2.2 基本不等式透課堂-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)【考題透析】滿分計劃系列(人教A版2019必修第一冊)

2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)【考題透析】滿分計劃系列(人教A版2019必修第一冊)第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.2基本不等式【知識導(dǎo)學(xué)】一：基本不等式1．如果a>0，b>0，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．變形：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．規(guī)律與方法：1.對公式及的理解.（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實(shí)數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時取等號”.2.由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論：（1）（同號）；（2）（異號）；（3）或.二：基本不等式的證明方法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為.這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為.由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，正方形縮為一個點(diǎn)，這時有.得到結(jié)論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.通常我們把上式寫作：如果，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）方法二：代數(shù)法∵，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.三：用基本不等式求最大（?。┲翟谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三等.①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值.規(guī)律與方法：1．兩個不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實(shí)數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù).如是成立的，而是不成立的.2．兩個不等式：與都是帶有等號的不等式，對于“當(dāng)且僅當(dāng)……時，取“=”號這句話的含義要有正確的理解.當(dāng)a=b取等號，其含義是；僅當(dāng)a=b取等號，其含義是.綜合上述兩條，a=b是的充要條件.3．基本不等式的功能在于“和積互化”.若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的各項的“和”為定值，則“積”有最大值.4．利用兩個數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個條件：①各項都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③各項能取得相等的值.【考題透析】透析題組一：基本不等式的內(nèi)容及其注意1．（2021·北京一七一中高二月考）若，則下列不等式中正確的是（）A． B． C． D．2．（2020·上海市松江一中高一期中）三國時期趙爽所制的弦圖由四個全等的直角三角形構(gòu)成，該圖可用來解釋下列哪個不等式（）A．如果，那么；B．如果，那么；C．對任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；D．如果，，那么．3．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知，，且，那么（）A． B．C． D．透析題組二：由基本不等式證明或比較不等式的大小4．（2021·廣東）若，則下面結(jié)論正確的有（）A． B．若，則C．若，則 D．若，則有最大值5．（2020·三亞華僑學(xué)校高一期中）設(shè)（、為互不相等的正實(shí)數(shù)），，則與的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．6．（2021·全國高一專題練習(xí)）下列說法中錯誤的是（）A．不等式恒成立B．若，則C．若，滿足，則D．存在，使得成立透析題組三：基本不等式求積的最大值7．（2021·云南省玉溪第一中學(xué)高一月考）已知，，且，則的最大值是（）A．1 B． C．3 D．58．（2021·全國高一專題練習(xí)）若，則的最大值是（）A． B． C． D．9．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知，，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A．有最小值4 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值2透析題組四：基本不等式求和的最小值10．（2021·河北張家口·高一期末）已知，，且，則的最小值為（）A．4 B．9 C．10 D．1211．（2020·銅山啟星中學(xué)高一月考）設(shè)則的最大值是（）A．3 B． C． D．12．（2021·廣東潮州·）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（）A．6 B． C． D．透析題組五：基本不等式“1”的妙用13．（2021·云南高一期末）已知，.若，則的最小值為（）A． B． C． D．14．（2020·安徽馬鞍山·高一月考）已知，，且，則的最小值是（）A．6 B．12 C．18 D．2415．（2021·全國）若，，且，則的最小值為（）A．2 B． C． D．透析題型六：基本不等式的恒成立求參數(shù)問題16．（2020·淮北市樹人高級中學(xué)高一月考）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為（）A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]17．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高一月考）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．18．（2021·全國）已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（）A．10 B．12 C．16 D．9透析題型七：基本不等式的實(shí)際問題的應(yīng)用19．（2021·全國高一專題練習(xí)）某藥店有一架不準(zhǔn)確的天平（其兩臂不等）和一個10克的砝碼．一名患者想要20克中藥，售貨員將砝碼放在左盤中，將藥物放在右盤中，待平衡后交給患者；然后又將藥物放在左盤中，將砝碼放在右盤中，待平衡后再交給患者．設(shè)兩次稱量后患者實(shí)際得到藥物為克，則下列結(jié)論正確的是（）．A． B．C． D．以上都可能20．（2021·全國高一單元測試）道路通行能力表示道路的容量，指單位時間內(nèi)通過道路上指定斷面的最大車輛數(shù)，是度量道路疏導(dǎo)交通能力的指標(biāo)，通常由道路設(shè)施、交通服務(wù)、環(huán)境、氣候等諸多條件決定．某條道路一小時的通行能力滿足，其中為安全距離，為車速（m/s）．若安全距離取40m，則該道路一小時通行能力的最大值約為（）A．98 B．111 C．145 D．18521．（2021·全國）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，則一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用和最小為（）A．60萬元 B．160萬元 C．200萬元 D．240萬元【考點(diǎn)同練】一、單選題22．（2021·河北張家口·高二期末）已知，，則“”是“，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件23．（2022·全國）已知正數(shù)x，y滿足x2+2xy-3=0，則2x+y的最小值是（）A．1 B．3C．6 D．1224．（2022·全國（文））若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．25．（2021·全國高三專題練習(xí)）若對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．26．（2021·全國高三月考）若，且，則的最小值為（）A． B． C． D．27．（2021·新疆烏魯木齊·烏市八中高二月考（文））若a＞b＞0，則下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)bC．a(chǎn) D．28．（2021·富寧縣第一中學(xué)）設(shè)，，且，則當(dāng)取最小值時，（）A．8 B．12 C．16 D．29．（2021·江蘇蘇州·）設(shè)a?b是正實(shí)數(shù)，以下不等式恒成立的為（）A． B．C． D．30．（2021·安徽六安一中）下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，的最小值是2C．當(dāng)時，的最小值是1D．設(shè)，則的最小值是231．（2021·沙坪壩·重慶南開中學(xué)）若，且，則的最小值為（）A．3 B． C． D．二、多選題32．（2021·河北高一期末）下列選項中正確的是（）A．不等式恒成立 B．若?為正實(shí)數(shù)，則C．當(dāng)，不等式恒成立 D．若正實(shí)數(shù)，滿足，則33．（2020·淮北市樹人高級中學(xué)高一月考）設(shè)，且，那么（）A．有最小值 B．有最大值C．a(chǎn)b有最大值. D．a(chǎn)b有最小值.34．（2021·河北正定中學(xué)）下列命題中，正確的有（）A．若a＜b＜0，則a2＜ab＜b2 B．若ab＜0，則C．若b＜a＜0，c＜0，則 D．若a，b∈R，則a4＋b4≥2a2b235．（2021·深圳市富源學(xué)校高二期中）若、且，則下列不等式中恒成立的是（）．A． B．C． D．36．（2021·廣東）下列求最值的運(yùn)算中，運(yùn)算方法錯誤的有（）A．當(dāng)時，，故時，的最大值為；B．當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，解得或，又由，所以取，故時，的最小值為；C．由于，故的最小值是；D．，，且，由于，則，又，則，，且，的最小值為．三、填空題37．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））（配湊型）已知，求函數(shù)的最小值是________38．（2021·海南高三三模）已知，，，則的最小值為______．39．（2021·廣西（理））已知函數(shù)，，的最小值為3，則__________．40．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知x>0，y>0，且＝1，不等式＋≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．四、解答題41．（2021·河北張家口·高一期末）為持續(xù)推進(jìn)“改善農(nóng)村人居環(huán)境，建設(shè)宜居美麗鄉(xiāng)村”，某村委計劃在該村廣場旁一矩形空地進(jìn)行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均擺滿寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為400平方米.（1）若矩形草坪的長比寬至少多9米，求草坪寬的最大值；（2）若草坪四周及中間的花壇寬度均為2米，求整個綠化面積的最小值.42．（2021·中寧縣中寧中學(xué)高二月考（文））（1）已知，求的最小值．（2）已知是不全相等的實(shí)數(shù)，求證：．43．（2021·東莞市光明中學(xué)高二月考）某電動摩托車企業(yè)計劃在2021年投資生產(chǎn)一款高端電動摩托車．經(jīng)市場調(diào)研測算，生產(chǎn)該款電動摩托車需投入設(shè)備改造費(fèi)1000萬元，生產(chǎn)該款電動摩托車萬臺需投入資金萬元，且，生產(chǎn)1萬臺該款電動摩托車需投入資金3000萬元；當(dāng)該款電動摩托車售價為5000（單位：元/臺）時，當(dāng)年內(nèi)生產(chǎn)的該款摩托車能全部銷售完．（1）求的值，并寫出2021年該款摩托車的年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：萬臺）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)2021年該款摩托車的年產(chǎn)量為多少時，年利潤最大？最大年利潤是多少？（年利潤銷售所得投入資金設(shè)備改造費(fèi)）（2021·全國）（1）已知，，，求證：．（2）證明：．【答案精講】1．D【詳解】解：由，令，則，則，故A錯誤；則，則，故B錯誤；則，則無意義，故C錯誤；因?yàn)椋瑒t，所以.故選：D.2．C【詳解】設(shè)圖中全等的直角三角形的直角邊長分別為，則斜邊長為.圖中四個直角三角形的面積和為，外圍正方形的面積為.由圖可知，四個直角三角形的面積之和不超過外圍正方形的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：C.3．C【詳解】因?yàn)椋?，由基本不等式可得，，上述兩個不等式當(dāng)且僅當(dāng)時成立，故ABD選項錯誤，C選項正確.故選：C.4．B【詳解】對于選項A：若，由基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；所以選項A不正確；對于選項B：若，，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，所以選項B正確；對于選項C：由，，即，如時，，所以選項C不正確；對于選項D：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等則有最大值，所以選項D不正確；故選：B5．A【詳解】因?yàn)椤榛ゲ幌嗟鹊恼龑?shí)數(shù)，則，，因此，.故選：A.6．A【詳解】A:當(dāng)時，不等式不成立，錯誤；B：由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，正確；C：由且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，正確；D：當(dāng)時，成立，正確.故選：A.7．D【詳解】依題意，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：D8．C【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時成立，所以的最大值是1，故選：C.9．A【詳解】對于選項A，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確；對于選項B，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B錯誤；對于選項C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C錯誤；對于選項D，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D錯誤.故選：A.10．B【詳解】由，，且得，當(dāng)且僅當(dāng)即，時等號成立，的最小值為，故選：B.11．D【詳解】因?yàn)樗?，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選：D12．B【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立故選：B13．C【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以的最小值為，故選：C.14．B【詳解】∵，，，∴同除得，∴.當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號．故選：B15．B【詳解】解：若，，且，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故選：B．16．C【詳解】由題意可得對任意恒成立，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取得等號，則，解得.故選：C.17．B【詳解】當(dāng)時，由可得，則，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，.故選：B.18．D【詳解】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，轉(zhuǎn)化成求的最小值，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等所以．故選：D．19．A【詳解】設(shè)天平的左臂長為，右臂長為，且，設(shè)第一次第二次分別稱得的中藥為克，克，則，，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，由于，所以，故選：A.20．B【詳解】由題意得，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，故選：B21．D【詳解】解：由題意可得：一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用和為：(萬元)，當(dāng)且僅當(dāng)“”即“”時取等號.故選：D.22．B【詳解】，時，，取“=”的充要條件是.因?yàn)闀r，不一定有，故選：B.23．B【詳解】解：∵x2+2xy-3=0，∴y=，∴2x+y=2x+2=3，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時取等號.故選：B.24．A【詳解】解：，又，，令，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，的取值范圍是，．故選：A．25．A【詳解】由題意，對任意，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，即的最大值為，又由對任意時，恒成立，所以，即的取值范圍為.故選：A.26．C【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最小值為.故選：C.27．B【詳解】解：因?yàn)閍＞b＞0，可得2a＞a+b，可得a，并且a＞b＞0，可得，則，∴b，可得：ab．故選：B．28．B【詳解】，，當(dāng)取最小值時，取最小值，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，.故選：29．D【詳解】對于選項A，因?yàn)閍?b是正實(shí)數(shù)，所以，則，可得到，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選項A錯誤；對于選項B，因?yàn)閍?b是正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選項B錯誤；對于選項C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選項C錯誤；對于選項D，，則恒成立，故選項D正確；故選：D.30．A【詳解】對于A,當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故A對，對于B，當(dāng)時，為增函數(shù)，，沒有最小值，B錯誤,對于C，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即最大值是1，沒有最小值.錯誤，對于D,，故D錯誤.故選：A31．D【詳解】因，且，則，即有，同理，由得：，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以的最小值為.故選：D32．BD【詳解】取，，則，，A錯，∵?為正實(shí)數(shù)，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B對，取，則，C錯，∵正實(shí)數(shù)，滿足，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，D對，故選：BD.33．AD【詳解】，，，當(dāng)時取等號，，解得，，有最小值；，當(dāng)時取等號，，，，解得，即，有最小值．故選：AD34．BD【詳解】解：對于A，，則，故A錯誤；對于B，即異號，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B正確對于C，由得，又，則，故C錯誤；對于D，由，得，故D正確.故選：BD.35．AD【詳解】對于A選項，由基本不等式可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，A對；對于B選項，當(dāng)，時，，B錯；對于C選項，當(dāng)，時，，C錯；對于D選項，由題意可知，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，D對.故選：AD.36．BCD【詳解】】解：對于A，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A的運(yùn)算方法正確；對于B，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即B的運(yùn)算方法錯誤；對于C，取等的條件是，即，顯然均不成立，即C的運(yùn)算方法錯誤；對于D，第一次使用基本不