廣東省2025屆高三上學期畢業(yè)班調研考試（一） 數(shù)學試卷（含解析）

2025屆廣東省高三畢業(yè)班調研考試（一）數(shù)學試卷及答案一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，是兩個虛數(shù)，則“，均為純虛數(shù)”是“為實數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知和的夾角為，且，則（

）A． B． C．3 D．94．已知，則（

）A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，.記分別為數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B．C． D．6．已知體積為的球與正四棱錐的底面和4個側面均相切，已知正四棱錐的底面邊長為.則該正四棱錐體積值是（

）A． B． C． D．7．斐波那契數(shù)列因數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定義：設為斐波那契數(shù)列，，其通項公式為，設是的正整數(shù)解，則的最大值為（

）A．5 B．6 C．7 D．88．函數(shù)與函數(shù)有兩個不同的交點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．現(xiàn)有十個點的坐標為，它們分別與關于點對稱已知的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，極差為，則這組數(shù)滿足（

）A．平均數(shù)為 B．中位數(shù)為C．方差為 D．極差為10．設是非零復數(shù)，則下列選項正確的是（

）A．B．C．若，則的最小值為3D．若，則的最小值為.11．已知定義在上的函數(shù)的圖象連續(xù)不間斷，當，且當x>0時，，則下列說法正確的是（

）A．B．在上單調遞增，在上單調遞減C．若，則D．若是在內的兩個零點，且，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知等差數(shù)列的首項，公差，求第10項的值為.13．若，則.14．如圖，在矩形中，分別是矩形四條邊的中點，點在直線上，點在直線上，，直線與直線相交于點，則點的軌跡方程為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角的對邊分別為，已知(1)求；(2)若分別為邊上的中點，為的重心，求的余弦值.16．設兩點的坐標分別為.直線相交于點，且它們的斜率之積是.設點的軌跡方程為.(1)求;(2)不經過點的直線與曲線相交于、兩點，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過定點.17．如圖所示，四邊形是圓柱底面的內接四邊形，是圓柱的底面直徑，是圓柱的母線，是與BD的交點，.(1)記圓柱的體積為，四棱錐的體積為，求；(2)設點在線段上，且存在一個正整數(shù)，使得，若已知平面與平面的夾角的正弦值為，求的值.18．已知函數(shù)，(1)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線x=-1對稱，試求；(2)證明；(3)設是的根，則證明：曲線在點處的切線也是曲線的切線.19．如果函數(shù)的導數(shù)為，可記為，若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積.如：，其中為常數(shù)；，則表及軸圍成圖形面積為4.(1)若，求的表達式；(2)求曲線與直線所圍成圖形的面積；(3)若，其中，對，若，都滿足，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】B【分析】先解不等式求得集合，進而求得.【詳解】集合.而，故.故選B.2．【答案】A【分析】設且,可得，如，可得結論.【詳解】若均為純虛數(shù)，設且,則，所以“均為純虛數(shù)”是是實數(shù)的充分條件，當，，所以“均為純虛數(shù)”是是實數(shù)的不必要條件，綜上所述：“均為純虛數(shù)”是是實數(shù)的充分不必要條件.故選A.3．【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運算求得正確答案.【詳解】.故選C.4．【答案】B【分析】利用兩角和差公式以及倍角公式化簡求值可得答案.【詳解】由題干得所以，故選B.5．【答案】C【分析】利用等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式求解q的值，再由數(shù)列的單調性進一步判斷即可.【詳解】，則.由于為遞增數(shù)列，則，所以的通項公式為所以.故選C.6．【答案】A【分析】設正四棱錐的內切球的半徑為，為底面中心，取的中點，設點在側面上的投影為點，則點在上，利用求出球心到四棱錐頂點的距離，再由棱錐的體積公式計算可得答案.【詳解】設正四棱錐的內切球的半徑為，為底面中心，由體積為得，連接，平面，球心在上，，取的中點，連接，設點在側面上的投影為點，則點在上，且，，球心到四棱錐頂點的距離為，所以，，解得，所以.故選A.7．【答案】A【分析】利用給定條件結合對數(shù)的性質構造，兩側同時平方求最值即可.【詳解】由題知是的正整數(shù)解，故，取指數(shù)得，同除得，，故，即，根據(jù)是遞增數(shù)列可以得到也是遞增數(shù)列，于是原不等式轉化為.而可以得到滿足要求的的最大值為5，故A正確.故選A.8．【答案】D【分析】利用參變分離將函數(shù)圖象有兩個交點問題轉化為和的圖象有兩個交點，由導數(shù)求得hx的單調性并求得最大值即可得出結論.【詳解】由得，則問題轉化為和的圖象有兩個交點，而，令h'x>0，解得，令h'故hx在上單調遞增，在單調遞減，則，hx

結合圖象可知，的取值范圍是故選D.9．【答案】ABCD【分析】根據(jù)對稱知識可得，結合平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的性質，即可判斷出答案.【詳解】由于，它們分別與關于點對稱，則有，即有.則由平均數(shù)的性質可得這組數(shù)的平均數(shù)為，結合中位數(shù)性質可知中位數(shù)為，結合方差性質可得方差為，極差非負，所以極差為.故選ABCD.10．【答案】CD【分析】利用共軛復數(shù)的概念和加減運算性質判斷A，舉反例判斷B，利用復數(shù)模的性質得到軌跡方程，結合圓的性質判斷C，利用復數(shù)模的性質得到軌跡方程，結合橢圓的性質判斷D即可.【詳解】對于A.，設，則，所以，，當有1個為0或全為0時，，當均不為0時，無法比較大小，故錯誤，對于B，當，時，，此時，，故不成立，故錯誤，對于C，設，因為，所以，故有，可得,所以的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，而，故表示點到定點的距離，由圓的性質可知，，故C正確，對于D，設，所以，，而，故，所以得到點到兩定點，的距離之和為4，故的軌跡是以，為焦點的橢圓，故軌跡方程為，而表示到原點的距離，由橢圓的幾何性質可得當點在橢圓的左右頂點時，取得最小值，此時，故，故D正確.故選.11．【答案】ACD【分析】選項，令x=0，可求；選項，對兩邊求導，結合得，，可判斷單調性；C選項，的大小關系進行分類討論，利用函數(shù)單調性，證明不等式；D選項，證明，利用函數(shù)單調性，證明且，可得結論.【詳解】選項，令x=0，則有，所以，故正確.選項，對兩邊求導，得，所以，代入，得當x>0時，，所以.又因為，所以，.因此，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增.故錯誤.C選項，對的大小關系進行分類討論：①當時，在上單調遞減，所以，顯然有；②當時，在上單調遞增，不符合題意；③當時，當時，.令，又因為，所以，因此.因為，由的單調性得，.故C正確.選項，因為，所以.先證，即證，即，只需證，即證.事實上，，因此得證.此時有.因為，又，所以，因為，又，所以.綜上，，故D正確.故選ACD.【方法總結】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．證明不等式，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.12．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得正確答案.【詳解】依題意.故答案為：.13．【答案】【分析】利用賦值法令，，聯(lián)立方程組求解即可.【詳解】令，得，令，得，則，且，故.故答案為：.14．【答案】【分析】以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，求出直線的方程與直線的方程，聯(lián)立求解即可.【詳解】以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系.因為，所以，所以，又因為，所以，所以.因為，所以直線的方程為①，因為，所以直線的方程為②.由①可得，代入②化簡可得，結合圖象易知點可到達，但不可到達，所以點的軌跡方程為，故答案為：.15．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)二倍角公式將已知條件變形轉化，再根據(jù)正弦定理邊角互化，帶入到余弦定理即可求得；(2)根據(jù)已知設，表達出，再根據(jù)余弦定理可求得結果.【詳解】（1）因為，所以，即，由正弦定理得，由余弦定理得，因為；（2）設，，依題意可得，所以，，，所以.16．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設點的坐標為，然后表示出直線的斜率，再由它們的斜率之積是，列方程化簡可得點的軌跡方程；（2）設，當直線斜率不存在時，求得直線為0，當直線斜率存在時，設直線，由得，將直線方程代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關系，代入上式化簡可得，從而可求得直線恒過的定點.【詳解】（1）設點的坐標為，因為點的坐標是，所以直線的斜率，同理，直線的斜率，由已知，有，化簡，得點的軌跡方程為，即點的軌跡是除去兩點的橢圓.（2）證明：設①當直線斜率不存在時，可知，且有，解得，此時直線為0，②當直線斜率存在時，設直線，則此時有：聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去可得：，根據(jù)韋達定理可得：，，所以，所以，所以所以，則或，當時，則直線恒過點與題意不符，舍去，故，直線恒過原點，結合①，②可知，直線恒過原點，原命題得證.【關鍵點撥】此題考查橢圓的軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查橢圓中直線過定點問題，解題的關鍵是設出直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系結合已知條件求解，考查計算能力.17．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用圓柱以及棱錐的體積公式，即可求得答案.（2）建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，利用空間角的向量求法，結合平面與平面的夾角的正弦值，即可求得答案.【詳解】（1）在底面中，因為是底面直徑，所以，又，故≌，所以.因為是圓柱的母線，所以面，所以，,因此；（2）以為坐標原點，以為軸正方向，在底面內過點C作平面的垂直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以≌，故，所以，，因此，，因為，所以，則設平面和平面的法向量分別為，則有:，，取，設平面與平面的夾角為，則，所以有：，整理得，（無解，舍），由于k為正整數(shù)，解得.18．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）由，得，再利用換元法求；（2）分區(qū)間討論各因式的符號或利用導數(shù)證明；（3）取曲線上的一點，設在處的切線即是在處的切線，證明直線的斜率等于在處的切線斜率和在處的切線斜率即可.【詳解】（1）因為的圖象與的圖象關于直線x=-1對稱，所以.又因為，所以，令，則，所以，因此.（2）證明：解法1：當時，且，此時；當時，且，此時，故綜上.解法2：，令，在上恒成立，故在上單調遞增，即在上單調遞增，因此當時，；當；因此在上單調遞減，在上單調遞增，故.（3）證明：不妨取曲線上的一點，設在處的切線即是在處的切線，則，得，則的坐標，由于，所以，則有，綜上可知，直線的斜率等于在處的切線斜率和在處的切線斜率，所以直線AB既是曲線在點處的切線也是曲線的切線.19．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)新定義及計算得解；（2）根據(jù)新定義，構造函數(shù)即可得出面積；