福建省泉州市部分地區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析）

2024-2025學(xué)年福建省泉州市部分地區(qū)高一上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷【滿分：150】一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式可求得集合，易知，可得結(jié)果.【詳解】解不等式可得，易知，所以.故選：D2.一組數(shù)據(jù)2，3，5，x，7，4，6，9的眾數(shù)是4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.4 B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】由眾數(shù)得，進(jìn)一步由中位數(shù)的概念即可得解.【詳解】這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)4，，將數(shù)據(jù)從小到大排列為：2，3，4，4，5，6，7，9則中位數(shù)為：4.5．故選：B．3.已知有理數(shù)a，b滿足，則的值為（）A. B. C.或0 D.或0【答案】C【解析】【分析】分4種情況討論即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)，時(shí)，原式=；當(dāng)，時(shí)，原式；當(dāng)，時(shí)，原式；當(dāng)，時(shí)，原式．故選：C．4.如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出，根據(jù)四點(diǎn)共圓性質(zhì)得，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可求解.【詳解】是半圓O的直徑，，，，四邊形是半的內(nèi)接四邊形，，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，，，，故選：C．5.已知關(guān)于x，y的方程組的解是．則關(guān)于x，y的方程組的解是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)其中一個(gè)方程組進(jìn)行適當(dāng)變形，結(jié)合方程組解的概念即可列方程組求解的值.【詳解】可化為：，關(guān)于x，y的方程組的解是，的解為：；解得：．故選：D．6.一個(gè)不透明小立方塊的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開(kāi)圖如圖1所示．在一張不透明的桌子上，按圖2方式將三個(gè)這樣的小立方塊搭成一個(gè)幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小是（）A.31 B.32 C.33 D.34【答案】B【解析】【分析】找到三組位置關(guān)系為對(duì)面數(shù)字，分析使題圖2中幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小各正方體所能看到的數(shù)字，求出該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小的值.【詳解】由正方體表面展開(kāi)圖可知，“1”與“3”，“2”與“4”，“5”與“6”所在的面是對(duì)面，因此要使題圖2中幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，最右邊的那個(gè)正方體所能看到的4個(gè)面的數(shù)字為1，2，3，5，最上邊的那個(gè)正方體所能看到的5個(gè)面的數(shù)字為1，2，3，4，5，左下角的那個(gè)正方體所能看到的3個(gè)面的數(shù)字為1，2，3，所以該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小為．故選：B.7.如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊上．連接．按以下步驟作圖：（1）以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于M，N兩點(diǎn)；（2）再分別以M，N兩點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；（3）連接并延長(zhǎng)，分別交，于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若，連接，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】將轉(zhuǎn)換為，故只需分別求出即可求解.詳解】∵，，，∴，∴為直角三角形，，∴，由作圖可知：平分，∴，∵，∴，∴，，∴垂直平分，∴，過(guò)點(diǎn)F作，則：為等腰直角三角形，設(shè)，則：，∴，∴，解得：，∴，，∵，∴，∴；故選：B．8.如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)Aa,0和，交y軸于點(diǎn)，拋物線頂點(diǎn)為D．下列結(jié)論正確的是（）①若，則②當(dāng)時(shí)，且y的最小值為③拋物線上有兩點(diǎn)Px1,y1和Qx④當(dāng)時(shí)，對(duì)于拋物線上兩點(diǎn)、，若，則A.②③ B.①② C.③④ D.②④【答案】D【解析】【分析】由題意得拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、已知條件逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】∵，∴對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為，∴，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，∵，拋物線開(kāi)口向上，拋物線與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)和，∴當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為，且最小值為，故②正確；對(duì)于③，∵對(duì)稱軸為直線，，且，∴到x軸距離小于到x軸的距離，∴，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，令，則，解得，，∴，，若，則，∴，∴，故④正確．∴正確的有②④，故選：D．二、選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得補(bǔ)部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題中，是真命題的有（）A.集合的所有真子集為B.若（其中），則C.是等邊三角形是等腰三角形D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)真子集的定義即可判斷A；根據(jù)等集的定義即可判斷B；根據(jù)子集的定義即可判斷CD.【詳解】集合真子集是，共3個(gè)，所以A為假命題；由，知，，則，則B為真命題；等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以C為真命題；，所以，所以D為假命題．故選：BC.10.已知命題：，，則命題成立的一個(gè)充分條件可以是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先求出的充要條件，再對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)一一判斷.【詳解】由命題：，．故命題成立的一個(gè)充分條件是的子集，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，ABD符合要求.故選：ABD．11.設(shè)，為正實(shí)數(shù)，則下列命題中是真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，熟練應(yīng)用作差比較進(jìn)行運(yùn)算，即可求解，得到答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由，為正實(shí)數(shù)，且，可得，所以，所以，若，則，可得，這與矛盾，故成立，所以A中命題為真命題；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，則，但，所以B中命題為假命題；對(duì)于C選項(xiàng)，取，，則，但，所以C中命題為假命題；對(duì)于D選項(xiàng)，由，則，即，可得，所以D中命題為真命題.故選AD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，熟練應(yīng)用作差比較進(jìn)行運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若點(diǎn)，，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是____________．【答案】【解析】【分析】設(shè)所求為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程求出即可.【詳解】∵點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為，∴B為的中點(diǎn)，設(shè)的坐標(biāo)為，∴，，∴，∴的坐標(biāo)是．故答案為：．13.使分式與的值相等的x的值為_(kāi)____．【答案】9【解析】【分析】直接解分式方程即可求解.【詳解】根據(jù)題意得：，去分母得：，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原方程的解為，即使分式與的值相等的x的值為9．故答案為：9．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，連接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，此時(shí)點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】通過(guò)全等三角形（一線三垂直模型）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上求得的值即可.【詳解】過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，連接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，∴，，，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．四、解答題：本題共5分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.配方法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為一個(gè)完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成(a、b是正整數(shù))的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”，例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．解決問(wèn)題（1）已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成(a、b是正整數(shù))的形式__________；（2）若可配方成(m、n為正整數(shù))，則__________；探究問(wèn)題（3）已知(x、y是整數(shù)，k是常數(shù))，要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）6；（3）13，理由見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)完美數(shù)的定義即可求解；（2）根據(jù)配方法的相關(guān)知識(shí)即可求解；（3）根據(jù)配方法以及完美數(shù)的定義即可求解.【詳解】（1），故答案為：；（2），∴，，∴；故答案為：6；（3）∵S是“完美數(shù)”，，也是整數(shù)，∴k可以取13．16設(shè)命題，使得不等式恒成立；命題，不等式成立．（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題、有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若為真命題，即對(duì)于，即可.（2）若為真命題，即轉(zhuǎn)化為對(duì)于，即可求出的范圍，再分類討論的真假即可解出.【小問(wèn)1詳解】若為真命題，即，使得不等式成立，則對(duì)于，即可.由于,，則.【小問(wèn)2詳解】若為真命題，即，不等式成立，則對(duì)于，即可.由于，，，解得p、q有且只有一個(gè)是真命題，則或，解得.17.“抖音直播帶貨”已經(jīng)成為時(shí)尚的銷售方式，某帶貨主播準(zhǔn)備銷售一種防護(hù)品，進(jìn)貨價(jià)格為每件50元，并且每件的售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)．經(jīng)過(guò)初期試銷售調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每月的銷售量y(件)與每件的售價(jià)x(元)之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．（1）求每月的銷售量y(件)與每件的售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；(不必寫出自變量的取值范圍)（2）物價(jià)部門規(guī)定，該防護(hù)品每件的利潤(rùn)不許高于進(jìn)貨價(jià)的．該帶貨主播銷售這種防護(hù)品每月的總利潤(rùn)要想達(dá)到10000元，那么每件的售價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】（1）（2）每件的售價(jià)應(yīng)定為，可達(dá)到10000元【解析】【分析】（1）設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為y=（2）根據(jù)題意得：，求解結(jié)合條件可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由圖象可知每月銷售量y(件)與售價(jià)x(元)之間為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為y=將，代入，得，解得：，∴每月銷售y(件)與售價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式為且﹔【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意得：，整理得，，解得，，∵該防護(hù)品的每件利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的，∴，即，∴．∴當(dāng)這種防護(hù)品每件的售價(jià)定為70元時(shí)，該主播每月的總利潤(rùn)可達(dá)到10000元．18.如圖，是的直徑，與相交于點(diǎn)E．過(guò)點(diǎn)D的圓O的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的半徑．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）由圓以及平行線的性質(zhì)即可求解；（2）首先證明，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接．為的切線，．，．，．，．【小問(wèn)2詳解】如圖，連接，，，．，，且，，，即，，，即半徑為2．19.半掛車是掛車中的一種類型，是通過(guò)牽引銷與半掛車頭相連接的一種重型運(yùn)輸交通工具.如圖是一種輕體側(cè)翻自卸半掛車.圖1是半掛車?yán)洜顟B(tài)截面示意圖，圖2是其卸貨狀態(tài)截面示意圖，四邊形為矩形，已知該車的車廂長(zhǎng)為13米，寬為2.5米．高為2米，車板離地的距離為1米．請(qǐng)你計(jì)算：（1）該半掛車的車廂容積為_(kāi)_____