人教版高中數(shù)學精講精練必修二8.1 基本立體圖形（精講）（解析版）

8.1基本立體圖形（精講）思維導圖思維導圖典例精講典例精講考點一多面體【例1-1】（2022·安徽）關于空間幾何體的結構特征，下列說法不正確的是（）A．棱柱的側棱長都相等B．四棱錐有四個頂點C．三棱臺的上、下底面是相似三角形D．有的棱臺的側棱長都相等【答案】B【解析】對于A：根據(jù)棱柱的定義可以判斷棱柱的側棱長都相等.故A正確；對于B：根據(jù)棱柱的定義可以判斷四棱錐有五個頂點．故B錯誤；對于C、D：根據(jù)棱臺的定義可以判斷三棱臺的上、下底面是相似三角形，正棱臺的側棱長都相等.故C、D正確.故選：B.【例1-2】（2022江蘇揚州）下列說法中正確的是（

）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有一個面是多邊形，其余各面都是梯形的幾何體叫棱臺D．有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的幾何體叫棱錐【答案】D【解析】因為有兩個面平行，其余各面是相鄰的公共邊都相互平行的平行四邊形的幾何體叫棱柱，所以A、B錯誤；而一個平行于底面的平面截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺，所以棱臺各側棱的延長線交于一點，所以C錯誤；因為有一個面是多邊形，其余各面都是有公共頂點的三角形的幾何體叫棱錐，所以D正確.故選：D.【例1-3】（2020·高一課時練習）下列說法正確的是______（填序號）.①有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱；②有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；③有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；④用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間那部分的幾何體是棱臺；⑤存在一個四棱錐，其四個側面都是直角三角形.【答案】⑤【解析】對于①，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，故①不正確；對于②，如圖1中的幾何體，滿足有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形，但其不是棱柱，故②不正確；對于③，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，故③不正確；對于④，由棱臺的定義，知截面和棱錐的底面平行，故④不正確；對于⑤，如圖2所示，在正方體中，四棱的四個側面均為直角三角形，故⑤正確.圖1

圖2故答案為：⑤．【一隅三反】1．（2022吉林）下列命題中，正確的是（

）A．底面是正方形的四棱柱是正方體B．棱錐的高線可能在幾何體之外C．有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐【答案】B【解析】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方體，故A錯誤；斜棱錐的高線有可能在幾何體之外，故B正確；根據(jù)棱柱的定義可得，有兩個面互相平行，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱.而滿足選項C條件的幾何體可能是組合體.故C錯誤；有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體是棱錐，故D錯誤．故選：B．2．（2022·全國·高一專題練習）下列說法正確的有（

）①有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．②有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．③底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐A．0個 B．1個C．2個 D．3個【答案】A【解析】①不正確．棱錐的定義是：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．②如圖1，不正確，側棱延長線可能不交于一點.③錯誤．不一定是正三棱錐,如圖2所示：三棱錐中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．滿足底面BCD為等邊三角形．三個側面ABD，ABC，ACD都是等腰三角形，但AC長度不一定等于AD，即三條側棱不一定全部相等．④不正確，不存在這樣的正六棱錐.極限考慮，如圖3的正六邊形ABCDEF分割成了6個全等的小正三角形，三角形所有邊長相等，從而不存在答案所說的正六棱錐.故選：A.3．（2022·高一課時練習）下列命題：①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；②有兩側面與底面垂直的棱柱是直棱柱；③過斜棱柱的側棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；④所有側面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】①如圖1，滿足有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形，顯然不是棱柱，故①錯誤；②如圖2，滿足兩側面與底面垂直，但不是直棱柱，②錯誤；③如圖3，四邊形為矩形，即過斜棱柱的側棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯誤；④所有側面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因為兩底面不一定是正方形，④錯誤．故選：A考點二旋轉體【例2-1】（2022山東）下列說法正確的是（

）A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐B．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺C．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面D．一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺【答案】C【解析】以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐，以斜邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是是兩個同底圓錐的組合體，A錯；以直角梯形的直角腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體才是圓臺，B錯；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，正確；平行于圓錐底面平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺，如果截面不平行于底面，則截得的不是圓錐和圓臺，D錯.故選：C.【例2-2】（2022上海）給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的；⑤圓臺所有母線的延長線交于一點其中正確的命題是（

）A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤【答案】D【解析】由于圓柱母線所在的直線互相平行且與旋轉軸平行，而在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線與旋轉軸不一定平行，故①錯誤，④正確；由圓錐母線的定義知②正確；在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是母線，且圓臺所有母線的延長線交于一點，故③錯誤，⑤正確.故選：D.【一隅三反】1．（2022云南）下列結論中正確的是（

）A．半圓弧以其直徑為軸旋轉一周所形成的曲面叫做球B．直角三角形繞一直角邊為軸旋轉一周得到的旋轉體是圓錐C．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體D．用一個平面截圓錐底面與截面組成的部分是圓臺【答案】B【解析】因為半圓弧以其直徑為軸旋轉一周所形成的曲面叫做球面，球面圍成的幾何體叫做球，故錯誤；當以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉時，其余各邊旋轉形成的面所圍成的幾何體是圓錐，故正確；當兩個平行截面不平行于上、下兩個底面時，兩個平行截面間的幾何體不是旋轉體，故錯誤；圓錐的截面不與底面平行時，圓錐底面與截面組成的部分不是圓臺，故錯誤.故選：B.2．（2022·高一課時練習）給出下列命題：①圓柱的母線與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構成直角三角形；③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【答案】D【解析】由圓柱的母線無論旋轉到什么位置都與軸平行，故①錯誤；圓錐是以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的，故②正確；③中連接的線可能存在與軸異面的情況，而圓臺的母線與軸共面，故③錯誤；④由于圓柱中任意母線均與軸平行，故其中任意兩條母線相互平行，故④正確；綜上可知②④正確，①③錯誤.故選：D.考點三組合體【例3-1】（2022·高一課時練習）如圖所示的組合體，其結構特征是（

）A．由兩個圓錐組合成的B．由兩個圓柱組合成的C．由一個棱錐和一個棱柱組合成的D．由一個圓錐和一個圓柱組合成的【答案】D【解析】由圖知：該組合體是由一個圓錐和一個圓柱組合成的，故選：D【例3-2】（2022廣東）如圖所示的幾何體的結構特征是（

）A．一個棱柱中截去一個棱柱B．一個棱柱中截去一個圓柱C．一個棱柱中截去一個棱錐D．一個棱柱中截去一個棱臺【答案】C【解析】圖中的幾何體為一個棱柱截去一個角，截去的角是一個棱錐.故選C.【一隅三反】1．（2022·高一課時練習）如圖所示，是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的平面軸對稱圖形，若將它繞軸l旋轉180°后形成一個組合體，下面說法不正確的是()A．該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體B．該組合體仍然關于軸l對稱C．該組合體中的圓錐和球只有一個公共點D．該組合體中的球和半球只有一個公共點【答案】A【解析】將該幾何體繞軸l旋轉180°后形成一個組合體，該組合體是由圓臺、圓柱、圓錐和球，半球組成的，由此A選項錯誤故選A2．（2022·高一課時練習）如圖所示的螺母可以看成一個組合體，其結構特征是A．一個棱柱中挖去一個棱柱 B．一個棱柱中挖去一個圓柱C．一個圓柱中挖去一個棱錐 D．一個棱臺中挖去一個圓柱【答案】B【解析】螺栓是圓柱，螺母的橫截面是六邊形內有一個圓，所以螺母可以看成一個棱柱中挖去一個圓柱.故選B.3．（2021春·高一課時練習）（多選）下列關于球體的說法正確的是（

）A．球體是空間中到定點的距離等于定長的點的集合B．球面是空間中到定點的距離等于定長的點的集合C．一個圓繞其直徑所在直線旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體是球體D．球的對稱軸只有1條【答案】BC【解析】空間中到定點的距離等于定長的點的集合是球面，所以A錯誤，B正確；由球體的定義，知C正確；球的每一條直徑所在的直線均為它的對稱軸，所以D錯誤.故選:BC.考點四展開圖【例4】（2022秋·四川內江·高一四川省內江市第二中學?？奸_學考試）如圖是一個正方體展開圖，把展開圖折疊成正方體后“抗”字一面相對面上的字是（

）A．新 B．冠 C．病 D．毒【答案】C【解析】將展開圖折疊成正方體可得“擊”字與“冠”字相對，“抗”字與“病”字相對，“新”字與“毒”字相對，故選：C.【一隅三反】1．（2022·湖南）如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）【答案】B【解析】（1）圖還原正方體后，①⑤對面，②④對面，③⑥對面；（2）圖還原后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；（3）圖還原后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；（4）圖還原后，①⑥對面，②⑤對面，③④對面；綜上可得，還原成正方體后，正方體完全一樣的是（2）（3）．故選：B．2．（2022·高一課時練習）紙質的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北，現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，里面朝上展平得到如圖所示平面圖形，則標“△”的面的方位是（

）A．南 B．北 C．西 D．下【答案】A【解析】由題意，正方體的表面展開圖，相對面之間一定相隔一個正方形，再由展開圖是里面朝上展平得到的，根據(jù)“上北下南，左西右東”，因此標“△”的面的方位是南.故選：A3．（2022·高一單元測試）如圖是一個正方體的表面展開圖，則圖中“有”在正方體中所在的面的對面上的是（

）A．者 B．事 C．竟 D．成【答案】A【解析】根據(jù)正方體的表面展開圖，換元成正方體，如圖所示：其中“者”在最里面，“有”在最外面．構成對面關系．故選：A．考點五最短距離【例5-1】（2022·廣西）如圖，圓柱的軸截面ABCD是一個邊長為4的正方形.一只螞蟻從點A出發(fā)繞圓柱表面爬到BC的中點E，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將圓柱側面展開半周，則展開矩形長為，，.故選：C.【例5-2】（2022春·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學?？计谥校┰陂L方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，AA1＝2，P、Q分別為棱AA1，C1D1的中點則從點P出發(fā)，沿長方體表面到達點Q的最短路徑的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意在長方體中，分別為棱，的中點，若按照如下方式展開，則若按照如下方式展開，則若按照如下方式展開，則所以故選：C【例5-3】（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在正三棱錐中，，，一只蟲子從點出發(fā)，繞三棱錐的三個側面爬行一周后，又回到點，則蟲子爬行的最短距離是（

）A．4 B． C． D．【答案】A【解析】如圖，連接與分別交于兩點，將三棱錐由展開，則，為蟲子爬行從點沿側面到棱上的點處，再到棱上的點處，然后回到點的最短距離，∵，∴由勾股定理可得，所以蟲子爬行的最短距離4，故選：A.【例5-4】（2022春·新疆省直轄縣級單位·高一新疆石河子一中?？茧A段練習）如圖所示，某圓錐的高為，底面半徑為1，O為底面圓心，OA，OB為底面半徑，且∠AOB=M是母線PA的中點，則在此圓錐側面上，從M到B的路徑中，最短路徑的長度為（

）A． B．-1 C． D．+1【答案】A【解析】【如圖為圓錐的側面展開圖，,，則，在中，，則，為M到B的路徑中，最短路徑的長.故選：A.【一隅三反】1．（2022·高一課時練習）邊長為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從E點沿圓柱的側面到相對頂點G的最短距離是（

）A．10cm B．5cmC．5cm D．cm【答案】D【解析】圓柱的側面展開圖如圖所示，展開后，∴，即為所求最短距離．故選:D.2．（2022·福建）如圖是一塊長、寬、高分別為6cm、4cm、3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（

）A．cm B．cm C．9cm D．cm【答案】B【解析】第一種情況：把所看的前面和上面組成一個平面，如圖所示，則這個長方形的長和寬分別為和，所以所走的路程最短線段為；第二種情況：把看到的左面與上面組成一個長方形，如圖所示，則這個長方形的長和寬分別為和，所以所走的路程最短線段為；第三種情況：把看到的前面與右面組成一個長方形，如圖所示，則這個長方形的長和寬分別為和，所以所走的路程最短線段為；故選：B.3．（2022·高一課時練習）在四面體中，，與直線，均垂直，且，一只螞蟻從的中心沿表面爬至點，則其爬過的路程最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以平面，所以平面平面，將底面旋轉，以為軸，旋轉至平面與平面共面，如圖，此時的直線距離即為最短距離，設到直線的距離為，則，所以.故選：A4（2022春·河北張家口·高一校聯(lián)考階段練習）如圖，圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，若一只螞蟻從圓錐的點出發(fā)，沿表面爬到的中點處，則其爬行的最短路線長為，則圓錐的底面圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖為半圓錐的側面展開圖，連接，則的長為螞蟻爬行的最短路線長，設展開圖的扇形的圓心角為，根據(jù)題意得，在中，，所以，所以扇形弧長為，所以圓錐底面圓的周長為，即，得.故選：A考點六截面問題【例6-1】（2022·全國·高一假期作業(yè)）用一個平面截正方體，截面可能出現(xiàn)的形狀是（

）①等邊三角形

②直角梯形

③菱形

④五邊形A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】如圖，用一個平面截正方體，截面可能出現(xiàn)的形狀是等邊三角形，菱形，五邊形，故選：C【例6-2】（2022·高一單元測試）已知正方體，棱長為2，E為棱的中點，則經過，D，E三點的正方體的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】正方體中，平面，則平面與平面的唯一交線與平行.取中點F，連接、、、，則四邊形即為經過，D，E三點的正方體的截面梯形中，，，則梯形的高為則梯形的面積為故選：A【例6-3】．（2022福建）如圖：正三棱錐中，，側棱，平行于過點的截面，則平面與正三棱錐側面交線的周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：沿著側棱把正三棱錐展開在一個平面內，則即為截面周長的最小值，且，在中，由余弦定理得：，