2.2.4 點到直線的距離 題組訓(xùn)練-2021-2022學年高二上學期數(shù)學人教B版（2019）選擇性必修第一冊第二章

2.2.4點到直線的距離基礎(chǔ)過關(guān)練題組一點到直線的距離公式及其應(yīng)用1.點(5,-3)到直線x+2=0的距離等于()A.7 B.5 C.3 D.22.(2020山西太原高二檢測)已知點(a,1)到直線x-y+1=0的距離為1,則a的值為()A.1 B.-1 C.2 D.±23.若點P在直線3x+y-5=0上,且點P到直線x-y-1=0的距離為2,則點P的坐標為()A.(1,2) B.(2,1)C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2)4.(2019山東淄博高二月考)已知A(-2,-4),B(1,5)兩點到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實數(shù)a的值為()A.-3 B.3 C.-3或3 D.1或35.(2020河北衡水景縣中學高二月考)若點P(x,y)在直線x+y-4=0上,O為坐標原點,則|OP|的最小值是()A.10 B.22 C.6 D.26.已知點A(1,3),B(3,1),C(-1,0),則△ABC的面積等于.

7.過點B(3,4)作直線l,使之與點A(1,1)之間的距離等于2,求直線l的方程.題組二兩條平行直線間的距離公式及其應(yīng)用8.已知直線l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,則l1,l2之間的距離為()A.1 B.2 C.3 D.29.(2020遼寧大連二十四中高二檢測)已知直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,那么它們之間的距離是()A.4 B.21313 C.51310.與直線2x+y+1=0的距離等于55A.2x+y=0B.2x+y-2=0C.2x+y=0或2x+y-2=0D.2x+y=0或2x+y+2=011.(2019四川南充一中高二月考)已知直線l與直線l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0平行且距離相等,則直線l的方程為.

12.已知正方形ABCD的中心M(-1,0)和CD邊所在的直線方程為x+3y-5=0,求其他三邊所在直線的方程.13.(2019湖北襄陽高二檢測)如圖,已知直線l1:x+y-1=0,現(xiàn)將直線l1向上平移到直線l2的位置,若l2,l1和兩坐標軸所圍成的梯形ABCD的面積為4,求直線l2的方程.能力提升練題組一利用距離公式解決最值問題1.(2019河南鄭州外國語學校高二月考,)過點A(1,2)且與原點O的距離最大的直線方程是()A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=02.(2019陜西渭南高二檢測,)已知M(4,-1),若點P是直線l:y=2x+3上的任意一點,則|PM|的最小值等于()A.25 B.12C.1255 3.(多選)(2020吉林省實驗中學高二月考,)若兩平行線分別經(jīng)過點A(5,0),B(0,12),則它們之間的距離d可能等于()A.0 B.5 C.12 D.134.(2019山東濰坊中學高二月考,)點P(2,3)到直線ax+(a-1)y+3=0的距離d最大時,d與a的值依次為()A.3,-3 B.5,2C.5,1 D.7,15.(2019甘肅武威高二月考,)點P(x,y)在直線x+y-4=0上,則x2+y2的最小值是.

6.(2020廣東佛山高二期中,)若P,Q分別為直線3x+4y-12=0與6x+8y+6=0上任意一點,則|PQ|的最小值為.

7.(2019湖北荊州高二檢測,)已知直線l1:2x+4y+1=0與直線l2:2x+4y+3=0,點P是平面直角坐標系內(nèi)任意一點,若點P到直線l1和l2的距離分別為d1,d2,則d1+d2的最小值是.

8.(2019陜西西北工大附中高二月考,)若動點A(x1,y1),B(x2,y2)分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動,則AB的中點M與原點之間的距離的最小值為.

9.(2019湖南岳陽一中高二月考,)已知在△ABC中,A(1,1),B(m,m)(1<m<4),C(4,2),當m為何值時,△ABC的面積S最大?題組二距離公式的綜合應(yīng)用10.(多選)(2020上海建平中學高二檢測,)已知直線l經(jīng)過點(3,4),且點A(-2,2),B(4,-2)到直線l的距離相等,則直線l的方程可能為()A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0C.x+2y+2=0 D.2x-3y+6=011.(2019河北衡水中學高二月考,)已知平面上一點M(5,0),若直線上存在點P使|PM|=4,則稱該直線為“切割型直線”.下列直線是“切割型直線”的有.(填序號)

①y=x+1;②y=2;③y=4312.(2020山西太原高二檢測,)在△ABC中,點A(3,2),B(-1,5),點C在直線3x-y+3=0上.若△ABC的面積為10,求點C的坐標.13.(2019重慶巴蜀中學高二月考,)已知直線l經(jīng)過點A(2,4),且被平行直線l1:x-y+1=0與l2:x-y-1=0所截得的線段的中點M在直線x+y-3=0上,求直線l的方程.

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.A直線x+2=0,即x=-2,為平行于y軸的直線,所以點(5,-3)到x=-2的距離d=|5-(-2)|=7.2.D由題意知|a-1+1|13.C設(shè)點P的坐標為(x,5-3x),則由點到直線的距離公式,得|x-5+3所以4x-6=±2,所以x=1或x=2,所以點P的坐標為(1,2)或(2,-1).4.C由題意得|-2a-5.B|OP|的最小值即點O到直線x+y-4=0的距離,由點到直線的距離公式,得|OP|min=|-4|16.答案5解析設(shè)AB邊上的高為h,則S△ABC=12·|AB|·h,而|AB|=(3-1)2+(1-3)2=227.解析當直線l與x軸垂直時,直線l的方程為x=3,點A(1,1)到它的距離為2,滿足題意.當直線l與x軸不垂直時,由題意可設(shè)直線l的方程為y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由點A到它的距離為2,可得2=|k-1+4所以直線方程為5x-12y+33=0.綜上所述,直線l的方程為x-3=0或5x-12y+33=0.8.B由兩條平行直線間的距離公式可得l1,l2之間的距離d=|-1-19.D因為兩直線平行,所以3m=12,即m=4,6x+my+1=0可化為3x+2y+12=0,所以兩直線間的距離d=12+310.D根據(jù)題意可設(shè)所求直線方程為2x+y+c=0(c≠1),因為兩直線間的距離等于55,所以|c-11.答案2x-y+1=0解析設(shè)直線l的方程為2x-y+c=0(c≠3,c≠-1),由兩條平行直線間的距離公式可得|3-c12.解析因為AB∥CD,所以可設(shè)AB邊所在直線的方程為x+3y+m=0(m≠-5).又因為AD⊥CD,BC⊥CD,故可設(shè)AD,BC邊所在直線的方程分別為3x-y+n1=0,3x-y+n2=0(n1≠n2).因為中心M(-1,0)到CD邊的距離d=|-1+3×0-5所以點M(-1,0)到AD邊,AB邊,BC邊的距離均為310由|3×(-1)-0+n1|32+(-1由|-1+3×0+m|故其他三邊所在直線的方程分別為x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.13.解析設(shè)直線l2的方程為y=-x+b(b>1),則A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b),所以|AD|=2,|BC|=2b.易知梯形的高h就是A點到直線l2的距離,故h=|1+0-b|2由梯形的面積公式得2+2b所以b2=9,又b>1,所以b=3.故直線l2的方程是x+y-3=0.能力提升練1.A所求直線與A(1,2),O(0,0)兩點所在直線垂直時,其與原點O的距離最大,又kOA=2,所以所求直線的斜率為-12,故所求直線的方程為y-2=-12.C過點M作MN⊥l交l于點N,則有|PM|≥|MN|,因此|PM|的最小值就是點M到直線l:2x-y+3=0的距離,即|2×4-(-13.BCD易知當兩平行線與A,B兩點所在直線垂直時,兩平行線間的距離d最大,即dmax=|AB|=13,所以0<d≤13,故距離d可能等于5,12,13.4.C易知直線恒過點A(-3,3),根據(jù)已知條件可知當直線ax+(a-1)y+3=0與A,P兩點所在直線垂直時,距離d最大,最大值為5,此時a=1.5.答案8解析x2+y2表示的是直線x+y-4=0上的點與原點之間的距離的平方,它的最小值即為原點到該直線的距離的平方,所以(x2+y2)min=|0+06.答案3解析直線方程6x+8y+6=0可化為3x+4y+3=0,由此可知兩條直線平行,它們之間的距離d=|3+12|37.答案5解析顯然l1與l2平行,且l1與l2間的距離d=|3-1|4+16=55,于是d故d1+d2的最小值是558.答案32解析由題意知,點M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上,設(shè)該直線方程為x+y+c=0(c≠-7,c≠-5),則|c+7|2=|c9.解析因為A(1,1),C(4,2),所以|AC|=(4-1易得直線AC的方程為x-3y+2=0,根據(jù)點到直線的距離公式可得點B(m,m)(1<m<4)到直線AC的距離d=|m所以S=12|AC|·d=12|m-3m+2|=因為1<m<4,所以1<m<2?-12<m-32<所以0≤m-322<當m-32=0,即m=9故當m=9410.AB當直線l的斜率不存在時,顯然不滿足題意.當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0.由已知得|-2k-2+4-11.答案②③解析可通過求各直線上的點到點M的最小距離,即點M到直線的距離d來分析.①d=|5+1|2=32>4,故該直線上不存在某點到點M的距離等于4,不是“切割型直線”;②d=2<4,所以在該直線上可以找到兩個不同的點到點M的距離等于4,是“切割型直線”;③d=205=4,所以該直線上存在一點到點M的距離等于4,是“切割型直線”;④d=12.解析由題意知|AB|=(3+1因為S△ABC=12設(shè)點C的坐標為(x0,y0),易知AB邊所在直線的方程為y-2=-34即3x+4y-17=0.由3x解得x0=故點C的坐標為(-1,0)或5313.解析解法一:因為點M在直線x+y-3=0上,所以設(shè)點M的坐標為(t,3-t),則點M到直線l1,l2的距離相等,即|t-3+解得t=32所以M32又直線l經(jīng)過點A(2,4