黑龍江省哈爾濱市第九中學校2024-2025學年高二上學期八月學業(yè)階段性評價考試數(shù)學試卷（原卷版）

哈爾濱市第九中學2024—2025學年度上學期八月學業(yè)階段性評價考試高二數(shù)學學科考試試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分共2頁）第Ⅰ卷（共58分）一、單選題（共8小題，每小題5分，每小題只有一個選項符合題意）1.已知是虛數(shù)單位，若和互為共軛復數(shù)，則復數(shù)模為（）A.2 B. C.10 D.2.已知一個圓錐的底面半徑與母線長之比為，其高為，則圓錐的表面積為（）A. B. C. D.3.已知向量，則向量在向量上投影向量為（）A B. C. D.4.如圖，在中，已知，P為上一點，且滿足，則實數(shù)m的值為（）A. B. C. D.5.已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示．為了了解該地區(qū)中小學生近視情況形成的原因，采用分層抽樣的方法抽取部分學生進行調(diào)查，若抽取的小學生人數(shù)為70，則抽取的高中生中近視人數(shù)為（）A.10 B.20 C.25 D.406.圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，在它們之間的地面上距離約為的點（B，M，D三點共線）處測得樓頂A、教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則估算索菲亞教堂的高度CD約為（）A. B. C. D.7.拋擲一枚質地均勻的硬幣次，記事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是（）A.當時， B.當時，事件與事件不獨立C.當時， D.當時，事件與事件不獨立8.與都是邊長為2的正三角形，沿公共邊折疊成的二面角，若點A，B，C，D在同一球的球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.二、多選題（共3小題，每小題有多個選項符合題意，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.，B.若（a，），則C.若，，則的最小值為1D.若是關于x的方程（p，）的根，則10.在中，設角所對的邊分別為a,b,c，則下列命題一定成立的是（）A.若，則是銳角三角形B.若，，，則有唯一解C.若是銳角三角形，，，設的面積為S，則D.若是銳角三角形，則11.如圖所示，正方體的棱長為2，分別為的中點，點是正方形內(nèi)的動點，下列說法正確的是（）A.B.與平面所成角的正弦值為C.存點使得⊥平面D.若平面，則點的軌跡長度為第Ⅱ卷（共92分）三、填空題（共3小題，每小題5分）12.平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關.在下圖分布形態(tài)中，分別對應這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)?平均數(shù)和眾數(shù)，則的大小關系為__________.13.已知平面向量，，，正實數(shù)，滿足，與的夾角為，且，則的最小值為_________________.14.若一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，另一組樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)是__________，方差是__________.四、解答題（共5小題，總計77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.如圖，四棱錐的底面是菱形，，底面，，分別是，的中點，為上一點，且．（1）證明：平面；（2）若，三棱錐的體積為，求.16.甲、乙、丙三人組成一個小組代表學校參加一個“詩詞大會”闖關活動團體賽.三人各自獨立闖關，在第一輪比賽中甲闖關成功的概率為，甲、乙都闖關成功的概率為，甲、丙都闖關成功的概率為，每人闖關成功記分，三人得分之和記為小組團體總分.（1）求乙、丙各自闖關成功的概率；（2）求在第一輪比賽中團體總分為分概率；（3）若團體總分不小于分，則小組可參加下一輪比賽，求該小組參加下一輪比賽的概率.17.記的角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若點是邊上一點，且，求的值.18.某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品配件，關鍵環(huán)節(jié)是需要焊接“接線盒”，焊接是否成功直接導致產(chǎn)品“合格”與“不合格”，公司檢驗組經(jīng)過大量后期出廠檢測發(fā)現(xiàn)“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品的性能指標有明顯差異，在兩類產(chǎn)品中各隨機抽取50件產(chǎn)品的性能指標作為樣本，得到如下的“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品該指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標大于的產(chǎn)品判定為“不合格”，小于或等于的產(chǎn)品判定為“合格”.此檢測標準的漏檢率是將“不合格”產(chǎn)品判定為“合格”產(chǎn)品的概率，記為；錯檢率是將“合格”產(chǎn)品判定為“不合格”產(chǎn)品的概率，記為.假設數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.（1）從指標在區(qū)間樣本中隨機抽取2件產(chǎn)品，求恰好一件是不合格一件是合格的概率.（2）當漏檢率時，求臨界值和錯檢率；（3）設函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值.19.如下圖，在中，，，D