子之和不變．故選：C.3．如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，CF交BE于點G，若，則___．【答案】2【分析】延長CF、BA交于M，根據(jù)已知條件得出EF＝AF，CE＝DC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，DC＝AB，根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可．【詳解】解：延長CF、BA交于M，∵E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案為：2．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．4．圖，，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．【答案】【詳解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴，∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=．5．如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F．（1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE；（2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點G，連接CG交AD于M，求證：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析【詳解】（1）BF⊥AD，在和中，∵，∴；（2）①過G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，設(shè)DC=k，BD=4k，∴BH=DH=2k，∵GH∥AD，∴，∴GM=2MC；②過C作CN⊥AC交AD的延長線于N，則CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴，∴△ACN∽△BAF，∴，∵AB=AG，∴，∴2CN?AG=AF?AC，∴AG2=AF?AC．【考點三母子型相似】【基本模型】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點與C點重合時，為其常見的一個變形，即子母型．當(dāng)時，，則有．例題：如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，AD＝BD．(1)求證：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的長．【答案】(1)見解析；(2)4．【分析】（1）先證明∠A＝∠DBA，進而得到∠A＝∠CBD，再根據(jù)∠C＝∠C，即可證明△ABC∽△BDC；（2）根據(jù)∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根據(jù)（1）得到∠A=∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．（1）證明：如圖，∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD平分∠ABC交AC于點D，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC；（2）解：如圖，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，由（1）得∴∠A=∠ABD＝∠CBD，∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∵BC＝2，∴AB＝4．【點睛】本題考查了相似三角形的證明和直角三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵，第（2）步中求出∠A＝30°是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相似三角形的性質(zhì)得，即可求出CD的長．【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；（2）由可證，進而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關(guān)系．【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．3.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于點D．（1）如圖（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的長；（2）如圖（2），過點A分別作AC，BD的垂線，分別交BC，BD于點E，F(xiàn)．①求證：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【答案】（1）AD＝；（2）①見解析；②．【詳解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，即，∴AD＝（2）①證明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.②如圖，取CE的中點M，連接AM.在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，∴．【考點四手拉手型相似】【基本模型】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來源:Zxxk.Com]②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長線與相交于點P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點、一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點、另一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．例題：如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，，，；（2）四邊形是正方形，，，，同理可得，，，，；（3），，，，，，即，，，，即正方形的邊長為．【變式訓(xùn)練】1.如圖，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．40° D．無法確定【答案】B【解答】ACAE=23，ABAD=∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故選：B．2．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P為線段CA延長線上一動點，連接PB，將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）當(dāng)α＝120°時，若AB＝6，BP＝，請直接寫出點D到CP的距離．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【分析】（1）當(dāng)α＝60°時，△ABC和△PBD為等邊三角形，根據(jù)三角形全等即可求證；（2）過點作，求得，根據(jù)題意可得，可得，再根據(jù)，判定，得到，即可求解；（3）過點作于點，過點作于點，分兩種情況進行討論，當(dāng)在線段或當(dāng)在線段延長線上時，設(shè)根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)α＝60°時，∵AB＝AC∴△ABC為等邊三角形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴△PBD為等邊三角形∴，∴在和中∴∴（2）過點作，如下圖：∵當(dāng)α＝120°時，∴，∴由勾股定理得∴∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，又∵∴又∵，∴∴∴∴（3）過點作于點，過點作于點，則點D到CP的距離就是的長度當(dāng)在線段上時，如下圖：由題意可得：∵α＝120°，∴在中，，∴，在中，，，∴∴，由（2）得由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得則當(dāng)在線段延長線上，如下圖：則，由（2）得，設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得則綜上所述：點D到CP的距離為或【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，綜合性比較強，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點五K字型相似】【基本模型】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補充：其他常見的一線三等角圖形例題：如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點，使得AE⊥DE．(1)求證：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）CD＝．【詳解】(1)證明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD.(2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2，∵△ABE∽△ECD，∴，∴，∴CD＝.【變式訓(xùn)練】1．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長．【答案】（1）證明見解析；（2）8．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）先利用勾股定理求出PC的長，從而可得BP的長，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】（1），，，在和中，，；（2）在中，，，，，由（1）已證：，，即，解得．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2.如圖，已知邊長為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動點（與B、C不重合），連結(jié)AE，G是BC延長線上的點，過點E作AE的垂線交∠DCG的角平分線于點F，若FG⊥BG．（1）求證：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面積；（3）當(dāng)△CEF的面積最大時，求EC．【答案】（1）見解析.（2）8.（3）EC=5.【詳解】解：（1）四邊形是正方形，，，，，，，；（2），，，，，由（1）知，，，，，；（3）設(shè)，則，，由（1）知，，，，，，當(dāng)時，．3．（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當(dāng)時，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）先證△ABD△DFE，求出DF=4，再證△EFC△DEC，可求FC＝1，進而解答即可．【詳解】（1）證明：如題圖1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，（2）結(jié)論仍然成立，理由如下，，又，，，設(shè)，，，，∴ADBC=APBP，（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，,，，，．【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過構(gòu)造45°角將問題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．【考點六三角形內(nèi)接矩形】【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，例題：如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的頂點D、G分別在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DE