3.2.1函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊講義

新教材必修第一冊3.2.1：函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲嫡n標(biāo)解讀：函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的概念、作用和實際意義.（理解）函數(shù)的最大值和最小值的概念、作用和實際意義.（理解）學(xué)習(xí)指導(dǎo)：這里所學(xué)習(xí)的函數(shù)“單調(diào)性”與初中所學(xué)習(xí)的區(qū)別在于高中是用符號語言來定量描述函數(shù)的單調(diào)性，而初中則是借助圖形直觀定性描述的。本節(jié)理解函數(shù)“單調(diào)性”的定義是主要障礙，而突破難點的有效途徑是借助特例及圖形的直觀.另外函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用是高考的熱點之一，因此要熟練掌握求解其相關(guān)問題的方法與技巧.知識導(dǎo)圖：知識點1：函數(shù)的單調(diào)性2.函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間（1）當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增（減）時，我們就稱它是增（減）函數(shù).（2）如果函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做的單調(diào)區(qū)間.3.常見函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)時，在R上單調(diào)遞增；時，在R上單調(diào)遞減.反比例函數(shù)時，單調(diào)遞減區(qū)間是和；時，單調(diào)遞增區(qū)間是和.二次函數(shù)時，單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是時，單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.例1-1：下列命題為正命題的是（）.A.定義在上的函數(shù)，如果，當(dāng)時，有，那么在上單調(diào)遞增如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上也單調(diào)遞減，那么在區(qū)間上就一定單調(diào)遞減定義在上的函數(shù)，若有無窮多對，當(dāng)時，有，那么在上為增函數(shù)，當(dāng)，成立，則函數(shù)在上不是單調(diào)遞增的答案：D例1-2：（1）根據(jù)圖像寫出兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在單調(diào)區(qū)間上函數(shù)時增函數(shù)還是減函數(shù).答案：圖（1）的單調(diào)區(qū)間為，且在此區(qū)間上是增函數(shù).圖（2）的單調(diào)區(qū)間為，且在此區(qū)間上是減函數(shù).（2）如圖，分別為函數(shù)的圖像，試分別寫出和的單調(diào)遞增區(qū)間.答案：圖（1）所示函數(shù)在上，是單調(diào)遞增的，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.圖（2）所示的函數(shù)在上，的單調(diào)遞增區(qū)間是.例1-3：下列四個函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（）.A.B.C.D.答案：C知識點2：函數(shù)的最大（小）值名稱定義幾何意義函數(shù)的最大值一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)M滿足：，都有，使得那么，我們稱M是函數(shù)的最大值函數(shù)的最大值對應(yīng)圖像最高點的縱坐標(biāo).函數(shù)的最小值一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1），都有（2），使得那么，我們稱是函數(shù)的最大值函數(shù)的最小值對應(yīng)圖像最低點的縱坐標(biāo).2.利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常用結(jié)論（1）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么函數(shù)，在處有最大值，如圖（1）所示：（2）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么函數(shù)，在處有最小值，如圖（2）所示：例2-4：如圖為函數(shù)的圖像，指出它的最大值、最小值.答案：最大值為3，最小值為-2例2-5：（1）函數(shù)在區(qū)間[1，5]上的最大值為，最小值為；（2）函數(shù)的最大值為.答案：（1）3（2）5例2-6：已知函數(shù)則函數(shù)的最大值、最小值分別為.答案：2重難拓展知識點3：對增（減）函數(shù)定義的等價形式及對勾函數(shù)性質(zhì)的探究1.對增（減）函數(shù)定義的等價形式的探究設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間，記.則（1）函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增的充要條件是：都有（2）函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減的充要條件是：都有2.對對勾函數(shù)函數(shù)性質(zhì)的探究利用上述等價形式，可以探究函數(shù)在整個定義域上的單調(diào)性.記.由于，因此，，且，可得到如下表格：D的符號＋－－＋的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是和.拓展：將上述內(nèi)容拓展到一般情形有：若，則，且，有.D的符號＋－－＋的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是和.探究：對函數(shù)的圖像的探究如下.注意到當(dāng)時，，因此.當(dāng)且時，，因此.當(dāng)且時，，因此.當(dāng)時，，因此.又故結(jié)合上述討論可知，函數(shù)的大致圖象如圖所示，由該函數(shù)圖像近似于兩個關(guān)于原點對稱的對“√”.因此我們稱函數(shù)為對勾函數(shù)，借助對勾函數(shù)的圖像，可以幫助我們熟練掌握對勾函數(shù)的性質(zhì).如果函數(shù)為，則可變形為，那么它的單調(diào)性同樣可用上述結(jié)論求解.例3-8：若對勾函數(shù)在整數(shù)集Z上單調(diào)遞增，則實數(shù)t的取值范圍是.答案：（0，2）例3-9：已知函數(shù)，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.答案：當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為值域：.知識點4：單調(diào)函數(shù)的運算性質(zhì)若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則在區(qū)間上具有以下性質(zhì).（1）與（C為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性.（2）若為常數(shù)，則當(dāng)時，與具有相同的單調(diào)性；當(dāng)時，與具有相反的單調(diào)性.（3）若恒為正值或恒為負(fù)值，為常數(shù)，則當(dāng)時，與具有相反的單調(diào)性；當(dāng)時，與具有相同的單調(diào)性.（4）若，則與具有相同的單調(diào)性.（5）在的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結(jié)論：增增增不能確定單調(diào)性增減不能確定單調(diào)性增減減減不能確定單調(diào)性減增不能確定單調(diào)性減（6）當(dāng)都是增（減）函數(shù)，若兩者都恒大于零，則也是增（減）函數(shù)；若兩者都恒小于零，則是減（增）函數(shù).例4-10：證明當(dāng)恒為正值或恒為負(fù)值時，與具有相反的單調(diào)性.答案：若函數(shù)是增函數(shù)，取定義域內(nèi)的兩個數(shù)，且，則，易知由于恒為正值或恒為負(fù)值，則從而，故函數(shù)是減函數(shù).同理可證：若函數(shù)是減函數(shù)，則函數(shù)是增函數(shù).知識點5：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判定對于復(fù)合函數(shù)，設(shè)在上是單調(diào)函數(shù)，且在上也是單調(diào)函數(shù)，那么在上的單調(diào)性如何呢？下面我們來探討一下.若在上是增函數(shù)，且也為增函數(shù)；任取，因為在上是增函數(shù)，所以，又也為增函數(shù)，所以有，則根據(jù)增函數(shù)的定義知在上為增函數(shù).（2）若在上是增函數(shù)，且也為減函數(shù)；任取，因為在上是增函數(shù)，所以，又為減函數(shù)，所以有，則根據(jù)減函數(shù)的定義知在上為減函數(shù).類似的，我們不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)在上是減函數(shù)，且為增函數(shù)時，在上為減函數(shù)；當(dāng)在上是減函數(shù)，且為減函數(shù)時，在上為增函數(shù).根據(jù)上面探討，在上的單調(diào)性如下表所示，簡記為“同增異減”增增增增減減減增減減減增若一個函數(shù)是由多個簡單函數(shù)復(fù)合而成的，則此復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由簡單函數(shù)中減函數(shù)的個數(shù)決定.若減函數(shù)有偶數(shù)個，則這個復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若減函數(shù)的個數(shù)有奇數(shù)個，則這個復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).例5-12：已知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，求的單調(diào)遞減區(qū)間.答案：[-1,0]題型與方法題型1：函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解.1.定義法討論函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間例13：判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明.答案：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.證明如下：任取，則∵∴又∴∴即∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.例14：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.答案：變式訓(xùn)練：試討論函數(shù)的單調(diào)性.答案：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，在上單調(diào)遞減2.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性例15：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：；.答案：（1）單調(diào)增區(qū)間：；單調(diào)減區(qū)間：（2）單調(diào)增區(qū)間：；單調(diào)減區(qū)間：3.判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例16：已知函數(shù)，試求的單調(diào)區(qū)間.答案：單調(diào)增區(qū)間：；單調(diào)減區(qū)間：4.抽象函數(shù)的單調(diào)性例17：設(shè)是定義在R上的函數(shù)，，且當(dāng)時，求證求證時，恒有求證在R上是減函數(shù).答案：（1）令，可得∵∴（2）由題意知時，當(dāng)時，當(dāng)時，，∴∴（3）取任意，則∴由（2）知，又，∴故，故在R上是減函數(shù).變式訓(xùn)練：定義在上的函數(shù)滿足：①對任意正數(shù)都有；②當(dāng)時，則的單調(diào)減區(qū)間為.答案：題型2：求函數(shù)的最值1.利用單調(diào)性求值例18：函數(shù)的最小值為.答案：22.利用圖象求最值例19：用表示兩個數(shù)中的最小值.設(shè)，則的最大值為.答案：6變式訓(xùn)練：函數(shù)，其中，記在區(qū)間[0,2]上的最小值為，則函數(shù)的最大值為（）.A.B.0C.1D.2答案：D題型3：二次函數(shù)的最值問題1.定軸定區(qū)間例20：已知函數(shù)，當(dāng)自變量在下列范圍取值時，求函數(shù)的最大值和最小值：（1）R；（2）[0,3]（3）[-1,1].答案：（1）最小值-7，無最大值；（2）最大值5，最小值-7；（3）最大值20，最小值-4；2.動軸定區(qū)間例21：已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值.答案：3.定軸動區(qū)間例22：已知函數(shù)的最小值為，求的函數(shù)表達式.答案：4.動軸動區(qū)間例23：設(shè)是正數(shù)，，記的最大值為求的表達式.答案：題型4：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例24：若函數(shù)，在R上為增函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍為（）.A.B.[1,2]C.（]D.（]答案：B例25：已知函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是.答案：變式訓(xùn)練1：若函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為.答案：變式訓(xùn)練2：函數(shù)在區(qū)間（]上單調(diào)遞減，則取值范圍為（）.A.B.C.D.答案：B2.利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小、解不等式例26：已知函數(shù)對任意的實數(shù)t都有，則比較的大小為（）.A.B.C.D.答案：B例27：已知是定義在區(qū)間[-1,1]上的增函數(shù)，且，則的取值范圍為.答案：題型5：函數(shù)最值的應(yīng)用例28：已知函數(shù)在上的最大值為1，則的值是（）1B.2C.3D.4答案：B（2）函數(shù)在上取得最小值-1，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.答案：C變式訓(xùn)練：已知函數(shù)若是的最小值，則t的取值范圍為（）.A.B.C.D.答案：D易錯提醒易錯1：應(yīng)忽略定義域二求錯單調(diào)區(qū)間例30：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.答案：易錯2：混淆“單調(diào)區(qū)間”和“在區(qū)間上單調(diào)”兩個概念例31：（1）若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則實數(shù)的取值范圍是.答案：（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是.答案：感知高考考向1：函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用例32：能說明“對任意的都成立，則在上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是.答案：（答案不唯一）例33：已知符號是R上的增函數(shù)，，則（）A.B.C.D.答案：B考向2：函數(shù)的最值例34：已知，函數(shù).若存在，使得，則實數(shù)的最大值是.答案：例35：已知，函數(shù)=若對任意恒成立，則的取值范圍是.答案：例36：若函數(shù)在區(qū)間上最大值是，最小值是，則（）A.與有關(guān)，且與有關(guān)B.與有關(guān)，但與無關(guān)C.與無關(guān)，且與無關(guān)D.與無關(guān)，但與有關(guān)答案：B例37：已知函數(shù).設(shè).記的最小值為A，的最小值為B，則A-B=（）A.B.C.-16D.16答案：C例38：已知，函數(shù)，其中.求使得等式成立的的取值范圍.①求的最小值；②求在區(qū)間[0,6]上的最大值.答案：（1）；（2）①②基礎(chǔ)鞏固：設(shè)都是的單調(diào)遞增區(qū)間，且，則的大小關(guān)系為（）B.C.D.不能確定2.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.B.C.D.3.若函數(shù)的定義域為R，且在上單調(diào)遞減，則下列不等式成立的是（）A.B.C.D.4.若與在區(qū)間[1,2]上都是單調(diào)遞減，則取值范圍是（）A.B.C.D.5.函數(shù)的最大值為.6.已知二次函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上單調(diào)遞增，則的大小關(guān)系為.7.二次函數(shù)在上有最大值3，最小值1，則實數(shù)的取值范圍是.8.已知函數(shù)（1）用定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）求該函數(shù)在[2,4]上的最大值與最小值.能力提升9.（多選題）定義在R上的函數(shù)的圖像如圖所示，它在定義域上是減函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則10.已知定義在上的函數(shù)滿足滿足：對任意正實數(shù)都有，且當(dāng)時恒有，則下列結(jié)論正確的是（）A.在上是減函數(shù)B.在上是增函數(shù)C.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增D.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減11.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.B.（0,1）C.（1,2）D.（0,2）12.已知定義在R上的增函數(shù)滿足對任意，都有，且，，若，則的取值范圍是（）A.B.（-1,1）C.（0,2）D.（1,3）13.已知函數(shù)，若有最小值-2，則的最大值