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文檔簡介
階段方法技巧訓(xùn)練(一)專訓(xùn)1圓中常見的計(jì)
算題型習(xí)題課與圓有關(guān)的計(jì)算主要體現(xiàn)在:
利用圓周角定理求角度,利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形并結(jié)合勾股定理,已知弦長、弦心距、半徑三個量中的任意兩個量時,可求出第三個量,利用弧長、扇形面積公式計(jì)算弧長、扇形面積,利用圓的知識解決實(shí)際問題等;其中涉面積的計(jì)算,常采用作差法、等積法、平移法、割補(bǔ)法等,涉實(shí)際應(yīng)用計(jì)算常采用建模思想進(jìn)行計(jì)算.1題型有關(guān)角度的計(jì)算1.【中考·婁底】如圖,在⊙O中,AB,CD是直徑,BE是切線,B為切點(diǎn),連接AD,BC,BD.(1)求證:△ABD≌△CDB;(2)若∠DBE=37°,求∠ADC的度數(shù).(1)∵AB,CD是直徑,∴∠ADB=∠CBD=90°.在Rt△ABD和Rt△CDB中,∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)證明:(2)∵BE是⊙O的切線,∴AB⊥BE.∴∠ABE=90°.∵∠DBE=37°,∴∠ABD=53°.∵OD=OA,∴∠ODA=∠BAD=90°-53°=37°.即∠ADC的度數(shù)為37°.2題型半徑、弦長的計(jì)算2.【中考·南京】如圖,在⊙O中,CD是直徑,弦AB⊥CD,垂足為E,連接BC,若AB=cm,
∠BCD=22°30′,則⊙O
的半徑為________cm.2如圖,連接OB,∵∠BCD=22°30′,∴∠BOD=2∠BCD=45°.∵AB⊥CD,∴BE=AE=
AB=×
=(cm),
△BOE為等腰直角三角形,∴OB=
BE=2cm,故答案為2.同類變式3.如圖,已知⊙O中直徑AB與弦AC的夾角為30°,
過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D,
OD=30cm.求直徑AB的長.3題型面積的計(jì)算4.【2015·麗水】如圖,在△ABC中,AB=AC,以
AB為直徑的⊙O分別與BC,
AC交于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)D作
⊙O的切線DF,交AC于點(diǎn)
F.技巧1利用“作差法”求面積(1)求證:DF⊥AC;(1)如圖,連接OD,∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠ODB=∠ACB.∴OD∥AC.∵DF是⊙O的切線,∴DF⊥OD.∴DF⊥AC.證明:(2)若⊙O的半徑為4,∠CDF=22.5°,求陰影部分
的面積.(2)如圖,連接OE,∵DF⊥AC,∠CDF=22.5°,∴∠ABC=∠ACB=67.5°.∴∠BAC=45°.∵OA=OE,∴∠OEA=∠BAC=45°.∴∠AOE=90°.∵⊙O的半徑為4,∴S扇形AOE=4π,S△AOE=8.∴S陰影=S扇形AOE-S△AOE=4π-8.解:5.如圖所示,E是半徑為2cm的⊙O的直徑CD延
長線上的一點(diǎn),AB∥CD且AB=
CD,求陰
影部分的面積.技巧2利用“等積法”求面積如圖,連接OA,OB.∵AB∥CD,∴S△ABE=S△AOB,∴S陰影=S扇形OAB.∵AB=
CD=AO=OB=2cm,∴△OAB是等邊三角形,∴∠AOB=60°.∴S扇形OAB=
=π(cm2).
即陰影部分的面積為πcm2.解:本題利用△AEB的面積等于△AOB的面積,將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形面積,體現(xiàn)了“等積變形法”的運(yùn)用.6.如圖所示,兩個半圓中,O為大半圓的圓心,長
為18的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切,那
么圖中陰影部分的面積等于多少?技巧3利用“平移法”求面積將小半圓向右平移,使兩個半圓的圓心重合,如圖,則陰影部分的面積等于半圓環(huán)面積.作OE⊥AB于E(易知E為切點(diǎn)),連接OA,∴AE=
AB=9.∴陰影部分的面積
=
π·OA2-
π·OE2
=
π(OA2-OE2)
=
π·AE2=
π·92=
π.解:觀察圖形可知陰影部分的面積等于大半圓的面積減去小半圓的面積,因此當(dāng)小半圓在大半圓范圍內(nèi)左右移動時,陰影部分面積不改變,所以我們可以通過平移,使兩個半圓圓心重合,這樣就能運(yùn)用已知條件求出陰影部分的面積.7.如圖所示,扇形OAB與扇形OCD的
圓心角都是90°,連接AC,BD.(1)求證:AC=BD;技巧4利用“割補(bǔ)法”求面積∵∠AOB=∠COD=90°,即∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD,∴∠AOC=∠BOD.又∵AO=BO,CO=DO,∴△AOC≌△BOD.∴AC=BD.證明:(2)若OA=2cm,OC=1cm,求圖中陰影部分的
面積.由(1)知△AOC≌△BOD,∴陰影部分的面積
=扇形OAB的面積-扇形OCD的面積.
則S陰影=
=
=
=π(cm2).解:本題通過割補(bǔ)法將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為兩個規(guī)則圖形的面積的差的形式.4題型實(shí)際應(yīng)用的計(jì)算8.如圖,臺風(fēng)中心位于點(diǎn)P,并沿東北方向PQ移動,
已知臺風(fēng)移動的速度為30km/h,受影響區(qū)域的半
徑為200km,B市位于點(diǎn)P北偏東75°的方向上,
距離P點(diǎn)320km處.應(yīng)用1利用垂徑定理解決臺風(fēng)問題(1)試說明臺風(fēng)是否會影響B(tài)市;(1)如圖,過B作BH⊥PQ于H,
在Rt△BHP中,
由條件易知:BP=320km,∠BPQ=30°.∴BH=
BP=160km<200km.∴臺風(fēng)會影響B(tài)市.解:(2)若B市受臺風(fēng)的影響,求臺風(fēng)影響B(tài)市的時間.(2)如圖,以B為圓心,200km為半徑作圓,交PQ
于P1,P2兩點(diǎn),連接BP1,
由垂徑定理知P1P2=2P1H.
在Rt△BHP1中,BP1=200km,BH=160km,∴P1H=
=120(km).∴P1P2=2P1H=240km.∴臺風(fēng)影響B(tài)市的時間為
=8(h).本題在圖形中畫出圓,可以非常直觀地構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,然后利用垂徑定理解決生活中的實(shí)際問題.9.如圖所示,在“世界杯”足球比賽中,隊(duì)員甲帶
球向?qū)Ψ角蜷TPQ進(jìn)攻,當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時,同
伴隊(duì)員乙已經(jīng)助攻沖到B點(diǎn),現(xiàn)有兩種射門方式:
一是由隊(duì)員甲直接射門;二是隊(duì)員甲將球迅速傳
給隊(duì)員乙,由隊(duì)員乙射門.
從射門角度考慮,你認(rèn)為
選擇哪種射門方式較好?
為什么?應(yīng)用2利用圓周角知識解決足球射門問題(轉(zhuǎn)化思想)選擇射門方式二較好,理由如下:設(shè)AQ與圓的交點(diǎn)為C,連接PC,如圖所示.∵∠PCQ是△PAC的外角,∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ=∠B,∴∠B>∠A.∴在B點(diǎn)射門比在A點(diǎn)射門好.∴選擇射門方式二較好.解:本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,將射門角度大小的問題,建模轉(zhuǎn)化到圓中,根據(jù)圓周角的相關(guān)結(jié)論來解決實(shí)際問題.10.如圖,已知A,B兩地相距1km.要在A,B兩地之
間修建一條筆直的水渠(即圖中的線段AB),經(jīng)測
量在A地的北偏東60°方向,B地的北偏西45°方
向的C處有一個以C為圓心,350m為半徑的圓形公園,
則修建的這條水渠會不會
穿過公園?為什么?應(yīng)用3利用直線與圓的位置關(guān)系解決范圍問題修建的這條水渠不會穿過公園.理由:如圖,過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D.由題易得∠CBA=45°,∴∠BCD=45°.∴CD=BD.設(shè)CD=xkm,則BD=xkm.由題易得∠CAB=30°,∴AC=2CD=2xkm,解:∴AD==x(km),∴
x+x=1.
解得x=
即CD=≈0.366(km)=366m>350m,也就是說,以點(diǎn)C為圓心,350m為半徑的圓
與AB相離.∴修建的這條水渠不會穿過公園.11.如圖,某工廠要選一塊矩形鐵皮加工成一個底
面半徑為20cm,高為40cm的圓錐形漏斗,
要求只能有一條接縫(接縫忽略不計(jì)),請問:選
長、寬分別為多少厘米的矩形鐵皮,才能使所用
材料最???應(yīng)用4利用圓錐側(cè)面展開圖解決材料最省問題∵圓錐形漏斗的底面半徑為20cm,高為40cm,∴圓錐的母線長為
=60(cm).
設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為n°,
則有
=2π×20,解得n=120.方案一:如圖①,扇形的半徑為60cm,矩形的寬為60cm,易求得矩形的長為
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