3.2.2 函數(shù)的基本性質(zhì)(2)-奇偶性-2020-2021學年高一數(shù)學同步練習和分類專題教案（人教A版2019必修第一冊）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2.2奇偶性學會借助圖象解決抽象的數(shù)學問題,逐步形成解決抽象數(shù)學問題的能力.學習時還應掌握以下幾點:1.結合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.2.掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法.3.會應用奇、偶函數(shù)圖象的對稱性解決簡單問題.一、基礎過關練題組一函數(shù)奇偶性的概念及其圖象特征1.已知一個奇函數(shù)的定義域為{-1,2,a,b},則a+b等于()A.-1 B.1 C.0 D.22.若y=f(x)(x∈R)是奇函數(shù),則下列坐標表示的點一定在y=f(x)圖象上的是()A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a))C.(-a,-f(-a)) D.(a,f(-a))3.下列圖象表示的函數(shù)中具有奇偶性的是()4.能說明“若f(x)是奇函數(shù),則f(x)的圖象一定過原點”是假命題的一個函數(shù)是f(x)=.

5.(1)如圖①,給出奇函數(shù)y=f(x)的部分圖象,試作出y軸右側(cè)的圖象并求出f(3)的值;(2)如圖②,給出偶函數(shù)y=f(x)的部分圖象,試作出y軸右側(cè)的圖象并比較f(1)與f(3)的大小.題組二函數(shù)奇偶性的判定6.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),則F(x)()A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.是非奇非偶函數(shù)7.下列函數(shù)中是偶函數(shù),且在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)的是()A.y=|x| B.y=3-xC.y=1x D.y=-x28.若函數(shù)f(x)=1,x>A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)9.判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=x2-1+(2)f(x)=2x(3)f(x)=x題組三函數(shù)奇偶性的綜合運用10.已知函數(shù)f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函數(shù),其定義域為[m+1,-2n+2],則()A.m=0,n=0 B.m=-3,n=0C.m=1,n=0 D.m=3,n=011.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x∈(-∞,0)時,f(x)=2x3+x2,則f(2)=()A.20 B.12 C.-20 D.-1212.已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),且在(-∞,0)上是增函數(shù),f(5)=0,則xf(x)>0的解集是.

13.已知y=f(x)是奇函數(shù),當x<0時,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,則a的值為.

14.已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)-g(x)=x3+x2+1,則f(1)+g(1)=.

15.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=x2-2x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并畫出函數(shù)f(x)的圖象;(2)根據(jù)圖象寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域.二、能力提升練題組一函數(shù)奇偶性的概念及其圖象特征1.已知y=f(x)是偶函數(shù),其圖象與x軸有4個交點,則方程f(x)=0的所有實數(shù)根之和是()A.4 B.2 C.1 D.02.(多選)若f(x)為R上的奇函數(shù),則下列四個說法正確的是()A.f(x)+f(-x)=0 B.f(x)-f(-x)=2f(x)C.f(x)·f(-x)<0 D.f(3.f(x)是定義在R上的奇函數(shù),其在[0,+∞)上的圖象如圖所示.(1)畫出f(x)的圖象;(2)解不等式xf(x)>0.題組二函數(shù)奇偶性的判定4.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()A.f(x)=x3-1x B.f(x)=C.f(x)=(x-1)1+x1?5.已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(x)不恒等于零,則F(x)為()A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.奇函數(shù)或偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)6.已知f(x+y)=f(x)+f(y)對任意實數(shù)x,y都成立,則函數(shù)f(x)是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù),也是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)7.(多選)設函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結論中正確的是()A.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)B.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)C.f(x)+|g(x)|是偶函數(shù)D.|f(x)|+g(x)是偶函數(shù)題組三函數(shù)奇偶性的綜合運用8.若偶函數(shù)f(x)在(-∞,-1]上單調(diào)遞增,則()A.f-3B.f(-1)<f-3C.f(2)<f(-1)<f-D.f(2)<f-39.函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范圍是()A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,2] D.[1,3]10.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x)恒成立,且f(1)=1,則f(3)+f(4)+f(5)的值為(深度解析)A.-1 B.1 C.2 D.011.已知函數(shù)f(x)與g(x)分別是定義域上的奇函數(shù)與偶函數(shù),且f(x)+g(x)=x2-1x+1A.-23 B.C.-3 D.1112.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)=-x,0≤x≤1,-1,113.(1)若奇函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù),求不等式f(2x-1)+f(3)<0的解集;(2)若f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù),求不等式f(2x-1)-f(-3)<0的解集.14.已知函數(shù)f(x)=ax+b1+x2(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)用定義證明f(x)在(-1,1)上是增函數(shù);(3)解關于實數(shù)t的不等式f(t-1)+f(t)<0.15.已知函數(shù)f(x)=x2(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若函數(shù)f(x)在(0,p)上單調(diào)遞增,試求p的最大值.16.設函數(shù)f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R.(1)王鵬同學認為,無論a取何值,f(x)都不可能是奇函數(shù).你同意他的觀點嗎?請說明你的理由;(2)若f(x)是偶函數(shù),求a的值;(3)在(2)的情況下,畫出y=f(x)的圖象并指出其單調(diào)遞增區(qū)間.深度解析答案全解全析基礎過關練1.A因為該奇函數(shù)的定義域為{-1,2,a,b},且奇函數(shù)的定義域關于原點對稱,所以a與b中一個等于1,一個等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1,故選A.2.B∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-a)=-f(a),∴點(-a,-f(a))在函數(shù)y=f(x)的圖象上.3.B選項A中的圖象關于原點或y軸均不對稱,故排除;選項C、D中的圖象所示的函數(shù)的定義域不關于原點對稱,不具有奇偶性,故排除;選項B中的圖象關于y軸對稱,其表示的函數(shù)是偶函數(shù).故選B.4.答案1x解析舉出x=0不在定義域內(nèi)的奇函數(shù)即可,如f(x)=1x5.解析(1)由奇函數(shù)的性質(zhì)可作出它在y軸右側(cè)的圖象,如圖①所示,易知f(3)=-2.(2)由偶函數(shù)的性質(zhì)可作出它在y軸右側(cè)的圖象,如圖②所示,易知f(1)>f(3).6.B∵x∈(-a,a),其定義域關于原點對稱,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函數(shù).7.A選項A中,函數(shù)y=|x|為偶函數(shù),且在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù),故A符合題意;選項B中,函數(shù)y=3-x為非奇非偶函數(shù),且在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù),故B不符合題意;選項C中,函數(shù)y=1x為奇函數(shù),且在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù),故C不符合題意;選項D中,函數(shù)y=-x28.B作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,可以看出該圖象關于原點對稱,故f(x)為奇函數(shù).9.解析(1)依題意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x=±1,因此函數(shù)f(x)的定義域為{-1,1},關于原點對稱,且f(x)=0.∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(2)函數(shù)f(x)的定義域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不關于原點對稱,∴f(x)是非奇非偶函數(shù).(3)易得函數(shù)f(x)的定義域是D=(-∞,0)∪(0,+∞),關于原點對稱.任取x∈D,當x>0時,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);當x<0時,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).10.B由f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函數(shù),得n=0.又函數(shù)的定義域為[m+1,-2n+2],所以m+1=2n-2,則m=-3.11.B由題意得f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.12.答案(-∞,-5)∪(5,+∞)解析∵f(x)為R上的奇函數(shù),∴f(0)=0.∵f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù),f(5)=0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),f(-5)=0.可大致用圖象表示:∵xf(x)>0等價于x與f(x)同號,且均不為0,∴結合圖象知解集是(-∞,-5)∪(5,+∞).13.答案5解析因為f(x)是奇函數(shù),所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a×(-3)=-6,解得a=5.14.答案1解析由題意可得f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.15.解析(1)∵x≥0時,f(x)=x2-2x,∴當x<0時,-x>0,∴f(-x)=x2+2x,∴f(-x)=f(x)=x2+2x.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.(2)由(1)中函數(shù)的圖象可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1,0],[1,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1],[0,1].函數(shù)f(x)的值域為[-1,+∞).能力提升練1.D因為y=f(x)是偶函數(shù),所以y=f(x)的圖象關于y軸對稱,所以f(x)=0的所有實數(shù)根之和為0.2.AB∵f(x)在R上為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故A正確;f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故B正確;當x=0時,f(x)·f(-x)=0,故C不正確;當x=0時,f(3.解析(1)根據(jù)奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,可得f(x)的圖象如圖所示.(2)xf(x)>0即圖象上點的橫坐標與縱坐標同號,且均不為0.結合圖象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).4.D在選項A中,f(x)=x3-1x(x≠0),f(-x)=-x3+1x,f(-x)=-f(x),是奇函數(shù);在選項B中,f(x)=1?x2|x-2|-25.B依題意得F(x)的定義域為R,且F(-x)=(-x3+2x)f(-x)=(x3-2x)f(x)=F(x),所以F(x)為偶函數(shù),故選B.6.A令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.又因為f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),故選A.7.BDA中,令h(x)=|f(x)|g(x),則h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|·g(x)=h(x),∴A中函數(shù)是偶函數(shù),A錯誤;B中,令h(x)=f(x)|g(x)|,則h(-x)=f(-x)·|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h(x),∴B中函數(shù)是奇函數(shù),B正確;C中,由f(x)是奇函數(shù),可得f(-x)=-f(x),由g(x)是偶函數(shù),可得g(-x)=g(x),由f(-x)+|g(-x)|=-f(x)+|g(x)|知C錯誤;D中,由|f(-x)|+g(-x)=|-f(x)|+g(x)=|f(x)|+g(x),知D正確.故選BD.8.D由f(x)是偶函數(shù)且在(-∞,-1]上單調(diào)遞增,得f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,f-32=f32,f(-1)=f(1),又因為2>32>1,所以f(2)<f9.C因為f(x)為奇函數(shù),且f(1)=-1,所以f(-1)=1,所以-1≤f(x-1)≤1等價于f(1)≤f(x-1)≤f(-1).由函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,可得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2.故選C.10.D∵f(x)是R上的奇函數(shù),f(1)=1,∴f(-1)=-f(1)=-1,f(0)=0.依題意得f(3)=f(-1+4)=-f(1)=-1,f(4)=f(0+4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(1)=1.因此,f(3)+f(4)+f(5)=-1+0+1=0,故選D.陷阱提示在有關奇函數(shù)f(x)的求值問題中,要注意當f(x)在x=0處有意義時,f(0)=0這個特殊情況,否則可能會出現(xiàn)已知條件不足,導致問題解決不了的情況.11.A∵f(x)+g(x)=x2-1x∴f(-x)+g(-x)=(-x)2-1-x+1-2=x2又∵函數(shù)f(x)與g(x)分別是定義域上的奇函數(shù)與偶函數(shù),∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),∴f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=x2-1-聯(lián)立①②消去g(x),得f(x)=-12x+2∴f(2)=-12×2+2+1-2×2+2=-12.答案(32,+∞)解析由已知條件畫出函數(shù)f(x)的圖象(圖中實線部分),若對任意的x∈R,不等式f(x)>f(x-2a)恒成立,則函數(shù)f(x)的圖象始終在函數(shù)f(x-2a)的圖象的上方.當a<0時,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移,不能滿足題意,故a>0,將函數(shù)f(x)圖象向右平移時的臨界情況是當D點與B點重合,且臨界情況不滿足題意,由圖可知,向右平移的2a個單位長度應大于6,即2a>6,解得a>32,故答案為(32,+∞).13.解析(1)由題知f(x)為奇函數(shù),且在R上是增函數(shù),則f(2x-1)+f(3)<0?f(2x-1)<-f(3)?f(2x-1)<f(-3)?2x-1<-3,解得x<-1,即不等式的解集為(-∞,-1).(2)由題知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù),則f(2x-1)-f(-3)<0?f(2x-1)<f(