5.1 任意角和弧度制透課堂-2021-2022學年高一數(shù)學【考題透析】滿分計劃系列（人教A版2019必修第一冊）

2021-2021學年高一數(shù)學【考題透析】滿分計劃系列(人教A版2019必修第一冊)第五章三角函數(shù)5.1任意角和弧度制【知識導學】考點一：任意角1．角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形．2．角的表示：如圖，OA是角α的始邊，OB是角α的終邊，O是角α的頂點．角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．3．角的分類：名稱定義圖示正角按逆時針方向旋轉形成的角負角按順時針方向旋轉形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉形成的角考點二角的加法與減法設α，β是任意兩個角，－α為角α的相反角．(1)α＋β：把角α的終邊旋轉角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考點三象限角把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．考點四終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．考點五：度量角的兩種單位制1．角度制：(1)定義：用度作為單位來度量角的單位制．(2)1度的角：周角的eq\f(1,360).2．弧度制：(1)定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．(2)1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角．考點六：弧度數(shù)的計算考點七：角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)考點八：弧度制下的弧長與扇形面積公式設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝αR. (2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.【考題透析】透析題組一：任意角的概念1．（2021·安徽·蚌埠二中高一期中）下列說法中，正確的是（）A．銳角是第一象限的角 B．終邊相同的角必相等C．小于的角一定為銳角 D．第二象限的角必大于第一象限的角2．（2021·河南·鄭州四中高一月考）已知集合第二象限角，鈍角，小于180°的角，則A，B，C關系正確的是（）A． B． C． D．3．（2021·全國·高一課前預習）下列說法：①終邊相同的角必相等；②銳角必是第一象限角；③小于的角是銳角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角的終邊經(jīng)過點，則角是第三或第四象限角，其中錯誤的是（）A．③④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤4．（2021·全國·高一課時練習）與1°角終邊相同的角的集合是（）A． B．C． D．透析題組二：終邊相同的角5．（2021·全國·高一課時練習）以下命題正確的是（）A．第二象限比第一象限角大B．，，則C．若（），則為第一或第二象限角D．終邊在x軸上的角可表示為（）6．（2019·福建·莆田第十五中學高一期中）下列命題正確的是（）A．小于的角一定是銳角B．終邊相同的角一定相等C．終邊落在直線上的角可以表示為，D．若，則角的正切值等于角的正切值透析題組三：象限角7．（2021·全國·高一課時練習）若α是第一象限的角，則是（）A．第一象限角 B．第四象限角C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角8．（2021·江西·橫峰中學高一月考（理））已知角第二象限角，且，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角9．（2021·海南·白沙黎族自治縣白沙中學高一期中）“角是第一象限的角”是“角是第一象限的角”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件透析題組四：度量角的兩種單位制（角度制和弧度制）10．（2021·全國·高一課前預習）下列敘述中，正確的是（）A．1弧度是1度的圓心角所對的弧B．1弧度是長度為半徑的弧C．1弧度是1度的弧與1度的角的和D．1弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角，它是角的一種度量單位11．（2020·全國·高一課時練習）下列說法中錯誤的是（）A．弧度制下，角與實數(shù)之間建立了一一對應關系B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長短有關12．（2021·全國·高一課時練習）下列說法中，錯誤的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．的角是周角的，的角是周角的C．的角比的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關透析題組五：角度與弧度的互化13．（2021·全國·高一課時練習）在直徑為的圓中，圓心角所對的弧長為（）A． B． C． D．14．（2021·遼寧·葫蘆島市第八高級中學高一月考）把化為的形式是（）A． B． C． D．15．（2020·山東·濟南市長清第一中學高一月考）下列轉化結果錯誤的是（）A．60化成弧度是 B．150化成弧度是C．化成度是600 D．化成度是15透析題型六：與扇形的弧長、面積有關的計算16．（2021·四川·綿陽中學實驗學校高一期中）已知扇形的半徑為，面積為，則這個扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．17．（2021·廣東·仲元中學高一期中）已知一個母線長為的圓錐的側面展開圖的圓心角等于，則該圓錐的側面積為（）A． B． C． D．18．（2021·安徽宿州·高一期中）《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積（弦×矢+矢），弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，弧長等于米的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積是（）平方米.A． B． C． D．【考點同練】一、單選題19．（2021·四川省瀘縣第一中學高一月考（理））若是第二象限角，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角20．（2021·福建·三明一中高三期中）“角小于”是“角是第一象限角”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件21．（2021·全國·高一課時練習）與800°角終邊相同的角可以表示為（），．A． B．C． D．22．（2020·廣東揭東·高一期末）工藝扇面是中國書面一種常見的表現(xiàn)形式.某同學想用布料制作一面如圖所示的扇面.已知扇面展開的中心角為，外圓半徑為20cm，內(nèi)圓半徑為10cm.則制作這樣一面扇面需要的布料為（）cmA． B． C． D．23．（2020·山西·懷仁市第一中學校云東校區(qū)高一期中（文））在半徑為15cm的圓上，一扇形所對的圓心角為，則此扇形的面積為（）A．5 B．C． D．24．（2021·全國·高一課時練習）下列說法中，錯誤的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．的角是周角的的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑有關25．（2021·全國·高三專題練習）若扇形的圓心角是α＝120°，弦長AB＝12cm，則弧長l等于（）A．πcm B．πcmC．4cm D．8cm26．（2021·上海市建青實驗學校高一期中）在平面直角坐標系中，下列結論正確的是（）A．小于的角一定是銳角 B．第二象限的角一定是鈍角C．始邊相同且相等的角的終邊一定重合 D．始邊相同且終邊重合的角一定相等二、多選題27．（2021·全國·高一課時練習）[多選題]下列說法正確的有（）A．終邊相同的角一定相等B．鈍角一定是第二象限角C．第一象限角可能是負角D．小于90°的角都是銳角28．（2021·全國·高一課時練習）[多選題]下列轉化結果正確的有（）A．60°化成弧度是 B．化成度是C．化成弧度是 D．化成度是75°29．（2022·江蘇·高三專題練習）下列與角的終邊不相同的角是（）A． B．2kπ－(k∈Z)C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)30．（2022·江蘇·高三專題練習）已知扇形的周長是，面積是，則扇形的中心角的弧度數(shù)可能是（）A． B． C．2 D．或31．（2021·全國·高一專題練習）中國傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設扇形（如圖）的面積為，圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，圓心角為，當與的比值為（黃金分割比）時，折扇看上去較為美觀，那么（）A． B． C． D．三、填空題32．（2021·全國·高一課時練習）如圖所示，終邊在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的角的集合為______．

33．（2020·上海金山·高一期末）半徑為2厘米，圓心角等于的扇形面積等于________平方厘米．34．（2021·全國·高一課時練習）已知角，則與α終邊相同的最大負角是______．35．（2022·江蘇·高三專題練習）《九章算術》是中國古代第一部數(shù)學專著，成于公元一世紀左右，系統(tǒng)總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就.其中《方田》一章中記載了計算弧田（弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形）的面積所用的經(jīng)驗公式：弧田面積=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為，弦長為的弧田.其實際面積與按照上述經(jīng)驗公式計算出弧田的面積之間的誤差為_____________平方米.（其中，）四、解答題36．（2021·全國·高一課時練習）用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合（包括邊界，如圖7-1-7所示）．37．（2021·全國·高一課時練習）已知，，，．（1）將，用弧度制表示出來，并指出它們各自的終邊所在的象限；（2）將，用角度制表示出來，并在內(nèi)找出與它們終邊相同的所有角．38．（2021·全國·高一課時練習）如圖，已知圓O的半徑r為10，弦AB的長為10．

（1）求弦AB所對的圓心角的大??；（2）求圓心角所對應的弧長l及陰影部分的面積S．【答案精講】1．A【分析】根據(jù)銳角的定義，可判定A正確；利用反例可分別判定B、C、D錯誤，即可求解.【詳解】對于A中，根據(jù)銳角的定義，可得銳角滿足是第一象限角，所以A正確；對于B中，例如：與的終邊相同，但，所以B不正確；對于C中，例如：滿足，但不是銳角，所以C不正確；對于D中，例如：為第一象限角，為第二象限角，此時，所以D不正確.故選：A.2．C【分析】由集合A，B，C，求出B與C的并集，判斷A與C的包含關系，以及A，B，C三者之間的關系即可．【詳解】由題意得，故A錯誤；A與C互不包含，故B錯誤；由鈍角小于180°的角，所以，故C正確.由以上分析可知D錯誤．故選：C．3．C【分析】①取特殊角：與進行判斷；②根據(jù)銳角的范圍直接判斷；③取負角進行否定；④取特殊角進行否定；⑤取特殊角進行否定．【詳解】①終邊相同的角必相等錯誤，如與終邊相同，但不相等；②銳角的范圍為，必是第一象限角，正確；③小于的角是銳角錯誤，如負角；④第二象限的角必大于第一象限的角錯誤，如是第二象限角，是第一象限角；⑤若角的終邊經(jīng)過點，則角是終邊在軸負半軸上的角，故⑤錯誤．其中錯誤的是①③④⑤．故選C．【點睛】（1）要證明一個命題為真命題，需要嚴格的證明；要判斷一個命題為假命題，舉一個反例就可以了.（2）角的概念的辨析題中，通?？梢匀√厥饨莵矸穸ńY論.4．C【分析】角的表示方法不一致，排除A，D；選項B表示錯誤；根據(jù)終邊相同的角的公式得選C．【詳解】解：角的表示方法要保持一致，排除A，D；選項B表示錯誤；而180°角與角對應，于是1°角與角對應，根據(jù)終邊相同的角的公式得選C．故選：C5．B【分析】A：運用特例法進行判斷即可；B：根據(jù)子集的定義進行判斷即可；C：根據(jù)象限角的定義進行判斷即可；D：根據(jù)終邊在x軸上的角的特點進行判斷即可,【詳解】A不正確，如．在B中，當，時，，，∴，∴B正確．又C中，α為第一或第二象限角或在y軸的非負半軸上，∴C不正確．顯然D不正確，比如寫不成（）的形式．故選：B6．D【分析】根據(jù)小于的角可以是負角，可判定A錯誤；由與的終邊相同，可判定B錯誤；根據(jù)角的終邊相同角的表示，可判定C錯誤；根據(jù)誘導公式，可判定D正確.【詳解】根據(jù)角的推廣可得，小于的角可以是負角，但銳角的范圍是，所以A錯誤；例如：角與的終邊相同，但，所以B錯誤；由直線，可得直線的傾斜角為，根據(jù)角的終邊相同角的表示，可得終邊落在直線上的角可以表示為或，所以C錯誤；由，可得，可得，所以D正確.故選：D.7．D【分析】根據(jù)題意求出的范圍即可判斷.【詳解】由題意知，，，則，所以，．當k為偶數(shù)時，為第四象限角；當k為奇數(shù)時，為第二象限角．所以是第二或第四象限角.故選：D.8．C【分析】由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判斷出所在象限．【詳解】因為角第二象限角,所以，所以，當是偶數(shù)時，設，則，此時為第一象限角；當是奇數(shù)時，設，則，此時為第三象限角.；綜上所述：為第一象限角或第三象限角，因為，所以，所以為第三象限角．故選：C．9．D【分析】根據(jù)象限角的范圍，分別求是第一象限的角時的范圍、是第一象限的角時的范圍，即可判斷充分、必要關系.【詳解】當角是第一象限的角，則且，∴不一定是第一象限的角.當角是第一象限的角，則且，∴不一定是第一象限角.∴“角是第一象限的角”是“角是第一象限的角”的既不充分也不必要條件.故選：D10．D【分析】根據(jù)弧度的定義即可判斷.【詳解】根據(jù)弧度的定義，在單位圓中，長度為1的弧所對的圓心角稱為1弧度角.故選：D．11．D【分析】根據(jù)弧度的定義判斷各選項．【詳解】依據(jù)弧度的意義可知A正確；1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，B正確；根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度，C正確；根據(jù)角度制與弧度制的定義可知，角的大小與圓的半徑長短無關，而是與弧長和半徑的比值有關，所以D錯誤．故選：D．12．D【分析】根據(jù)角度和弧度的定義可判斷各選項的正誤.【詳解】對于A選項，“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位，A選項正確；對于B選項，的角是周角的，的角是周角的，B選項正確；對于C選項，，C選項正確；對于D選項，用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑無關，D選項錯誤.故選：D.【點睛】本題考查角度制與弧度制相關概念的判斷，屬于基礎題.13．B【分析】先將角度轉化為弧度，再由弧長公式即可求解【詳解】因為圓的直徑為，所以圓的半徑因為，所以圓心角所對的弧長為,故選：B.14．A【分析】先將角度化為弧度，運算即可得解.【詳解】由題意，.故選：A.15．B【分析】由弧度和角度的互化可判斷．【詳解】根據(jù)弧度定義，弧度，弧度＝，

所以弧度，弧度，，，錯誤的是B．故選：B．16．D【分析】由扇形面積公式直接構造方程求得結果.【詳解】設扇形的圓心角為，則，解得：，即圓心角弧度數(shù)為.故選：D.17．D【分析】根據(jù)扇形的圓心角、弧長和半徑的關系以及扇形的面積求解.【詳解】解：將圓心角化為弧度為：，設圓錐底面圓的半徑為由圓心角、弧長和半徑的公式得：，即由扇形面積公式得：所以圓錐的側面積為.故選：D.18．D【分析】由已知求得矢和弦長，再由公式計算．【詳解】設半徑為，則，，所以弦長為，矢為，所以弧田面積為．故選：D．19．A【分析】由已知中是第二象限的角，可求的范圍，即可判斷得解．【詳解】解：因為：角是第二象限角，所以：，則：，故是第一象限角．故選：A．20．D【分析】利用特殊值法結合充分、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】若角小于，取，此時，角不是第一象限角，即“角小于”“角是第一象限角”；若角是第一象限角，取，此時，，即“角小于”“角是第一象限角”.因此，“角小于”是“角是第一象限角”的既不充分也不必要條件.故選：D.21．C【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義可求出.【詳解】與800°角終邊相同的角可以表示為（），即（）．故選：C.22．B【分析】分別求出兩個扇形的面積，相減即可得解.【詳解】解：扇形的圓心角為大扇形的面積為，小扇形的面積為，所以制作這樣一面扇面需要的布料為.故選：B.23．D【分析】用扇形面積公式求解【詳解】由已知得扇形的半徑，扇形所對的圓心角為，則此扇形的面積為.故選：D.24．D【分析】利用角度和弧度的定義及轉化關系分別進行判斷即可.【詳解】根據(jù)角度和弧度的概念可知二者都是角的度量單位，的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正確；1rad的角是，故C正確；無論哪種角的度量方法，角的大小都與圓的半徑無關，只與角的始邊和終邊的位置有關，故D錯誤.故選：D25．B【分析】由圓心角是α＝120°，弦長AB＝12cm解直角三角形求圓的半徑，再由弦長公式求弦長.【詳解】設扇形的半徑為rcm，如圖．由sin60°＝，得r＝4cm，∴l(xiāng)＝|α|·r＝×4＝cm，故選：B.26．C【分析】根據(jù)象限角的定義、終邊相同的角的定義以及相關概念，逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.【詳解】對于選項A：小于的角不一定是銳角，如負角和零角均小于，但不是銳角，故A錯誤；對于選項B：鈍角是第二象限角，但是反過來不正確，比如是第二象限角但不是鈍角，故B錯誤；對于選項C：始邊相同且相等的角的終邊一定重合，故C正確；對于選項D：始邊相同且終邊重合的角不一定相等，可以相差的整數(shù)倍，故D錯誤.故選：C.27．BC【分析】對于A：取特殊角30°和390°.即可否定結論；對于B：由第二象限角的范圍直接判斷；對于C：取特殊角－330°即可判斷；對于D：取特殊角－45°角進行否定結論.【詳解】對于A：終邊相同的角不一定相等，比如30°和390°.故A不正確；對于B：因為鈍角的大小在，所以鈍角一定是第二象限角，故B正確；對于C：如－330°角是第一象限角，所以C正確；對于D：，－45°角它不是銳角，所以D不正確.故選：BC．28．AB【分析】直接根據(jù)角度與弧度的互化即可得到.【詳解】，A對；，B對；，C錯；，D錯．故選AB．29．ABD【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義即可判斷.【詳解】與角的終邊相同的角為，其余三個角的終邊與角的終邊不同．故選：ABD.30．AC【分析】根據(jù)弧長公式和面積公式即可求解.【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，則，∴解得或，則或1.故選：AC．31．BCD【分析】利用扇形的面積公式以及角度制與弧度制的互化即可求解.【詳解】設扇形的半徑為，由，故D正確；由，所以，解得，故C正確；由，則，所以，所以，故B正確.故選：BCD32．【分析】求出終邊在直線OM上、直線ON上的角的集合進行求