5.1.1 任意角和弧度制(1)-任意角-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步練習(xí)和分類專題教案（人教A版2019必修第一冊）

第五章三角函數(shù)課時5.1任意角和弧度制5.1.1任意角1.了解任意角的概念,能正確區(qū)分正角、負(fù)角和零角.2.掌握象限角的概念,并會用集合表示象限角.3.掌握終邊相同的角的含義及其表示方法,并能解決有關(guān)問題.基礎(chǔ)過關(guān)練題組一對任意角概念的理解1.將射線OM繞端點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°所得的角為()A.120° B.-120° C.60° D.240°2.已知角α在平面直角坐標(biāo)系中如圖所示，其中射線OA與y軸正半軸的夾角為30°，則α的值為()A.-480° B.-240° C.150° D.480°3.從13:00到14:00，時針轉(zhuǎn)過的角為，分針轉(zhuǎn)過的角為.

題組二終邊相同的角與區(qū)域角4.在0°~360°范圍內(nèi)，與-80°角終邊相同的角是()A.80° B.100° C.240° D.280°5.設(shè)α=-300°，則與α終邊相同的角的集合為()A.{α|α=k·360°+300°，k∈Z}B.{α|α=k·360°+60°，k∈Z}C.{α|α=k·360°+30°，k∈Z}D.{α|α=k·360°-60°，k∈Z}6.角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，則α與β的關(guān)系為()A.α+β=k·360°，k∈ZB.α+β=k·360°+180°，k∈ZC.α-β=k·360°+180°，k∈ZD.α-β=k·360°，k∈Z7.與-2020°角終邊相同的最小正角是.

8.已知射線OA，OB如圖.(1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合;(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.

9.已知角θ的7倍角的終邊與角θ的終邊重合，且0°<θ<360°，求滿足條件的角θ的集合.題組三象限角的判定10.-361°角的終邊落在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限11.下列命題正確的是()A.終邊在x軸的非正半軸上的角是零角B.第二象限角一定是鈍角C.第四象限角一定是負(fù)角D.若β=α+k·360°(k∈Z)，則α與β的終邊相同12.設(shè)A={θ|θ為銳角}，B={θ|θ為小于90°的角}，C={θ|θ為第一象限角}，D={θ|θ為小于90°的正角}，則下列等式中成立的是()A.A=B B.B=CC.A=CD.A=D13.若α是第四象限角，則180°-α是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角14.(多選)下列四個命題是真命題的有()A.-75°角是第四象限角B.225°角是第三象限角C.575°角是第二象限角D.-315°角是第一象限角15.若α=k·360°+45°，k∈Z，則α2是第能力提升練題組一對任意角概念的理解1.若α與β的終邊互為反向延長線，則有()A.α=β+180°B.α=β-180°C.α=-βD.α=β+(2k+1)·180°，k∈Z2.(多選)下列條件中，能使α和β的終邊關(guān)于y軸對稱的是()A.α+β=90°B.α+β=180°C.α+β=k·360°+90°(k∈Z)D.α+β=(2k+1)·180°(k∈Z)題組二終邊相同的角與區(qū)域角3.與角-390°終邊相同的最小正角是()A.-30° B.30° C.60° D.330°4.終邊在直線y=-x上的所有角的集合是()A.{α|α=k·360°+135°，k∈Z}B.{α|α=k·360°-45°，k∈Z}C.{α|α=k·180°+225°，k∈Z}D.{α|α=k·180°-45°，k∈Z}5.集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°，k∈Z}中的角所表示的范圍(陰影部分)是()6.如果角α與x+45°的終邊相同，角β與x-45°的終邊相同，那么α與β的關(guān)系是()A.α+β=0°B.α-β=0°C.α+β=k·360°(k∈Z)D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)7.若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊與終邊，則角α=.

8.寫出如圖所示的陰影部分(包括邊界)的角α的范圍.題組三象限角的判定9.2019°角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角10.(多選)設(shè)α是第三象限角，則α2的終邊所在的象限可能是A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限11.已知集合{α|α=k·90°+45°，k∈Z}.(1)該集合中有幾種終邊不相同的角?(2)該集合中有幾個在-360°~360°范圍內(nèi)的角?(3)寫出該集合中的第三象限角.

12.半徑為1的圓的圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A(1，0)出發(fā)，以逆時針方向勻速沿圓周旋轉(zhuǎn)，已知點(diǎn)P在1s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為θ(0°<θ<180°)，經(jīng)過2s到達(dá)第三象限，經(jīng)過14s后又回到了出發(fā)點(diǎn)A處，求θ.答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角是正角，所以射線OM繞端點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°所得的角為120°.2.D由角α按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，可知α為正角.又旋轉(zhuǎn)量為480°，∴α=480°.3.答案-30°;-360°解析經(jīng)過一小時，時針順時針旋轉(zhuǎn)30°，分針順時針旋轉(zhuǎn)360°，結(jié)合負(fù)角的定義可知時針轉(zhuǎn)過的角為-30°，分針轉(zhuǎn)過的角為-360°.4.D與-80°角終邊相同的角可表示成α=k·360°-80°，k∈Z，令k=1，得α=280°，故選D.5.B因?yàn)棣?-300°=-360°+60°，所以角α的終邊與60°角的終邊相同，故選B.6.B解法一(特值法):令α=30°，β=150°，則α+β=180°.解法二(直接法):因?yàn)榻铅僚c角β的終邊關(guān)于y軸對稱，所以β=180°-α+k·360°，k∈Z，即α+β=k·360°+180°，k∈Z.7.答案140°解析與-2020°角終邊相同的角的集合為{β|β=-2020°+k·360°，k∈Z}，當(dāng)k=6時，得到與-2020°角終邊相同的最小正角，即β=-2020°+6×360°=140°.8.解析(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°，k∈Z}.終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°，k∈Z}.(2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°，k∈Z}.9.解析由題意知，7θ=θ+k·360°，k∈Z，即6θ=k·360°，k∈Z，∴θ=k·60°，k∈Z，由0°<θ<360°，得0°<k·60°<360°，k∈Z，∴0<k<6，k∈Z，即k=1，2，3，4，5，∴角θ的集合為{60°，120°，180°，240°，300°}.10.D因?yàn)?361°角的終邊和-1°角的終邊相同，所以它的終邊落在第四象限，故選D.11.D終邊在x軸的非正半軸上的角為k·360°+180°，k∈Z，零角為0°，所以A錯誤;480°角為第二象限角，但不是鈍角，所以B錯誤;285°角為第四象限角，但不是負(fù)角，所以C錯誤;D正確.故選D.12.D直接根據(jù)角的分類進(jìn)行求解，容易得到答案.13.C因?yàn)棣潦堑谒南笙藿牵瑒t角α應(yīng)滿足:k·360°-90°<α<k·360°，k∈Z，所以-k·360°<-α<-k·360°+90°，k∈Z，則-k·360°+180°<180°-α<-k·360°+270°，k∈Z，當(dāng)k=0時，180°<180°-α<270°，故180°-α為第三象限角.14.ABD-75°=-360°+285°是第四象限角;225°=180°+45°是第三象限角;575°=360°+215°是第三象限角;-315°=-360°+45°是第一象限角，故A，B，D為真命題.15.答案一或三解析∵α=k·360°+45°，k∈Z，∴α2=k·180°+22.5°，當(dāng)k為偶數(shù)，即k=2n，n∈Z時，α2=n·360°+22.5°，n∈Z，∴α當(dāng)k為奇數(shù)，即k=2n+1，n∈Z時，α2=n·360°+202.5°，n∈Z，∴α綜上，α2能力提升練1.Dα與β的終邊互為反向延長線，則兩角的終邊相差180°的奇數(shù)倍，可得α=β+(2k+1)·180°，k∈Z.2.BD假設(shè)α，β為0°~180°內(nèi)的角，如圖所示，因?yàn)棣?，β的終邊關(guān)于y軸對稱，所以α+β=180°，所以B滿足條件;結(jié)合終邊相同的角的概念，可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)·180°(k∈Z)，所以D滿足條件，A、C都不滿足條件.3.D依題意，-390°+360°=-30°，-30°+360°=330°，故選D.4.D直線y=-x如圖所示，由圖可知，終邊落在直線y=-x上的所有角的集合是{α|α=k·180°-45°，k∈Z}，故選D.5.C依題意可知選C.6.D由題意知α=(x+45°)+k1·360°(k1∈Z)，β=(x-45°)+k2·360°(k2∈Z)，∴α-β=(k1-k2)·360°+90°=k·360°+90°(k∈Z).7.答案270°解析∵角5α與α具有相同的始邊與終邊，∴5α=k·360°+α，k∈Z，得4α=k·360°，k∈Z，∴α=k·90°，k∈Z.又180°<α<360°，∴α=270°.8.解析(1)因?yàn)榕c45°角終邊相同的角可寫成45°+k·360°，k∈Z的形式，與-180°+30°=-150°角終邊相同的角可寫成-150°+k·360°，k∈Z的形式，所以題圖(1)中陰影部分的角α的范圍可表示為{α|-150°+k·360°≤α≤45°+k·360°，k∈Z}.(2)因?yàn)榕c45°角終邊相同的角可寫成45°+k·360°，k∈Z的形式，與360°-60°=300°角終邊相同的角可寫成300°+k·360°，k∈Z的形式，所以題圖(2)中陰影部分的角α的范圍為{α|45°+k·360°≤α≤300°+k·360°，k∈Z}.9.C由題意，可知2019°=360°×5+219°，所以2019°角和219°角終邊相同，又219°角是第三象限角，所以2019°角是第三象限角，故選C.10.BD解法一:如圖所示，作各個象限的角平分線，標(biāo)號Ⅲ所在的區(qū)域即為α2所在的區(qū)域，解法二:由α是第三象限角得180°+k·360°<α<270°+k·360°，k∈Z，∴90°+k·180°<α2<135°+k·180°，k∈Z當(dāng)k為偶數(shù)時，設(shè)k=2n(n∈Z)，則90°+n·360°<α2<135°+n·360°(n∈Z)，∴α當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k=2n+1(n∈Z)，則270°+n·360°<α2<315°+n·360°(n∈Z)∴α2∴α2為第二或第四象限角，易錯警示對象限角的運(yùn)算，要將“周期”化為360°再進(jìn)行判斷，當(dāng)“周期”是360°的約數(shù)時，要對整數(shù)k進(jìn)行分類討論，解題時要防止遺漏導(dǎo)致錯誤.11.解析(1)由k=4n，4n+1，4n+2，4n+3(n∈Z)，知在給定的角的集合中終邊不相同的角共有四種.(2)由-360°≤k·90°+45°<360°，得-92≤k