4.3 對(duì)數(shù)-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)•題型 •技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019必修第一冊(cè)）

高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第一冊(cè))4.3對(duì)數(shù)【考點(diǎn)梳理】重難點(diǎn)技巧：對(duì)數(shù)的概念考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的有關(guān)概念對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)：通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，以e(e＝2.71828…)為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，log10N可簡(jiǎn)記為lgN，logeN簡(jiǎn)記為lnN.考點(diǎn)二對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系一般地，有對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：若a>0，且a≠1，則ax＝N?logaN＝x.對(duì)數(shù)恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．考點(diǎn)三對(duì)數(shù)的性質(zhì)1．1的對(duì)數(shù)為零．2．底的對(duì)數(shù)為1.3．零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)．重難點(diǎn)技巧：對(duì)數(shù)的運(yùn)算考點(diǎn)四一對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．考點(diǎn)五換底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．對(duì)數(shù)換底公式的重要推論：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．【題型歸納】題型一：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化1．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·高一）若，，則的值是（）A． B． C． D．2．（2021·江蘇高一專題練習(xí)）已知，，則（）A． B． C．10 D．13．（2021·上海高一專題練習(xí)）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化中不正確的是（）A．e0=1與ln1=0 B．log39=2與=3C．=與log8=- D．log77=1與71=7題型二：對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用4．（2021·全國(guó)高一專題練習(xí)）下列等式成立的是（）A． B．C． D．5．（2020·滄源佤族自治縣民族中學(xué)高一月考）已知方程的兩根為，，則（）A． B．1 C．2 D．6．（2021·安徽蕪湖一中高一月考）計(jì)算（1）（2）題型三：、對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用7．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知，，都是大于1的正數(shù)，，，，，則的值為（）A． B． C． D．8．（2020·江蘇省平潮高級(jí)中學(xué)高一期中）已知，，則（）（結(jié)果用，表示）A． B． C． D．9．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a，b，c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是（）A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題10．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)2a＝5b＝m，且，則m等于（）A． B． C． D．11．（2022·全國(guó)高三）已知函數(shù)，則（）A． B．-1 C．0 D．112．（2020·上海市川沙中學(xué)高一期中）已知，那么=（）A．1 B．2 C．3 D．413．（2021·綏德中學(xué)高一月考）若是上周期為3的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A． B．12 C． D．14．（2021·山西太原市·太原五中高三月考（文））中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)，按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至5000，則大約增加了（）（附：）A． B． C． D．15．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）對(duì)任何，都有()成立.A． B．C． D．16．（2021·河北張家口·）已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是、，若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．17．（2021·江西高安中學(xué)高一月考）已知實(shí)數(shù)，滿足，下列5個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能成立的關(guān)系有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)18．（2021·安徽蚌埠·高三開(kāi)學(xué)考試（理））若a＞0且a≠1，則“MN＞0”是“"的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件19．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)于且，下列說(shuō)法正確的是（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.A．①② B．②③④C．② D．②③【高分突破】一：?jiǎn)芜x題20．（2020·江蘇泰州·）已知，，則可以用和表示為（）A． B．C． D．21．（2021·全國(guó)高一單元測(cè)試）有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則.其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．①② D．③④22．（2021·廣東金山中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．23．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）若函數(shù)是奇函數(shù)，則a的值為（）A．1 B．－1C．±1 D．024．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（）．A．log32 B． C．log23 D．25．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶八中高三月考）天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測(cè)量中的應(yīng)用，英國(guó)天文學(xué)家普森()又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為，已知“牛郎星”的星等是，“心宿二”的星等是，“牛郎星”的亮度是“心宿二”的倍，則與最接近的是當(dāng)較小時(shí)，（）A． B． C． D．26．（2021·全國(guó)高三月考（理））已知，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．27．（2021·全國(guó)高一專題練習(xí)）已知，，，則（）A． B． C． D．28．（2021·江西南昌·高一期末）已知，則（）A．1 B．2 C．3 D．1529．（2021·全國(guó)高一單元測(cè)試）的值是（）A． B． C． D．30．（2021·上海高一專題練習(xí)）若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N*，則下列各式：①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga；④＝logax；⑤＝loga.其中正確的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)二、多選題31．（2021·湖南省邵東市第三中學(xué)高一月考）若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．32．（2020·莆田第七中學(xué)高一月考）若，且，，，且，則下列各式不恒成立的是（）①；②；③；④.A．① B．② C．③ D．④33．（2021·全國(guó)高一專題練習(xí)）設(shè)和分別表示一容器中甲、乙兩種細(xì)菌的個(gè)數(shù)，且甲、乙兩種細(xì)菌的個(gè)數(shù)乘積為定值.為了方便研究，科學(xué)家用分別來(lái)記錄甲、乙兩種細(xì)菌的信息，其中.以下說(shuō)法正確的是（）A．B．C．若今天的值比昨天的增加1，則今天的甲細(xì)菌比昨天的甲細(xì)菌增加了10個(gè).D．已知，假設(shè)科學(xué)家將乙菌的個(gè)數(shù)控制為5萬(wàn)，則此時(shí)34．（2021·全國(guó)高一專題練習(xí)）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是()A．與lg1＝0 B．＝與log27＝－C．log39＝2與＝3 D．log55＝1與51＝535．（2021·全國(guó)高一專題練習(xí)）若，，，，則下列各式中，恒等的是（）A． B．C． D．36．（2021·全國(guó)）若，，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則三、填空題37．（2021·浙江高一單元測(cè)試）已知，則=________．38．（2021·全國(guó)高一單元測(cè)試）已知一容器中有兩種菌，且在任何時(shí)刻兩種菌的個(gè)數(shù)乘積為定值，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，科學(xué)家用來(lái)記錄菌個(gè)數(shù)的資料，其中為菌的個(gè)數(shù)，現(xiàn)有以下幾種說(shuō)法：①；②若今天的值比昨天的值增加1，則今天的A菌個(gè)數(shù)比昨天的A菌個(gè)數(shù)多10；③假設(shè)科學(xué)家將B菌的個(gè)數(shù)控制為5萬(wàn)，則此時(shí)(注：)．則正確的說(shuō)法為_(kāi)_______．(寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào))39．（2021·江蘇省如東高級(jí)中學(xué)高一月考）已知，則的值為_(kāi)__________．40．（2021·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：______41．（2021·安徽省亳州市第一中學(xué)）定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)恒滿足，且時(shí)，，則_________________．四、解答題42．（2021·上海高一專題練習(xí)）（1）已知log23=a，log25=b，試用含a、b的代數(shù)式表示log20.6；（2）已知log32=a，3b=5，試用含a、b的代數(shù)式表示log3；（3）若24a=12.將下列各式用含a的代數(shù)式表示：①log242;②log243.（4）已知log32=a，把log296寫(xiě)成含a的代數(shù)式；（5）已知lg2=a，把log225寫(xiě)成含a的代數(shù)式.（2021·全國(guó)高一）計(jì)算（1）；（2）44．（2021·全國(guó)）已知.求（1）的最小值；（2）的最小值；（3）正數(shù)滿足，求的取值范圍.45．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知loga3＝m，loga2＝n．（1）求am＋2n的值；（2）若0＜x＜1，x＋x－1＝a，且m＋n＝log32＋1，求x2－x－2的值．46．（2021·全國(guó)高一練習(xí)）計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.47．（2021·全國(guó)高一練習(xí)）計(jì)算:（1）lg125+lg2lg500+(lg2)2.（2）（3）48．（2021·全國(guó)）最近，考古學(xué)家再次對(duì)四川廣漢“三星堆古基”進(jìn)行考古發(fā)據(jù)，科學(xué)家通過(guò)古生物中某種放射性元素的存量來(lái)估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為年（即：每經(jīng)過(guò)年，該元素的存量為原來(lái)的一半），已知古生物中該元素的初始存量為（參考數(shù)據(jù)：）.（1）寫(xiě)出該元素的存量與時(shí)間（年）的關(guān)系；（2）經(jīng)檢測(cè)古生物中該元素現(xiàn)在的存量為，請(qǐng)推算古生物距今大約多少年？【答案詳解】1．A【詳解】因?yàn)?，則，所以，，故.故選：A.2．B【詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)閯t．故選：B．3．B【詳解】對(duì)于A，e0=1可化為0=loge1=ln1，所以A中互化正確；對(duì)于B，log39=2可化為32=9，所以B中互化不正確；對(duì)于C，=可化為log8=-，所以C中互化正確；對(duì)于D，log77=1可化為71=7，所以D中互化正確.故選：B.4．C【詳解】對(duì)于A：，故A不正確；對(duì)于B：，故B不正確；對(duì)于C：∵,∴，故C正確，對(duì)于D：，故D不正確，故選：C.5．D【詳解】∵方程的兩根為，，∴，∴.故選：D．6．（1）；（2）.【詳解】（1）.（2）原式.7．B【詳解】解：因?yàn)椋?，，所以，，，即，∴，∴．故選：B．8．A解：將已知代入得：．故選：A．9．B【詳解】由logab·logcb＝·≠logca，故A錯(cuò)；由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，D，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，容易知，其顯然不成立.故選：B.10．D【詳解】由等式（）兩邊取對(duì)數(shù)，可得，所以∴.故選：D.11．D【詳解】，.故選：D12．B【詳解】因?yàn)?，所以，則x=2.故選：B.13．C【詳解】因?yàn)槭巧现芷跒?的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以，，故選：C14．B【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樗詫⑿旁氡葟?000提升至5000，則大約增加了23%，故選：B.15．B【詳解】∵，∴，，∴.故選:B.16．D由題意，知，因?yàn)?，所?又有兩個(gè)實(shí)根、，所以，解得.故選：D.17．A【詳解】由，兩邊取常用對(duì)數(shù)得：，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，，故選：A18．B【詳解】因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，沒(méi)有意義，故充分性不滿足；當(dāng)成立時(shí)，顯然，此時(shí)一定有，必要性滿足。綜上所述，“MN＞0”是“"的必要不充分條件。故選：B.19．C【詳解】①中若M，N小于或等于0時(shí)，不成立；②根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算易得，故正確；③中M與N也可能互為相反數(shù)；④中當(dāng)M＝N＝0時(shí)不正確．所以只有②正確.故選：C20．C【詳解】故選：C.21．C【詳解】對(duì)于①：因?yàn)?，所以，故①正確；對(duì)于②：因?yàn)?，所以，故②正確；對(duì)于③：由，得，故，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：由，得，故，故④錯(cuò)誤，所以正確的是①②，故選：C.22．C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以等價(jià)于，所以即，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.23．C因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以f(－x)＋f(x)＝0．即恒成立，所以，即恒成立，所以，即．當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，且，故符合題意；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，故符合題意；故選：C.24．C【詳解】方程4x－2x＋1－3＝0可化為(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝log23.故選：C25．C【詳解】設(shè)“牛郎星”的星等是，“心宿二”的星等是，“牛郎星”的亮度是，“心宿二”的亮度是，則，，，因?yàn)閮深w星的星等與亮度滿足，所以，即，所以，所以與最接近的是，故選：C.26．C【詳解】由題意得，即，則有，代入上式有，化簡(jiǎn)得，即，因?yàn)?，所以，，則，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：.27．A【詳解】首先，，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：A.28．A【詳解】解：因?yàn)椋裕?，故選：A.29．B【詳解】解：.故選：B.30．A【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知③與⑤正確．故選：A.31．ABD【詳解】由題意，，，，故選：ABD．32．AC【詳解】若x<0，則①錯(cuò)誤；易知，則,所以，②正確；若x<0，y<0，則③錯(cuò)誤；∵，∴，∴，④正確.故選：AC.33．AD【詳解】因?yàn)榧?、乙兩種細(xì)菌的個(gè)數(shù)乘積為定值，所以，所以，即，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；若，則，若，則，此時(shí)增加了個(gè)，故C錯(cuò)誤；若，則，所以，故D正確.故選：AD34．ABD【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C不正確；對(duì)于D，，D正確.故選：ABD.35．BCD【詳解】解：因?yàn)?，，，，?duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D正確；故選：BCD36．BCD【詳解】A選項(xiàng)，若,則，說(shuō)法正確；B選項(xiàng)，時(shí)不滿足條件，說(shuō)法錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，則，不一定，說(shuō)法錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，時(shí)不滿足要求，說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：BCD37．9由，得，所以，故答案為：9.38．③【詳解】當(dāng)nA＝1時(shí)，PA＝0，故①錯(cuò)誤；若PA＝1，則nA＝10，若PA＝2，則nA＝100，故②錯(cuò)誤；B菌的個(gè)數(shù)為nB＝5×104，∴，∴.又∵，∴故選③．39．【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：40．【詳解】原式.故答案為：41．【詳解】由題意可得，所以，，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，，則，所以，.故答案為：.42．（1）a-b；（2）；（3）①1-a，②3a-2；（4）；（5）.解：（1）因?yàn)閘og23=a，log25=b，所以log20.6=（2）因?yàn)?b=5，所以b=log35，所