歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編34不等式

1/2歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編專題34不等式第三緝1．【2017年浙江預(yù)賽】設(shè)fx=x2+ax+b在【答案】0【解析】提示：因?yàn)閒x=x所以a,b滿足由此可以得到a2?2b2．【2017年江蘇預(yù)賽】設(shè)x、y是實(shí)數(shù),則2x+2y【答案】1【解析】提示:因?yàn)?x所以2兩邊同除以2x4+當(dāng)x=因此2x+2y3．【2016年陜西預(yù)賽】設(shè)m、n均為正整數(shù)，且滿足24m=n4.則m的最小值為________.【答案】54【解析】由n4=24m=23×3m，知mmin=2×33=54.4．【2016年陜西預(yù)賽】設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且f(x)+g(x)=2x.若對(duì)x∈[1，2]，不等式af(x)+g(2x)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.【答案】[?17【解析】由f(x)+g(x)=2x①?f(-x)+g(-x)=2-x?-f(x)+g(x)=2-x.②由式①、②得，g(x)=2x+2?x2，f由af(x)+g(2x)≥0?a(2x-2-x)+22x+2-2x≥0.③令t=2x-2–x，由x[1，2]，得t∈[32，154]，且22x+2則對(duì)t∈[32，154因?yàn)楹瘮?shù)t+2t在區(qū)間[32，154故?a≤176，即5．【2016年陜西預(yù)賽】設(shè)a∈R.則函數(shù)f(x)=|2x-1|+|3x-2|+|4x-3|+|5x-4|的最小值為_______.【答案】1【解析】注意到，f(x)=2|x?=2(|x?≥2|(x?當(dāng)且僅當(dāng)(x?12)(x?故f（x6．【2016年福建預(yù)賽】設(shè)f(x)為定義在R上的函數(shù)，若f(0)=1008，且對(duì)任意的x∈R，滿足f(x+4)-f(x)≤2(x+1)，f(x+12)-f(x)≥6(x+5).則f(2016)2016【答案】504.【解析】由條件知f(x+12)-f(x)=(f(x+12)-f(x+8))+(f(x+8)-f(x+4))+(f(x+4)-f(x))≤2((x+8)+1)+2((x+4)+1)+2(x+1)=6x+30-6(x+5).又f(x+12)-f(x)≥6(x+5)，于是，f(x+12)-f(x)=6(x+5).則f(2016)==6×(2009+5)×168故f(2016)20167．【2016年福建預(yù)賽】當(dāng)x、y、z為正數(shù)時(shí)，4xz+yzx【答案】172【解析】注意到，（1）x2+16（2）y2+1則x2+y2+z2=(=2當(dāng)且僅當(dāng)x：y：z=4：1：17時(shí)，上式等號(hào)成立.從而，4xz+yzx2+8．【2016年新疆預(yù)賽】已知x、y>0,且x+2y=2.則x2【答案】2【解析】令a=x則a=a?b=x+2y=2，由ab故當(dāng)x=2y=1時(shí),x29．【2016年山西預(yù)賽】設(shè)n為正整數(shù)，使3介于n+3n【答案】4【解析】注意到，n+4n+1而3為無理數(shù)，則1+3故n=310．【2016年全國(guó)】設(shè)實(shí)數(shù)a滿足a<9a【答案】a∈【解析】由a<a則由原不等式得:?1<9a又a<0，故a∈?11．【2016年吉林預(yù)賽】設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x?y+1≥0,y+1≥0,【答案】1【解析】試題分析：畫出線性約束條件x?y+1≥0,y+1≥0,x+y+1≤0,的可行域，由可行域知目標(biāo)函數(shù)考點(diǎn)：線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)。點(diǎn)評(píng)：求目標(biāo)函數(shù)的最值，通常要把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為斜截式的形式，即的形式，但要注意的正負(fù)。當(dāng)為正時(shí)，求z的最大值就是求直線在y軸上的截距最大時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；當(dāng)為負(fù)時(shí)，求z的最大值就是求直線在y軸上的截距最小時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。12．【2016年吉林預(yù)賽】設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x?y+1≥0,y+1≥0,【答案】1【解析】試題分析：畫出線性約束條件x?y+1≥0,y+1≥0,x+y+1≤0,的可行域，由可行域知目標(biāo)函數(shù)考點(diǎn)：線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)。點(diǎn)評(píng)：求目標(biāo)函數(shù)的最值，通常要把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為斜截式的形式，即的形式，但要注意的正負(fù)。當(dāng)為正時(shí)，求z的最大值就是求直線在y軸上的截距最大時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；當(dāng)為負(fù)時(shí)，求z的最大值就是求直線在y軸上的截距最小時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。13．【2016年浙江預(yù)賽】已知a、b、【答案】8【解析】注意到，4a14．【2016年上海預(yù)賽】已知，則的取值范圍為__________．【答案】;【解析】由及有，所故結(jié)果為．15．【2016年四川預(yù)賽】設(shè)實(shí)數(shù)x、y、z、w滿足x+y+z+w=1.則M=xw+2yw+3xy+3zw+4xz+5yz的最大值為________.【答案】3【解析】易知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，有t1?t≤1注意到M=x=x≤1當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1從而，M的最大值為3216．【2016年江西預(yù)賽】若對(duì)于所有的正數(shù)x、y,均有x+【答案】2【解析】由xx+y所以a≥2,實(shí)數(shù)a的最小值為217．【2016年湖北預(yù)賽】已知實(shí)數(shù)x、y滿足x23+【答案】2,14【解析】設(shè)x=3則2x+y=2=13x+2y=3故P===8?3=8?3由θ∈0,218．【2016年河南預(yù)賽】若實(shí)數(shù)x、y滿足x2【答案】3?【解析】依題意有x?y2令x?y=2cos于是，x=sin則x2故x2+y19．【2016年河南預(yù)賽】已知函數(shù)fx=1【答案】0,1【解析】依題意，知f'x=0在區(qū)間（0,2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即x2則x1?c故c220．【2016年甘肅預(yù)賽】若實(shí)數(shù)x,y滿足x2【答案】2【解析】x21．【2016年甘肅預(yù)賽】已知甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)各有若干人.若從甲工程隊(duì)調(diào)90人到乙工程隊(duì)，則乙工程隊(duì)的總?cè)藬?shù)是甲工程隊(duì)的2倍；若從乙工程隊(duì)調(diào)部分人到甲工程隊(duì)，則甲工程隊(duì)的總?cè)藬?shù)是乙工程隊(duì)的6倍.則甲工程隊(duì)原來最少有__________人.【答案】153【解析】設(shè)甲、乙兩隊(duì)原來各有a、b人.則2a?90=b+90再設(shè)從乙工程隊(duì)調(diào)c人到甲工程隊(duì).則.a+c=6b?c由①、②消去b，整理得11a?7c=1620?c=11a?1620由于a、c為正整數(shù)，從而，c=11a?1620又74a+1,則a的最小值為153.因此，甲工程隊(duì)原來最少有153人.22．【2016年北京預(yù)賽】記自然數(shù)x的數(shù)字和為Sx.則方程x+S【答案】1980【解析】易知，x<2016.注意到，小于2016的自然數(shù)中的數(shù)字和最大為28，例如，S1999=28，這表明，Sx最后，SS由方程得x=2016?S≥2016?28?10?9=1969.故x∈1969,1970又x、Sx經(jīng)檢驗(yàn)，只有1980+18+9+9=2016.因此，方程的解集為1980.23．【2016高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】設(shè)實(shí)數(shù)a滿足a<9a3?11a<|a|，則a的取值范圍是 【答案】?【解析】由a<|a|可得a<0，原不等式可變形為1>9即?1<9a2?11<1又a<0，故a∈?24．【2015年全國(guó)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)集K={(x,y)|(|x|+|3y|?6)?(|3x|+|y|?6)≤0}所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積為______.【答案】24【解析】設(shè)K1先考慮點(diǎn)集K1在第一象限中的部分，此時(shí)，x+3y≤6.故這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)于圖中的△OCD由對(duì)稱性，知點(diǎn)集K1對(duì)應(yīng)的區(qū)域是圖中以原點(diǎn)O為中心的菱形ABCD類似地，設(shè)K2則點(diǎn)集K2對(duì)應(yīng)的區(qū)域是圖中以O(shè)為中心的菱形EFGH由點(diǎn)集K的定義，知K所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是被點(diǎn)集K1因此，本題所要求的即為圖中陰影區(qū)域的面積S.由lCD:x+3y=6，由對(duì)稱性知S=8S故答案為：2425．【2015年浙江預(yù)賽】設(shè)a、b∈Z.若對(duì)任意的x≤0，均有ax+2x2+2b【答案】a=1b=?2【解析】令x=0，知b≤0.考慮過定點(diǎn)0,2的直線y=ax+2，與開口向上的拋物線y=x2+2b，滿足對(duì)任意x≤0因此，??2b又a、b∈Z，故26．【2015年上海預(yù)賽】若實(shí)數(shù)x、y滿足x?3x+1=3y+2【答案】9+3【解析】已知等式即x+y=3x+1+3令u=x+1則u≥0,v≥0,x+y=u故式①變形為u?u?于是，點(diǎn)M（u，v）在圓弧AB：u?3顯然，當(dāng)M取點(diǎn)C3+152u=12+315故x+ymax27．【2015年新疆預(yù)賽】若實(shí)數(shù)x、y滿足2x2+3xy+2【答案】?【解析】令k=x+y+xy.由2?2?2x+y將上面方程視為關(guān)于x+y的二次方程.由x+y為實(shí)數(shù)知Δ=1+81+k故x+y+xy的最小值為?928．【2015年天津預(yù)賽】設(shè)a、b、c、【答案】1【解析】由已知等式得1?ta+再由柯西不等式得1?t2a?≥當(dāng)且僅當(dāng)t=2，故所求的最小值為1.29．【2015年四川預(yù)賽】已知