廣東省六校2025屆高三八月第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2025屆高三·八月·六校聯(lián)考數(shù)學(xué)科試題（滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.）.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.并用2B鉛筆將對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)涂黑，不按要求填涂的，答卷無(wú)效.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，只需將答題卡交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解集合，再利用交集和補(bǔ)集的性質(zhì)求解即可.【詳解】令，解得，即，而，所以，故，即C正確.故選：C2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件結(jié)合正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可得，結(jié)合條件可求.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以隨機(jī)變量的均值,所以隨機(jī)變量的密度曲線關(guān)于對(duì)稱，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，故選：A.3.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法可得參數(shù)范圍.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，則，又單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，無(wú)單調(diào)性，不成立；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，即在和上單調(diào)遞增，所以，則，即；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，即在和上單調(diào)遞減，不成立；綜上所述，故選：C.4.已知：，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角和正弦公式和同角關(guān)系化簡(jiǎn)條件求，，再結(jié)合兩角差正弦公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故，，，，所以，，所?故選：C5.在菱形中，若，且在上的投影向量為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合向量減法可得，再利用投影向量意義求出.【詳解】由，得，而是菱形，則是正三角形，于是，，因此在上的投影向量為，所以.故選：B6.已知函數(shù)在處有極小值，則實(shí)數(shù)（）A.3 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)建立方程求解參數(shù)，再結(jié)合題意進(jìn)行檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，而函?shù)在處有極小值，所以，故，解得或，當(dāng)時(shí)，，令f'x<0，，令f'故此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)在處有極大值，不符合題意，排除，當(dāng)時(shí)，，令f'x<0，，令f'故此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)在處有極小值，符合題意，故D正確.故選：D7.將半徑為的鐵球磨制成一個(gè)圓柱體零件，則可能制作的圓柱體零件的側(cè)面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，由圓柱體零件的側(cè)面積最大可得圓柱體內(nèi)接于球，由此確定，，的關(guān)系，再求圓柱的側(cè)面積表達(dá)式并利用基本不等式求其最值.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，由圓柱體零件的側(cè)面積最大可得圓柱體內(nèi)接與球，此時(shí)圓柱的軸的中點(diǎn)為球的球心，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以，由圓柱的側(cè)面積公式可得，圓柱的側(cè)面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以可能制作的圓柱體零件的側(cè)面積的最大值為.故選：B8.設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與C的右支交于M，N兩點(diǎn)，記與的內(nèi)切圓半徑分別為.若，則C的離心率為（）A. B. C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探討與的內(nèi)心的橫坐標(biāo)的關(guān)系，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)及直角三角形射影定理列式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)，，其中，設(shè)與的內(nèi)心的橫坐標(biāo)分別為，過(guò)分別作、、的垂線，垂足分別為、、，則、、，又，且，則，，于是，同理，因此點(diǎn)、在直線上，又平分，平分，，則，，而，，則，即，解得，所以雙曲線的離心率.故選：D【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則（）A. B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C. D.的一個(gè)周期為【答案】AD【解析】【分析】由奇函數(shù)可得，再根據(jù)函數(shù)的周期性與對(duì)稱性分別判斷.【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，則，A選項(xiàng)正確；又，即，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由可知，即，函數(shù)的一個(gè)周期為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；故選：AD.10.已知等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和為，若，且，則（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】首先排除公比的特殊情況，結(jié)合給定條件解出公比范圍，利用等比數(shù)列的性質(zhì)逐個(gè)分析即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不可能作為公比，故排除，當(dāng)時(shí)，不滿足，故排除，設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，故，得到，解得也可得到，?duì)左右兩側(cè)同乘后，未改變不等號(hào)方向，所以，綜上，故B錯(cuò)誤，而，故A錯(cuò)誤，由等比數(shù)列的性質(zhì)得該數(shù)列單調(diào)遞減，故成立，則C正確，因?yàn)?，，所以，所以，，所以成立，故D正確.故選：CD11.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，任意復(fù)數(shù)z都有三角形式：，其中r為復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，射線OZ為終邊的角（也被稱為z的輻角）.若，，則.從0，1，中隨機(jī)選出兩個(gè)不同的數(shù)字分別作為一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，如此重復(fù)操作n次，可得到n個(gè)復(fù)數(shù)：記.（）A.不存在n，使得B.若為實(shí)數(shù)，則的輻角可能為C.的概率為D.為整數(shù)的概率為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A,三個(gè)數(shù)中作為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，則其模長(zhǎng)可能為，易知2024不能拆分成這三個(gè)數(shù)的乘積;對(duì)于B,由題可知即為為實(shí)數(shù),舉一個(gè)例子，即可判斷B選項(xiàng)；對(duì)于C,由,則的值值為;，據(jù)此可以求出概率；對(duì)于D,若為整數(shù)，則的輻角可以為（3個(gè)加1個(gè)0），據(jù)此求出概率.【詳解】由中任意選兩個(gè)不同數(shù)字分別作為實(shí)部和虛部，則模長(zhǎng)可能值為對(duì)于A,若,則，由253不是2與3的整數(shù)倍,故不存在，使，故對(duì)；對(duì)于B，若為實(shí)數(shù),則的輻角為或,故B錯(cuò)；對(duì)于C，由,則取值為;.故,故C對(duì);對(duì)于D，當(dāng)r=1時(shí),則輻角為0或時(shí),則輻角為0或；當(dāng)時(shí),則輻角為或若為整數(shù)，則的輻角可以為（3個(gè)加1個(gè)0）故,故D對(duì);故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線交于，兩點(diǎn)，若，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程，直線與圓相交弦長(zhǎng)公式可得.【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線為，圓的圓心為，半徑，則圓心到準(zhǔn)線的距離，則，解得，故答案為：.13.若函數(shù)與在區(qū)間上均單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】確定，根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的周期性求出的范圍可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，不具備單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增的，所以不成立，于是.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，因?yàn)?，所以時(shí)，，且，可得，綜上所述，.故答案為：.14.已知正方體的棱長(zhǎng)為，若在該正方體的棱上恰有個(gè)點(diǎn)，滿足，則的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】分別討論當(dāng)在正方體各個(gè)棱上時(shí)的取值范圍，再根據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)求交集即可.【詳解】當(dāng)在棱、、、上時(shí)，由可知點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，此時(shí)設(shè)橢圓的短軸長(zhǎng)為，易知，即，此時(shí)，即，且，即；當(dāng)在、上時(shí)由、，即，即；當(dāng)在、上時(shí)為等腰三角形，，即，即；當(dāng)在、、、上時(shí)的取值范圍均一致，當(dāng)在上時(shí)，繞翻折，使平面與平面在同一平面內(nèi)，如圖所示，則，即，又在每條棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所在位置與的值一一對(duì)應(yīng)，又，所以若滿足條件的點(diǎn)恰有個(gè)，則，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義，分類討論在不同棱上的范圍.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角B的大小，（2）若AB邊上的高為，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)內(nèi)角和公式，兩角和正弦公式和正弦定理可得，結(jié)合條件可得，由此可求；（2）過(guò)點(diǎn)作邊上的高，結(jié)合（1）及所給條件解直角三角形，求，，再利用余弦定理求.【小問(wèn)1詳解】在中，，由正弦定理：，由可得，又由題意知，且B∈0,.【小問(wèn)2詳解】在中過(guò)點(diǎn)作邊的高，交邊與，由題意可知，且和都是直角三角形．因?yàn)?，所以是等腰直角三角形，所以，所以，由勾股定理，，，解得，，在中，由余弦定理得：，因?16.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，，且.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意證明直線與兩個(gè)平面的交線垂直，再利用面面垂直的性質(zhì)求解即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法求解即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，取棱靠近的三等分點(diǎn)，連結(jié)，則是的中點(diǎn)，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以是的中位線，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，作，連接，則，因?yàn)?，所以．在中，由余弦定理得，．又面，平面，因?yàn)槊?，所以．又由平面平面，平面平面，平面得證.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，．以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．令．設(shè)平面的法向量為，則即令，可得．連接，此時(shí)，，由余弦定理得，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槊?，，所以面，故平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面和平面的夾角為，則，平面和平面夾角的余弦值為．17.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）探究在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）在區(qū)間有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義，結(jié)合斜率可解;（2），令，運(yùn)用的正負(fù)判定的單調(diào)性，再運(yùn)用的正負(fù)得到單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可解.【小問(wèn)1詳解】由題可知，由處的切線方程為，把點(diǎn)代入得．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，令，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增．，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得，即當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，由零點(diǎn)存在定理可知在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，：在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，由零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一零點(diǎn)，使得，綜上可得，在區(qū)間有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在C上，且.當(dāng)時(shí)，.（1）求C的方程；（2）已知異于F的動(dòng)點(diǎn)P，使得.（i）若A，B，P三點(diǎn)共線，證明：點(diǎn)P在定直線上：（ii）若A，B，P三點(diǎn)不共線，且，求面積的最大值.【答案】（1）（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知列式求出,即可得出橢圓方程；（2）（i）聯(lián)立方程組結(jié)合向量關(guān)系計(jì)算得出點(diǎn)在的直線方程；（ii）先根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出再應(yīng)用圓的方程求出高的最大值即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知軸，，的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解】（i）（方法一）點(diǎn)異于點(diǎn)，設(shè)Ax1,y1聯(lián)立方程，得，，由可知三點(diǎn)共線，且且，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上，則，設(shè)Px,y，則，由，則，代入上式得，，把，代入上式得，命題得證．（方法二）點(diǎn)異于點(diǎn)，設(shè)Ax1,y三點(diǎn)共線，且且，點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上，，設(shè)Px,y，則，，，將①式減去②式，得，即，則，點(diǎn)在定直線上，命題得證．（ii）當(dāng)時(shí)，由（i）可知解得不妨設(shè)A在第一象限，則將代入C的方程，得，，則直線的方程為，即，設(shè)，由可知，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)在以為圓心，3為半徑的圓上，且不在直線上，在直線上，面積的最大值為．19.對(duì)于任意正整數(shù)n，進(jìn)行如下操作：若n為偶數(shù)，則對(duì)n不斷地除以2，直到得到一個(gè)奇數(shù)，記這個(gè)奇數(shù)為；若n為奇數(shù)，則對(duì)不斷地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，記這個(gè)奇數(shù)為.若，則稱正整數(shù)n為“理想數(shù)”.（1）求20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；（2）已知.求m的值；（3）將所有“理想數(shù)”從小至大依次排列，逐一取倒數(shù)后得到數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）2和5為兩個(gè)質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”（2）的值為12或18（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“理想數(shù)”概念，結(jié)合列舉法可解；（2）分析題意知道必為奇數(shù)，則必為偶數(shù)，結(jié)合整除知識(shí)得解；（3）將數(shù)列適當(dāng)放縮，后分組，結(jié)合等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】以內(nèi)質(zhì)數(shù)為，，故，所以為“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不