福建省泉州市2025屆高中畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)卷數(shù)學(xué)試題（2024.07）（解析版）

第1頁/共1頁2025屆高中畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)卷數(shù)學(xué)考生注意：1．考生需先將自己的姓名、考生號填寫在試卷、答題卡和草稿紙上，并仔細(xì)核對答題卡上粘貼的條形碼的“姓名、考生號”與考生本人的“姓名、考生號”是否一致．2．請考生認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項(xiàng)，并在答題卡上作答．超出規(guī)定答題區(qū)域或未規(guī)范書寫的答案無效．在草稿紙、試題卷上答題無效．3．保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損．考試結(jié)束后，將本試卷、草稿紙和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡集合，根據(jù)交集的概念即可得解.【詳解】要使有意義，則需，但這不可能，即，則.故選：D．2.若，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.0 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】解方程，可得或1，則得復(fù)數(shù)的虛部為0.【詳解】由解得或1，則復(fù)數(shù)的虛部為0，故選：B．3.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】由可知，即該式對于任意均成立.故選：D．4.橢圓，其右焦點(diǎn)為，若直線過點(diǎn)與交于，則最小值為（）A B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】由題意當(dāng)為通徑時，即垂直軸時，其長度最小，由此即可得解．【詳解】要使最小，即為和焦點(diǎn)在的軸垂直的直線截得的線段長．右焦點(diǎn)為，直線為，聯(lián)立此直線和橢圓解得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故最小值為1．故選：B．5.已知一圓臺內(nèi)切球與圓臺各個面均相切，記圓臺上、下底面半徑為，若，則圓臺的體積與球的體積之比為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相切，可得，即可得，進(jìn)而根據(jù)體積公式即可求解.【詳解】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形的腰相切于點(diǎn)，與上、下底的分別切于點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，圓臺上下底面的半徑為．注意到與均為角平分線，因此，從而，故．設(shè)圓臺的體積為，球的體積為，則故選：A．6.函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)量至多為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)，然后畫圖分情況討論即可【詳解】由，得，令和，所以的零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，所以與圖象只有一個交點(diǎn)，當(dāng)時，當(dāng)時，兩函數(shù)圖象有2個交點(diǎn)，當(dāng)逐漸增大時，交點(diǎn)從2個變?yōu)?個，到0個，所以的零點(diǎn)數(shù)量至多為2，故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本小題主要考查零點(diǎn)的概念和函數(shù)的單調(diào)性等知識；解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等；體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注．7.如圖是函數(shù)的部分圖象，記的導(dǎo)數(shù)為，則下列選項(xiàng)中值最大的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可判斷.【詳解】由圖可知，為負(fù)數(shù)，為正數(shù)，故不選，設(shè)在處的點(diǎn)為，顯然的斜率大于，則，可轉(zhuǎn)化為，所以的值最大.故選：A．8.已知，則的最大值為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】由三角恒等變換得出是方程的一個實(shí)根，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求解.【詳解】；，即是方程的一個實(shí)根．令，，顯然，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，即．故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到是方程的一個實(shí)根，進(jìn)一步結(jié)合零點(diǎn)存在定理以及函數(shù)單調(diào)性即可順利得解.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.已知方程，其中．下列命題為真命題的是（）A.可以是圓的方程 B.可以是拋物線的方程C.可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 D.可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】ABC【解析】【分析】對于ABC，舉例分析判斷，對于D，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合已知條件分析判斷.【詳解】對于A，因?yàn)榉匠?，其中，所以?dāng)時，方程為，即是圓的方程，故方程可以是圓的方程，所以A正確；對于B，當(dāng)時，方程為，即是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程，所以B正確；對于C，當(dāng)時，方程為，即是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故方程可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以C正確；對于D，若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則有，這與矛盾，故方程不可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以D錯誤.故選：ABC．10.某人在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為，其中，設(shè)擊中偶數(shù)次為事件，則（）A.當(dāng)時，取得最大值 B.當(dāng)時，取得最小值C.當(dāng)隨的增大而減小 D.當(dāng)隨的增大而減小【答案】AD【解析】【分析】對于AB，直接由二項(xiàng)分布的方差公式即可求解；對于CD，可以根據(jù)二項(xiàng)式定理得出，進(jìn)一步通過的范圍即可判斷的單調(diào)性.【詳解】對于AB：，當(dāng)時，取得最大值，故A正確，B錯誤；對于CD：，，，，當(dāng)時，為正負(fù)交替的擺動數(shù)列，所以不會隨著的增大而減小，故C錯誤；當(dāng)時，為正項(xiàng)且單調(diào)遞減數(shù)列，所以隨著的增大而減小，故D正確.故選：AD．11.已知函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】B選項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為有兩個交點(diǎn)，構(gòu)造，求出定義域，求導(dǎo)得到的單調(diào)性，令，作出的圖象，得到單調(diào)性，所以，求出，故；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，故，因此；對于D，因?yàn)椋?，?gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，而，所以，，換元后構(gòu)造，單調(diào)遞增，且，所以，所以；A選項(xiàng)，根據(jù)，得到，換元得到，由單調(diào)遞增，且，得到，A錯誤；【詳解】B選項(xiàng)，由函數(shù)有兩個不同零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有兩個交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，定義域?yàn)?，則，故，所以在單調(diào)遞增，而，令，可得圖象如圖所示：故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，，所以，所以，故B正確；對于C，由B可知，，因此，故C正確；對于D，因?yàn)椋?，故，所以，則，構(gòu)造函數(shù)，則，而，所以，所以，因?yàn)?，所以，令，?gòu)造，顯然單調(diào)遞增，且，所以，所以，故D正確；對于A，因?yàn)?，所以，所以，令，顯然單調(diào)遞增，且，所以，A錯誤；故選：BCD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問題：將函數(shù)零點(diǎn)問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進(jìn)行解決.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．將答案填在答題卡的相應(yīng)位置．12.已知單位向量滿足，則的值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件有，對兩邊平方有，解得或，驗(yàn)證兩種情況，確定的值.【詳解】記的夾角為，均為單位向量，則，由，即，兩邊平方，得，即，即，則，當(dāng)時，，不符合題意，所以，又，則.故答案為：.13.圍棋在中國古時稱"弈"，是一種策略性二人棋類游戲．圍棋棋盤由縱橫各19條等距離、垂直交叉的平行線構(gòu)成．則圍棋棋盤上的矩形數(shù)量為_____________．（用數(shù)字作答）【答案】29241【解析】【分析】直接由組合數(shù)知識以及乘法原理即可得解.【詳解】矩形是在同一平面內(nèi)，由兩組平行線段組成，且每兩相交線段均垂直的閉合圖形．則橫向19條線、縱向19條線中各選擇2條即可，即.故答案為：29241．14.要使正方體以直線為軸，旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，則的最小正值為_____________．【答案】120【解析】【分析】由正方體的性質(zhì)可證得平面，且為正三角形，所以只需要旋轉(zhuǎn)后能和自身重合即可，從而可求得答案.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可證得，因?yàn)椋矫?，所以平面，同理可證得平面，因?yàn)闉榈冗吶切?，，所以過的中心，設(shè)的中心為點(diǎn)，連接，則，同理也過等邊的中心，若正方體繞旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，只需要和旋轉(zhuǎn)后能和自身重合即可，因此至少旋轉(zhuǎn).故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本小題主要考查正方體特征及垂直等知識；解題的關(guān)鍵是證明平面，考查運(yùn)算求解能力等；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等；體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展發(fā)展直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的關(guān)注．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，角所對的邊分別為，已知且均為整數(shù)．（1）證明：；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，求的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）首先得出，即，進(jìn)一步根據(jù)三角恒等變換以及，且均為整數(shù)，可得，由此即可得證；（2）由題意先得出，，結(jié)合正弦定理有，再結(jié)合余弦定理以及等邊對等角即可得解.【小問1詳解】在中，均為整數(shù)，，，且，最?。?dāng)，矛盾，，則，且為整數(shù)，，．又，即．由均為整數(shù)，且，由，可得，又因?yàn)椋傻?，故．．【小?詳解】由（1）知，，則．由正弦定理，可得，又的中點(diǎn)為．在中，由余弦定理，得，，則，．16.為更好地發(fā)揮高考的育才作用，部分新高考試題采用了多選題這一新題型．多選題的評分規(guī)則如下：對于多選題，每個小題給出的四個選項(xiàng)中有兩項(xiàng)或三項(xiàng)是正確的，滿分6分．全部選對得6分，有錯選或全不選的得0分．正確答案為兩項(xiàng)時，選對1個得3分；正確答案為三項(xiàng)時，選對1個得2分，選對2個得4分．某數(shù)學(xué)小組研究發(fā)現(xiàn)，多選題正確答案是兩個選項(xiàng)的概率為，正確答案是三個選項(xiàng)的概率為．現(xiàn)有一道多選題，學(xué)生李華完全不會，此時他有三種答題方案：Ⅰ．隨機(jī)選一個選項(xiàng)；Ⅱ．隨機(jī)選兩個選項(xiàng)；Ⅲ．隨機(jī)選三個選項(xiàng)．（1）若，且學(xué)生李華選擇方案I，求本題得分的數(shù)學(xué)期望；（2）以本題得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，的取值在什么范圍內(nèi)唯獨(dú)選擇方案Ⅰ最好？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）記為“從四個選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個選項(xiàng)的得分”，則可以取0，2，3，由全概率公式算出對應(yīng)的概率，即可得分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望；（2）分別求出三個得分的數(shù)學(xué)期望，然后列出不等式組，即可求得的取值范圍.【小問1詳解】記為“從四個選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個選項(xiàng)的得分”，則可以取0，2，3，，，，所以的分布列為023則數(shù)學(xué)期望．【小問2詳解】記為“從四個選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個選項(xiàng)的得分”，則的所有可能取值為0，2，3，則，，，所以；記為“從四個選項(xiàng)中隨機(jī)選擇兩個選項(xiàng)的得分”，則的所有可能取值為：0，4，6，則，，，所以；記為“從四個選項(xiàng)中隨機(jī)選擇三個選項(xiàng)的得分”，的所有可能取值為：0，6，則，，所以．要使唯獨(dú)選擇方案最好，則，解得：，故的取值范圍為．17.已知拋物線，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，過焦點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，且為正三角形．（1）求面積；（2）取平面外一點(diǎn)使得，設(shè)為的中點(diǎn)，若，求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）引入?yún)?shù)，想辦法表示出，結(jié)合即可建立關(guān)于的方程，求得記得等邊三角形邊長，進(jìn)一步得面積；（2）由，，得到兩兩垂直，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量即可進(jìn)一步求解.【小問1詳解】由已知得，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線的方程為，弦的中點(diǎn)，如圖所示，聯(lián)立消去并整理得，則，所以，所以，即，所以，為等邊三角形，則，（否則時，不妨設(shè)，則由等邊三角形的對稱性可知的坐標(biāo)只能是，但），則設(shè)直線的方程為，即，所以點(diǎn)，又，所以，解得，所以．又，故．【小問2詳解】由題為正三棱錐，即，又正三棱錐各側(cè)面三角形都全等，所以，而，為的中點(diǎn)，從而，所以，因此，即兩兩垂直，故可將補(bǔ)成如圖所示的正方體，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：因?yàn)?，所以，顯然，面，故可取面的一個法向量，又為的中點(diǎn)，則，且，設(shè)平面的法向量，即，取，則,由圖可知二面角是銳角，二面角的余弦值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵在于得到兩兩垂直，以及，，由此即可順利得解.18.已知數(shù)列滿足遞推式，且，數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若數(shù)列滿足：，證明：．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由構(gòu)造等差數(shù)列法求得，進(jìn)一步根據(jù)已知求得，從而由的關(guān)系即可求解；（2）利用二項(xiàng)式定理以及求導(dǎo)法則可得，從而，結(jié)合錯位相減法即可求解；（3）化簡表達(dá)式得，進(jìn)一步有，通過放縮法結(jié)合時的情形即可得證.【小問1詳解】由題可知：，將化為，可得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由題，，則，兩式相減可得，即，整理得，所以；令，可得，即，所以；當(dāng)為偶數(shù)時，可得：①；當(dāng)為奇數(shù)時，可得：②．結(jié)合①②可得：，則，且滿足上式，綜上所述，；【小問2詳解】令，則，故，即，故，則，所以當(dāng)時，，，所以；【小問3詳解】由題，數(shù)列滿足，即，則，所以，兩式相減得，，當(dāng)時，，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵是得出的表達(dá)式，第三問的關(guān)鍵在于得出，由此即可順利得解.19.懸鏈線在建筑領(lǐng)域有很多應(yīng)用．當(dāng)懸鏈線自然下垂時，處于最穩(wěn)定的狀態(tài)，反之其倒置時也是一種穩(wěn)定狀態(tài)．鏈函數(shù)是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，正鏈函數(shù)表達(dá)式為，相應(yīng)的反鏈函數(shù)表達(dá)式為．（1）證明：曲線是軸對稱圖形；（2）若直線與函數(shù)和的圖