4.2指數(shù)函數(shù) 講義（知識(shí)點(diǎn)+考點(diǎn)+練習(xí)）-2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.思考為什么底數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足a>0且a≠1?二、兩類(lèi)指數(shù)模型1．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當(dāng)a>1時(shí)為指數(shù)增長(zhǎng)型函數(shù)模型．2．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當(dāng)0<a<1時(shí)為指數(shù)衰減型函數(shù)模型．三、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即x＝0時(shí)，y＝1函數(shù)值的變化當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x>0時(shí)，y>1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)對(duì)稱(chēng)性y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)思考1在平面直角坐標(biāo)系中指數(shù)函數(shù)圖象不可能出現(xiàn)在第幾象限？思考2指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于什么？四、比較冪的大小一般地，比較冪大小的方法有(1)對(duì)于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個(gè)冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷．(2)對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小，利用冪函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷．(3)對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個(gè)冪的大小，則通過(guò)中間值來(lái)判斷．五、解指數(shù)方程、不等式簡(jiǎn)單指數(shù)不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的單調(diào)性求解．(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的單調(diào)性求解．(3)形如ax>bx的不等式，可借助兩函數(shù)y＝ax，y＝bx的圖象求解．六、指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函數(shù)的性質(zhì)(1)函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)有相同的定義域．(2)當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝af(x)與y＝f(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性相反．思考1指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的單調(diào)性取決于哪個(gè)量？思考2如何判斷形如y＝f(ax)(a>0，a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性？

考點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的判斷【例1】(2019·河南中原.鄭州一中高一開(kāi)學(xué)考試)函數(shù)f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為()A．1 B．3 C．2 D．1或3【練1】(2019·南昌市新建一中高一月考)下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為()①②y＝ax；③y＝1x；④A．0 B．1C．3 D．4考點(diǎn)二定義域和值域【例2】(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))求下列函數(shù)的定義域和值域；(1)；(2)；(3).【練2】(2020·沙坪壩.重慶八中高一期末)已知實(shí)數(shù)且,若函數(shù)的值域?yàn)?則的取值范圍是()A． B．C． D．考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)【例3】(2019·浙江南湖.嘉興一中高一月考)函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是()A． B． C． D．【練3】(2020·四川瀘縣五中高一月考)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．考點(diǎn)四定點(diǎn)【例4】(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)(，且)的圖象過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為()A． B． C． D．【練4】(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)考點(diǎn)五圖像【例5】(2019·浙江高一期中)函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標(biāo)系中有可能是()A． B． C． D．【練5】(2019·辛集市第二中學(xué)高二期中)已知a＞1，則函數(shù)y=ax與y=(a-1)x2在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是()A． B．C． D．課后練習(xí)（2016·新課標(biāo)Ⅲ卷文）已知a=243，b=32A.

b＜a＜c

B.

a＜b＜c

C.

b＜c＜a

D.

c＜a＜b（2020高一上·公主嶺期末）函數(shù)f(x)=2aA.

(1,?1)

B.

(1,1)

C.

(0,1)

D.

(0,?（2019高一上·興慶期中）設(shè)a=2.10.3，b=0.32.1，c=log2.10.3A.

a<b<c

B.

c<b<a

C.

c<a<b

D.

b<c<a（2018高三上·吉林月考）已知a=40.3，b=(12A.

a<b<c

B.

c<a<b

C.

c<b<a

D.

b<c<a（2017高一上·咸陽(yáng)期末）函數(shù)y=αx﹣2﹣1（α＞0且α≠1）的圖象恒過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．（2020高一上·青銅峽月考）若函數(shù)f(x)=a2x?3+1(其中a>0（2020高一上·上海期中）若函數(shù)y=(a2（2020高一上·湖州期中）全民拒酒駕，平安你我他.在我國(guó)認(rèn)定酒后駕車(chē)標(biāo)準(zhǔn)的起點(diǎn)是：駕駛?cè)嗣?00毫升血液中的酒精含量不得超過(guò)20毫克.一名駕駛員喝酒后，血液中酒精含量迅速上升到6.4mg/ml，假定在停止喝酒后血液中的酒精含量以每小時(shí)50%的速度下降，為了保證交通安全，該駕駛員喝酒后至少過(guò)

個(gè)小時(shí)才可駕車(chē)？（2019高一上·遼源期中）若函數(shù)f(x)=(k+3)a（1）求k，b的值；（2）求解不等式f(2x?

10.（2020高一上·東麗期末）已知集合A={a|loga1（1）求集合A、B；（2）求?R11.（2020高一上·吉安期中）已知函數(shù)f(x)=ax?1(x≥0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，（1）求a的值;求函數(shù)y=f(x)+1(x≥0)的值域．12.（2020高一上·河北期中）已知函數(shù)f(x)=2?xx?1的定義域?yàn)榧希?）求集合A、B；（2）若A∪B=B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

精講答案思考答案①當(dāng)a≤0時(shí)，ax可能無(wú)意義；②當(dāng)a>0時(shí)，x可以取任何實(shí)數(shù)；③當(dāng)a＝1時(shí)，ax＝1(x∈R)，無(wú)研究?jī)r(jià)值．因此規(guī)定y＝ax中a>0，且a≠1.思考1答案指數(shù)函數(shù)的圖象只能出現(xiàn)在第一、二象限，不可能出現(xiàn)在第三、四象限．思考2答案指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于底數(shù)a.當(dāng)a>1時(shí)，圖象具有上升趨勢(shì)；當(dāng)0<a<1時(shí)，圖象具有下降趨勢(shì)．思考1答案指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的單調(diào)性與其底數(shù)a有關(guān)，當(dāng)a>1時(shí)，y＝ax在定義域上是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝ax在定義域上是減函數(shù)．思考2答案(1)定義法，即“取值－作差－變形－定號(hào)”．其中，在定號(hào)過(guò)程中需要用到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；(2)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律【例1】【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指數(shù)函數(shù)，故可得解得或，當(dāng)時(shí)，不是指數(shù)函數(shù)，舍去.故選：C.【練1】【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有②正確．故選B【例2】【答案】(1)定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?2)，；(3)，.【解析】(1)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?(2)由知，故的定義域?yàn)椋挥芍?，故的值域?yàn)?(3)的定義域?yàn)?；由知，故的值域?yàn)?【練2】【答案】D【解析】實(shí)數(shù)且,若函數(shù)的值域?yàn)?當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),的值域?yàn)?與值域?yàn)槊?所以不成立當(dāng)時(shí),對(duì)于函數(shù),,函數(shù)的值域?yàn)?所以只需當(dāng)時(shí)值域?yàn)榈淖蛹纯?即,解得(舍去)綜上可知的取值范圍為故選:D【例3】【答案】C【解析】∵是減函數(shù)，在上遞增，在上遞減，∴函數(shù)的增區(qū)間是．故選：C．【練3】【答案】【解析】本題等價(jià)于在上單調(diào)遞增，對(duì)稱(chēng)軸，所以，得．即實(shí)數(shù)的取值范圍是．【例4】【答案】A【解析】因?yàn)榈膱D象恒過(guò)點(diǎn)，則的圖象恒過(guò)點(diǎn)，所以恒過(guò)定點(diǎn).故選.【練4】【答案】A【解析】當(dāng)，即時(shí)，，為常數(shù)，此時(shí)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，5).故選：A.【例5】【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以排除AC選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)大于1，函數(shù)單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)大于0小于1，函數(shù)單調(diào)遞減；D選項(xiàng)正確.故選：D【練5】【答案】A【解析】∵a＞1，∴函數(shù)y=ax為增函數(shù)，函數(shù)y=(a-1)x2在(-∞，0)上為減函數(shù)，在(0，+∞)上為增函數(shù)．故選：A．練習(xí)答案1.【答案】A【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，冪函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【解析】解：∵a=2=，b=3，c=25=，綜上可得：b＜a＜c，故選A【分析】b=4=，c=25=，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，可比較a，b，c，進(jìn)而得到答案．；本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，冪函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．2.【答案】B【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【解析】由題意知：x?1=0，即此時(shí)y=2a所以函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)(1,1)，故答案為：B【分析】由整體思想結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象計(jì)算出結(jié)果即可。3.【答案】B【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【解析】20.3>20<0.32.1<1log2.10.3<0∴c<b<a

.故答案為：B【分析】a,b,c都和0，1比較大小，得到a，b，c的大小關(guān)系.4.【答案】B【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【解析】a=40.3=20.6

,b=(12)?0.9【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與“1”的妙用即可；5.【答案】（2，0）【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【解析】解：令x﹣2=0得x=2，則y=αx﹣2﹣1=1﹣1=0，所以函數(shù)y=αx﹣2﹣1的圖象過(guò)定點(diǎn)（2，0），

故答案為：（2，0）．

【分析】由解析式令x﹣2=0求出x和y的值，可得函數(shù)圖象過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)．6.【答案】(3【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【解析】令2x?3=0，解得x=32，f(3故答案為：(【分析】令2x?3=0，求出此時(shí)x,y的值，即可得到函數(shù)7.【答案】(?【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=(所以0<a2?1<1，解得所以a∈(?【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，y=(a28.【答案】5【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【解析】設(shè)該駕駛員喝酒后至少過(guò)x個(gè)小時(shí)才可駕車(chē)，由題得6.4×所以(1所以該駕駛員喝酒后至少過(guò)5個(gè)小時(shí)才可駕車(chē).故答案為：5【分析】根據(jù)題意由已知條件即可得出關(guān)于x的不等式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出x的取值范圍，結(jié)合已知條件即可得出x的取值。9.【答案】（1）解：∵函數(shù)f(x)=(k+3)a∴k+3=1,3?∴k=?2,b=3

（2）解：由（1）得f(x)=ax(a>1)∵f(2x?∴2x?7>4x?即不等式解集為{x|x<?【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【解析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義列出方程，求解即可；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可；10.【答案】（1）解：loga①a>1時(shí)，a>12②0<a<1時(shí)，a<12所以A={a|a>1或0<a<(1∴a>0，即B={a|a>0}

（2）解：CR所以C【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【解析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合與特殊值對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)的大小關(guān)系比較，從而求出集合A，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合與特殊值對(duì)應(yīng)的指數(shù)的大小關(guān)系比較，從而求出集合B。

（2）利用（1）求出的集合A和集合B，再結(jié)合交集和補(bǔ)集的運(yùn)算法則，從而求出集合（?11.【答案】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax?所以f（2）=a

（2）解：由（1）得f(x)=(因?yàn)楹瘮?shù)在[0,+∞)上是減函數(shù)，所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最大值2，故f(x)∈(0,2]，所以函數(shù)y=f(x)+1=(故函數(shù)y=f(x)+1(x≥0)的值域?yàn)?1