3.2.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 （七大題型）（解析版）

3.2.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能從幾何情境中認(rèn)識雙曲線的幾何特征，說出雙曲線的定義，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)．（2）能類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能用于解決簡單的問題，進(jìn)一步體會建立曲線的方程的方法，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．（1）了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程.（2）掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.（3）能利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些實(shí)際應(yīng)用問題．知識點(diǎn)01雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個定點(diǎn)、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線．這兩個定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距．知識點(diǎn)詮釋：1、雙曲線的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來理解；2、若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；3、若常數(shù)滿足約束條件：，則動點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；4、若常數(shù)滿足約束條件：，則動點(diǎn)軌跡不存在；5、若常數(shù)，則動點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線．【即學(xué)即練1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡是（

）A．射線 B．直線C．橢圓 D．雙曲線的一支【答案】A【解析】設(shè)，由題意知動點(diǎn)M滿足|，故動點(diǎn)M的軌跡是射線.故選：A.知識點(diǎn)02雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：如何建立雙曲線的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設(shè)點(diǎn)；（2）點(diǎn)的集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟．（1）建系設(shè)點(diǎn)取過焦點(diǎn)、的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸（2）建立直角坐標(biāo)系．設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是（），那么F1、F2的坐標(biāo)分別是、．又設(shè)點(diǎn)M與、的距離的差的絕對值等于常數(shù)．（2）點(diǎn)的集合由定義可知，雙曲線就是集合：．（3）代數(shù)方程∵，∴（4）化簡方程將這個方程移項(xiàng)，兩邊平方得：化簡得：兩邊再平方，整理得：（以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)．）由雙曲線定義，即c＞a，所以．設(shè)，代入上式得：即，其中這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：1、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線根據(jù)根據(jù)，，，（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：方程（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程可化為，即，所以只有A、B異號，方程表示雙曲線．當(dāng)，時，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)，時，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上．知識點(diǎn)詮釋：1、當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的對稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式．此時，雙曲線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．2、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：，，且．3、雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看、的系數(shù)，如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．4、對于雙曲線，不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．【即學(xué)即練2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】因?yàn)楹陀邢嗤慕咕?，又雙曲線的焦距為，所以雙曲線的焦距，又過點(diǎn)，當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為，若將點(diǎn)代入，得①，又②，聯(lián)立①②兩式得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入，得③，又④，聯(lián)立③④兩式得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，綜上所述，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：C.知識點(diǎn)03求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值．其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由題目條件判斷出動點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程．知識點(diǎn)詮釋：若定義中“差的絕對值”中的絕對值去掉，點(diǎn)的集合成為雙曲線的一支，先確定方程類型，再確定參數(shù)a、b，即先定型，再定量．若兩種類型都有可能，則需分類討論．【即學(xué)即練3】（2023·廣東東莞·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，四點(diǎn)、、、中恰有三點(diǎn)在上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，且雙曲線也關(guān)于原點(diǎn)對稱，故點(diǎn)、都在雙曲線上，對于點(diǎn)，，，所以，，即點(diǎn)不在雙曲線上，所以，點(diǎn)、、都在雙曲線上，所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.題型一：雙曲線的定義例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，則在平面內(nèi)滿足下列條件的動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由于，因此滿足，的動點(diǎn)P的軌跡均不是雙曲線，滿足的動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支，而滿足的動點(diǎn)P的軌跡才是雙曲線．故選：B．例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如果雙曲線上一點(diǎn)到它的右焦點(diǎn)的距離是，那么點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離是（

）A． B． C．或 D．不確定【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，則；則，由雙曲線定義可得，即，所以或，由于，故點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離是或，故選：C例3．（2023·全國·高二期中）若點(diǎn)在雙曲線上，雙曲線的焦點(diǎn)為，且，則等于（）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】B【解析】雙曲線中，得，則，由雙曲線的定義可得，因?yàn)椋?，解得，故選：B變式1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于的點(diǎn)的軌跡是（

）A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線【答案】B【解析】如圖：設(shè)動點(diǎn)為，到兩個定點(diǎn)的距離之差的絕對值為，則若在線段（不包含兩端點(diǎn)）上，有；若在直線外，有；若在線段的延長線上或線段的反向延長線上（均包含兩端點(diǎn)），則有.故選：B變式2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．5 B．6 C．8 D．12【答案】C【解析】雙曲線C：，則，，由雙曲線的定義知：，，，所以.故選：C.題型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例4．（2023·全國·高二期中）求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，焦點(diǎn)是，的雙曲線；(2)離心率為，短軸長為6的橢圓.【解析】（1）由題意設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，又，故，所以雙曲線的方程為.（2）當(dāng)焦點(diǎn)在軸時，設(shè)橢圓方程為，由題可得，解得，，所以橢圓方程為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸時，設(shè)橢圓方程為，由題可得，解得，，所以橢圓方程為；所以，所求橢圓方程為或.例5．（2023·新疆喀什·高一校考期末）求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸上，一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為的等軸雙曲線；(2)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且它的一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【解析】（1）設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，，因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.例6．（2023·高二課時練習(xí)）雙曲線經(jīng)過兩點(diǎn)，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【答案】【解析】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得：，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：.變式3．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第一中學(xué)校考期末）設(shè)橢圓的離心率為，焦點(diǎn)在軸上且長軸長為26，若曲線上的點(diǎn)到橢圓的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在橢圓中，由題知，解得，所以橢圓的焦點(diǎn)為，，因?yàn)榍€上的點(diǎn)到，的距離的差的絕對值等于8，且，所以曲線是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8的雙曲線，所以曲線的虛半軸長為，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：A.變式4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知等軸雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的方程為（），代入點(diǎn)，得，故所求雙曲線的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：A．題型三：雙曲線方程的充要條件例7．（2023·高二單元測試）方程表示的曲線，下列說法錯誤的是（

）A．當(dāng)時，表示兩條直線B．當(dāng)，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C．當(dāng)時，表示圓D．當(dāng)時，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線【答案】B【解析】對于A：當(dāng)時，方程為，表示與兩條直線，則A說法正確；對于B：化為，當(dāng)時，，則，則表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故B說法錯誤；對于C：當(dāng)時，方程為，表示圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓，則C說法正確；對于D：化為，當(dāng)時，，則，則表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故D說法正確；故選：B.例8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）對于常數(shù)a，b，“”是“方程對應(yīng)的曲線是雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】可整理成，當(dāng)，則且或且，此時方程即表示的曲線為雙曲線，則充分性成立；若方程表示的曲線為雙曲線，則即，則必要性成立，故選：C例9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)，則“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，方程表示雙曲線，則，所以，根據(jù)選項(xiàng)，“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為B.故選：B.變式5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）“”是“為雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，又當(dāng)時，方程表示雙曲線，因此“”是“方程表示雙曲線”的充要條件.故選：C變式6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）當(dāng)時，方程所表示的曲線是（

）A．焦點(diǎn)在軸的橢圓 B．焦點(diǎn)在軸的雙曲線C．焦點(diǎn)在軸的橢圓 D．焦點(diǎn)在軸的雙曲線【答案】D【解析】當(dāng)ab＜0時，方程化簡得，∴方程表示雙曲線．焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上；故選：D．題型四：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題例10．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，，為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，且，則的周長等于.【答案】22【解析】由題意知，，又，∴，，故的周長為，故答案為：22例11．（2023·陜西安康·高二校聯(lián)考期末）設(shè)，為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足，則的面積是【答案】【解析】如圖：由得，，，，由題意：，，，所以，故答案為：例12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且，則的大小為．【答案】/【解析】因?yàn)殡p曲線，則，，所以，因?yàn)闉殡p曲線右支上一點(diǎn)，所以，又，所以，，，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案為：變式7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)分別是雙曲線的下、上焦點(diǎn)，若點(diǎn)是雙曲線下支上的點(diǎn)，且，則的面積為.【答案】16【解析】因?yàn)槭请p曲線下支上的點(diǎn)，所以，兩邊平方得：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2==0，所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16故答案為：變式8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且，則△的面積為.【答案】16【解析】雙曲線，所以，，所以，，是雙曲線左支上的點(diǎn)，，，在△中，由余弦定理得，，△的面積為.故答案為：.變式9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在該雙曲線上，且是等腰三角形，則的周長是.【答案】16【解析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，因?yàn)槭堑妊切危辉O(shè)在雙曲線的右支上，則，所以，所以的周長為6+6+10=16故答案為：.變式10．（2023·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，，連接交雙曲線的左支于點(diǎn)，若，，，則的面積是．【答案】10【解析】連接，由，，得，．設(shè)，則，．由得，即，得．在中，．在中，由余弦定理，得，所以，得，所以，，即，故的面積為．故答案為：10.變式11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，，則．【答案】/【解析】，，則，，，.故答案為：.變式12．（多選題）（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且位于第一象限，，則（

）A．P的縱坐標(biāo)為 B．C．的周長為 D．的面積為4【答案】ABD【解析】依題意，因?yàn)椋?由雙曲線的定義可得①，兩邊平方得，即，解得，故的面積為，D正確.設(shè)P的縱坐標(biāo)為h，的面積，解得，A正確.，解得②，的周長為，C錯誤.①＋②可得，B正確.故選：ABD題型五：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題例13．（2023·高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動，則的最小值是．【答案】【解析】如下圖所示：在雙曲線中，，，，圓的圓心為，半徑長為，所以，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，由雙曲線的定義可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)，且時，等號成立，故的最小值是.故答案為：.例14．（2023·湖北·高二校聯(lián)考期末）已知圓與軸的交點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，設(shè)分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，為右支上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)榕c軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，由題意可知：，，因?yàn)闉橛抑先我庖稽c(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義有，即，令，則，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，所以，所以，即.故答案為：.例15．（2023·高二課時練習(xí)）已知定點(diǎn)，且，動點(diǎn)滿足，則的最小值是.【答案】6【解析】因?yàn)閯狱c(diǎn)滿足，所以點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支，則，即，不妨設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，則雙曲線方程為，左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，設(shè)，則，所以，所以的最小值是6，故答案為：6變式13．（2023·高二單元測試）平面內(nèi)，線段的長度為10，動點(diǎn)滿足，則的最小值為．【答案】2【解析】因?yàn)?，所以，因此動點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線的靠近點(diǎn)的一支上，且，從而的最小值為故答案為：2.題型六：橢圓上兩線段的和差最值問題例16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)，為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)P（0，2）．當(dāng)取最小值時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由雙曲線定義得,故如圖示，當(dāng)三點(diǎn)共線，即Q在M位置時，取最小值，，故方程為，聯(lián)立，解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(Q為第一象限上的一點(diǎn))，故故選：A例17．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為雙曲線右支上一動點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榈容S雙曲線的左、右焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，所以可設(shè)雙曲線的方程為，又因?yàn)殡p曲線的焦距為8，所以，而，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由雙曲線的定義可知，，由題意可知，，，，所以,故的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)位于第一象限時取得最大值.故選：B例18．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知F是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】由雙曲線方程可知，，，故右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支上運(yùn)動時，由雙曲線定義知，所以，從而，又為定值，所以，此時點(diǎn)在線段與雙曲線的交點(diǎn)處（三點(diǎn)共線距離最短），故選：B.變式14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，P是雙曲線C的右支上的動點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若C為雙曲線右焦點(diǎn)C(3,0)，則，|AC|=5,而，僅當(dāng)共線且在之間時等號成立，所以，當(dāng)共線且在之間時等號成立.故選：D變式15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線左支上一點(diǎn)，則的最小值為（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【解析】由雙曲線，則，即，且，由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時，等號成立.故選：C.變式16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為其右支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由雙曲線的方程可得：，則，所以，且，所以，的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，A三點(diǎn)共線時取等號，則周長的最小值為．故選：B．變式17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【解析】由雙曲線，則，即，且，由題意，作圖如下：，當(dāng)且僅當(dāng)共線時，等號成立.故選：C.變式18．（2023·吉林·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的下焦點(diǎn)為，，是雙曲線上支上的動點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得雙曲線焦點(diǎn)在軸上，，，，所以下焦點(diǎn)，設(shè)上焦點(diǎn)為，則，根據(jù)雙曲線定義：，在上支，，,在中兩邊之差小于第三邊，，,

.故選：D.變式19．（2023·高二課時練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線右支上運(yùn)動，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．9【答案】B【解析】由，所以有，設(shè)圓的圓心為，半徑為，設(shè)該雙曲線另一個焦點(diǎn)為，所以，求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，因此當(dāng)點(diǎn)依次共線時，有最小值，即，故選：B變式20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，M?N分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（

）A．6 B．9 C．12 D．14【答案】B【解析】因?yàn)殡p曲線方程為，故，則其焦點(diǎn)為，根據(jù)題意，作圖如下：則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時取得等號；，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時取得等號；則，故可得，故的最大值為：.故選：B.變式21．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，M為雙曲線C右支上任意一點(diǎn)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線C的實(shí)半軸長為，右焦點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)M為的延長線與雙曲線交點(diǎn)時取等號.故選：C．變式22．（2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，直線AP，BP相交于點(diǎn)P，且它們斜率之積是.當(dāng)時，的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率；直線的斜率．由已知有，化簡得點(diǎn)的軌跡方程為．又，所以點(diǎn)的軌跡方程為，即點(diǎn)的軌跡為以、為頂點(diǎn)的雙曲線的左支（除點(diǎn)），因?yàn)椋O(shè)，由雙曲線的定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時取得最小值，因?yàn)?，所以，所以，即的最小值為；故選：A題型七：求軌跡方程例19．（2023·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）已知動圓與圓，圓中的一個外切?一個內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程為【答案】【解析】設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，由圓，可得圓心，半徑，圓，可得圓心，半徑．根據(jù)題意，可得或，所以或，可得又因?yàn)?，可得，根?jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線，且，所以，則，所以所求曲線的軌跡方程為.故答案為：.例20．（2023·全國·高二課堂例題）如圖所示，已知定圓：，定圓：，動圓M與定圓，都外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.

【答案】【解析】圓：，圓心，半徑，圓：，圓心，半徑.設(shè)動圓M的半徑為R，則有，，∴，∴點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，，于是.故動圓圓心M的軌跡方程為.故答案為：.例21．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，在中，已知，且三內(nèi)角A，B，C滿足，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為.

【答案】【解析】以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，.由正弦定理，得，，（R為的外接圓半徑）.∵，∴，即.由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支（除去與x軸的交點(diǎn)）.由題意，設(shè)所求軌跡方程為，∵，，∴.故所求軌跡方程為.故答案為：變式23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知動圓P過點(diǎn)，且與圓外切，則動圓P圓心的軌跡方程為.【答案】，【解析】定圓的圓心為，與關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)動圓的半徑為，則有，因?yàn)榕c圓外切，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，則，，，所以軌跡方程為，，即，.故答案為：，變式24．（2023·全國·高二專題練習(xí)）動圓過點(diǎn)，且與圓外切，則動圓圓心的軌跡方程是．【答案】【解析】設(shè)動圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閯訄A過點(diǎn)，且與圓外切，所以，，，所以，所以，由雙曲線的定義得的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線的右支，因?yàn)閷?shí)軸長為，焦點(diǎn)為，所以，動圓圓心的軌跡方程是，即故答案為：變式25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，圓，若動圓E與，都外切，則圓心E的軌跡方程為.【答案】【解析】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，由于動圓E與圓，都外切，設(shè)動圓E的半徑為，則，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)方程為，則，所以E的軌跡方程為.故答案為：.變式26．（2023·全國·高二專題練習(xí)）一動圓P過定點(diǎn)，且與已知圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是．【答案】【解析】圓N：的圓心，半徑，∵，∴點(diǎn)在圓N外，則圓P包含圓N，設(shè)圓P的半徑為，由題意可得：，即，可得，故動圓圓心P的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右半支，可得，則，故動圓圓心P的軌跡方程是.故答案為：.變式27．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知，兩點(diǎn)，則滿足的動點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】由于，是兩個定點(diǎn)，則滿足,因此動點(diǎn)的軌跡是的延長線上,且點(diǎn)在軸上點(diǎn)的右側(cè)（包含B），故其方程為，故答案為：變式28．（2023·湖北恩施·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的方程為，其左?右頂點(diǎn)分別為，一條垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】由題意知，設(shè)直線為，，由三點(diǎn)共線及三點(diǎn)共線，得，兩式相乘化簡，得，又，所以，即，又，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：變式29．（2023·浙江杭州·高二杭州四中校考期末）法國數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：雙曲線的兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡方程為：，這個圓被稱為蒙日圓.若某雙曲線對應(yīng)的蒙日圓方程為，則.【答案】2【解析】由雙曲線的方程可得，由蒙日圓的定義可得雙曲線對應(yīng)的蒙日圓方程，所以，即，可得.故答案為：2.變式30．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)P為雙曲線上一動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)，，則，即，又，則，整理得，即點(diǎn)M的軌跡方程為.故答案為：變式31．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，則由題意可得，，相減可得，故點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，由題意可得，，，故點(diǎn)的軌跡方程為．故答案為：變式32．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓，作垂直于x軸的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，作垂直于y軸的直線m交橢圓于C，D兩點(diǎn)，且，直線l與直線m交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)直線l的方程為，直線m的方程為，所以，不妨設(shè)點(diǎn)，，，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即．故答案為：一、單選題1．（2023·陜西咸陽·高二咸陽彩虹學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的長軸端點(diǎn)重合，則的值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【解析】橢圓的長軸端點(diǎn)為，所以雙曲線的焦點(diǎn)為，故，故選：A2．（2023·安徽安慶·高二安慶市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個橢圓的長軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線的方程為，所以，，，所以雙曲線的方程為.故選：B.3．（2023·安徽阜陽·高二阜陽市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知曲線表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知，，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D.4．（2023·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？计谥校┰O(shè)是雙曲線左支上的動點(diǎn)，分別為左右焦點(diǎn)，則（

）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】由，得解得．因?yàn)槭请p曲線左支上的動點(diǎn)，所以.由雙曲線的定義可知．故選：A.5．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考階段練習(xí)）設(shè)、分別是雙曲線：的左、右兩個焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】D【解析】由，所以是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與雙曲線的交點(diǎn)，又，即它們也在點(diǎn)所在的圓上，且為直徑，所以為直角三角形，，如上圖，，且，所以，則，故的面積為.故選：D6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的下、上焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)殡p曲線的下、上焦點(diǎn)分別為，，所以設(shè)雙曲線的方程為，半焦距為；又因?yàn)槭请p曲線上一點(diǎn)且，所以，即，則；所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.7．（2023·廣東深圳·高二?？计谥校┤魴E圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，P是兩曲線的一個交點(diǎn)，則的面積是（）A． B．t C．2t D．4t【答案】B【解析】設(shè)，，不妨設(shè)交點(diǎn)P在第一象限，分別為左右焦點(diǎn)，則①，②，，可得①②2：，∴是直角三角形，①②：，．故選：B8．（2023·江西上饒·高二上饒市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓的圓心為，過點(diǎn)的直線交圓于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為（）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線【答案】D【解析】，即圓，故，，因?yàn)槠叫信c，，所以，故，故點(diǎn)的軌跡為雙曲線.故選：D二、多選題9．（2023·江蘇南京·高二南京市第五高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知曲線.有（

）A．若，則是焦點(diǎn)在軸上的橢圓B．若，則是半徑為的圓C．若，則是雙曲線，且漸近線的方程為D．若，則是兩條直線【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，若，曲線的方程可化為，則，所以是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，曲線的方程可化為，則是半徑為的圓，所以B選項(xiàng)錯誤.C選項(xiàng)，若，曲線的方程可化為，表示雙曲線，由得，所以C選項(xiàng)錯誤.D選項(xiàng)，若，曲線的方程可化為，表示兩條直線，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD10．（2023·江蘇無錫·高二輔仁高中校考階段練習(xí)）已知方程表示的曲線為C，則下列四個結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時，曲線C是橢圓B．當(dāng)或時，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則【答案】BC【解析】對于A，當(dāng)時，，則曲線是圓，A錯誤；對于B，當(dāng)或時，，曲線是雙曲線，B正確；對于C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，C正確；對于D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，D錯誤．故選：BC.11．（2023·江西上饒·高二江西省廣豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P在雙曲線C：上，分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若的面積為20，則（

）A． B．C．點(diǎn)P到x軸的距離為4 D．【答案】BC【解析】由已知得雙曲線的實(shí)半軸長為，虛半軸長為，則右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由雙曲線的定義可知，，故錯誤；設(shè)點(diǎn)，則，所以，故C正確；由雙曲線的對稱性，不妨取點(diǎn)P的坐標(biāo)為，得，由雙曲線的定義，得，所以，故B正確；由余弦定理,得

，所以，故D錯誤．故選：BC．12．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？计谥校?022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）的正視圖近似伯努利雙紐線.定義在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡成為雙紐線，已知點(diǎn)是雙紐線上一點(diǎn)，下列說法正確的有（

）．

A．雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對稱；B．；C．雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個；D．的最大值為.【答案】ABD【解析】對于A，因?yàn)槎x在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，所以，用替換方程中的，原方程不變，所以雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，所以A正確，對于B，設(shè)∵，，∴，∴，∴，故B正確；對于C，由知在的垂直平分線（方程為）上將代入得即，解得，∴這樣的點(diǎn)只有一個，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，所以，所以的最大值為，故D正確；故選：ABD.三、填空題13．（2023·陜西咸陽·高二咸陽彩虹學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的一個焦點(diǎn)在直線上，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為，那么雙曲線的方程為．【答案】【解析】由題意可得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，又直線與的交點(diǎn)為，所以右焦點(diǎn)為，故，漸近線方程為，所以到漸近線的距離為，又，故雙曲線方程為，故答案為：14．（2023·江蘇南通·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）寫出一個同時滿足下列條件①②的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.①焦點(diǎn)在x軸上；②漸近線方程為.【答案】（答案不唯一）【解析】雙曲