4.3 對數(shù)-2022-2023學年高一數(shù)學《考點•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（人教A版2019必修第一冊）

4.3對數(shù)【考點梳理】重難點技巧：對數(shù)的概念考點一對數(shù)的有關概念對數(shù)的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．常用對數(shù)與自然對數(shù)：通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，以e(e＝2.71828…)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，log10N可簡記為lgN，logeN簡記為lnN.考點二對數(shù)與指數(shù)的關系一般地，有對數(shù)與指數(shù)的關系：若a>0，且a≠1，則ax＝N?logaN＝x.對數(shù)恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．考點三對數(shù)的性質1．1的對數(shù)為零．2．底的對數(shù)為1.3．零和負數(shù)沒有對數(shù)．重難點技巧：對數(shù)的運算考點四一對數(shù)運算性質如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．考點五換底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．對數(shù)換底公式的重要推論：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．【題型歸納】題型一：指數(shù)式與對數(shù)式的互化1．（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）有以下四個結論：①；②；③若，則；④若，則，其中正確的是（

）A．①② B．②④C．①③ D．③④2．（2021·江蘇·高一專題練習）已知loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n等于（

）A．5 B．7 C．10 D．123．（2021·全國·高一單元測試）將（且）轉化為對數(shù)形式，其中錯誤的是（

）A．； B．；C．； D．．題型二：對數(shù)運算4．（2022·江蘇省江浦高級中學高一期中）設，，則=（

）A． B． C． D．5．（2022·江蘇淮安·高一期中）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．6．（2022·陜西咸陽·高一期末）已知，則等于（

）A．1 B．2 C．3 D．6題型三：對數(shù)的性質應用7．（2022·江蘇·南京師大附中高一期中）設，則（

）A． B． C． D．8．（2022·河北保定·高一期末）函數(shù)的最小值為（

）A．1 B． C． D．9．（2022·湖南·高一）下列各等式正確的為（

）A． B．C． D．（，，）題型四：、對數(shù)換底公式的應用10．（2022·全國·高一課時練習）已知，，則（

）A． B．C． D．11．（2021·湖北黃石·高一期中）若實數(shù)a，b滿足，，則（

）．A． B． C． D．12．（2021·全國·高一課時練習）證明：（1）；（2）.題型五：對數(shù)運算的綜合13．（2022·江蘇·南京師大附中高一期中）化簡求值（需要寫出計算過程）(1)若，，求的值；(2)．14．（2022·全國·高一單元測試）計算(1)(2).15．（2022·全國·高一）計算：(1)；(2)；(3)．【雙基達標】一、單選題16．（2022·江蘇省射陽中學高一期中）1614年納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化計算面發(fā)明對數(shù)；1637年笛卡爾開始使用指數(shù)運算；1707年歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關系，對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，這已成為歷史珍聞.，，，估計的值約為（

）A．0.1654 B．0.2314 C．0.3055 D．0.489717．（2022·河南南陽·高一期中）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）．A． B． C． D．18．（2022·江蘇·高一單元測試）已知，均為正實數(shù)，若，，則（

）A．或2 B． C． D．119．（2022·全國·）若，則實數(shù)的值為（

）A．4 B．6 C．9 D．1220．（2022·全國·高一）若，則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．421．（2022·全國·高一課時練習）計算：(1)；(2)．22．（2022·全國·高一專題練習）解下列不等式：(1)；(2)；【高分突破】一：單選題23．（2022·全國·高一單元測試）已知，，則（

）A．1 B．2 C．5 D．424．（2022·全國·高一課時練習）化簡的值為（

）A． B． C． D．-125．（2022·云南昆明·高一期末）已知函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．326．（2022·全國·高一單元測試）計算：（

）A．0 B．1 C．2 D．327．（2022·浙江衢州·高一階段練習）已知函數(shù)，若、，，則（

）A． B． C． D．28．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學高一期中）如果關于的方程的兩根分別是，，則的值是（

）A． B． C． D．1529．（2022·山西·榆次一中高一開學考試）下列命題錯誤的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，二、多選題30．（2022·江蘇淮安·高一期中）已知正實數(shù)a，b滿足，且，則的值可以為（

）A．2 B．3 C．4 D．531．（2022·江蘇省如皋中學高一階段練習）已知，，則的值不可能是（

）A． B． C． D．32．（2022·全國·高一單元測試）下列運算中正確的是（

）A． B．C．若，則 D．33．（2022·全國·高一單元測試）若，，且，則（

）A． B．C． D．34．（2022·廣東汕頭·高一期末）若、、均能滿足使得下面式子有意義，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．35．（2022·江蘇·句容碧桂園學校高一期中）下列各式正確的是（

）A．設，則B．已知，則C．若，則D．36．（2021·吉林油田高級中學高一期中）若，，且，，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題37．（2022·上海市大同中學高一期中）已知，，則可以用，表示為___________.38．（2022·江蘇省江浦高級中學高一期中）已知，且，則的最小值為___________.39．（2022·上海大學市北附屬中學高一期中）設，，則用，表示_______.40．（2022·江蘇·南京市第五高級中學高一階段練習）若，則的最小值為________．41．（2022·全國·高一單元測試）化簡____________42．（2022·全國·高一課時練習）已知，，則的值為________．四、解答題43．（2022·全國·高一課時練習）已知，（，且）．(1)求的值；(2)若，，且，求的值．44．（2022·全國·高一課時練習）(1)；(2)．45．（2022·遼寧·東港市第二中學高一開學考試）已知，，計算下列式子的值：(1)；(2).46．（2022·湖南·高一課時練習）用，，，，表示下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．47．（2022·江蘇南京·高一期末）已知，且．(1)若，求的值；(2)求的最小值．48．（2022·內蒙古·阿拉善盟第一中學高一期中）計算(1)(2)【答案詳解】1．A【分析】根據(jù)對數(shù)的定義即可求得答案.【詳解】由對數(shù)定義可知，，①正確；，②正確；對③，，錯誤；對④，，錯誤.故選：A.2．D【分析】對數(shù)式改寫為指數(shù)式，再由冪的運算法則計算．【詳解】解：∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝12．故選：D．3．D【分析】根據(jù)對數(shù)式與指數(shù)式的關系可得答案.【詳解】根據(jù)對數(shù)式與指數(shù)式的關系，若，則，即，所以A正確；若，則，即，所以B正確；若，則，即，所以C正確；由得，與已知不等，所以D錯誤.故選：D.4．D【分析】根據(jù)對數(shù)的運算，化簡為，即可得答案.【詳解】由題意知，，則，故選：D5．A【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則及性質判斷即可.【詳解】解：對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D錯誤；故選：A6．A【分析】利用對數(shù)和指數(shù)互化，可得，，再利用即可求解.【詳解】由得：，，所以，故選：A7．C【分析】觀察所求結構知把放到對數(shù)的真數(shù)部分作指數(shù)即可求解．【詳解】解：，故選：C．8．D【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則，化簡可得，分析即可得答案.【詳解】由題意得，當時，的最小值為.故選：D9．D【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質判斷各選項等式兩邊是否相等即可.【詳解】A：，錯誤；B：，錯誤；C：當x，y均為負數(shù)時，等式右邊無意義，錯誤；D：且，，，正確.故選：D10．D【分析】利用對數(shù)的運算法則及性質進行運算可得答案．【詳解】因為，，所以．故選：D.11．C【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質，結合基本不等式可證明，由此可證明，再構造函數(shù)，證明其值小于零，進而結合指數(shù)函數(shù)的單調性證明，可得答案.【詳解】因為，所以,即，故，即，故，令，則，故，即有，所以，即，即，故，故，故選：C.12．（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】利用換底公式及對數(shù)的性質即可證明【詳解】證明：（1）.故.（2），【點睛】本題考查換底公式及對數(shù)的性質的應用，屬于基礎題.13．(1)(2)【分析】（1）先取對數(shù)將表示出來，代入計算即可；（2）直接計算即可.【詳解】（1），，得（2）原式14．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運算性質求解，（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質和換底公式求解.（1）；（2）原式＝.15．(1)0(2)3(3)1【分析】（1）利用對數(shù)相加相減的運算法則求解即可；（2）提公因式，逐步化簡即可求解；（3）逐步將原式化成只含和形式.（1）方法一：（直接運算）原式．方法二：（拆項后運算）原式．（2）原式．（3）原式．16．C【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)式的互化，可得x的表達式，利用對數(shù)運算，結合已知可求得答案.【詳解】由可得，即,故選：C.17．A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調性及對數(shù)的運算性質即得.【詳解】因為，，，所以.故選：A.18．A【分析】由換元法解出，再與方程聯(lián)立求解【詳解】令，則，所以，即，解得或，即或，所以或，因為，代入得或，所以，或，，所以或.故選：A19．A【分析】由換底公式對原式變型即可求解.【詳解】∵,∴，∴．故選：A．20．D【分析】化簡，求得關于與的等式，結合二次函數(shù)的性質求得的最大值.【詳解】對等號兩邊同時取對數(shù)，得，即，令，則，所以，即的最大值是4（此時，對應）.故選：D21．(1)7(2)【分析】（1）利用對數(shù)的運算性質進行運算可得答案；（2）利用對數(shù)的運算性質進行運算可得答案.（1）原式；（2）原式．22．(1)(2)【分析】（1）、（2）結合對數(shù)函數(shù)的定義與性質、對數(shù)運算求得不等式的解集.（1）由題且，且，得且，，則，由，，化簡得，則或，解得或，故不等式解集為.（2）由題，則或，解得.故不等式解集為.23．A【分析】先求得，然后結合對數(shù)運算求得正確答案.【詳解】∵，，∴，，．故選：A24．A【分析】運用對數(shù)的運算性質即可求解.【詳解】解析：故選：A.25．C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求出的值，再求的值．【詳解】因為，所以，，則.故選：C．26．B【分析】根據(jù)指數(shù)對數(shù)恒等式及對數(shù)的運算法則計算可得；【詳解】解：；故選：B27．B【分析】計算出，可得出，由此可得出結果.【詳解】，，則，，因為，因為，則，因此，.故選：B.28．C【分析】對原方程分解因式，求得兩根，再求結果即可.【詳解】原方程等價于因式分解得：，所以，，所以方程的兩根分別為，，所以.故選：.29．A【分析】根據(jù)對數(shù)運算性質可知A錯誤，C正確；由知B正確；根據(jù)對數(shù)恒等式知D正確【詳解】對于A，，不恒成立，原式不恒成立，A錯誤；對于B，當時，，，，，，B正確；對于C，由對數(shù)運算性質知：，C正確；對于D，由對數(shù)恒等式知：，D正確.故選：A.30．CD【分析】指數(shù)式化為對數(shù)式，得到，利用對數(shù)運算法則和換底公式得到，從而求出或2，分兩種情況求出與，進而求出的值.【詳解】因為，所以，故，設，則，故，解得：或2，當時，，故，，故；當時，，故，，故故選：CD31．ABD【分析】利用對數(shù)運算的公式計算即可.【詳解】由換底公式得：，，，其中，，故故選：ABD.32．BD【分析】根據(jù)換底公式判斷A，將根式化成分數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運算法則計算B，根據(jù)指數(shù)冪的運算法則判斷C，根據(jù)對數(shù)的性質判斷D.【詳解】解：對于選項A，由換底公式可得，故A不正確；對于選項B，，故B正確；對于選項C，設，兩邊分別平方可得，因為，所以，故，故C不正確；對于選項D，，故D正確．故選：BD．33．AB【分析】根據(jù)對數(shù)運算求得正確答案.【詳解】依題意，由，得，所以，且，即，．故選：AB34．ACD【分析】根據(jù)指數(shù)冪和對數(shù)的運算性質逐項運算可得答案.【詳解】對于A，，正確；

對于B，，錯誤；對于C，，故正確；對于D，因為，所以，即，故正確.故選：ACD.35．ABC【分析】根據(jù)指數(shù)運算法則和對數(shù)運算法則即可判斷答案.【詳解】對于A，，故A對；對于B，，故B對；對于C，，，，故C對；對于D，，故D錯．故選：ABC．36．BD【分析】根據(jù)指數(shù)冪、對數(shù)的運算法則判斷選項求解.【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤．根據(jù)指數(shù)運算公式可知D選項正確，故選：BD37．【分析】利用對數(shù)的運算性質和換底公式計算即可.【詳解】由，得，因為，所以，故答案為：.38．3【分析】由條件得.后利用基本不等式可得答案.【詳解】由題，則，得.又.則.當且僅當時取等號.故答案為:39．【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質計算可得.【詳解】解：因為，，所以；故答案為：40．